14_5042182_17.长方体模型中的直角四面体

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 长方体模型中的直角四面体 模型 解题法 之 五 以 长 方体 的顶点为顶点的四面体中 ,存在一个顶点上的三条棱两两互相垂直的四面体 ,我们 称该 四面体 为直角四面体 ;我们把以多面体的部分顶点为顶点构成的几何体叫做的子体 ,叫做的母体 ;利用母体去研究子体是模型解题法的主要 思想 . 母题结构 :在直角四面体 ,两互相垂直 ,PA=a,b,PC=c,则 : (位置关系 ) 锐角三角形 ; 顶点 P 在平面 的 射影是 垂心 ; (度量结论 ) 顶点 P 到平面 距离 d 满足21d=21a+21b+21c; (成角结论 ) 设侧棱 底面 成的角分别为、 ,则 1; 设侧面 底面 成分别为、 ,则 1; (外接球 ) 直四面体 接球的球心 O 与 边中点的连线垂直于相应的侧面 ; 外接球半径 R=21222 . 母题 解 析 : 由 a2+C2=b2+A2=c2+ 锐角 ,同理 : 是锐角 设 顶点 ,则 面 理 :H 由 1141=41(a2+b2+ 由 111d=2222421a+21b+21c; 由 ad,bd,1a+21b+21c)=1; 作 ,则 = ,同理 :, 1; 由 球心 O 是 母体 长 方体 的 中心 正确 . 子题类型 :(2005 年第 十 六 届“希望杯”全国数学邀请赛高 二 试题 )三棱锥的三个侧面都是直角三角形 ,且三个直角的顶点恰是三棱锥的顶点 ,则其底面一定是 ( ) (A)直角三角形 (B)钝角三角形 (C)锐角三角形 (D)等边三角形 解析 :由 三棱锥的三个侧面都是直角三角形 三棱锥 是 直角四面体 C). 点评 :本题曾出现于 1979年全国高考试题 :设三棱锥 00,求证 : 锐角三角形 . 子题类型 :(2010 年 江 西 高考试题 )如图 ,在三棱锥 ,三条棱 B,两垂直 , 且 B别经过三条棱 B,一个截面平分三棱锥的体积 ,截面面积依次为 2,则 2, . 解析 :补形为长方体如图 ,不妨设 OA=a,OB=b,OC=c,则 abc;若 过 截面平分三棱锥的体积 , 则 该 截面 平分 面积 截面 过 中点 D 1122 1a 22 =212222 ; 同理可得 12222 ,12222 2点评 :直角四面体中的度量结论源自于其位置关系 ,尤其是其中的垂 直 关系 ,依托其母体可直 观呈现 垂 直 关系 . 子题类型 :(2007 年全 国高中数学联赛吉林 初赛试题 )已知 S 三条棱两两互相垂直的三棱锥 ,O 为底面 一点 ,若 , , ,那么 取值范围是 . 解析 :过 O 分别作与 直的平面 ,得到一个长方体 ,且 长方体的 对角线 ,所以 1,则 2同理 : 22故 2 2 . 点评 :过 A、 直的平面 ,作长方体 ,利用长方体 (直角四面体 )的 成角结论是解答本题的关键 . 1.(1986年全国高考试题 )在正方形 E、 12现在沿 使 重合后的点记为 在四面体 有 ( )(A) (B) (C) (D) 2.(1988年 上海市高中数学竞赛 (新知杯 )试题 )设点 E、 C、 将 E、 使 B、 C、 a,则三棱 锥 P . 3.(2003 年全国高考题 )在平面几何中 ,有勾股定理 :“设 B,相垂直 ,则 ;拓展到空间 ,类比平面几何的勾股定理 ,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系 ,可以得出的正确结论是 :“设三棱锥 三个侧面两相互垂直 ,则 ” . 4.(2004年全 国高中数学联赛吉林 初赛试题 )已知 D,沿 折成一个直二面角 B,此时 , 41,则 . 5.(2010 年全 国高中数学联赛 黑龙江 初赛试题 )空间中一点 P 到三条两两垂直的射线 B,距离分别为 3 ,2, 5 ,且垂足分别为 1,三棱锥 ) (A) 5 (B)26(C) 3 (D)366.(1993 年第四届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题 )三棱锥 ,00,M 为底面 的任意一点 , , ,36,66,则 值是 ( ) (A)300 (B)450 (C)600 (D)750 7.(1998 年第 九 届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题 )三棱锥 ,00,D 为底面 的一点 ,50,00,则 余弦值为 . 8.(2010年全 国高中数学联赛 黑龙江 初赛试题 )将边长为 2的正 三棱锥 . 由四面体 直角 四面体 A). 由 三棱锥 P直 三棱锥 V=61(2a)2a=243a. 由 由 00- 1 50或 750. 补形为长方体 ,设 B,长度分别为 a,b,c,则 a2+,b2+,c2+ V= (D).