广西对口升学基地版《2014年广西对口升学数学考试》圆的综合题

广西对口升学基地版2014 年广西对口升学数学考试圆 的综合题 出题：广西中职对口信息港 1、 （2013温州）在 ABC 中， C 为锐角，分别以 AB，AC 为直径作半圆，过点 B，A，C 作 ，如图所示若 AB=4，AC=2，S 1S2= ，则 S3S4 的值是（ ） A B C D 考点： 圆的认识 分析： 首先根据 AB、AC 的长求得 S1+S3 和 S2+S4 的值，然后两值相减即可求得结论 解答： 解： AB=4，AC=2， S1+S3=2，S 2+S4= ， S1S2= ， （ S1+S3）（S 2+S4）= （S 1S2）+ （S 3S4）= S3S4= ， 故选 D 点评： 本题考查了圆的认识，解题的关键是正确的表示出 S1+S3 和 S2+S4 的值 2、 （2013孝感）下列说法正确的是（ ） A 平分弦的直径垂直于弦 B 半圆（或直径）所对的圆周角是直角 C 相等的圆心角所对的弧相等 D 若两个圆有公共点，则这两个圆相交 考点： 圆与圆的位置关系；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理 分析： 利用圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识进行判断即可 解答： 解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误； B、半圆或直径所对的圆周角是直角，故本选项正确； C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误； D、两圆有两个公共点，两圆相交，故本选项错误， 故选 B 点评： 本题考查了圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识，牢记这些 定理是解决本题的关键 3、 （2013温州）一块矩形木板，它的右上角有一个圆洞，现设想将它改造成火锅餐桌桌面， 要求木板大小不变，且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线上木工师傅想了一个巧妙的办 法，他测量了 PQ 与圆洞的切点 K 到点 B 的距离及相关数据（单位：cm） ，从点 N 沿折线 NFFM（NFBC，FM AB）切割，如图 1 所示图 2 中的矩形 EFGH 是切割后的两块木板 拼接成符合要求的矩形桌面示意图（不重叠，无缝隙，不记损耗） ，则 CN，AM 的长分别 是 18cm、31cm 考点： 圆的综合题 分析： 如图，延长 OK 交线段 AB 于点 M，延长 PQ 交 BC 于点 G，交 FN 于点 N，设圆孔 半径为 r在 RtKBG 中，根据勾股定理，得 r=16（cm） 根据题意知，圆心 O 在 矩形 EFGH 的对角线上，则 KN=AB=42cm，OM=KM +r= CB=65cm则根据图中 相关线段间的和差关系求得 CN=QGQN=4426=18（cm） ， AM=BCPDKM=1305049=31（cm） 解答： 解：如图，延长 OK 交线段 AB 于点 M，延长 PQ 交 BC 于点 G，交 FN 于点 N 设圆孔半径为 r 在 RtKBG 中，根据勾股定理，得 BG2+KG2=BK2，即（13050 ） 2+（44+r） 2=1002， 解得，r=16（cm） 根据题意知，圆心 O 在矩形 EFGH 的对角线上，则 KN= AB=42cm，OM=KM+r= CB=65cm QN=KNKQ=4216=26（cm） ，KM =49（cm） ， CN=QGQN=4426=18（cm） ， AM=BCPDKM=1305049=31（cm） ， 综上所述，CN，AM 的长分别是 18cm、31cm 故填：18cm、31cm 点评： 本题以改造矩形桌面为载体，让学生在问题解决过程中，考查了矩形、直角三角形 及圆等相关知识，积累了将实际问题转化为数学问题经验，渗透了图形变换思想， 体现了数学思想方法在现实问题中的应用价值 4、 （2013 四川宜宾）如图，AB 是 O 的直径，弦 CDAB 于点 G，点 F 是 CD 上一点，且 满足 =，连接 AF 并延长交O 于点 E，连接 AD、DE ，若 CF=2，AF=3给出下列结论： ADFAED； FG=2；tan