【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第3章 三角恒等变换（课时作业+章末检测）（打包8套）苏教版必修4
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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第3章 三角恒等变换（课时作业+章末检测）（打包8套）苏教版必修4,步步高,学案导学,设计,学年,高中数学,三角,恒等,变换,课时,作业,功课,检测,打包,苏教版,必修
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1 3 角和与差的余弦 课时目标 1会用向量的数量积推导两角差的余弦公式 利用余弦公式进行三角函数式的化简与求值 两角和与差的余弦公式 ) _. ) _. 一、填空题 1 5 05 5 05 _. 2化简 ) ) 得 _ 3若 ) 13，则 ( ) 2 ( ) 2 _. 4 63 23 53 13 _. 5 已知 ) 13， ) 12， 则 _. 6 若 ) 55 ， 1010 ， 并且 、 均为锐角且 0， 2 0 ， ， 3. 1 角和与差的正弦 课时目标 1在两角差的余弦公式的基础上，会推导两角和与差的正弦公式 活运用两角和与差的正、余弦公式进行求值、化简、证明 1两角和与差的正弦公式 S( ) ： ) _. S( ) ： ) _. 2两角互余或互补 (1)若 _，其 、 为任意角，我们就称 、 互余例如： 4 与 _互余， 6 与 _互余 (2)若 _，其 ， 为任意角，我们就称 、 互补例如： 4 与 _互补， _与 23 互补 3 x x x ) ，其中 一、填空题 1计算 3 3 3 3 的结果等于 _ 2已知 ) 23， ) 15，则 的值是 _ 3若 15x 5x 10，则锐角 x 的值为 _ (用弧度表示 ) 4若锐角 、 满足 45， ) 35，则 的值是 _ 5已知 0，那么 的值为 _ 6若函数 f(x) (1 3x)x,0x 2 ，则 f(x)的最大值为 _ 7在三角形 ，三内角分别是 A、 B、 C，若 2，则三角形 _三角形 8已知 6 4 35 ，则 76 的值是 _ 9式子 8 0 8 0 的值是 _ 10函数 f(x) 3x 20) 5x 80) 的最大值是 _ 二、解答题 11 证明 ： 2 ) . 2 12 已知 2 34 ， ) 1213， ) 35， 求 的值 能力提升 13 求值 ： (0 3)00 . 14 求函数 f(x) x x x x， x R 的最值及取到最值时 x 的值 3 1 两角和差公式可以看成是诱导公式的推广 ， 诱导公式可以看成两角和差公式的特例 ，例如 ： 32 . 2 使用和差公式时不仅要会正用 ， 还要能够逆用公式 ， 如化简 ) )时 ， 不要将 )和 )展开 ， 而应采用整体思想 ，作如下变形 ： ) ) ( ) ) . 3运用和差公式求值、化简、证明时要注意，灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解 4通过应用公式 )或 b2 )将形如 (a、 b 不同时为零 )收缩为一个三角函数 b2 )或 )这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三角函数 3 角和与差的正弦 知识梳理 1 2 (1) 2 4 3 (2) 34 3 作业设计 析 23， 15， 1330 730， 137. 4 析 15x 5x 5( 3x x) 2 5x 6 ) 10. x 6) 22 . x(0 ， 2)， x 6 (0 ， 23 )， x 6 4 ， x 12. 析 45， ) 35， 35， ) 45. ) ) ) 45 45 35 35 725. 5 1 解析 ) 0. 2 ， k Z， ) 1. 6 2 解析 f(x) (1 3x)x x 3x 2(12x 32 x) 2x 6)， 0 x 2 ， 6 x 623 . f(x)2. 7 等腰 解析 B) 2， 0. 即 B) 0， A B. 8 45 解析 6 6 6 32 32 5 3 32 12 3 6 6 3 6 4 35 . 6 45. 76 6 45. 9. 3 解析 原式 0 8 00 8 0 0 0 00 0 0 00 0 3. 10 7 解析 f(x) 3x 20) 5x 80) 3x 20) 5x 20)0 5x 20)0 112x 20) 5 32 x 20) 112 2 5 32 2x 20 ) 7x 20 )7. 11 证明 2 ) 2 2 2 . 