二元一次方程组应用

1、某镇水库的可用水量为 12000 万 m3，假设年降水量不变，能维持该镇 16 万人 20 年的用水量为实施城镇化建设，新迁入了 4 万人后，水库只能 够维持居民 15 年的用水量 （1 ）问：年降水量为多少万 m3？每人年平均用水量多少 m3？ （2 ）政府号召节约用水，希望将水库的使用年限提高到 25 年则该镇居 民人均每年需节约多少 m3 水才能实现目标？ 【答案】解：（1）设年降水量为 x 万 m3，每人年平均用水量为 ym3， 由题意得， ，解得： 。 答：年降水量为 200 万 m3，每人年平均用水量为 50m3 （2 ）设该镇居民人均每年需节约 z m3 水才能实现目标， 由题意得，12000+25200=2025z，解得：z=34。 5034=16m3 答：设该镇居民人均每年需节约 16 m3 水才能实现目标。 【解析】 （1）设年降水量为 x 万 m3，每人年平均用水量为 ym3，根据题意 等量关系可得出方程组，解出即可。 （2 ）设该镇居民人均每年需节约 z m3 水才能实现目标，由等量关系得出方 程，解出即可。 2、根据图中给出的信息，解 答下列问题： （1 ）放入一个小球水面升高 ， ，放入一个大球水面升 高 ； （2 ）如果要使水面上升到 50 ，应放入大球、小球 各多少个？ 【答案】解：（1）设一个小 球使水面升高 x 厘米，由图意，得 3x=3226，解得 x=2。 设一个大球使水面升高 y 厘米，由图意，得 2y=3226，解得： y=3。 所以，放入一个小球水面升高 2cm，放入一个大球水面升高 3cm。 （2 ）设应放入大球 m 个，小球 n 个，由题意，得 ，解得： 。 答：如果要使水面上升到 50cm，应放入大球 4 个，小球 6 个。 【解析】 （1）设一个小球使水面升高 x 厘米，一个大球使水面升高 y 厘米， 根据图象提供的数据建立方程求解即可。 （2 ）设应放入大球 m 个，小球 n 个，根据题意列一元二次方程组求解即可。 3、夏季来临，天气逐渐炎热起来，某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调 了 10%，将某种果汁饮料每瓶的价格下调了 5%，已知调价前买这两种饮料 个一瓶共花费 7 元，调价后买上述碳酸饮料 3 瓶和果汁饮料 2 瓶共花费 17.5 元，问这两种饮料在调价前每瓶各多少元？ 【答案】解：设这两种饮料在调价前每瓶各 x 元、y 元， 根据题意得： ，解得： 。 答：调价前这种碳酸饮料每瓶的价格为 3 元，这种果汁饮料每瓶的价格为 4 元。 【解析】 试题分析：设这两种饮料在调价前每瓶各 x 元、y 元，根据“调价前买这两 种饮料个一瓶共花费 7 元” ， “ 调价后买上述碳酸饮料 3 瓶和果汁饮料 2 瓶共 花费 17.5 元” ，列出方程组，求出解即可。 4、端午节期间，某校“ 慈善小组”筹集到 1240 元善款，全部用于购买水果和 粽子，然后到福利院送给老人，决定购买大枣粽子和普通粽子共 20 盒，剩 下的钱用于购买水果，要求购买水果的钱数不少于 180 元但不超过 240 元已知大枣粽子比普通粽子每盒贵 15 元，若用 300 元恰好可以买到 2 盒 大枣粽子和 4 盒普通粽子 （1 ）请求出两种口味的粽子每盒的价格； （2 ）设买大枣粽子 x 盒，买水果共用了 w 元 请求出 w 关于 x 的函数关系式； 2 第 3 页 共 30 页 第 4 页 共 30 页 求出购买两种粽子的可能方案，并说明哪一种方案使购买水果的钱数最 多 【答案】解：（1）设买大枣粽子 x 元/ 盒，普通粽子 y 元 /盒， 根据题意得， ，解得 。 答：大枣粽子 60 元/盒，普通粽子 45 元/盒。 （2 ） 设买大枣粽子 x 盒，则购买普通粽子（20x ）盒，买水果共用了 w 元， 根据题意得，w=124060x45（20x ）=124060x900+45x= 15x+340， w 关于 x 的函数关系式为 w=15x+340。 