无穷大与无穷小

无穷大与无穷小Tag内容描述：<p>1、微积分 微 积 分 微积分 第二章 极限与连续 数列极限 函数极限 变量极限 无穷大与无穷小 极限的运算法则 两个重要的极限 函数的连续性 微积分 2.4 无穷大量与无穷小量 一. 无穷小量 定义1：以0为极限的变量,称为无穷小量（无穷小 ）。 定义2：0,某个时刻，在此时刻以后， |y|0,0，使得当00,M0，使得当|x|M时, |f(x)|0,某个时刻，在此时刻以后， |y|E,恒成立. 则称y在此变化过程为无穷大量（无穷大）。 记为：limy= 同理可定义： 正无穷大 limy=+负无穷大 limy=- 微积分 无穷大量 对于xx0： E0,0，使得当0E,恒成立 . 对于x： E0,M0，使得当。</p><p>2、二、 无穷大 三 、 无穷小的比较 一、 无穷小 第四节 无穷小与无穷大 是 一、 无穷小 定义1 . 若 时 , 函数 则称函数 例如 : 函数 是时的无穷小; 函数 时的无穷小; 为 时的无穷小 . 注：此结论对数列也成立 是数列 时的无穷小; 说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 时 , 函数(或 ) 则称函数为 定义1. 若 (或 )时的无穷小 . 其中 为 时的无穷小量 . 定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) 证: 对自变量的其它变化过程类似可证 . 定理2. 有限个无穷小的和还是无穷小 . Note: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如， 2、无穷小的性。</p><p>3、第1章 函数、极限与连续 公共课部数学教研组 四、 无穷小量与无穷大量 一、无穷小量及其性质 二、无穷大量 三、无穷大量与无穷小量的关系 第1章 函数、极限与连续 公共课部数学教研组 一、 无穷小量及其性质 定义5:极限为零的变量称为无穷小量（或无穷小）. 1、无穷小量的概念 第1章 函数、极限与连续 公共课部数学教研组 例如: 第1章 函数、极限与连续 公共课部数学教研组 关于无穷小量的几点说明: 2.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 3.零是可以作为无穷小的唯一的数. 1.此定义包含自变量的任何变化趋势,如 第1章 函数、极限与连续 公。</p><p>4、一、无 穷 小,二、无 穷 大,三、小 结,第四节 无穷小与无穷大,一、无穷小(infinitesimal),1、定义:,极限为零的变量称为无穷小（量）.,例如,注意,（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.,2、无穷小与函数极限的关系:,证：,必要性,充分性,意义：,（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小);,二、无穷大(infinite),绝对值无限增大的变量称为无穷大.,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,不是无穷。</p><p>5、第三节 无穷小量与无穷大量,2.3.1 无穷小量,1.定义1 设 f (x)在某U(x0)内有定义. 若 则称 f (x)为当 xx0 时的无穷小量.,例如：,(2)无穷小量与极限过程分不开，不能脱离极限过程谈无穷小量.,如sinx是x0时的无穷小量，但,注,(1)无穷小量是变量，不能与很小的数混淆;,(3)关于有界量.,2.无穷小量的运算性质,时, 有,定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .,证: 考虑两个无穷小的和 .,设,当,时 , 有,当,时 , 有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量 .,定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .,证: 设,又设,即,当,时, 有,取,则当,时 , 就有,故,。</p><p>6、一、 无穷小的概念与性质,第五节,无穷小与无穷大,二、无穷小的比较,三、无穷大,第二章,一、 无穷小的概念与性质,定义2.5 若,时 ,则称函数,例如：,函数 x-1是 的无穷小;,为,时的无穷小 .,1. 无穷小的概念,称为当,的无穷小 .,(4),以零为极限的数列,都是,时的无穷小 .,除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !,注 1,2不能笼统地说某函数是无穷小，,而应当说函数,是自变量趋向某个值时的无穷小.,例如，说,是无穷小”是不对的 ;,函数,当,时为无穷小.,“函数,而应当说 ，,其中 为,时的无穷小 .,2. 无穷小与函数极限的关系 定理 2.7,证,当,时,有,。</p><p>7、第二章,二、 无穷大量,三 、无穷小量与无穷大量的关系,一、 无穷小量,2.4 无穷大量与无穷小量,当,一、 无穷小量,定义1 . 