行列式按行列展开

行列式按行列展开Tag内容描述：<p>1、例如,一、余子式与代数余子式,叫做元素 的代数余子式,例如,引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ,例如,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,二、行列式按行（列）展开法则,例7,例增 计算行列式,解,例增5 书上习题一6（4） 证明：,;,证：,证毕。,例增7，书上习题一8(6),解：,例增8 书上习题一8(4),解：,由此得递推公式：,即,而,得,证,用数学归纳法,设法把Dn降阶：从第n行开始，后行减去前行的x1倍，有,n-1阶范德蒙德行列式,例增6：。</p><p>2、1.4 行列式按行（列）展开,定义1：,在 n 阶行列式中，把元素,所在的第 i 行和,第 j 列划去后，余下的 n1 阶行列式叫做元素,的,余子式。,记为,称,为元素,的代数余子式。,例如：,注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个 代数余子式。,注：元素 的余子式（代数余子式）只与它的位置有关，与它本身的值，还有第i行，第j列上的其他任何元素无关,定理1 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式之和 或,推论 行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零，即 或,综上，得公式,在计算。</p><p>3、第六节,行列式按行(列)展开,引入,可见，三级行列式可通过二级行列式来表示,一 余子式、代数余子式,定义,在 n 级行列式 中将元素 所在的,第 i 行与第 j 列划去，剩下 个元素按原位置,次序构成一个 级的行列式，,称之为元素 的余子式,记作 ,令,称 之为元素 的代数余子式,注：, 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式,和代数余子式,无关，只与该元素的在行列式中的位置有关, 元素 的余子式和代数余子式与 的大小,元素除 外都为 0，则,1.引理,二 行列式按行(列)展开法则,若n 级行列式 D = 的 中第 i 行所有,证：,先证 的情形，即,由行列式的。</p><p>4、第三节 行列式按行（列）展开,一、预备知识,在n阶行列式,顺序构成的一个n-1阶行列式，,余下的元素按原来,称为元素,的余子式，记作Mij，即,记,称为元素 的代数余子式。,解,。,证 先证（i，j）=（1，1）的情形，此时,由前面的学习得到,把D的行列式作如下调整：把D的第i行依次与第i-1行、第i-2行、第1行对调，这时 就调成（1，j）元，调换的次数为i-1 ，再把第j列依次与第j-1列、第j-2列、 、第1列对调，这 就调成（1，1）元了，调换的次数为j-1。总之，经过i+j-2次对调，把数 调成（1，1）元，行列式D变成了D1。则,再证一般情形，此时,D1=（。</p><p>5、计算行列式常用方法：,复习:,(1)利用定义;,(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式， 从而算得行列式的值,课前热身：,1.3 行列式按行(列)展开,由上例知：,(一)余子式与代数余子式,代数余子式：,Def:,注：行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式.,练习：,求 的余子式和代数余子式.,定理1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,(二)行列式按行（列）展开,(三) 应用举例,解,(1),练习1：,行列式计算的常用方法(3)：,利用行列式的性质，把行列式的某一行（列）化为 只有一个元素非零而其余元素。</p><p>6、4 n 级行列式的性质,8 Laplace定理 行列式乘法法则,3 n 级行列式,2 排列,1 引言,5 行列式的计算,7 Cramer法则,6 行列式按行(列)展开,第二章 行列式,一、余子式、代数余子式,二、行列式按行(列)展开法则,2.6 行列式按一行（列）展开,引入,可见，三级行列式可通过二级行列式来表示,一、余子式、代数余子式,定义,在 n 级行列式 中将元素 所在的,第 i 行与第 j 列划去，剩下 个元素按原位置,次序构成一个 级的行列式，,称之为元素 的余子式,记作 ,令,称 之为元素 的代数余子式,注：, 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式,和代数余子式,无。</p><p>7、一、余子式、代数余子式,二、行列式按行(列)展开法则,2.6 行列式按一行（列）展开,引入,可见，三级行列式可通过二级行列式来表示,一、余子式、代数余子式,定义,在 n 级行列式 中将元素 所在的,第 i 行与第 j 列划去，剩下 个元素按原位置,次序构成一个 级的行列式，,称之为元素 的余子式,记作 ,令,称 之为元素 的代数余子式,注：, 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式,和代数余子式,无关，只与该元素的在行列式中的位置有关, 元素 的余子式和代数余子式与 的大小,元素除 外都为 0，则,1.引理,二 、行列式按行(列)展开法则,若n 级行列。</p><p>8、1.6 行列式按行(列)展开,一、余子式与代数余子式,引例, 考察三阶行列式,在 n 阶行列式D中, 把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列元素划去后, 留下来的 n1 阶行列式叫做(行列式D的关于)元素aij 的余子式, 记作 Mij . 