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步步高 学案导学 设计 学年 高中数学 课时 作业 功课 打包 29 北师大 必修

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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第1-2章课时作业（打包29套）北师大版必修2,步步高,学案导学,设计,学年,高中数学,课时,作业,功课,打包,29,北师大,必修

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1 第一章 立体几何初步 1 简单几何体 【课时目标】 1能根据圆柱、圆锥、圆台和球的定义及结构特征，掌握它们的相关概念和表示方法 2能根据棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征，掌握它们的相关概念、分类和表示方法 1以 _所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面，球面所围成的几何体叫作球体，简称球 2分别以 _、 _、 _所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台 3棱柱的结构特征：两个面 _，其余各面都是 _，并且每相邻两个四边形的公共边都 _，由这些面围成的几何体叫作棱柱侧棱垂直于底面的棱柱叫作 _，底面是正多边形的直棱柱叫作 _ 4棱锥的结构特征：有一个面是 _，其余各面是 _，这些面围成的几何体叫棱锥如果棱锥的底面是 _，且各侧面 _，就称作正棱锥 5棱台的结构特征：用一个 _棱锥底面的平面去截棱锥， _之间的部分叫作棱台 一、选择题 1棱台不具备的性质是 ( ) A两底面相似 B侧面都是梯形 C侧棱都相等 D侧棱延长后都交于一点 2下列命题中正确的是 ( ) A有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C有两个面平行，其余各面都是四 边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台 3下列说法正确的是 ( ) A直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥 B夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体 C圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D通过圆台侧面上一点，有无数条母线 4下列说法正确的是 ( ) A直线绕定直线旋转形成柱面 B半圆绕定直线旋转形成球体 C有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D圆柱的任意两条母线所在的直线是相互 平行的 5观察下图所示几何体，其中判断正确的是 ( ) 2 A 是棱台 B 是圆台 C 是棱锥 D 不是棱柱 6纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标 “” 的面的方位是 ( ) A 南 B北 C西 D下 二、填空题 7由若干个平面图形围成的几何体称为多面体，多面体最少有 _个面 8将等边三角形绕它的一条中线旋转 180 ，形成的几何体是 _ 9在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是_ 三、解答题 10如图所示为长方体 ABCD ，当用平面 这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱 3 11圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，轴截面的面积等于 392 线与轴的夹角是 45 ，求这个圆台的高、母线长和底面半径 能力提升 12下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个正方体的图形的是 ( ) 13如图，在底面半径为 1，高为 2 的圆柱上 A 点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由 A 点爬到 B 点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？ 