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系统
辨识
讲稿
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系统辨识讲稿,系统,辨识,讲稿
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1系统辨识第 9 讲要点第 5 章 线性动态模型参数辨识最小二乘法5.8 最小二乘参数估计的递推算法所谓递推算法就是根据新的观测数据实时修正参数估计值，随着时间的推移，逐步获得满意的辨识结果5.8.1 递推算法形式 递推算法推导在 阶“持续激励”输入信号的作用下，加权最小二乘法的解为2n LLzH1WLS)(ii ii11 )()hh记 k 时刻的参数估计值为 kiki izi11 )()()()( 令 ，并利用kihR1)(，Rh()()kiziik1则有2 )()(1() )1(Tkk kzhR又设 ，可导出如下的加权最小二乘估计递推算法，记作(k1WRLS(Weighted Recursive Least Squares algorithm)， )1()()1)() )( kkkzRhR置 ，并1111 )()( kiiki hPP利用矩阵反演公式，111)()( ACBCACBA令增益矩阵为： )(kkhPK那么算法将演变成下面所示的另一种递推算法形式 )1()()( )(11)()()kk kzPhKPhI 说明上面给出的这两种加权最小二乘估计递推算法形式都是很常用的，其中一个式多用于理论分析，另一个比较适用于在线计算。如果取加权因子 ，则两种加权最小二乘递推算法就变成普通()k1的最小二乘递推算法，记作 RLS(Recursive Least Squares algorithm)。 矩阵 的递推关系P()k3矩阵 的递推关系：P()k，1)()(1)( kkkhPhh，1,)(k,1)()( kkkP,222 1)()( hPhh,)()(1 kk P 矩阵 的对称性P()P(k)是一个对称、非增的矩阵（为什么？）。为了保证计算过程中 P(k)矩阵始终是对称的，算法的第 3 式可采用下面的计算式，以保证不破坏 P(k)矩阵的对称性。 )(1)()1() kkk hK 矩阵 的误差传递P()在计算过程中，增益矩阵 K(k)可能产生误差，经过算法的迭代，造成误差传递和累积，最后将影响辨识算法的精度。为此，可采用下面的计算式，以截断误差的传递，保证辨识精度。 )()()(1()()( kkkk KPP II5.8.2 初始值的选择递推算法的初始值一般可取4P(),02aI其中 为充分大实数， 为充分小实向量，这是因为：a kiki izik 111T1 )()0()()()0()( hhP显然，选择初始值时，必须使 都很小，接近于 0。P和5.8.3 P(k)矩阵的基本性质矩阵 P(k)具有如下一些基本性质： P(k)是对称、非奇异矩阵； ，其中 表minminmin()()PP1110k min示矩阵的最小特征值； ；likin()1 ；P()()mink 01 liW.Pk,05.8.4 残差与新息的关系残差 与新息 的关系：()k()zk)(1)(1kkzhP或 )( zk55.8.5 准则函数的递推计算准则函数 J(k)的递推计算式： )()(1)()112kkzhPh式中 ，是 k 时刻的新息，它与 k-1 时刻的参数()(kkzh估计值有关。5.8.6 递推算法的收敛性质定理 考虑最小二乘辨识问题，只有当噪声 n(k)为零均值白噪声时，递推算法给出的参数估计值 才是一致收敛的，即有()klimW.P1,0其中 为模型参数真值0定理的证明依靠以下一些事实： 由 ()()()kkknPK11可以得到 ()()()()i ijjik ijk Ph11 110和 ()()()()kakjnj21 ；limW.P1k,0 由于噪声 n(k)是白噪声，故有6. 0 )(E)()(E)(11)(1 inii inkkjnk ij hhhP定理的证明思路如下： 算法的伴随微分方程为(*)(Elim)( )()()(T1kzdkDDDDhGfRRf式中 。1ik 考虑到 n(k)是零均值白噪声，则微分方程(*)式的平衡点： D*0 构造微分方程(3-17) 式的 Lyapunov 函数Vkn()(,)(122E式中 DDkzk),(h 可以推导出 DDkd ,0)()( 2 可以得到微分方程的不变集为 ，吸收域 为全平面。C0A 微分方程的平衡点 就是辨识算法参数估值 的收敛点。D*0 ()k 微分方程 的收敛轨迹就是辨识算法 的渐近收敛路径。()5.9 最小二乘递推算法的逆问题辨识是在状态可测的情况下讨论模型的参数估计问题，滤波是在模型参数已知的情况下讨论状态估计问题，两者互为逆问题。75.10 最小二乘递推算法的几种变形最小二乘递推算法有多种不同的变形，常用的有七种情况： 基于数据所含的信息内容不同，对数据进行有选择性的加权； 在认为新近的数据更有价值的假设下，逐步丢弃过去的数据； 只用有限长度的数据； 加权方式既考虑平均特性又考虑跟综能力； 在不同的时刻，重调协方差阵 P(k)； 设法防止协方差阵 P(k)趋于零；5.10.1 选择性加权最小二乘法把加权最小二乘递推算法改写成 )1()()( 1)(1kk kzPhKPhI算法中引进加权因子，其目的是便于考虑观测数据的可信度选择不同的加权方式对算法的性质会有影响，下面是几种特殊的选择： 一种有趣的情况是 取得很大，在极限情况下，算法就退化()k成正交投影算法。也就是说，当选择 0)(1)(,0)(kkhP构成了正交投影算法 )1()()( )()()1()kkzPhKP I8算法初始值取 及 (任定值)，且当P()0I时，令 。1)(kkhh Kk0 第种加权因子的选择显然是一种极端情况，算法的鲁棒性比较差。为了使算法具有较好的鲁棒性，可把第种加权因子的选择修改为 )(1)(,)(21kkkhP其中 是指定的阀值。这时算法对数据作了不同的加权，但120,不排斥任何数据 按下式选择加权因子，意味着它是过去数据信息量的一种度量 0)(,00)(,1)(kkkhhP 如果由噪声、建模不准确等因素引起的误差上界已知，则可按下式选择加权因子 0)(1)(1,0)()(,)( 22kkzkkhP5.10.2 依模型阶次的递推算法考察模型： )()()(11 kvuzBkzA其中 为零均值的白噪声且：)(kv nzbzbzBaa 211)(记：9)(,2),1( , 1LzzbabaL nnn 当模型为 阶时，我们有 LnLnnzHPzH)(1其中 )()()2()()1()( 20)1()()()()0()( nLuzLuzLuz zzzzHn 当模型为 阶时，我们有 LnLnnn zHPzH1111 )( X)1()1()()(nLunzzXn 因此有 nnnnn QPXHHP 111)(其中 nnXQP1)(10由分块矩阵求逆公式，有 nnnARPP1其中 1)(nnPQA有此可得 )(1 nLnLnnn HzXA
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