要求购买水果的钱数不少于 180 元但不超过 240 元， 。 解不等式得，x10 ，解不等式得，x6 ， 所以，不等式组的解集是 6 x10 。 x 是正整数，x=7、8 、9、 10。 可能方案有： 方案一：购买大枣粽子 7 盒，普通粽子 13 盒， 方案二：购买大枣粽子 8 盒，普通粽子 12 盒， 方案三：购买大枣粽子 9 盒，普通粽子 11 盒， 方案四：购买大枣粽子 10 盒，普通粽子 10 盒。 在 w=15x+340 中， 150，w 随 x 的增大而减小。 方案一可使购买水果的钱数最多，最多为157+340=235 元。 【解析】 试题分析：（1）设买大枣粽子 x 元/ 盒，普通粽子 y 元/ 盒，根据两种粽子 的单价和购买两种粽子用 300 元列出二元一次方程组，然后求解即可。 （2 ） 表示出购买普通粽子的（20x）盒，然后根据购买水果的钱数等于 善款总数减去购买两种粽子的钱数，整理即可得解。 根据购买水果的钱数不少于 180 元但不超过 240 元列出不等式组，然后 求解得到 x 的取值范围，再根据粽子的盒数是正整数从而写出所有的可能购 买方案，再根据一次函数的增减性求出购买水果钱数最多的方案。 5、某镇水库的可用水量为 12000 万 m3，假设年降水量不变，能维持该镇 16 万人 20 年的用水量为实施城镇化建设，新迁入了 4 万人后，水库只能 够维持居民 15 年的用水量 （1 ）问：年降水量为多少万 m3？每人年平均用水量多少 m3？ （2 ）政府号召节约用水，希望将水库的使用年限提高到 25 年则该镇居 民人均每年需节约多少 m3 水才能实现目标？ （3 ）某企业投入 1000 万元设备，每天能淡化 5000m3 海水，淡化率为 70%每淡化 1m3 海水所需的费用为 1.5 元，政府补贴 0.3 元企业将淡化 水以 3.2 元/m 3 的价格出售，每年还需各项支出 40 万元按每年实际生产 300 天计算，该企业至少几年后能收回成本（结果精确到个位）？ 【答案】解：（1）设年降水量为 x 万 m3，每人年平均用水量为 ym3， 由题意得， ，解得： 。 答：年降水量为 200 万 m3，每人年平均用水量为 50m3 （2 ）设该镇居民人均每年需节约 z m3 水才能实现目标， 由题意得，12000+25200=2025z，解得：z=34。 5034=16m3 答：设该镇居民人均每年需节约 16 m3 水才能实现目标。 （3 ）该企业 n 几年后能收回成本， 由题意得， ， 解得：n 。 答：至少 9 年后企业能收回成本。 【解析】 （1）设年降水量为 x 万 m3，每人年平均用水量为 ym3，根据题意 等量关系可得出方程组，解出即可。 （2 ）设该镇居民人均每年需节约 z m3 水才能实现目标，由等量关系得出方 程，解出即可。 （3 ）该企业 n 年后能收回成本，根据投入 1000 万元设备，可得出不等式， 解出即可。 6、 背景资料 一棉花种植区的农民研制出采摘棉花的单人便携式采棉机（如图） ，采摘效 率高，能耗低，绿色环保，经测试，一个人操作该采棉机的采摘效率为 35 公斤/时，大约是一个人手工采摘的 3.5 倍，购买一台采棉机需 900 元，雇 人采摘棉花，按每采摘 1 公斤棉花 a 元的标准支付雇工工钱，雇工每天工作 8 小时 问题解决 （1 ）一个雇工手工采摘棉花，一天能采摘多少公斤？ （2 ）一个雇工手工采摘棉花 7.5 天获得的全部工钱正好 购买一台采棉机，求 a 的值； （3 ）在（2 ）的前提下，种植棉花的专业户张家和王家均雇人采摘棉花， 王家雇佣的人数是张家的 2 倍，张家雇人手工采摘，王家所雇的人中有 的人自带彩棉机采摘， 的人手工采摘，两家采摘完毕，采摘的天数刚 好一样，张家付给雇工工钱总额为 14400 元，王家这次采摘棉花的总重量 是多少？ 