故原等式成立 12 解 因为 2 34 ， 所以 0 4 ， 32 . 又 ) 1213， ) 35， 6 所以 ) 1 1 1213 2 513， ) 1 1 35 2 45. 所以 ) ( ) ) ) ) ) 513 45 1213 35 5665. 13 解 原式 (00 00 )00 00 0000 00 5000 00 000 00 10 2. 14 解 设 x x t， 则 t x x 2 22 x 22 x 2 x 4 ， t 2， 2， xx x 12 12 . f(x) x x xx 即 g(t) t 12 12(t 1)2 1， t 2， 2 当 t 1， 即 x x 1 时 ， f(x) 1. 此时 ， 由 x 4 22 ， 解得 x 2 或 x 2 2 ， k Z. 当 t 2，即 x x 2时， f(x)2 12. 此时，由 2 x 4 2， x 4 1. 解得 x 2 4 ， k Z. 综上，当 x 2 或 x 2 2 ， k Z 时， f(x)取最小值且 f(x) 1；当 x 2 4 ， k Z 时， f(x)取得最大值， f(x)2 12. 7 1 角和与差的正切 课时目标 1能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式 握两角和与差的正切公式及变形运用 1两角和与差的正切公式 (1)T( )： ) _. (2)T( )： ) _. 2两角和与差的正切公式的变形 (1)T( )的变形： _. ) _. _. (2)T( )的变形 ： _. ) _. _. 一、填空题 51 5 _. 2已知 2 ， ， 35，则 4 的值等于 _ 3若 45， ) 1，且 是第二象限角，则 的值是 _ 4已知 4 2，则 12 值为 _ 5已 知 12， 13， 00. 而 (0， )， 故 (0， 2) 17， 00， 2. 2 ( ) ( ， 0) ) ( ) 1 1， 2 34 . 14 (1)证明 B) 35， B) 15， 6 35 15 25 15 2， 所以 2. (2)解 2A B ， B) 35， B) 34， 即 1 34. 将 2 代入上式并整理得 ， 2 4 1 0. 解得 2 62 ， 舍去负值 ， 得 2 62 . 2 2 B 边上的高为 则 36. 由 3，得 2 6. 上的高等于 2 6. 1 倍角的三角函数 课时目标 1会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式 2能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用 1倍角公式 (1) _， 2 2 _； (2) _ _ _； (3) 21 2倍角公式常用变形 (1)2 _， 2 _； (2)1 _， 1 _； (3) _， _. (4)1 _， 1 _. 一、填空题 02 的值是 _ 2求值： 000 _. 3函数 f(x) x x 74的最大值是 _ 4已知等腰三角形底角的余弦值为 23，则顶角的正弦值是 _ 5若 6 ) 13，则 3 2 )的值为 _ 6函数 f(x) x 4) 2 2最小正周期是 _ 7已知 2 3，则 1 1 _. 8已知 1， (0， 2)，则 _. 9. 在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形 (如图所示 )如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为 ，那么 的值等于 _ 2 10已知角 在第一象限且 35，则1 2 4 2 _. 二、解答题 11求证： 3 4A 4A A . 12若 4 x 45， 54 0)的周期为 2. (1)求 的值； (2)当 0 x 4 时，求函数的最大值、最小值及相应 x 的值 1对于 “ 二倍角 ” 应该有广义上的理解，如： 8 是 4 的二倍； 6 是 3 的二倍； 4 是 2 的二倍； 3 是 32 的二倍； 2 是 4的二倍； 3 是 6 的二倍； 2n 2 2n 1 (n N*) 2二倍角余弦公式的运用 在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛，二倍角的常用形式： 1 2 1 2 ， 1 2 1 2 . 二倍角的三角函数 知识梳理 1 (1)2 12 (2) 2 1 1 22 (1) (2) 2 2 (3)1 2 1 2 (4)2 2 作业设计 1 2 4 解析 3 02 3 02 1 02 3 0 2. 析 原式 2000020 200040 20080 6080 18. 3 2 解析 f(x) x (1 (21) 74 x 74 x 12 2 2. 