14_5042188_1.聚焦高考中线性回归试题的类型

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 聚焦高考中线性回归 试题 的 类型 回归分析试题 的 解题程序 回归分析问题有线性回归问题和非线性回归问题 ,着意于 回归分析 的 考查 是 课标全 国卷中 体现 统计思想 的 重要方式 ;回归分析 试题已成为近几年高考的一大亮点 ,归纳 回归 分析 试题的解题程序就十分必 要 和紧 迫 . 母题结构 :己知 变量 x与 x1,(x2, ,(xn,求 x与 归方程 ,并解决相关 问题 . 解 题 程序 : 利用 散点图 ,直观判断 回归方程 y=a+bf(x)的 基本 类型 ;如果 f(x)=x,即 变量 x与 性 相关 ,或直接求 线性回归方程 ;或对原始数椐处理后 ,求 线性回归方程 ;如果 f(x) x,即 变量 x与 性 相关 ,首先 使用换元 t=f(x),把 原始数椐 (xi,为 (ti,并由此求 变量 t与 性回归方程 ,进而得到 x与 归方程 ; 由 x与 解决相关 问题 . 子题类型 :(2007 年广东高考试题 )下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨 )与相应的生产能耗 y(吨标准煤 )的几组对照数据 . ( )请画出上表数据的散点图 ; ( )请根据上表提供的数据 ,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y=b x+ ( )己知该厂技改前 100吨甲产品的生产能耗为 90吨标准煤 )求出的线性回归方程 ,预测生产 100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参考数值 :3 3+5 4+6 解析 :( )由题中所给数据 ,可得点 (3,(4,3),(5,4),(6,在平面直角坐 标系中 ,描出上述各点 ,即得散点图 : ( )由 x =41(3+4+8+6)=4.5,y =41(+4+2+42+52+62=86,3 3+ 5 4+6 41224144i ii =y x =线性回归方程是 y= ( )由 ( )的回归方程及技 改前生产 100 吨甲产品的生产能耗 ,得降低的生产能耗为 90-(100+ ). 点评 :线性回归中 ,求线性回归方程 x 的系数 b 是的重点 ,也是难点 ,教材中给出两个公式 ni )( (称为公式 )和 ni 为公式 ),实践证明 :若 对相关数据不处理 ,则 使用公式比公式的运算量小 ;若 对相关数据进行处理 ,则 使用公式 ;使 用如下性质 :回归直线 y=b x+过样本中心点 (x ,y ),求 处理 子题类型 :(2011 年安徽 高考试题 )某地最近十年粮食需求量逐年上升 ,下表是 部分 统计数据 : ( )利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 bx+a; ( )利用 ( )中所求出的直线方程预测该地 2012 年的粮食需求量 . 温馨提示 :答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明 . 解析 : (法一 )( )由 x =2006,y =b=22222 420)2()4( ) 02 8 6(4) 02 7 6(2) 02 5 7(0) 02 4 6)(2() 02 3 6(4 = a=y ( )在 ,令 x=2012 得 预测该地 2012 年的粮食需求量是 吨 ; (法二 )( )因年份 x 的平均值是 2006,y 需求量的平均值是 表中数据处理如下 : 由此得 x =0,y =b=222222 05420)2()4( 264162)3(0)14)(2()24)(4( = a=y =y =+260=6.5( )在 y =+令 x=2012得 y =y +260=预测该地 2012年的粮食需求量是 点评 :问题 ( )的解法一是直接使用公式 ,解法二 是对相关数据处理后 ,再使用公式 ,简化了计算 ,减少了计算量 ,降低了错误的概率 ,解法二显然优于解法一 ,解法二 用到了基本结论 :x1,(x2, ,(xn, ,数据 x1,x2, , 去同一 个数 X,数据 y1,y2, , 去同一 个数 Y,回归方程中的 变 (实质上 ,还有如下结论 :n 个样本点(x1,(x2, ,(xn, ,数据 x1,x2, ,同一 个数 X,数据 y1,y2, ,同一 个数 Y,相关系数 不 变 ,从而 避开了大数据的计算 ,体现 了 数据处理的能力 . 子题类型 :(2015 年课标 高考试题 )某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费 ,需了解年宣传费 x(单位 :千元 )对年销售量 y(单位 :t)和年利润 z(单位 :千元 )的影响 ,对近 8年的宣传费 yi(i=1,2, ,8)数据作了初步处理 ,得到下面的散点图及一些统计量的值 . 