E= ； SDEF=4 其中正确的是 （写出所有正确结论的序号） 考点：相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理 分析：由 AB 是O 的直径，弦 CDAB，根据垂径定理可得： = ，DG =CG， 继而证得ADF AED； 由 =，CF=2 ，可求得 DF 的长，继而求得 CG=DG=4，则可求得 FG=2； 由勾股定理可求得 AG 的长，即可求得 tanADF 的值，继而求得 tanE= ； 首先求得ADF 的面积，由相似三角形面积的比等于相似比，即可求得ADE 的面 积，继而求得 SDEF=4 解答：解：AB 是O 的直径，弦 CDAB， = ，DG=CG， ADF=AED， FAD=DAE（公共角） ， ADFAED； 故正确； =，CF=2， FD=6， CD=DF+CF=8， CG=DG=4， FG=CGCF=2； 故正确； AF=3，FG=2 ， AG= = ， 在 RtAGD 中，tanADG = = ， tanE= ； 故错误； DF=DG+FG=6，AD= = ， SADF=DFAG=6 =3 ， ADFAED， =（ ） 2， =， SAED=7 ， SDEF=SAEDSADF=4 ； 故正确 故答案为： 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角 函数等知识此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用 5、(2013 年武汉)如图，在平面直角坐标系中，ABC 是O 的内接三角形，ABAC，点 P 是 AB 的中点，连接 PA，PB ，PC （1）如图，若BPC60，求证： APC3； （2）如图，若 254sinBP，求 Btan的值 解析： （1）证明：弧 BC弧 BC，BACBPC 60 又ABAC ，ABC 为等边三角形 ACB60，点 P 是弧 AB 的中点，ACP30 ， 又APC ABC60， AC 3AP （2）解：连接 AO 并延长交 PC 于 F，过点 E 作 EGAC 于 G，连接 OC ABAC，AF BC，BFCF 点 P 是弧 AB 中点，ACP PCB，EG EF BPCFOC， sinFOCsinBPC= 254 设 FC 24a，则 OCOA25a， OF7a，AF32a 在 Rt AFC 中，AC 2AF 2+FC2，AC40a 在 Rt AGE 和 RtAFC 中，sinFAC ACFEG， aEG4032，EG 12a tanPAB tanPCB= 214CFE O P 22 CB A 22 O P CB A G E F A B C P O 222 6、 （2013常州）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（ 6，0） ，点 B（0，6） ，动点 C 在 以半径为 3 的O 上，连接 OC，过 O 点作 ODOC，OD 与O 相交于点 D（其中点 C、O、D 按逆时针方向排列） ，连接 AB （1）当 OCAB 时，BOC 的度数为 45或 135 ； （2）连接 AC，BC，当点 C 在O 上运动到什么位置时， ABC 的面积最大？并求出 ABC 的面积的最大值 （3）连接 AD，当 OCAD 时， 求出点 C 的坐标；直线 BC 是否为O 的切线？请作出判断，并说明理由 考点： 圆的综合题3718684 专题： 综合题 分析： （1）根据点 A 和点 B 坐标易得OAB 为等腰直角三角形，则OBA=45 ，由于 OCAB，所以当 C 点在 y 轴左侧时，有 BOC=OBA=45；当 C 点在 y 轴右侧时， 有BOC=180 OBA=135； （2）由OAB 为等腰直角三角形得 AB= OA=6 ，根据三角形面积公式得到当 点 C 到 AB 的距离最大时， ABC 的面积最大，过 O 点作 OEAB 于 E，OE 的反向 延长线交O 于 C， 此时 C 点到 AB 的距离的最大值为 CE 的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出 OE，然后计算ABC 的面积； （3）过 C 点作 CFx 轴于 F，易证 RtOCFRtAOD，则 = ，即 = ， 解得 CF= ，再利用勾股定理计算出 