【答案】解：（1） 一个人操作该采棉机的采摘效率为 35 公斤/ 时，大约是 一个人手工采摘的 3.5 倍， 一个人手工采摘棉花的效率为：353.5=10 （公斤/时） ， 。 雇工每天工作 8 小时， 一个雇工手工采摘棉花，一天能采摘棉花：108=80（公斤） 。 （2 ）由题意，得 807.5a=900，解得 a= 。 （3 ）设张家雇佣 x 人采摘棉花，则王家雇佣 2x 人采摘棉花，其中王家所雇 的人中有 的人自带彩棉机采摘， 的人手工采摘，设两家雇佣的天数 为 y 天， 张家雇佣的 x 人全部手工采摘棉花，且采摘完毕后，张家付给雇工工钱总 额为 14400 元， ，即 。 王家这次采摘棉花的总重量是： ， 当 时， 。 王家这次采摘棉花的总重量是 51200 公斤。 【解析】 试题分析：（1）先根据一个人操作采棉机的采摘效率为 35 公斤/时，大约 是一个人手工采摘的 3.5 倍，求出一个人手工采摘棉花的效率，再乘以工作 时间 8 小时，即可求解。 （2 ）根据一个雇工手工采摘棉花 7.5 天获得的全部工钱正好购买一台采棉 机，列出关于 a 的方程，解方程即可。 （3 ）设张家雇佣 x 人采摘棉花，设两家雇佣的天数为 y 天，则根据张家付 给雇工工钱总额 14400 元，求出 ，然后由王家所雇的人中有 人 自带彩棉机采摘， 人手工采摘，两家采摘完毕，采摘的天数刚好一样， 即可得出王家这次采摘棉花的总重量。 7、 （ 2013 年四川自贡 8 分）某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统 计该校高一年级男生 740 人，使用了 55 间大寝室和 50 间小寝室，正好住 满；女生 730 人，使用了大寝室 50 间和小寝室 55 间，也正好住满 （1 ）求该校的大小寝室每间各住多少人？ （2 ）预测该校今年招收的高一新生中有不少于 630 名女生将入住寝室 80 4 第 7 页 共 30 页 第 8 页 共 30 页 间，问该校有多少种安排住宿的方案？ 【答案】解：（1）设该校的大寝室每间住 x 人，小寝室每间住 y 人，由题 意得： ，解得： 。 答：该校的大寝室每间住 8 人，小寝室每间住 6 人。 （2 ）设大寝室 a 间，则小寝室（ 80a）间，由题意得： ，解得：75a80。 a 为整数， a=75 时， 8075=5，a=76 时，80 a=4， a=77 时，80 a=3，a=78 时，80 a=2， a=79 时，80 a=1，a=80 时，80 a=0 共有 6 种安排住宿的方案。 【解析】 （1）首先设该校的大寝室每间住 x 人，小寝室每间住 y 人，根据关 键语句“高一年级男生 740 人，使用了 55 间大寝室和 50 间小寝室，正好住 满；女生 730 人，使用了大寝室 50 间和小寝室 55 间，也正好住满”列出方 程组即可。 （2 ）设大寝室 a 间，则小寝室（ 80a）间，由题意可得 a80，再根据关键 语句“ 高一新生中有不少于 630 名女生将入住寝室 80 间”可得不等式 8a+6（80 a）630，解不等式组即可。 考点：二元一次方程组和一元一次不等式的应用。 8、某公司欲租赁甲、乙两种设备，用来生产 A 产品 80 件、 B 产品 100 件已知甲种设备每天租赁费为 400 元，每天满负荷可生产 A 产品 12 件和 B 产品 10 件；乙种设备每天租赁费为 300 元，每天满负荷可生产 A 产品 7 件和 B 产品 10 件 （1 ）若在租赁期间甲、乙两种设备每天均满负荷生产，则需租赁甲、乙两 种设备各多少天恰好完成生产任务？ （2 ）若甲种设备最多只能租赁 5 天，乙种设备最多只能租赁 7 天，该公司 为确保完成生产任务，决定租赁这两种设备合计 10 天（两种设备的租赁天 数均为整数） ，问该公司共有哪几种租赁方案可供选择？所需租赁费最少是 多少？ 