4 1学习本节知识，要注意结合集合的观点来认识各种几何体的性质，还要注意结合动态直观图从运动变化的观点认识棱柱、棱锥和棱台的关系 2棱柱、棱锥、棱台中的基本量的计算，是高考考查的热点，要注意转化，即把三维图形化归为 二维图形求解 在讨论旋转体的性质时轴截面具有极其重要的作用，它决定着旋转体的大小、形状，旋转体的有关元素之间的关系可以在轴截面上体现出来轴截面是将旋转体问题转化为平面问题的关键 3几何体表面距离最短问题需要把表面展开在同一平面上，然后利用两点间距离的最小值是连接两点的线段长求解 第一章 立体几何初步 1 简单几何体 答案 知识梳理 1半圆的直径 2矩形的一边 直角三角形的一条直角边 直角梯形垂直于底边的腰 3互相平行 四边形 互相平行 直棱柱 正棱柱 4多边形 有一个公共顶点的三角形 正多边形 全等 5平行于 底面与截面 作业设计 1 C 用棱台的定义去判断 2 C A、 B 的反例图形如图所示， D 显然不正确 3 C 圆锥是直角三角形绕直角边旋转得到的，如果绕斜边旋转就不是圆锥， A 不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故 B 不正确，通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线，故 D 不正确 4 D 两直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故 A 错误半圆以直径所在直线为轴旋转形成球体，故 B 不正确， C 不符合棱台 的定义，所以应选 D 5 C 6 B 7 4 8圆锥 9 10解 截面 侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义 它是三棱柱 ，其中 和 是底面 BC ， 侧棱， 截面 侧部分也是棱柱 它是四棱柱 其中四边形 和四边形 是底面 5 AD ， 侧棱 11解 圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为 x 3x 延长 在 ， 45 ，则 45 3x 2x 12(6x 2x)2x 392，解得 x 7， 圆台的高 14 线长 l 214 2 面半径分别为 7 21 12 C 13解 把圆柱的侧面沿 开，然后展开成为平面图形 矩形，如图所示，连接，则 即为蚂蚁爬行的最短距离 AB 2， 为底面圆的周长，且 2 1 2 ， AB 2 2 4 2 2 1 2， 即蚂蚁爬行的最短距离为 2 1 2 1 2 直观图 【课时目标】 1了解斜二测画法的概念 2会用斜二测画法画出一些简单的平面图形和立体图形的直观图 用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的规则： (1)在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，两轴相交于点 O画直观图时，把它们画成对应的 x 轴与 y 轴，两轴交于点 O ，且使 xOy 45( 或 135) ，它们确定的平面表示水平面 (2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x 轴或 y 轴的线段 (3)已知 图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半 一、选择题 1下列结论： 角的水平放置的直观图一定是角； 相等的角在直观图中仍然相等； 相等的线段在直观图中仍然相等； 两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行 其中正确的有 ( ) A B C D 2具有如图所示直观图的平面图形 ( ) A等腰梯形 B直角梯形 C任意四边形 D平行四边形 3如图，正方形 OABC 的边长为 1 是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是 ( ) A 8 B 6 2(1 3) D 2(1 2) 下面每个选项 的 2 个边长为 1 的正 直观图不是全等三角形的一组是 ( ) 5如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的 ( ) 2 6一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为 45 ，腰和上底长均为 1 的等腰梯形，则该平面图形的面积等于 ( ) A 12 22 B 1 22 C 1 2 D 2 2 二、填空题 7利用斜二测画法得到： 三角形的直观图是三角形； 平行四边形的直观图是平行四边形； 正方形的直观图是正方形； 菱形的直观图是菱形 以上结论，正确的是 _ 8水平放置的 斜二测直观图如图所示，已知 AC 3， BC 2，则 实际长度为 _ 9如图所示，为一个水平放置的正方形 在直角坐标系 ，点 B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点 B 到 x 轴的距离为 _ 三、解答题 10如图所示，梯形 ， D ， 4 2 30 ， 3 画出它的直观图 3 11已知正三角形 边长为 a，求 直观图 ABC 的面积 能力提升 12在水平放置的平面 内有一个边长为 1 的正方形 ABCD ，如图，其中的对角线 AC 在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积 直观图与原图形的关系 1斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系： (1)在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等；而求原图形的面积可把直观图还原为原图形； (2)此类题易混淆原图形与直观图中的垂直关系而出错，在原图形中互相垂直的直线在直观图中不一定垂直，反之也是所以在求面积时应按照斜二测画法的规则把原图形与直观图都画出来，找出改变量与不变量用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的 24 倍 2在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小 2 直观图 答案 作业设计 4 1 B 由斜二测画法的规则判断 2 B 3 A 根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形 平行四边形， 2 2， 1， 3，从而原图周长为 8 4 C 可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论 5 C 6 D 如图 1 所示，等腰梯形 ABCD 为水平放置的原平面图形的直观图，作DEAB 交 BC 于 E ，由斜二测直观图画法规则，直观图是等腰梯形ABCD 的原平面图形为如图 2 所示的直角梯形 2， 1 2， 1，所以 2 2 图 1 图 2 7 解析 斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交 、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形 8 2 5 解析 由直观图知，原平面图形为直角三角形，且 AC 3， 2BC 4，计算得 5，所求中线长为 2 5 9 22 解析 画出直观图，则 B 到 x 轴的距离为 22 124 2 10解 (1)如图 a 所示，在梯形 ，以边 在的直线为 x 轴，点 A 为原点，建立平面直角坐标系 图 b 所示，画出对应的 x 轴， y 轴，使 xOy 45 (2)在图 a 中，过 D 点作 DEx 轴，垂足为 E在 x 轴上取 AB 4 AE 32 32 598 点 E 作 EDy 轴，使 ED 12过点 D 作DCx 轴，且使 DC 2 (3)连接 AD 、 BC ，并擦去 x 轴与 y 轴及 其他一些辅助线，如图 c 所示，则四边形 ABCD 就是所求作的直观图 5 11解 先画出正三角形 然后再画出它的水平放置的直观图， 如图所示由斜二测画法规则知 BC a， OA 34 a 过 A 引 AMx 轴，垂足为 M， 则 AM OA 5 34 a 22 68 a S ABC 12BCAM 12a 68 a 616 12 解 四边形 真实图形如图所示， AC 在水平位置， ABCD 为正方形， DAC ACB 45 ， 在原四边形 ， C ， C ， 2DA 2， AC 2， S 四边形 D 2 2 1 3 三视图 【课时目标】 1初步认识简单几何体的三视图 2会画出空间几何体的三视图并会由空间几何体的三视图画出空间几何体 1空间几何体的三视图是指 _、 _、 _ 2三视图的排列规则是 _放在主视图的下方，长度与主视图一样， _放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样 3三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从 _、 _、 _观察同一个几何体，画出空间几何体的图形 一、选择题 1下列说法正确的是 ( ) A任何几何体的三视图都与其摆放的位置有关 B任何几何体的三视图都与其摆放的位置无关 C有的几何体的三视图与其摆放的位置无关 D正方体的三视图一定是三个全等的正方形 2如图所示的一个几何体，哪一个是该几何体的俯视图 ( ) 3如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 ( ) A B C D 4一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为 ( ) 5实物图如图所示无论怎样摆放物体，如图所示中不可能为其主视图的是 ( ) 2 6一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是 ( ) 二、填空题 7根据如图所示俯视图，找出对应的物体 (1)对应 _； (2)对应 _； (3)对应 _； (4)对应 _； (5)对应 _ 8若一个三棱柱的 三视图如图所示，则这个三棱柱的高 (两底面之间的距离 )和底面边长分别是 _和 _ 9用小正方体搭成一个几何体，如图是它的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体的个数最多为 _个 三、解答题 10在下面图形中，图 (b)是图 (a)中实物画出的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出左视图 (尺寸不作严格要求 ) 3 11如图是截去一角的长方体，画出它的三视图 能力提升 12如图，螺栓是棱柱和圆柱的组合体，画出它的三视图 13用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？ 