2013黄冈市三月调考数学(理)试题及答案 2

黄冈市 2013 年高三年级 3 月份质量检测 数学试题（理科） 第卷（选 择题 共 50 分） 一、 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四 个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1复平面内，复数 2013iz，则复数 z的共轭复数 z对应的点的象限 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四 象限 2如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 A3 B2 C1 D.0 3如图 2 所示的韦恩图中，A、B 是两非零集合，定义集合 AB为阴影 部分表示的集合，若 2,|ln(),|,0xxyRxyxye， 则 为 A. |02 B. |1或 C. |1xx或 D. |02xx或 4若设 ,mn是两条不同的直线， ,是三个不同的平面，下列四个命题 中假 命题的是 A. 若 ,/则 n B.若 /,mn则 C.若 /l则 l D. 若 /,则m 5高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲，乙相邻，则甲丙相邻 的概率为 A. 10 B. 14 C. 310 D. 25 6有以下命题：命题“ 2,xR”的否定是： “ 2,0xR”； 已知随机变量 服从正态分布 ()N， (4).79,P则 ().1P； 函数 13()()2xfx 的零点在区间 1(,)32内；其中正确的命题的个数为 A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 7已知 A，B ，C，D 是函数 sin()0,)2yx一个周 期内的图象上的四个点，如图所示， ,6AB 为 y轴上的点，C 为图像 上的最低点，E 为该函数图像的一个对称中心，B 与 D 关于点 E 对称， 在 x轴上的投影为 12，则 ,的值为 A. ,3 B. 6 C. 1,23 D. 6 8已知 O 为坐标原点，双曲线 21xyab(0,)b 的右焦点 F， 以 OF 为直径作 圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点 A、B，若 ()0OA，则双 曲线的离心率 e为 A.2 B.3 C. 2 D. 3 9等差数列 na前 项和为 nS，已知 106106()(),aa 3108108()2(),a 则 A. 3106,S B. 20131086,S C. 2018a D. 10a 10已知 O 是锐角三角形ABC 的外接圆的圆心，且 ,A若coss2,iniBCAmA 则 A B. cos C. tan D.不能确定 第卷（非选择题 共 100 分） 二、 填空题：本大题共 6 小题，考生共需作答 5 小题。每小题 5 分，共 25 分。 请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不 得分. （一） 必考题（1114 题） 11某校共有学生 1000 名，其中高一年级有 380 人，高二年级男生有 180 人，已知在全 校学生中制抽取 1 名，抽到高二年级的女生的概率为 0.19，现采取分层抽样（按年级分层）在 全校抽取 100 人，则应在高三年级抽取的人数是 . 12已知 12(),axd则 61()2ax 展开式中的常数项为 . 13设 P 是不等式组 ,013yx 表示的平面区域内的任意一点，向量 (1,)m，(2,1)n ，若 Omn（ ,为实数） ，则 2的最大值为 。 14已知椭圆 21(0),(,)xyabPxyQ 是椭圆上两点，有下列三个不等式 22();ab 22();xy 21ab.其中不等式恒成立的序号是 .（填 所有正确命题的序号） （二） 选考题（请考生在第 15、16 题两题中任选一题作答，如果全选，则按第 15 题结 果计分） 15 （几何证明选讲）已知 C 点在O 直径 BE 的延长线上， CA 切O 于 A 点 ，若 ABAC ，则 AB . 16 （坐标系与参数方程）曲线 C1 的极坐标方程为 2cosin,曲线 C2 的参数方程为 31xty，以极点为原点，极轴为 x轴正半轴建立直角坐 标系，则曲线 C1 上的点与曲线 C2 上的点最近的距离为 . 三、 解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 17 （本小题满分 12 分）已知向量 2(3sin,1)(cos,).44xxm记 (fxmn. （）若 3()2f，求 cos)的值； （）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、 b、 ，且满足 (2)cosaBbC，若 13()2fA，试判断ABC 的形状. 18 （本小题满分 12 分）已知 na是一个公差大于 0 的等差数列，且满足36275,16a . （）求数列 n的通项公式； （）令 *214()nbNa，记数列 nb的前 项和为 nT，对于任意的 *nN， 不等式 10nmT恒成立，求实数 的最小值. 19 （本小题满分 12 分） “蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立 开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率 为 13，乙组能使生物成活的概率为 12，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成 活，则称该次试验是失败的. （）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率. （）如果乙小组成功了 4 次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰 有两次连续失败的概率. （）若甲乙两小组各进行 2 次试验，设试验成功的总次数为 ，求 的期望. 20 （本小题满分 12 分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形， 侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形. （）求证：BN平面 C1B1N； （）设 为直线 C1N 与平面 CNB1 所成的角，求 sin的值； （）设 M 为 AB 中点，在 BC 边上找一点 P，使 MP平 面 CNB1，并求 BPC的值. 