OF= ，则可得到 C 点坐标； 由于 OC=3，OF= ，所以COF=30 ，则可得到BOC=60 ，AOD=60 ，然后根 据“SAS”判断BOC AOD，所以 BCO=ADC=90，再根据切线的判定定理可确 定 直线 BC 为O 的切线 解答： 解：（1）点 A（6，0） ，点 B（0，6） ， OA=OB=6， OAB 为等腰直角三角形， OBA=45， OCAB， 当 C 点在 y 轴左侧时， BOC=OBA=45；当 C 点在 y 轴右侧时，BOC=180 OBA=135； （2）OAB 为等腰直角三角形， AB= OA=6 ， 当点 C 到 AB 的距离最大时， ABC 的面积最大， 过 O 点作 OEAB 于 E，OE 的反向延长线交O 于 C，如图，此时 C 点到 AB 的距 离的最大值为 CE 的长， OAB 为等腰直角三角形， AB= OA=6 ， OE= AB=3 ， CE=OC+CE=3+3 ，ABC 的面积= CEAB= （3+3 ）6 =9 +18 当点 C 在O 上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时， ABC 的面积最大， 最大值为 9 +18 （3）如图，过 C 点作 CFx 轴于 F， OCAD， ADO=COD=90， DOA+DAO=90 而DOA+COF=90 ， COF=DAO， RtOCFRtAOD， = ，即 = ，解得 CF= ， 在 RtOCF 中，OF= = ， C 点坐标为（ ， ） ； 直线 BC 是 O 的切线理由如下： 在 RtOCF 中，OC=3，OF= ， COF=30， OAD=30， BOC=60，AOD=60， 在 BOC 和AOD 中 ， BOCAOD（SAS ） ， BCO=ADC=90， OCBC， 直线 BC 为O 的切线 点评： 本题考查了圆的综合题：掌握切线的判定定理、平行线的性质和等腰直角三角形的 判定与性质；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算 7、 （2013宜昌）半径为 2cm 的与 O 边长为 2cm 的正方形 ABCD 在水平直线 l 的同侧， O 与 l 相切于点 F，DC 在 l 上 （1）过点 B 作的一条切线 BE，E 为切点 填空：如图 1，当点 A 在O 上时，EBA 的度数是 30 ； 如图 2，当 E，A，D 三点在同一直线上时，求线段 OA 的长； （2）以正方形 ABCD 的边 AD 与 OF 重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图 3） ， 至边 BC 与 OF 重合时结束移动，M，N 分别是边 BC，AD 与O 的公共点，求扇形 MON 的面积的范围 考点： 圆的综合题 分析： （1）根据切线的性质以及直角三角形的性质得出EBA 的度数即可； 利用切线的性质以及矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出 = ，进而求 出 OA 即可； （2）设MON=n，得出 S 扇形 MON= 22= n 进而利用函数增减性分析 当 N，M，A 分别与 D，B，O 重合时，MN 最大，当 MN=DC=2 时，MN 最小，分 别求出即可 解答： 解：（1）半径为 2cm 的与 O 边长为 2cm 的正方形 ABCD 在水平直线 l 的同 侧，当点 A 在O 上时，过点 B 作的一条切线 BE，E 为切点， OB=4，EO=2，OEB=90， EBA 的度数是：30； 如图 2， 直线 l 与 O 相切于点 F， OFD=90， 正方形 ADCB 中， ADC=90， OFAD， OF=AD=2， 四边形 OFDA 为平行四边形， OFD=90， 平行四边形 OFDA 为矩形， DAAO， 正方形 ABCD 中，DAAB， O， A， B 三点在同一条直线上； EAOB， OEB=AOE， EOABOE， = ， OE2=OAOB， OA（2+OA）=4， 解得：OA= 1 ， OA0 ， OA= 1； 方法二： 在 RtOAE 中，cos EOA= = ， 在 RtEOB 中，cosEOB= = ， = ， 解得：OA= 1 ， OA0 ， OA= 1； 方法三： OEEB，EAOB ， 由射影定理，得 