即,例如,记 Aij = (1)i+j Mij, 称 Aij 为元素 aij 的代数余子式.,引理: 如果一个阶行列式D的第 i 行元素除 aij 外都为零, 那么, 行列式 D 等于 aij 与它的代数余子式 Aij的乘积, 即 D = aij Aij .,行列式的每一个元素都分别对应着唯一的一个余子式和唯一的一个代数余子式.,= aij Aij .,证: 当 aij 位于第一行第一列时,又由于 。</p><p>9、1.4行列式按行(列)展开及其应用,一、行列式按一行（列）展开,结论：三阶行列式可按第一行 “展开”将三阶行列式 的计算可通过重新组合转化为低一阶的行列式的计算。,二阶行列式的元素及前面的系数在三阶行列式中所处的位置特点？,(列),定义1：在n阶行列式D中，去掉元素aij所在的第i行和第j 列再后，余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij的 余子式，记为Mij，再记Aij=(-1)i+jMij，称Aij为元 素aij的代数余子式。,a11的余子式为,代数余子式为,a12的余子式为,代数余子式为,引理：一个n阶行列式D，若其中第i行所有元素除aij外都 为零，则该行列。</p><p>10、1.3 行列式的按行(列)展开,1.3.1 三阶行列式的按行(列)展开,对于三阶行列式，容易验证：,可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式 的计算.,定义：,例如：,注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.,利用代数余子式，可得,定理4 三阶行列式等于它的任一行或列的各元素与其代数余子式乘积之和，即,例1,例2,行列式中任一行或列的元素与另一行或列对应元素的代数余子式乘积之和为零。即,推论,因此,1.3.2 n阶行列式的按行(列)展开,定理5 n阶行列式等于它的任一行或列的各元素与其代数余子式乘积之和，即,推论 行列式中。</p><p>11、第二节 行列式按行(列)展开,线性代数,一、 n阶行列式的定义,定义,例如,二、余子式与代数余子式,叫做元素 的代数余子式,例如,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,三、行列式按行（列）展开法则,其中， 是元素 的代数余子式一定要注意 的符号。,引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ,例如,易得，如果行列式中某行或某列的元素全为零，那么这行列式的值为零。,例 计算行列式,见书中第一节例7（P7），例15（P9-10）,解,按第二行展开，。</p><p>12、3 行列式按行（列）展开,余子式和代数余子式 在 n 阶行列式中，把元素aij 所在第 i 行和第 j 列划去后，留下来的n1阶行列式叫做元素 的aij 的余子式. 记作 Mij . 即 aij 的余子式记作 Mij . aij 的代数余子式 Aij = (-1)i+jMij.,中元素 的余子式和代数余子式分别为,二.行列式按行 （列）展开定理,引理 设D为n阶行列式，如果D的第i行所有元素除 aij 外，其余元素均为零，那么行列式D等于 aij与其代数余子式的乘积，即,证：设,定理1 行列式等于它的任 一 行（列）的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和,即,证：,类似地.若按列证明，可得,例。</p><p>13、1,五.行列式按行（列）展开,对于三阶行列式，容易验证：,可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。,问题：一个n阶行列式是否可以转化为若干个n1阶行列式来计算？,2,定义1：,在n阶行列式中，把元素,所在的第i行和,第j列划去后，余下的n1阶行列式叫做元素,的,余子式。,记为,称,为元素,的代数余子式。,例如：,3,注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代。</p><p>14、线 性 代 数 中国劳动关系学院 China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations 第一章行列式第一章行列式 张 奎张 奎 中国劳动关系学院中国劳动关系学院 Email zhangkui6 线 性。</p><p>15、第四节 行列式按行 列 展开 分布图示 引例 余子式与代数余子式 例1 引理 行列式按行 列 展开 例2 例3 应用按行 列 展开法则计算行列式 例4 例5 例6 例7 例8 拉普拉斯定理 例9 例10 内容小结 课堂练习 习题1 4 内容要。</p><p>16、1 4行列式按行 列 展开 定义1 在n阶行列式中 把元素 所在的第i行和 第j列划去后 余下的n 1阶行列式叫做元素 的 余子式 记为 称 为元素 的代数余子式 例如 注 行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子。</p><p>17、行列式按行 列 展开 第三节 2 一 余子式与代数余子式 3 叫做元素的代数余子式 例如 4 5 6 例1求四阶行列式 的第一行元素的代数余子式 解 7 8 9 定理n阶行列式D aij 等于它的任意一行 列 的各元素与其对应代数余子式。</p>