当 x 12时， f(x)2. 9 解析 设 为该等腰三角形的一底角， 则 23，顶角为 180 2 . 80 2 ) 2 2 1 23 2 23 4 59 . 5 79 解析 3 2 ) 3 2 ) ( 6 ) 1 2 6 ) 2 6 ) 1 79. 6 解析 f(x) 22 x 22 x 2(1 x) 22 x 22 x 2 x 4) 2， T 22 . 7 3 5 解析 1 1 2 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 3. 解析 ( 1) 0. 4 2 2 0. (0， 2) 20. 2 1 0. 12( 1 舍 ) 6. 析 由题意， 5 5 1， 0， 4 . 15. 由 ( )2 ( )2 2. 75. ( )( ) 725. 析 35且 在第一象限， 45. 725， 2 2425， 原式1 2 4 4 1 145. 11证明 左边 3 4A 2A 13 4A 2A 1 1 A 2 222 ()2 右边 6 3 4A 4A A . 12解 x 2x 2x x x x x x x x x x 4 x 2 2x 4 x 2 4 x 1 4 x ， 54 x74 ， 32 4 x . 又 4 x 45， 4 x 35， 4 x 34. 原式 2 1625 1 34 21100. 13 解 原式 00 0 300 1 00 0 30 00 00 0232 0 1200 20 100 00 1. 14 解 (1)y 32 x 12(1 x) 2 x 6) 12. T 2 ， 2. (2)由 (1)得 y x 6) 12. 0 x 4 ， 6 4 x 6 76 . 12 x 6 )1 ， 0 y 32. 当 x 6) 1 时， 32， 此时 4x 6 2 ， x 12. 7 当 x 6) 12时， 0， 此时 4x 6 76 ， x 4. 1 个三角恒等式 课时目标 1引导学生发现和探索积化和差公式、和差化积公式以及半角公式 过本节学习，提高三角恒等变换的能力 1积化和差与和差化积 (不要求记忆 ) 积化和差公式 _ _ _ _ 和差化积公式 _ _ _ _ (1)2 2 _； (2)2 2 _； (3)2 2 _(无理形式 ) _ _(有理形式 ) 一、填空题 1函数 y x 3 x 3 的最大值是 _ 2求 5 55 5 的值为 _ 3若 13，则 _. 4若 是第三象限角且 ) ) 513，则 _. 5给出下列关系式： 2 ； 2 ； 12 ； 2 ； y 12x y) x y) 其中正确的命题序号是 _ 6已知等腰三角形顶角的余弦值为 45，则底角的正切值为 _ 2 7如果 | | 15， 52 3 ，则 2 的值是 _ 8若 45， 是第三象限的角，则1 1 _. 9已知 m，那么 ) ) _. 10计算： _. 二、解答题 11求值： 00 060 600. 12已知 2 12，求 6)的值 能力提升 13设 为第四象限的角，若 135 ，则 _. 14已知向量 m ( ， )和 n ( 2 ， )， ( ， 2), 且|m n| 8 25 ，求 2 8)的值 3 1学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式 2和差化积、积化和差公式不要求记忆，但要注意公式推导中应用的数学思想方法，同时注意这些公式与两角和与差公式的联系 3半角公式前面的正负号的选择 (1)如果没有给出决定符号的条件，则要保留根号前的正负号； (2)若给出了角 的具体范围，则根号前的符号由角 2 所在象限确定； (3)若给出的角 是某一象限的角，则由角 2 所在象限确定符号 几个三角恒等式 知识梳理 ) ) 12 ) ) 12 ) ) 12 ) ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1) 1 2 (2) 1 2 (3) 1 1 1 1 作业设计 1 1 解析 y 2 3 x. 2 3 解析 原式 20 20 00 20 2 32 3. 4 解析 1 1 1 191 19 45. 4 5 解析 易知 513， 为第三象限角， 1213. 22 1 5131 1213 5. 5 6 3 解析 设该等腰三角形的顶角为 ，则 45，底角大小为 12(180 ) 12 1 1 1 4535 3. 7 155 解析 52 3 ， | | 15， 0， 15. 54 232 ， 20. 由 1 2 35， 2 155 . 8 12 解析 是第三象限角， 45， 35. 5 1 1 11 1 1 35 45 12. 9 m 解析 ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ) m， ) ) m. 