OE2=OAOB， OA（2+OA）=4， 解得：OA= 1 ， OA0 ， OA= 1； （2）如图 3，设MON=n，S 扇形 MON= 22= n（cm 2） ， S 随 n 的增大而增大，MON 取最大值时，S 扇形 MON 最大， 当MON 取最小值时， S 扇形 MON 最小， 过 O 点作 OKMN 于 K， MON=2NOK，MN=2NK， 在 RtONK 中，sinNOK= = ， NOK 随 NK 的增大而增大， MON 随 MN 的增大而增大， 当 MN 最大时 MON 最大，当 MN 最小时MON 最小， 当 N，M，A 分别与 D，B，O 重合时，MN 最大，MN=BD， MON=BOD=90，S 扇形 MON 最大 =（cm 2） ， 当 MN=DC=2 时，MN 最小， ON=MN=OM， NOM=60， S 扇形 MON 最小 =（cm 2） ， S 扇形 MON 故答案为：30 点评： 此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质和函数增减性等知识， 得出扇形 MON 的面积的最大值与最小值是解题关键 8、 （2013包头）如图，已知在 ABP 中，C 是 BP 边上一点，PAC=PBA，O 是 ABC 的外接圆，AD 是 O 的直径，且交 BP 于点 E （1）求证：PA 是 O 的切线； （2）过点 C 作 CFAD，垂足为点 F，延长 CF 交 AB 于点 G，若 AGAB=12，求 AC 的 长； （3）在满足（2）的条件下，若 AF：FD=1 ：2，GF=1，求O 的半径及 sinACE 的值 考点： 圆的综合题3718684 分析： （1）根据圆周角定理得出ACD=90以及利用PAC= PBA 得出CAD+ PAC=90 进而得出答案； （2）首先得出CAG BAC，进而得出 AC2=AGAB，求出 AC 即可； （3）先求出 AF 的长，根据勾股定理得：AG= ，即可得出 sinADB= ，利用ACE=ACB= ADB，求出即可 解答： （1）证明：连接 CD， AD 是 O 的直径， ACD=90， CAD+ADC=90， 又PAC=PBA，ADC=PBA ， PAC=ADC， CAD+PAC=90， PAOA，而 AD 是O 的直径， PA 是 O 的切线； （2）解：由（1）知，PA AD，又CF AD， CFPA， GCA=PAC，又PAC= PBA， GCA=PBA，而 CAG=BAC， CAGBAC， = ， 即 AC2=AGAB， AGAB=12， AC2=12， AC=2 ； （3）解：设 AF=x，AF ：FD=1：2，FD=2x ， AD=AF+FD=3x， 在 RtACD 中，CFAD，AC 2=AFAD， 即 3x2=12， 解得；x=2， AF=2，AD=6，O 半径为 3， 在 RtAFG 中，AF=2，GF=1， 根据勾股定理得：AG= = = ， 由（2）知，AG AB=12， AB= = ， 连接 BD， AD 是 O 的直径， ABD=90， 在 RtABD 中，sinADB= ，AD=6 ， sinADB= ， ACE=ACB=ADB， sinACE= 点评： 此题主要考查了圆的综合应用以及勾股定理和锐角三角函数关系等知识，根据已知 得出 AG 的长以及 AB 的长是解题关键 9、 （2013荆门）如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2，点 M 是 BC 的中点，P 是线段 MC 上 的一个动点（不与 M、C 重合） ，以 AB 为直径作 O，过点 P 作O 的切线，交 AD 于点 F，切点为 E （1）求证：OFBE； （2）设 BP=x，AF=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）延长 DC、FP 交于点 G，连接 OE 并延长交直线 DC 与 H（图 2） ，问是否存在点 P， 使EFOEHG（E、F、O 与 E、H 、G 为对应点）？