若,时 , 函数,则称函数,例如 :,函数,当,时为无穷小量;,函数,时为无穷小量;,函数,当,为,时的无穷小量 .,时为无穷小量.,说明:,除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小量 !,时 , 函数,(或 ),则称函数,为,定义1. 若,(或 ),时的无穷小量 .,其中 为,时的无穷小量 .,定理 2.5 . ( 无穷小量与函数极限的关系 ),证:,当,时,有,对自变量的其它变化过程类似可证 .,定理 2.6 无穷小量与局部有界变量的乘积还是,证明 （就函数情形证明。</p><p>8、2.4 无穷小与无穷大 无穷小的比较,2.4.1 无穷小,2.4.2 无穷大,2.4.3 无穷小的比较,定义1.12 若函数 在自变量 的某个变化过程中以零为极限，则称在该变化过程中, 为无穷小量简称无穷小,2.4.1 无穷小,例如，当 时， ， ， 是无穷小量；当 时， 是无穷小量 当 时， ， 是无穷小量,我们经常用希腊字母 ， ， 来表示无穷小量,3,注意：,（1）无穷小是以零为极限的变量， 常数中只有零是无穷小,（2）无穷小总是和自变量的变化趋势相关联的， 例如:,当 时, 为无穷小,当 时, 就不是无穷小,定理1.2 函数 以 为极限的充分 必要条件是： 可以表示为 与。</p><p>9、4无穷小与无穷大的阶的比较,一、无穷小,定义7.1,例,例,观察下列无穷小收敛到零的速度：,不同的无穷小收敛到零的速度不同，如何描述？,定义7.2 (无穷小量阶的比较),定义7.3 (无穷小量阶的量化比较),例1,解,例2,解,例3 确定下列无穷小的阶,2阶,1阶,二、无穷大,定义7.4,记作,特别：,注意：无穷大量和无界量的区别.,不是无穷大,无界!,证,例 4,定义7.5 (无穷小量阶的比较),定义7.6 (无穷大量阶的量化比较),例4,2阶无穷大,2阶无穷大,（1）,（2）,判断下列无穷大的阶,三、 表示与性质,定义7.7：,（2）,（1）,定义7.8：,（2）,（1）,（3）,四、等。</p><p>10、西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研室,第1章 极限与连续,第一节 函数 第二节 极限 第三节 无穷小量与无穷大量 第四节 极限的四则运算法则 第五节 两个极限存在准则与两个重要极限 第六节 函数的连续性 第七节 闭区间上连续函数的性质,前一页,后一页,返回,前一页,后一页,返回,前一页,后一页,返回,前一页,后一页,返回,前一页,后一页,返回。</p><p>11、第四节 函数的极限,一、函数极限的定义 二、函数极限的性质和计算 三、无穷小量与无穷大量 四、小结与思考判断题,一、函数极限的定义,本节仿照数列极限讨论给出函数极限，先给出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近某个确定常数，那么这一确定常数就叫作在这一过程中函数的极限.函数的极限与自变量的变化过程有关.自变量的变化过程不同，函数极限的形式就不同.主要研究两种情形：,函数的极限六种存在形式,即函数极限的两种主要形式如下,1.自变量趋于有限值时函数的极限,考虑自变量 趋近于有限值 ，记。</p><p>12、2.3 无穷小与无穷大,2.3.1. 无穷小 2.3.2. 无穷小的运算性质 2.3.3. 无穷大 2.3.4. 无穷小与无穷大的关系 2.3.5. 无穷小与函数极限的关系 2.3.6. 无穷小的比较 2.3.7. 利用等价无穷小替换求极限,如,在某个变化过程中，极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小.,2.3.1 无穷小,定义,记作,证,取,恒有,恒有,恒有,的两个无穷小,2.3.2 无穷小的运算性质,证,则当,恒有,在同一过程中,有极限的变量与无穷小,常数与无穷小的乘积是无穷小;,有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小.,推论1,的乘积是无穷小;,推论2,推论3,绝对值无限增大的变量称为,无。</p><p>13、1.定义,极限为零的变量称为无穷小.,一、无穷小,第八节 无穷大与无穷小,例如,注:,无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,零是可以作为无穷小的唯一的数.,1. 无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,无穷小量性质,2. 无穷小的运算性质:,定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,证,注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,绝对值无限。