析 原式 ( 2( 2 1 12 1 12 21 4 1 32. 11 解 原式 12(20 0) 12(40 0) 12(00 20) 12(0 0 00) 34 12(200 0) 34 12(0 0) 34 34. 12 解 2 12， 6 2 2 2 2 2 2 2 21 2 121 14 45， 1 1 1 141 14 35. 6) 6 6 32 45 12 35 3 4 310 . 13 34 解析 由 2 135. 2 1 2 135 ， 45. 为第四象限角， 2 32 2 2 ， (k Z) 4 32 4 4 ， (k Z) 故 2 可能在第三、四象限， 又 45， 35， 34. 14解 m n ( 2， )， |m n| 2 2 2 4 2 2 4 4 2 1 4 . 由已知 |m n| 8 25 ，得 4) 725. 又 4) 2 2 8) 1， 所以 2 8) 1625. 7 2 ， 58 2 898 . 2 8)0. 2 8) 45. 1 第 3 章 三角恒等变换章末复习课 苏教版必修 4 课时目标 1灵活运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换 2体会三角恒等变换的工具性作用，掌握变换的思想和方法，提高推理和运算能力 知识结构 一、填空题 1 5 15 _. 2函数 f(x) x 4) x 4)的最小正周期是 _ 3函数 y 2x 的最小值是 _ 4若 8 5 6,8 5 10，则 ) _. 5若 3 0，则 1 的值为 _ 6函数 f(x) 最小正周期是 _ 7已知 是第三象限角，若 59，那么 _ 8已知函数 f(x) 3x x ( 0)， y f(x)的图象与直线 y 2 的两个相邻交点的距离等于 ，则 f(x)的单调递增区间是 _ 9已知 为第三象限的角， 35， 则 4 2 _. 10设 三个内角为 A， B， C，向量 m ( 3， )， n (， 3)，若 m n 1 B)，则 C 的值为 _ 二、解答题 11已知函数 f(x) 3 2x 6 2 x 12 (x R) (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合 2 12已知 13， 55 ， ， (0， ) (1)求 )的值； (2)求函数 f(x) 2x ) x )的最大值 能力提升 13当 y 2x 3x 取得最大值时， x 的值是 _ 14设函数 f(x) 4x 6 2x 1. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)若函数 y g(x)与 y f(x)的图象关于直线 x 1 对称，求当 x 0， 43 时， y g(x)的最大值 本章所学内容是三角恒等变换的重要工具，在三角式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质 章末复习课 作业设计 1 4 解析 原式 55 55 155 20 4. 3 2 解析 f(x) x 4) x 4) 4 x) x 4) x 4) x 4) x 2) x. T . 3 1 2 解析 y 2x 1 x x 1 2x 4 )， 1 2. 析 (8 5 )2 (8 5 )2 64 25 80( ) 89 80 ) 62 102 136. 80 ) 47， ) 4780. 析 3 0， 13， 1 2 11 2 13 2 11 13 103. 解析 f(x) 1 1 1 1 1 14 1 14 1 18x 78， T 24 2. 3 解析 ( )2 2 4 1 12 59， 89. 是第三象限角， 0. 2 23 . 8. 3 ， 6 ， k Z 解析 f(x) 3x t 2 x 6 y f(x)的图象与 y 2的两个相邻交点的距离为 ，故 函数 y f(x)的周期为 . 所以 2 ，即 x) 2 2x 6 2 2 x 6 2 2 得 2 23 2 x2 3 ，即 3 x 6(k Z) 9 17 解析 由题意， 得 2 2 32 (k Z)， 4 2 2 4 3. 0. 1 45. 43. 4 2 1 1 431 43 17. 解析 m n 3 3 3 B) 1 B)， 3 B) B) 3 2 6 C 1. 6 C 12， 6 C 56 或 6 C 6(舍去 )， C 23 . 