如果存在，试求（2）中 x 和 y 的值； 如果不存在，请说明理由 考点： 圆的综合题3718684 分析： （1）首先证明 RtFAORtFEO 进而得出AOF=ABE，即可得出答案； （2）过 F 作 FQBC 于 Q，利用勾股定理求出 y 与 x 之间的函数关系，根据 M 是 BC 中点以及 BC=2，即可得出 BP 的取值范围； （3）首先得出当EFO= EHG=2EOF 时，即EOF=30时，Rt EFORtEHG，求 出 y=AF=OAtan30= ，即可得出答案 解答： （1）证明：连接 OE FE、FA 是O 的两条切线 FAO=FEO=90 在 RtOAF 和 RtOEF 中， RtFAORtFEO（HL） ， AOF=EOF= AOE， AOF=ABE， OFBE， （2）解：过 F 作 FQBC 于 Q PQ=BPBQ=xy PF=EF+EP=FA+BP=x+y 在 RtPFQ 中 FQ2+QP2=PF2 22+（x y） 2=（x+y ） 2 化简得： ， （1x2） ； （3）存在这样的 P 点， 理由：EOF= AOF， EHG=EOA=2EOF， 当EFO= EHG=2EOF 时， 即EOF=30 时， RtEFORtEHG， 此时 RtAFO 中， y=AF=OAtan30= ， 当 时，EFO EHG 点评： 此题主要考查了圆的综合应用以及全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定 与性质等知识，得出 FQ2+QP2=PF2 是解题关键 10、 （2013莱芜）如图， O 的半径为 1，直线 CD 经过圆心 O，交O 于 C、D 两点，直 径 ABCD，点 M 是直线 CD 上异于点 C、O、D 的一个动点，AM 所在的直线交于 O 于 点 N，点 P 是直线 CD 上另一点，且 PM=PN （1）当点 M 在 O 内部，如图一，试判断 PN 与O 的关系，并写出证明过程； （2）当点 M 在 O 外部，如图二，其它条件不变时， （1 ）的结论是否还成立？请说明理 由； （3）当点 M 在 O 外部，如图三， AMO=15，求图中阴影部分的面积 考点： 圆的综合题 分析： （1）根据切线的判定得出PNO=PNM+ ONA=AMO+ONA 进而求出即可； （2）根据已知得出PNM+ONA=90，进而得出 PNO=18090=90即可得出答案； （3）首先根据外角的性质得出AON=30 进而利用扇形面积公式得出即可 解答： （1）PN 与 O 相切 证明：连接 ON， 则ONA=OAN， PM=PN，PNM= PMN AMO=PMN，PNM=AMO PNO=PNM+ONA=AMO+ONA=90 即 PN 与 O 相切 （2）成立 证明：连接 ON， 则ONA=OAN， PM=PN，PNM= PMN 在 RtAOM 中， OMA+OAM=90， PNM+ONA=90 PNO=18090=90 即 PN 与 O 相切 （3）解：连接 ON，由（2）可知ONP=90 AMO=15， PM=PN，PNM=15，OPN=30， PON=60， AON=30 作 NEOD，垂足为点 E， 则 NE=ONsin60=1 = S 阴影 =SAOC+S 扇形 AONSCON=OCOA+ CONE =11+ 1 =+ 点评： 此题主要考查了扇形面积公式以及切线的判定等知识，熟练根据切线的判定得出对 应角的度数是解题关键 11、 （2013遂宁）如图，在 O 中，直径 ABCD，垂足为 E，点 M 在 OC 上，AM 的延 长线交O 于点 G，交过 C 的直线于 F， 1=2，连结 CB 与 DG 交于点 N （1）求证：CF 是O 的切线； （2）求证：ACM DCN； （3）若点 M 是 CO 的中点，O 的半径为 4，cos BOC= ，求 BN 的长41 考点： 圆的综合题 分析： （1）根据切线的判定定理得出1+ BCO=90，即可得出答案； （2）利用已知得出3=2，4= D，再利用相似三角形的判定方法得出即可； （3）根据已知得出 OE 的长，进而利用勾股定理得出 EC，AC，BC 的长，即可得 出 CD，利用（2）中相似三角形的性质得出 NB 的长即可 解答： （1）证明：BCO 中，BO=CO， B=BCO， 在 RtBCE 中， 2+B=90， 又1=2，1+BCO=90，即FCO=90， CF 是O 的切线； （2）证明：AB 是O 直径， ACB=FCO=90， ACBBCO=FCOBCO， 即3=1， 3=2， 4=D，ACMDCN； （3）解： O 的半径为 4，即 AO=CO=BO=4， 在 RtCOE 中，cosBOC= ，1 OE=COcosBOC=4 =1， 