【答案】解：（1）设需租赁甲、乙两种设备分别为 x、y 天， 则依题意得 ，解得 。 答：需租赁甲种设备 2 天、乙种设备 8 天。 （2 ）设租赁甲种设备 a 天、乙种设备（ 10a）天，总费用为 w 元， 根据题意得， ，解得 3a5。 a 为整数，a=3、4、5。 根据题意得，w=400a+300（10a）=100a+3000， 1000，w 随 a 的增大而增大。 当 a=3 时，w 最小 =1003+3000=3300。 答：共有 3 种租赁方案：甲 3 天、乙 7 天； 甲 4 天、乙 6 天；甲 5 天、乙 5 天最少租赁费用 3300 元 【解析】 试题分析：（1）设需租赁甲、乙两种设备分别为 x、y 天，然后根据生产 A、B 产品的件数列出方程组，求解即可。 （2 ）设租赁甲种设备 a 天，表示出乙种设备（ 10a）天，然后根据租赁两 种设备的天数和需要生产的 A、B 产品的件数列出一元一次不等式组，求出 解集，再根据天数 a 是正整数设计租赁方案，然后求出各种方案的费用或列 出关于费用的一次函数，然后根据一次函数的增减性确定租赁费用最少的 方案。 9、小明和小亮两个人做加法，小明将其中一个加数后面多写了一个 ，得 和为 ，小亮将同一个加数后面少写了一个 ，所得和为 求原来 的两个加数 【答案】 ， 【解析】本题考查的是方程组的应用 根据等量关系：小明将其中一个加数后面多写了一个 ，得和为 ，小 亮将同一个加数后面少写了一个 ，所得和为 即可列出方程组，解出 即可。 设原来的两个加数分别为 ，由题意得 ，解得 ， 答：原来的两个加数分别为 、 。 10、实验中学组织爱心捐款支援灾区活动，九年级一班 55 名同学共捐款 1180 元，捐款情况见下表表中捐款 10 元和 20 元的人数不小心被墨水污 染已经看不清楚，请你帮助确定表中的数据 【答案】捐款 10 元和 20 元的同学分别为 4 人和 38 人 【解析】本题考查的是方程组的应用 根据等量关系：共 55 名同学，共捐款 1180 元，即可列出方程组，解出即 可。 设捐 10 元的同学有 人，捐 20 元的同学有 人，根据题意，得 化简，得 解这个方程组，得 答：捐款 10 元和 20 元的同学分别为 4 人和 38 人。 11、长沙市某公园的门票价格如下表所示： 购票人数 1 50 人 51 100 人 100 人以上 票价 10 元人 8 元人 5 元人 某校七年级甲、乙两班共 多人去该公园举行联欢活动，其中甲班 多 人，乙班不足 人如果以班为单位分别买票，两个班一共应付 元； 如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付 元问：甲、乙两 班分别有多少人？ 【答案】 ， 【解析】本题考查的是方程组的应用 根据等量关系：如果以班为单位分别买票，两个班一共应付 元；如果 两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付 元，即可列出方程组， 6 第 11 页 共 30 页 第 12 页 共 30 页 解出即可 设甲班有 人，乙班有 人，由题意得 ，解得 ， 答：甲班有 人，乙班有 人。 12、已知某电脑公司有 A 型、B 型、C 型三种型号的电脑，其价格分别为 A 型每台 6000 元，B 型每台 4000 元，C 型每台 2500 元.我市东坡中学计划将 100500 元钱全部用于从该公司购进其中两种不同型号的电脑共 36 台，请你 设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由. 【答案】第一种方案是购进 A 型电脑 3 台和 B 型电脑 33 台；第二种方案是 购进 B 型电脑 7 台和 C 型电脑 29 台. 【解析】本题考查的是方程组的应用 根据等量关系：共花 100500 元，两种不同型号的电脑共 36 台，分情况讨 论，列出方程组，解出即可。 