11 解 (1) f(x) 3 x 12 1 x 12 5 2 32 x 12 12 x 12 1 2 2 x 12 6 1 2 2x 3 1， T 22 . (2)当 f(x)取得最大值时， 2x 3 1， 有 2x 3 2 2 ， 即 x 512 (k Z)， 所求 x 的集合为 x|x 512 ， k Z 12解 (1)由 55 ， (0， ) ， 得 2 55 ， 2， 所以 ) 1 1. (2)因为 13， (0， ) ， 所以 110， 310， f(x) 2( ) 3 55 x 55 x 55 x 2 55 x 5x， 又 1x1 ， 所以 f(x)的最大值为 5. 13 32 解析 y 2x 3x 13 213x 313x 13( x x) 13 x)， 当 x) 1， x 2 2 时 ， y 取到最大值 2 2 x， (k Z) x， x， x 213， x 313. x 32. 14 解 (1)f(x) x 6 32 x 32x 3 4 x 3 ， 故 f(x)的最 小正周期为 T 24 8. (2)在 y g(x)的图象上任取一点 (x， g(x)，它关于 x 1 的对称点为 (2 x， g(x) 由题设条件，点 (2 x， g(x)在 y f(x)的图象上， 从而 g(x) f(2 x) 3 4 x 3 3 2 4x 3 3 4x 3 . 当 0 x 43时， 3 4x 3 23 ，因此 y g(x)在区间 0， 43 上的最大值为 g(x)3 32 . 1 第 3 章 三角恒等变换 (A) (时间： 120 分钟 满分： 160 分 ) 一、填空题 (本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 ) 1 (12 12)(12 12) _. 2. 35 13 5 的值是 _ 3 已知 x y 23， x y 23， 且 x， y 为锐角 ， 则 x y) _. 4设 a 4 4 ， b 6 6 ， c 62 ，则 a、 b、 c 按从小到大的顺序排列为 _ 5已知 5 ) 55 ，则 _. 6若 x y 13， x y 14，则 x y)的值是 _ 7若函数 f(x) x ) 3x ) 为奇函数，则 的取值集合是_ 8已知 2 2， 2 32 62 ， bc. 从而 此 (0， 2) ) 45且 1213， ) ) ) 45 1213 35( 513) 3365. 15解 、 为方程 65x 1 0 的两根， 56， 16， ) 1 561 16 1. 0 2 ， 32 ， 2 ， 54 . 16解 (1)f( 3) 23 4 3 1 34 2 94. (2)f(x) 2(21) (1 4x 34x 1 3(x 23)2 73， x R. 因为 x 1,1， 所以，当 x 1 时， f(x)取得最大值 6； 当 x 23时， f(x)取得最小值 73. 17解 (1) a b， ab 0. 而 a (3 ， )， b (2 ， 5 4 )， 故 ab 6 5 4 0. 由于 0 ， 6 5 4 0. 解之，得 43，或 12. 32 ， 2 ， 0，故 12(舍去 ) 43. (2) 32 ， 2 ， 2 34 ， . 由 43，求得 2 12或 2 2(舍去 ) 2 55 ， 2 2 55 ， 7 2 3 2 3 2 3 2 55 12 55 32 2 5 1510 . 18 解 (1)f(x) 2 4 x 3x 1 2 2x 3x 1 x 3x 2 2x 3 1， 周期 T ； 2 2 2 x 3 2 2 ， 解得 f(x)的单调递增区间为 12， 512 (k Z) (2)x 4 ， 2 ， 所以 2x 3 6 ， 23 ， 2x 3 12， 1 ， 所以 f(x)的值域为 2,3 而 f(x) m 2，所以 m 2 2,3，即 m 0,1 19解 (1)由 f(x) 2 3x 21，得 f(x) 3(2x) (21) 3x x 22x 6)， 所以函数 f(x)的最小正周期为 . 因为 f(x) 22x 6)在区间 0， 6上为增函数，在区间 6 ， 2 上为减函数，又 f(0) 1， f( 6 ) 2， f( 2) 1，所以函数 f(x)在区间 0， 2上的最大值为 2，最小值为 1. (2)由 (1)可知 f( 22 6) 因为 f( 65，所以 2 6) 35. 由 4 ， 2，得 2 6 23 ， 76 ， 从而 6) 1 6 45. 所以 2 6) 6 6) 2 6) 3 4 310 . 8 20 解 (1) 21 43， 所以 1， 解得 45. (2)因为 0 2 ， 所以 0 . 因为 ) 210， 所以 ) 7 210 . 所以 ) ) ) 7 210 35 210 45 22 . 因为 2 ， ， 所以 34 . 1 第 3 章 三角恒等变换 (B) (时间： 120 分钟 满分： 160 分 ) 一、填空题 (本大题共 14 小题，每小题 5 分
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