由此可得：BE=3 ，AE=5 ，由勾股定理可得： CE= = = ， AC= = =2 ， BC= = =2 ， AB 是O 直径，ABCD ， 由垂径定理得：CD=2CE=2 ， ACMDCN， = ， 点 M 是 CO 的中点，CM=AO=4=2， CN= = = ， BN=BCCN=2 = 点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定和勾股定理的应用等知识， 根据已知得出ACM DCN 是解题关键 12、 （2013 济宁）如图 1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P 是反比例函数 y= （x0）图象上任意一点，以 P 为圆心，PO 为半径的圆与坐标轴分别交于点 A、B （1）求证：线段 AB 为 P 的直径； （2）求AOB 的面积； （3）如图 2，Q 是反比例函数 y= （x0）图象上异于点 P 的另一点，以 Q 为圆心，QO 为半径画圆与坐标轴分别交于点 C、D 求证：DOOC=BOOA 考点：反比例函数综合题 分析：（1）AOB=90，由圆周角定理的推论，可以证明 AB 是P 的直径； （2）将AOB 的面积用含点 P 坐标的表达式表示出来，容易计算出结果； （3）对于反比例函数上另外一点 Q，Q 与坐标轴所形成的 COD 的面积，依然不变，与 AOB 的面积相等 解答：（1）证明：AOB=90，且 AOB 是P 中弦 AB 所对的圆周角， AB 是P 的直径 （2）解：设点 P 坐标为（m ，n） （m 0，n0） ， 点 P 是反比例函数 y= （x0）图象上一点，mn=12 如答图，过点 P 作 PMx 轴于点 M，PNy 轴于点 N，则 OM=m，ON=n 由垂径定理可知，点 M 为 OA 中点，点 N 为 OB 中点， OA=2OM=2m，OB=2ON=2n， SAOB=BOOA=2n2m=2mn=212=24 （3）证明：若点 Q 为反比例函数 y= （x0）图象上异于点 P 的另一点， 参照（2） ，同理可得：S COD=DOCO=24， 则有：S COD=SAOB=24，即 BOOA=DOCO， DOOC=BOOA 点评：本题考查了反比例函数的图象与性质、圆周角定理、垂径定理等知识，难度不 大试题的核心是考查反比例函数系数的几何意义对本题而言，若反比例函数系数为 k，则可以证明P 在坐标轴上所截的两条线段的乘积等于 4k；对于另外一点 Q 所形成的 Q，此结论依然成立 13、 （2013攀枝花）如图， PA 为O 的切线，A 为切点，直线 PO 交O 与点 E，F 过点 A 作 PO 的垂线 AB 垂足为 D，交O 与点 B，延长 BO 与 O 交与点 C，连接 AC，BF （1）求证：PB 与O 相切； （2）试探究线段 EF，OD，OP 之间的数量关系，并加以证明； （3）若 AC=12，tan F= ，求 cosACB 的值 考点： 圆的综合题 分析： （1）连接 OA，由 OP 垂直于 AB，利用垂径定理得到 D 为 AB 的中点，即 OP 垂直 平分 AB，可得出 AP=BP，再由 OA=OB，OP=OP，利用 SSS 得出三角形 AOP 与三 角形 BOP 全等，由 PA 为圆的切线，得到 OA 垂直于 AP，利用全等三角形的对应角 相等及垂直的定义得到 OB 垂直于 BP，即 PB 为圆 O 的切线； （2）由一对直角相等，一对公共角，得出三角形 AOD 与三角形 OAP 相似，由相似 得比例，列出关系式，由 OA 为 EF 的一半，等量代换即可得证 （3）连接 BE，构建直角BEF在该直角三角形中利用锐角三角函数的定义、勾股 定理可设 BE=x，BF=2x，进而可得 EF= x；然后由面积法求得 BD= x，所以 根据垂径定理求得 AB 的长度，在 RtABC 中，根据勾股定理易求 BC 的长；最后 由余弦三角函数的定义求解 解答： （1）证明：连接 OA， PA 与圆 O 相切， PAOA，即OAP=90， OPAB， D 为 AB 中点，即 OP 垂直平分 AB， PA=PB， 在 OAP 和OBP 中， ， OAPOBP（SSS ） ， OAP=OBP=90， BPOB， 则直线 PB 为圆 O 的切线； （2）答：EF 2=4DOPO 证明：OAP= ADO=90，AOD= POA， OADOPA， = ，即 