设从该电脑公司购进 A 型电脑 x 台，购进 B 型电脑 y 台，购进 C 型电脑 z 台. 则 可分以下三种情况考虑： （1 ）只购进 A 型电脑和 B 型电脑，依题意可列方程组 解得 不合题意，应该舍去； （2 ）只购进 A 型电脑和 C 型电脑，依题意可列方程组 解得 （3 ）只购进 B 型电脑和 C 型电脑，依题意可列方程组 解得 答：有两种方案供该校选择，第一种方案是购进 A 型电脑 3 台和 B 型电脑 33 台；第二种方案是购进 B 型电脑 7 台和 C 型电脑 29 台 . 13、李明家和陈刚家都从甲、乙两供水点购买同一种桶装矿泉水，李明家 第一季度从甲、乙两供水点分别购买了 10 桶和 6 桶，共花费 51 元；陈刚 家第一季度从甲、乙两供水点分别购买了 8 桶和 12 桶，且在乙供水点比在 甲供水点多花 18 元钱.若只考虑价格因素，通过计算说明到哪家供水点购买 在喝种桶装矿泉水更便宜一些？ 【答案】甲 【解析】本题考查的是方程组的应用 根据等量关系：李明家第一季度从甲、乙两供水点分别购买了 10 桶和 6 桶， 共花费 51 元；陈刚家第一季度从甲、乙两供水点分别购买了 8 桶和 12 桶， 且在乙供水点比在甲供水点多花 18 元钱，即可列出方程组，解出即可比较。 设这种矿泉水在甲、乙两处每桶的价格分别为 元，根据题意，得 解这个方程组，得 因为 . 所以到甲供水点购买便宜一些. 14、某同学在 A、B 两家超市发现他看中的随身听的单价相同， 书包单价 也相同随身听和书包单价之和是 452 元，且随身听的单价比书包单价的 4倍少 8 元 （1 ）求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元？ （2 ）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市 A 所有商品打八折销售， 超市 B 全场购满 100 元返购物券 30 元销售（不足 100 元不返券，购物券全 场通用） ， 但他只带了 400 元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样 物品， 你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家 购买更省钱？ 【答案】 （1）书包的单价是 92 元，随身听的单价是 360 元（2）在超市 A 购买要省钱 【解析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组. （1）根据随 身听和书包单价之和是 452 元，列方程求解即可；（2）根据两商家的优惠 方式分别计算是否两家都可以选择，比较钱数少的则购买更省钱 解：（1）设书包的单价为 x 元，随身听的单价为 y 元，依题意，得 解这个方程组，得 答：书包的单价是 92 元，随身听的单价是 360 元 （2 ）在超市 A 购买随身听与书包各一件需花费现金： 45280%=361.6（元） 361.6400，可以在超市 A 购买 在超市 B 可先花费现金 360 元购买随身听，再利用得到的 90 返券，加上 2 元现金购买书包，总计共花费现金： 360+2=362（元） 362361. 6，在超市 A 购买要省钱 15、某校初三（2 ）班 40 名同学为“希望工程”捐款， 共捐款 100 元捐款 情况如下表： 捐款（元） 1 2 3 4 人数 6 7 表格中捐款 2 元和 3 元的人数不小心被墨水污染已看不清楚 若设捐款 2 元的有 x 名同学，捐款 3 元的有 y 名同学，根据题意，可得方程 组（ ） A B C D （2 ） （2005 年，乌鲁木齐）为满足市民对优质教育的需求， 某中学决定改 变办学条件，计划拆除一部分旧校舍、建造新校舍拆除旧校舍每平方米 需 80 元， 建造新校舍每平方米需 700 元计划在年内拆除旧校舍与建造 新校舍共 7200 平方米， 在实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了计 划的 80%， 而拆除旧校舍则超过了计划的 10%，结果恰好完成了原计划的 拆、建总面积 求原计划拆、建面积各是多少平方米？ 