4 在绘制三视图时，要注意以下三点： 1若两相邻物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓都用实线画出，不可见轮廓用虚线画出 2一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，长度和主视图一样左视图放在主视图的右面，高度和主视图一样，宽度和俯视图一样，简记为 “ 长对正，高平齐，宽相等 ” 3在画 物体的三视图时应注意观察角度，角度不同，往往画出的三视图不同 3 三视图 答案 知识梳理 1主视图 左视图 俯视图 2俯视图 左视图 3正前方 正上方 左侧 作业设计 1 C 球的三视图与其摆放位置无关 2 C 3 D 在各自的三视图中， 正方体的三个视图都相同； 圆锥有两个视图相同； 三棱台的三个视图都不同； 正四棱锥有两个视图相同 4 C 由三视图中的正、左视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为C 5 D A 图可看做该物体槽向前时的主视图， B 图可看做槽向下时的主视图， C 图可看做槽向后时的主视图 6 A 7 (1)D (2)A (3)E (4)C (5)B 8 2 4 解析 三棱柱的高同左视图的高，左视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底边长为 4 9 7 5 10解 图 (a)是由两个长方体组合而成的，主视图正确，俯视图错误，俯视图应该画出不可见轮廓线 (用虚线表示 )，左视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线 (用实线表示 )，正确画法如图所示 11解 该图形的三视图如图所示 12解 该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，主视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，左视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆 (中心重合 )它的三视图如图所示 13解 由于主视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的立方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图 所示，此种情况共用小立方块 17 块 而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大的数字，其他方框内的数字可减少到最少的 1，即如图 所示，这样的摆法只需小立方块 11 块 1 4 空间图形的基本关系与公理 4 1 空间图形基本关系的认识 【课时目标】 学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握五类位置关系的分类及其有关概念 1空间点与直线的位置关系有两种： _ 2空间点与平面的位置关系有两种： _ 3空间两条直线的位置关系有三种 (1)_直线 在同一平 面内，没有公共点； (2)_直线 在同一平面内，只有一个公共点； (3)_直线 不同在任何一个平面内 4空间直线与平面的位置关系有三种 (1)直线在平面内 直线和平面有无数个公共点； (2)直线和平面相交 直线和平面只有一个公共点； (3)直线和平面平行 直线和平面没有公共点 5空间平面与平面的位置关系 (1)两个平面平行 两个平面没有公共点； (2)两个平面相交 两平面不重合且有公共点 一、选择 题 1已知直线 a 平面 ，直线 b ，则 a 与 b 的位置关系是 ( ) A相交 B平行 C异面 D平行或异面 2若有两条直线 a， b，平面 满足 ab ， a ，则 b 与 的位置关系是 ( ) A相交 B b C b D b 或 b 3若直线 m 不平行于平面 ，且 m ，则下列结论成立的是 ( ) A 内的所有直线与 m 异面 B 内不存在与 m 平行的直线 C 内存在唯一的直线与 m 平行 D 内的直线与 m 都相交 4三个互不重合的平面把空间分成 6 部分时，它们的交线有 ( ) A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 1 条或 2 条 5平面 ，且 a ，下列四个结论： a 和 内的所有直线平行； a 和 内的无数条直线平行； a 和 内的任何直线都不平行； a 和 无公共点 其中正确的个数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 6若一直线上有一点在已知平面外，则下列命题正确的是 ( ) A直线上所有的点都在平面外 