</p><p>14、1,一、无穷大,二、无穷小,三、无穷小与函数极限的关系,四、无穷小与无穷大的关系,五、小结及作业,2,一、无穷大,3,注意,1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,4,3.特殊情形：正无穷大，负无穷大,5. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,如,5,不是无穷大,无界，,6,证,7,二、无穷小,例如,8,注意,1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,2.零是可以作为无穷小的唯一的数.,9,10,证,11,三.无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,12,意义,1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,3.无穷小的运算性质:,定理2 在同一过程中。</p><p>15、11 P14 8,第三节 无穷小量与无穷大量,一、无穷小量 二、无穷大量 三、无穷小量与无穷大量的关系 四、无穷小量的比较,理解无穷小、无穷大的定义及两者的关系， 无穷小的运算法则，知道无穷小的比较，会用 无穷小替换求极限,2,定义 在自变量的某个变化过程中极限为零的函数称为无穷小量, 简称无穷小.,1无穷小量,例如:,一、无穷小量,3,思考:,1、X-1是无穷小，对吗？,2、-10000000000000000000是无穷小，对吗？,3、0是无穷小，对吗？,注意:,1.不要把绝对值很小的常数说成无穷小量;,2.一个函数是无穷小量,必须指明自变量的,变化趋势;,3.零是唯。</p><p>16、第三节 无穷小量与无穷大量,无穷小量 无穷大量 无穷小量与无穷大量的关系 无穷小量的运算性质 无穷小量和一般极限的关系,一、无穷小量,例如,是x时的无穷小；,再例如,则称x 1是x1时的无穷小.,注意：无穷小不是一个很小的数, 但0是无穷小.,二、 无穷大量,定义2 . 若,时 , 函数,则称函数,为,时的无穷大量 .,注意:,1. 无穷大量不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.,2. 无穷大量是极限不存在的一种情形，这里只是借用了极限记号而已。,例如:,3. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !,例如, 函数,当,但,不是无穷大 !,无界，,在自变量的某个。</p><p>17、第一章,二、 极限的四则运算法则,三、 复合函数的极限运算法则,一 、无穷小运算法则,极限运算法则,当,一、无穷小运算法则 1、 无穷小,定义1 . 若,时 , 函数,则称函数,例如 :,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,函数,当,为,时的无穷小 .,时为无穷小.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !,时 , 函数,(或 ),则称函数,为,定义1. 若,(或 ),则,时的无穷小 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中 为,时的无穷小量 .,定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ),无穷小的重要性质,有界量与无穷小量的乘积是。</p><p>18、1.11 无穷小量、无穷大量,一、无穷小量,注意,无穷小是变量,不能与很小的数混淆。,注：无穷小量与极限过程分不开, 不能脱离极限过程谈无穷小量.,例：,是该极限过程中的无穷小量. A为常数.,定理1,证:,当,时,有,二、无穷小量的运算定理,1.有限个无穷小量的代数和为无穷小量.,注： “有限个”不能丢，无限个无穷小量的和不一定是无穷小量.,例如,2.,有界量与无穷小量之积为无穷小量.,例如,3.有限个无穷小量的乘积仍然是无穷小量。,二、无穷大量,注意,1.无穷大量也有正无穷大量和负无穷大量,例如,3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未。</p><p>19、无穷是一个永恒的谜 Hilbert,第五节 无穷小和无穷大,（一） 无穷小 （二） 无穷大 （三） 二者关系 （四）无穷小的阶,一、无穷小,定义1：在自变量的某种趋势下，以零为极限的函数（变量）称为无穷小量，简称无穷小.,例如：,注意,（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,（3）零是可以作为无穷小的唯一的数.,（2）无穷小是变量的一种变化趋势;,例如,证,2、无穷小与函数极限的关系:,意义,（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小);,3、无穷小的运算性质:,定理2 在同一过程中, 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,注意 无穷多个无穷小的。</p>