21 （本小题满分 13 分）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆 的方程为21(0),xyab 它的离心率为 12，一个焦点是(-1,0)，过直线 4x上一点引椭圆 的两 条切线，切点分别是 A、B. ()求椭圆 的方程； ()若在椭圆 21(0)xyab 上的点 0(,)xy处的切线方程是 021xyab.求 证：直线 AB 恒过定点 C，并求出定点 C 的坐标； ()是否存在实数 使得 |ABA恒成立？(点 C 为直线 AB 恒过的 定点)若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 22 （本小题满分 14 分）设 ()(1)xfea. ()若 0,()afx对一切 xR恒成立，求 a的最大值 . （）设 xage，且 1212(,)(,)AyBx是曲线 ()ygx上任意两点， 若对任意的 1，直线 AB 的斜率恒大于常数 m，求 的取值范围； （）求证： *3(2)()nnneN . 黄冈市 2013 年高三质量检 测数学试题答案（理科） 一、选择题 ABDCB AACBA 二、11. 25 12. -160 13. 5 14. 15. 3 16. 827 17. 解： 231()3sincosincos442xxxf1in26x 2分 （I） 由已知 f()得 i6，于是 4,3k， 224133cos()cosk 6 分 （） 根据正弦定理知：s(sin)cosincsaBbCACBC 8 分12incoi)23A 13()2f 10 分 sin6263AA或 23A或 而 203A， 所以 3，因此 ABC 为等边三角形.12 分 18 （I）解：设等差数列 na的公差为 d，则依题设 d 0 由 a2+a716.得 176d 由 365,得 1(2)5 由得 1将其代入得 (3)1620d.即290d 14,2,1()n aan又 代 入 得 6 分 （）由（I）得 1- 142nab= 11n2n）（ ()()3T=1- 1 10nm恒成立 .010m m 的最小 值为 100 12 分 19.（ 1）甲小组做了三次实验，至少两次试验成功的概率为 )(AP 3 分 （2）乙小组在第 4 次成功前，共进行了 6 次试验，其中三次成功三次失败，且恰 有两次连续失败，其中各种可能的情况种数 124A, 因此所求的概率 )(BP= 3)(213 7 分 （3）由题意 的取值为 0,1,2,3,491)2(3)1(0(002CP0112) 31)2(3(10C202)3()( + 361)2(011 C6)2(3)(1212CP6)()4(02 10 分 故 的分布列为 0 1 2 3 4 P 936163543210E 12 分 20. 解：（1）证明该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直 角梯形， BA，BC，BB 1两两垂直。 2 分 以 BA，BC，BB 1分别为 zyx,轴建立空间直角坐标系，则 N（4,4,0） ，B 1（0, 8,0） ， C1（0,8,4） ，C（0,0,4） 1NB=（4,4,0）（-4,4,0）=- 16+16=0 1BN=（4,4,0）（0,0,4）=0 BNNB 1，BNB 1C1且 NB1与 B1C1相交 于 B1，BN平面 C1B1N； 4 分 （II）设 ),(2zyxn为平面 1的一个法向量， 则 210(,)4,)0nNxyzB 210,(,)(4,)xyznCN取 则 (4,2sin| |;316 8 分 （III）M（ 2,0,0）.设 P(0,0,a)为 BC 上一点,则 ),02(aMP, MP/平面 CNB1, .12,1(,02(2 anP 又 1/,CNBCNB平 面平 面 6 分, 当 PB=1 时 MP/平面 CNB1 3P 12 分（用几何法参照酙情给分。 ） 21.解：（I）设椭圆方程为 20xyab 的焦点是 1,0，故 1c，又 2a，所以2,3abc ，所以所求的椭圆 方程为 243xy . 4 分 （II）设切点坐标为 1,Axy, 2B,直线 l上一点 M 的坐标 4,t，则切线方程分别为143xy ， 243，又两切线均过点 M，即 12,13xyxy，即点 A,B 的坐标都适合方程 1txy，故直线 AB 的方程是 t，显然直线 3t恒过 点（1,0） ，故直线 AB 恒过定点 ,0C.9 分 （III）将直线 AB 的方程 13txy，代入椭圆方程，得23140ty ，即 22490tty， 所以 121267,tyt，不妨设 12,，221111993tACx y ，同 理 293tBCy ，12 分 所以 21212 212399Byyyttt22 22 26083 14479391tt tt t ， 即 43ACBC， 故存在实数 ，使得 ABC. 13 分 22.解：（）f（x）=e x-a（x+1）， f（x）=e x-a， 1 分 a 0， f（x）=e x-a=0 的解为 x=lna f（x） min=f（lna）=a-a（lna+1）=-alna ， 3 分 f（x）0 对一切 xR 恒成立， -alna0，alna0，a max=1 4 分 （II）设 21、 是任意的两实数，且 21xmxg12)( ，故 21(