B直线上有无数多个点都在平面外 C直线上有无数多个点都在平面内 D直线上至少有一个点在平面内 2 二、填空题 7正方体 E、 F 分别为 该正方体的六个表面中与 行的有 _个 8若 a、 a 平行 ，则 的位置关系是 _ 9三个不重合的平面，能把空间分成 n 部分， 则 n 的所有可能值为 _ 三、解答题 10指出图中的图形画法是否正确，如不正确，请改正 (1)如图 1，直线 a 在平面 内 (2)如图 2，直线 a 和平面 相交 (3)如图 3，直线 a 和平面 平行 11在正方体 出与 行的棱、相交的棱、异面的棱 能力提升 12如图所示的是一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段 原正方体中相互异面的有 _对 13如图，平面 、 、 满足 ， a， b，判断 a 与 b、 a 与 的关系并证明你的结论 3 正方体或长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找正方体或长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映因而人们给它以 “ 百宝箱 ” 之称 4 空间图形的基本关系与公理 4 1 空间图形基本关系的认识 答案 知识梳理 1点在直线上和点在直线外 2点在平面内和点在平面外 3 (1)平行 (2)相交 (3)异面 作业设计 1 D 2 D 3 B 4 D 5 C 6 B 7 3 8 b ， b 或 b 与 相交 9 4,6,7,8 10解 (1)(2)(3)的图形画法都不正确正确画法如下图： (1)直线 a 在平面 内： (2)直线 a 与平面 相交： (3)直线 a 与平面 平行： 11 4 解 如图所示与 行的棱 交的棱 与 面的棱为棱 12 3 解析 将正方体恢复后，由图观察即可得 即为 13解 由 a 知 a 且 a ， 由 b 知 b 且 b ， ， a ， b ， a 、 b 无公共点 又 a 且 b ， ab ， 与 无公共点， 又 a ， a 与 无公共点， a 1 4 2 空间图形的公理 (一 ) 【课时目标】 掌握文字、符号、图形语言之间的转化，理解公理 1、公理 2、公理 3，并能运用它们解决点共线、线共面、线共点等问题 1公理 1：如果一条直线上的 _在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 (即直线在平面内 ) 符号： Al ， Bl ，且 A ， B l 2公理 2：经过 _的三点， _一个平面 (即可以确定一个平面 ) 3公理 3：如果两个不重合的平面有 _公共点，那么它们有且只有 _通过这个点的公共直线 符号： P ，且 P l，且 Pl 4用符号语言表示下列语句： (1)点 A 在平面 内但在平面 外： _ (2)直线 l 经过面 内一点 A， 外一点 B： _ (3)直线 l 在面 内也在面 内： _ (4)平面 内的两条直线 m、 n 相交于 A： _ 一、选择题 1两平面重合的条件是 ( ) A有两个公共点 B有无数个公共点 C有不共线的三个公共点 D有一条公共直线 2若点 M 在直线 b 上， b 在平面 内，则 M、 b、 之间的关系可记作 ( ) A Mb B Mb C M b D M b 3已知平面 与平面 、 都相交，则这三个平面可能的交线有 ( ) A 1 条或 2 条 B 2 条或 3 条 C 1 条或 3 条 D 1 条或 2 条或 3 条 4已知 、 为平面， A、 B、 M、 N 为点， a 为直线，下列推理错误的是 ( ) A Aa ， A ， Ba ， B a B M ， M ， N ， N A ， A A D A、 B、 M ， A、 B、 M ，且 A、 B、 M 不共线 、 重合 5空间中可以确定一个平面的条件是 ( ) A两条直线 B一点和一直线 C一个三角形 D三个点 6空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有 ( ) A 2 个或 3 个 B 4 个或 3 个 C 1 个或 3 个 D 1 个或 4 个 二、填空题 7把下列符号叙述所对应的图形 (如图 )的序号填在题后横线上 2 (1)A ， (2) a， P 且 P _ (3)a ， a (4) a， c， b， abc 8已知 m， a ， b ， ab A，则直线 m 与 A 的位置关系用集合符号表示为 _ 9下列四个命题： 两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点； 经过空间任意三点有且只有一个平面； 过两平行直线有且只有一个平面； 在空间两两相交的三条直线必共面 其中正确命题的序号是 _ 三、解答题 10如图，直角梯形 ， D ， D， S 是直角梯形 在平面外一点，画出平面 平面 交线，并说明理由 11如图所示，四边形 ，已知 D ， 延长线 )分别与平面 相交于 E， F， G， H，求证： E， F， G， H 必在同一直线上 3 能力提升 