OA2=ODOP， EF 为圆的直径，即 EF=2OA， EF2=ODOP，即 EF2=4ODOP； （3）解：连接 BE，则FBE=90 tanF= ， = ， 可设 BE=x，BF=2x， 则由勾股定理，得 EF= = x， BEBF= EFBD， BD= x 又 ABEF， AB=2BD= x， RtABC 中，BC= x， AC2+AB2=BC2， 12 2+（ x） 2=（ x） 2， 解得：x=4 ， BC=4 =20， cosACB= = = 点评： 此题考查了切线的判定与性质，相似及全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数 关系等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键 14、(2013 年南京)如图，AD 是圆 O 的切线，切点为 A， AB 是圆 O 的弦。过点 B 作 BC/AD，交圆 O 于点 C，连接 AC，过 点 C 作 CD/AB，交 AD 于点 D。连接 AO 并延长交 BC 于点 M，交过点 C 的直线于点 P，且BCP=ACD。 (1) 判断直线 PC 与圆 O 的位置关系，并说明理由： (2) 若 AB=9，BC =6，求 PC 的长。 解析： 解法一：(1) 直线 PC 与圆 O 相切。 如图，连接 CO 并延长，交圆 O 于点 N，连接 BN。 AB/CD，BAC=ACD。 BAC=BNC，BNC =ACD。 BCP=ACD，BNC=BCP。 CN 是圆 O 的直径，CBN=90。 BNCBCN =90，BCP BCN=90。 PCO=90，即 PCOC。 又点 C 在圆 O 上，直线 PC 与圆 O 相切。 (4 分) (2) AD 是圆 O 的切线，AD OA，即OAD=90。 BC/AD，OMC=180OAD =90，即 OMBC。 MC=MB。AB=AC。 在 RtAMC 中， AMC=90，AC =AB=9，MC= BC=3， 12 由勾股定理，得 AM= = =6 。AC 2MC 2 9232 2 设圆 O 的半径为 r。 在 RtOMC 中，OMC =90，OM =AMAO=6 r，MC=3，OC=r，2 由勾股定理，得 OM 2MC 2=OC 2，即(6 r)232=r2。解得 r= 。2 278 2 在OMC 和 OCP 中， OMC=OCP，MOC =COP， OMC OCP。 = ，即 = 。 OMOC CMPC 3PC PC= 。(8 分) 277 解法二：(1) 直线 PC 与圆 O 相切。如图，连接 OC。 AD 是圆 O 的切线，AD OA， 即OAD =90。 BC/AD，OMC=180OAD =90， 即 OMBC。 MC=MB。AB=AC。MAB=MAC。 BAC=2MAC。又MOC=2MAC，MOC =BAC。 AB/CD，BAC=ACD。MOC =ACD。又BCP= ACD， MOC=BCP 。MOC OCM=90，BCP OCM=90。 A B C DO M P A B C DO M P N A B C DO M P PCO=90，即 PCOC。又点 C 在圆 O 上，直线 PC 与圆 O 相切。 (2) 在 RtAMC 中，AMC=90 ，A C=AB=9，MC= BC=3， 12 由勾股定理，得 AM= = =6 。AC 2MC 2 9232 2 设圆 O 的半径为 r。 在 RtOMC 中，OMC =90，OM =AMAO=6 r，MC=3，OC=r，2 由勾股定理，得 OM 2MC 2=OC 2，即(6 r)232=r2。解得 r= 。2 278 2 在OMC 和 OCP 中，OMC =OCP，MOC=COP， OMC OCP， = ，即 = 。 OMOC CMPC 3PC PC= 。