表中 wi=ix,w =81 81i ( )根据散点图判断 ,y=a+ y=c+d x ,哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型 (给出判断即可 ,不必说明理由 ); ( )根据 ( )的判断结果及表中数据 ,建立 y 关于 x 的回归方程 ; ( )已知这种产品的年利润 z与 x,y 的关系为 z=据 ( )的结果回答下列问题 : (i)当年宣传费 x=49 时 ,年销售量及年利润的预报值时多少？ (年宣传费 x 为何值时 ,年 利润的预报值最大？ 附 :对于一组数据 (u1,(u2, ,(un,其回归线 v= + u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 : = )( , =v - u . 解析 :( )由 散点图 可判断 :y=c+d x 适合作为年销售 y 关于年宣传费用 x 的回 归方程类型 ; ( )令 w= x ,由 81281)()(ii 8 y w =563y 关于 w 的回归方程 为 8w y 关于 x 的回归方程 为 8 x ; ( )(i)当 x=49 时 ,年销售量 y 的预报值 8 49 =年利润 z 的预报值 年利润 z 的预报值 x=8 x )x+13.6 x 当 x = x= ,得 最大 值 . 点评 :对于非线性回归问题 ,先根据试验数据作散点图 ,由散点图选择 与 这些散点拟合得最好的函数 t=f(x),并把原始数据 (xi,由 t=f(x)转化为 (ti,此时 ,y 与 即把问题转化为线性回归问题 ,使其得到解决 ; 采用适当的变量代换 t=f(x),是把非线性回归问题转变为线性回归问题的有力方法 ,而变量代换 t=f(x),可根据 散点图 ,利用拟合 思 想 ,先确定函数模型 ,y=a+bf(x),再确定 变量代换 t=f(x). : 1.(2012 年 福建 高考试题 )某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价 ,将该产品按事先拟定的价格进行试销 ,得到如 下数据 : ( )求回归直线方程 bx+a,其中 b=a=y ( )预计在今后的销售 中 ,销量与单价仍然服从 ( )中的关系 , 且该产品的成本是 4 元 /件 ,为使工厂获得最大利润 ,该产品的单价应定为多少元？ (利润 =销售收入 . 2.(2013 年 重 庆 高考试题 )从某居民区随机抽取 10 个家庭 ,获得第 i 个家庭的月收入 位 :千元 )与月储蓄 位 :千元 )的数据资料 ,算得101i 0,101i 0,101i 84,101 2i 20. ( )求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y=bx+a; ( )判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关 ; ( )若该居民区某家庭月收入为 7 千元 ,预测该家庭的月储蓄 . 附 :线性回归方程 y bx+a 中 ,b= ni a=y 其中 x ,y 为样本平均值 . 3.(2014 年 课标 高考试题 )某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y(单位 :千元 )的数据如下表 : ( )求 y 关于 t 的线性回归方程 ; ( )利用 ( )中的回归方程 ,分析 2007 年至 2013 年该 地区农村居民家庭人均 纯收入的变化情况 ,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入 . 4.(2015 年 重庆 高考试题 )随着我国经济的发展 ,居民的储蓄存款逐年增长 年底余额 )如下表 : ( )求 y 关于 t 的回归方程 ; ( )用所求回归方程预测该地区 2015 年 (t=6)的人民币储蓄存款 . 附 :回归方程 b t+ , ni )( = ni y x . ( )由 x =61(8+)=8.5,y =61(90+84+83+80+75+68)=80 a=y 250 50; ( )工厂获得利润 z=(y=30当 x=433时 , ) 该产品的单价应定为 时 ,工厂获得的利润最大 . ( )由101i 0,101i 0 x =8,y =2 b= ni 2810720 2810184 =a=y y=( )由 b= x与 ( )将 x 7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄 y= 元 ). ( )由 t =71(1+2+3+4+5+6+7)=4,y =71( ni )( =y x =线性回归方程为 :( )由 ( )中