12若空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，求证此三条直线必相交于一点 13如图，在正方体 角线 平面 ， 于点 M， E 为 中点 ， F 为 求证： (1)O、 M 三点共线； (2)E、 C、 F 四点共面； (3)线共点 1证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上 2证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点 (或线 )在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他 点线确定平面，然后证明这些平面重合注意对诸如 “ 两平行直线确定一个平面 ” 等依据的证明、记忆与运用 3证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而 “ 其他 ” 直线往往归结为平面与平面的交线 4 4 2 空间图形的公理 (一 ) 答案 知识梳理 1两点 2不在同一条直线上 有且只有 3一个 一条 4 (1)A ， A (2)A ， B 且 Al ， Bl (3)l 且 l (4) n 且 mn A 作业设计 1 C 根据公理 2，不共线的三点确定一个平面 ，若两个平面同过不共线的三点，则两平面必重合 2 B 3 D 4 C A ， A ， A 由公理可知 为经过 A 的一条直线而不是 A 故 A 的写法错误 5 C 6 D 四点共面时有 1 个平面，四点不共面时有 4 个平面 7 (1)C (2)D (3)A (4)B 8 Am 解析 因为 m， ，所以 A ，同理 A ，故 A 在 与 的交线 9 10解 由题意知，点 S 是平面 平面 一个公共点，即点 S 在交线上，由于D，则分别延长 于点 E，如图所示 E 面 E 平面 同理，可证 E 平面 点 E 在平面 平面 交线上，连接 直线 平面 平面 交线 11证明 因为 D ，所以 定平面 H，因为 H 平面 H ，由公理 3 可知， H 必在平面 平面 的交线上同理 F、 G、 E 都在平面 平面 的交线上，因此 E， F， G， H 必在同一直线上 12证明 l 1 ， ， l 1l 2交于一点，记交点为 P Pl 1 ， Pl 2 ， P 5 l 1， 13证明 (1)C 1、 O、 M 平面 又 O、 M 平面 公理 3 知，点 O、 M 在平面 1 C 1、 O、 M 三点共线 (2)E ， F 分别是 中点， 1B A 1B， D 1 E 、 C、 F 四点共面 (3)由 (2)可知：四点 E、 C、 F 共面 又 1212 D 1F， 相交直线，记交点为 P 则 PD 1F 平面 P面 P 平面 平面 线共点 1 4 2 空间图形的公理 (二 ) 【课时目标】 1理解异面直线所成角的定义； 2能用公理 4 及定理解决一些简单的相关问题 1公理 4：平行于同一条直线的两条直线 _ 2定理：空间中，如果两个角的两边分别对应 _，那么这两个角 _或_ 3异面直线所成的角：直线 a， b 是异面直线，经过空间任一点 O，作直线 a ， b ，使 aa ， bb ，我们把 a 与 b 所成的 _叫做异面直线 a 与 b 所成的角 如果两条直线所成的角是 _，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，两条异面直线所成的角的取值范围是 _ 一、选择题 1若 a 和 b 是异面直线， b 和 c 是异面直线，则 a 和 c 的位置关系是 ( ) A异面或平行 B异面或相交 C异面 D相交、平行或异面 2分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是 ( ) A一定平行 B一定相交 C一定异面 D相交或异面 3若 A 1 1 下列结论中正确的是 ( ) A 1B 1 D 4给出下列四个命题： 垂直于同一直线的两条直线互相平行； 平行于同一直线的两直线平行； 若直线 a， b， c 满足 ab ， bc ，则 ac ； 若直线 与 条直线是异面直线 其中假命题的个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 5如图所示，已知三棱锥 A ， M、 N 分别为 中点，则下列结论正确的是 ( ) A 12(B 12(C 12( 2 D 所以 2( 6 60 或 120 7 (1)60 (2)45 解析 连接 ，则 ，连接 AC ，则 A就是 与 所成的角 由 A为正三角形， 知 A 60 ， 由 C ，知 所成的角就是 C 易知 C 45 8 解析 把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示， F ， 异面 5 直线， M ， D ，只有 正确 9 证明 (1)如图，连接 在 ， M 、 N 分别是 中点， 三角形的中位线， C ， 12 由正方体的性质得： 1 1 12 即 1 四边形 (2)由 (1)可知 1 又因为 1 D 1 而 D 