(8 分) 277 15、 （2013曲靖）如图， O 的直径 AB=10，C、D 是圆上的两点，且 设过 点 D 的切线 ED 交 AC 的延长线于点 F连接 OC 交 AD 于点 G （1）求证：DF AF （2）求 OG 的长 考点： 切线的性质 分析： （1）连接 BD，根据 ，可得CAD=DAB=30， ABD=60，从而可得 AFD=90； （2）根据垂径定理可得 OG 垂直平分 AD，继而可判断 OG 是 ABD 的中位线，在 RtABD 中求出 BD，即可得出 OG 解答： 解：（1）连接 BD， ， CAD=DAB=30， ABD=60， ADF=ABD=60， CAD+ADF=90， DFAF （2）在 RtABD 中， BAD=30，AB=10， BD=5， = ， OG 垂直平分 AD， OG 是 ABD 的中位线， OG= BD= 点评： 本题考查了切线的性质、圆周角定理及垂径定理的知识，解答本题要求同学们熟练 掌握各定理的内容及含 30角的直角三角形的性质 16、 （2013六盘水） （1）观察发现 如图（1）：若点 A、B 在直线 m 同侧，在直线 m 上找一点 P，使 AP+BP 的值最小， 做法如下： 作点 B 关于直线 m 的对称点 B，连接 AB，与直线 m 的交点就是所求的点 P，线段 AB的长度即为 AP+BP 的最小值 如图（2）：在等边三角形 ABC 中，AB=2 ，点 E 是 AB 的中点，AD 是高，在 AD 上 找一点 P，使 BP+PE 的值最小，做法如下： 作点 B 关于 AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接 CE 交 AD 于一点，则这点就是所求的 点 P，故 BP+PE 的最小值为 （2）实践运用 如图（3）：已知O 的直径 CD 为 2， 的度数为 60，点 B 是 的中点，在直径 CD 上作出点 P，使 BP+AP 的值最小，则 BP+AP 的值最小，则 BP+AP 的最小值为 （3）拓展延伸 如图（4）：点 P 是四边形 ABCD 内一点，分别在边 AB、BC 上作出点 M，点 N，使 PM+PN 的值最小，保留作图痕迹，不写作法 考点： 圆的综合题；轴对称-最短路线问题 分析： （1）观察发现：利用作法得到 CE 的长为 BP+PE 的最小值；由 AB=2，点 E 是 AB 的中点，根据等边三角形的性质得到 CEAB， BCE=BCA=30，BE=1，再根据含 30 度的直角三角形三边的关系得 CE= ； （2）实践运用：过 B 点作弦 BECD，连结 AE 交 CD 于 P 点，连结 OB、OE、OA、PB，根据垂径定理得到 CD 平分 BE，即点 E 与点 B 关于 CD 对称， 则 AE 的长就是 BP+AP 的最小值； 由于 的度数为 60，点 B 是 的中点得到BOC=30 ，AOC=60，所以 AOE=60+30=90，于是可判断OAE 为等腰直角三角形，则 AE= OA= ； （3）拓展延伸：分别作出点 P 关于 AB 和 BC 的对称点 E 和 F，然后连结 EF，EF 交 AB 于 M、交 BC 于 N 解答： 解：（1）观察发现 如图（2） ，CE 的长为 BP+PE 的最小值， 在等边三角形 ABC 中，AB=2，点 E 是 AB 的中点 CEAB，BCE=BCA=30，BE=1， CE= BE= ； 故答案为 ； （2）实践运用 如图（3） ，过 B 点作弦 BECD，连结 AE 交 CD 于 P 点，连结 OB、OE、OA、PB， BECD， CD 平分 BE，即点 E 与点 B 关于 CD 对称， 的度数为 60，点 B 是 的中点， BOC=30，AOC=60 ， EOC=30， AOE=60+30=90， OA=OE=1， AE= OA= ， AE 的长就是 BP+AP 的最小值 故答案为 ； （3）拓展延伸 如图（4） 点评： 本题考查了圆的综合题：弧、弦和圆心角之间的关系以及圆周角定理在有关圆的几 何证明中经常用到，同时熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称最短路径问题 17、 （2013衡阳压轴题）如图，在平面直角坐标系中，已知 A（8，0） ，B（0，6） ，M 经过原点 O 及点 A、B （1）求M 的半径及圆心 M 的坐标； （2）过点 B 作 M 的切线 l，求直线 l 的解析式； （3）BOA 的平分线交 AB 于点 N，交M 于点 E，求点 N 的坐标和线段 OE 的长 考点： 圆的综合题 专题： 综合题 分析： （1）根据圆周角定理AOB=90得 AB 为M 的直径，则可得到线段 AB 的中点即 点 M 的坐标，然后利用勾股定理计算出 AB=10，则可确定M 的半径为 5； （2）点 B 作 M 的切线 l 交 x 轴于 C，根据切线的性质得 ABBC，利用等角的余 角相等得到BAO=CBO ，然后根据相似三角形的判