1锐角， D 1 10解 取 中点 G， 连接 则 B ， D ， 且由 或它的补角 )为 成的角， 或它的补角 )为 成的角 成的角为 30 ， 30 或 150 由 等腰三角形， 当 30 时， 75 ； 当 150 时， 15 故 成的角为 15 或 75 11 解析 中 N 中 N 且 N ， 相交 12 B 6 连接 E 为 连接 B 1， 又 B ， B 1异面直线 成的角，即 B 145 1 5 平行关系 5 1 平行关系的判定 (一 ) 【课时目标】 1理解直线与平面平行的判定定理的含义 2会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用 3能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题 1直线与平面平行的定义：直线与平面无公共点 2直线与平面平行的判定定理： _一条直线与 _的一条直线平行，则该直线与此平面平行用符号表示为 _ 一、选择题 1以下说法 (其中 a， b 表示直线， 表示平面 ) 若 ab ， b ，则 a ； 若 a ， b ，则 ab ； 若 ab ， b ，则 a ； 若 a ， b ，则 ab 其中正确说法的个数是 ( ) A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 2已知 a， b 是两条相交直线， a ，则 b 与 的位置关系是 ( ) A b B b 与 相交 C b D b 或 b 与 相交 3如果平面 外有两点 A、 B，它们到平面 的距离都是 a，则直线 平面 的位置关系一定是 ( ) A平行 B相交 C平行或相交 D 4在空间四边形 ， E、 F 分别是 的点，若 B B 13 ，则对角线 平面 位置关系是 ( ) A平行 B相交 C在内 D不能确定 5过直线 l 外两点，作与 l 平行的平面，则这样的平面 ( ) A不存在 B只能作出一个 C能作出无数个 D以上都有可能 6过平行六面体 中与平面 ) A 4 条 B 6 条 C 8 条 D 12 条 二、填空题 7经过直线外一点有 _个平面与已知直线平行 8如图，在长方体 (1)与直线 行的平面是 _； (2)与直线 _； (3)与直线 行的平面是 _ 2 9在正方体 E 为 ， E， C 的平面的位置关系是 _ 三、解答题 10如图所示，在正方体 E、 F 分别是棱 求证： 平面 11如图所示， P 是 在平面外一点， E、 F 分别在 ，且 A D 求证： 平面 能力提升 12下列四个正方体图形中， A、 B 为正方体的两个顶点， M、 N、 P 分 别为其所在棱的中点，能得出 面 图形的序号是 _ (写出所有符合要求的图形序号 ) 13正方形 正方形 在平面相交于 各有一点 P， Q，且证 平面 (用两种方法证明 ) 3 直线与平面平行的判定方法 (1)利用定义：证明直线 a 与平面 没有公共点这一点直接证明是很困难的，往往借助于反证法来证明 (2)利用直线和平面平行的判定定理： a ， ab ， b ，则 a 使用定理时，一定要说明 “ 不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行 ” ，若不注明和平面内的直线平行，证明过程就不完整因此要证明 a 平面 ，则必须在平面 内找一条直线 b，使得 ab ，从而达到证明的目的证明线线平行时常利用三角形中位线、平行线分线段成比例定理等 5 平行关系 5 1 平行关系 的判定 (一 ) 答案 知识梳理 2平面外 此平面内 a ， b ，且 ab a 作业设计 1 A a 也可能成立； a， b 还有可能相交或异面； a 也可能成立； a， b 还有可能异面 2 D 3 C 4 A 5 D 6 D 如图所示，与 行的有 4 条，与 条，四边形 对角线与面行，同等位置有 4 条，总共 12 条，故选 D 7无数 8 (1)平 面 2)平面 3)平面 平面 平行 解析 设 中点为 F，则 D 1 4 10证明 取 ， 连接 12 12 四边形 平行四边形， O 平面 面 平面 11证明 连接 长交 G， 连接 在 ， 易证 G 而 平面 面 平面 12 13证明 方法一 如图 (1)所示，作 B 交 M，作 B 交 N，连接 正方形 正方形 公共边 又 又 B 四边形 平行四边形 N 又 面 平面 平面 方法二 如图 (2)所示，连接 延长交 其 延长线 )于 K，连接 5 D ， K 又 面 面 1 5 1 平行关系的判定 (二 ) 【课时目标】 1理解平面与平面平行的判定定理的含义 2能运用平面与平面平行的判定定理，证明一些空间面面平行的简单问题 1平面 与平面 平行是指两平面 _公共点若 ，直线 a ，则 的位置关系为 _ 2定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 一、选择题 1经过平面 外的两个点作该平 面的平行平面，可以作出 ( ) A 0 个 B 1 个 C 0 个或 1 个 D 1 个或 2 个 2 和 是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定 的是 ( ) A 内有无数条直线平行于 B 内不共线三点到 的距离相等 C l、 m 是平面 内的直线，且 l ， m D l、 m 是异面直线且 l ， m ， l ， m 3给出下列结论，正确的有 ( ) 平行于同一条直线的两个平面平行； 平行于同一平面的两个平面平行； 过平面外两点，不能作一个平面与 已知平面平行； 若 a， b 为异面直线，则过 a 与 b 平行的平面只有一个 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 4若不在同一直线上的三点 A、 B、 C 到平面 的距离相等，且 A ，则 ( ) A 平面 至少有一边平行于 C 至多有两边平行于 D 只可能有一边与 相交 5两个平面平行的条件是 ( ) A一个平面内一条直线平行于另一个平面 B一个平面内两条直线平行于另一个平面 C一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面 D两个平面都平行于同一条直线 6正方体 列四对截面中，彼此平行的一对截面是 ( ) A平面 平面 1 平面 平面 平面 、填空题 2 7已知直线 a、 b，平面 、 ，且 a b， a ， ，则直线 b 与平面 的位置关系为 _ 8有下列几个命题： 平面 内有 无数个点到平面 的距离相等，则 ； a， b，且 ab( ， ， 分别表示平面， a， b 表示直线 )，则 ； 平面 内一个三角形三边分别平行于平面 内的一个三角形的三条边，则 ； 平面 内的一个平行四边形的两边与平面 内的一个平行四边形的两边对应平行，则 其中正确的有 _(填序号 ) 9如图所示，在正方体 E、 F、 G、 H 分别是棱 中点， N 是 中点，点 M 在四边形 其内部运动，则 M 满足 _时，有 平面 三、解答题 10如图所示，在正方体 S 是 E、 F、 G 分别是 C 的中点求证：平面 平面 11如图所示， B 为 在平面外一点， M， N， G 分别为 重心 (1)求证平面 平面 (2)求 S S 3 能力提升 12三棱柱 D 是 一点，且 平面 1 求证：平面 平面 13如图所示，在正方体 O 为底面 中心， P 是 Q 是 ：当点 Q 在什么位置时，平面 平面 4 判定或证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义； (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行； (3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行 5 1 平行关系的判定 (二 ) 答案 知识梳理 1无 a 作业设计 1 C 2 D 3 B 4 B 5 C 6 A 7 b 或 b 8 解析 不正确，当两平面相交时，在一个平面两侧分别有无数点满足条件； 不正确，当平面 与 相交时也可满足条件； 正确，满足平面平行的判定定理； 不正确，当两平面相交时，也可满足条件 9 M 线段 析 D ， D 1， F H， D 1 D， 平面 平面 故线段 任意点 M 与 N 连接， 有 平面 10证明 如图所示，连接 F 、 G 分别是 中点， F G 又 面 平面 直线 平面 同理可证 平面 又 面 面 G G， 平面 平面 11 (1)证明 (1)连接 延长分别交 P， F， H M ， N， G 分别为 重心， 5 则有 2， 且 P， H， F 分别为 中点 连接 F 又 面 平面 平面 同理 平面 N M， 平面 平面 (2)解 由 (1)可知 23， 23 又 12 13 同理 1313 其相似比为 13 S S 19 12 证明 连接 ， 四边形 E 是 中点，连接 A 1B 平面 面 A 1B 与 有交点， 又 平面 面 1B E 是 中点， D 是 中点 又 D 1是 C 1D， D ， 平面 平面 又 D 1 平面 平面 13解 当 Q 为 平面 平面 Q 为 P 为 A 6 P 、 O 为 中点， D 1B D 1B 平面 平面 又 A P， B B， 平面 平面 1 5 2 平行关系的性质 (一 ) 【课时目标】 1能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理 2能运用直线与平面平行的性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题 直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，那么 _ (1)符号语言描述： _ (2)性质定理的作用： 可以作为直线和直线平行的判定方法，也提供了一种作平行线的方法 一、选择题 1 a， b 是两条异面直线， P 是空间一点，过 P 作平面与 a， b 都平行，这样的平面 ( ) A只有一个 B至多有两个 C不一定有 D有无数个 2两条直线都和一个平面平行，则这两条直线的位置关系是 ( ) A平行 B相交 C异面 D以上均可能