若绿化 1 平方米需 200 元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金 用来绿化大约是多少平方米？ 【答案】 （1）A （2）原计划拆除旧校舍 4800 平方米，新建校舍 2400 平方 米， 实际施工中节约的资金可绿化 1488 平方米 【解析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组.（1）等量关系 为：捐 2 元人数+ 捐 3 元人数=40-6-7；捐 2 元钱数+ 捐 3 元钱数 =100-16- 47 （2）要求原计划拆、建面积，就要先设出未知数，再通过理解题意 可知本题的等量关系，即实际拆、建面积之和=原计划拆、建面积之和 =72000 平方米，再根据这个等量关系列方程求解； 先分别求出计划与实 际完成的拆、建所花资金，进而求出节余的资金，再除以每绿化一平方米 的新校舍所需的钱数便可得出所求 （1 ） A （2 ）解：设原计划拆除旧校舍 x 平方米，新建校舍 y 平方米，根据题意得： 解得 答：原计划拆除旧校舍 4800 平方米，新建校舍 2400 平方米 实际比原计划拆除与新建校舍节约资金是： （480080+2400700）-=297600 （元） 用此资金可绿化面积是 297600200=1488（平方米） 答：原计划拆除旧校舍 4800 平方米，新建校舍 2400 平方米， 实际施工中 节约的资金可绿化 1488 平方米 8 第 15 页 共 30 页 第 16 页 共 30 页 16、 （ 1）某水果批发市场香蕉的价格如下表： 购买香蕉数 不超过 20 千克 超过 20 千克但 不超过 40 千克 40 千克 以上 每千克价格 6 元 5 元 4 元 张强两次共购买香蕉 50 千克（第二次多于第一次） ，共付出 264 元， 请 问张强两次各购买香蕉多少千克 （2 ）宏泰毛纺厂购进由甲、乙两种原料配成的两种材料，已知一种材料按 甲：乙=5：4 配料，每吨 50 元；另一种材料按甲：乙=3：2 配料，每吨 48.6 元求甲、 乙两种原料的价格各是多少？ 【答案】 （1）第一次购买香蕉 14 千克，第二次购买香蕉 36 千克 （2 ）甲、 乙两种原料的价格分别是 36 元/ 吨、67.5 元/吨 【解析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组. （1 ）两个等量关系为：第一次买的千克数+ 第二次买的千克数=50 ；第一次 出的钱数+第二次出的钱数 =264对张强买的香蕉的千克数，应分情况讨论： 当 0x20 ，y40；当 0x20，y40 当 20x25 时，则 25 y30 （2 ） “按甲：乙5：4 配料”是指一吨这种配料中有甲原料 吨，乙原料 吨. 两个等量关系为：甲：乙=5：4 配料，每吨 50 元；另一种材料按甲： 乙=3 ：2 配料，每吨 48.6 元,据此可列方程组求解 （1 ）解：设张强第一次购买香蕉 x 千克，第二次购买香蕉 y 千克，由题意， 得 040 时，由题意，得 解得： （不合题意，舍去） 当 20x25 时，25y30此时张强用去的款项为 5x+5y=5（x+y ） =550=250264 （不合题意，舍去） 综合可知，强张第一次购买香蕉 14 千克，第二次购买香蕉 36 千 克 （2 ）解：设甲、乙两种原料的价格分别是每吨 x 元，每吨 y 元，依题意， 得 整理，得 解这个方程组，得 答：甲、乙两种原料的价格分别是 36 元/ 吨、67.5 元/吨 17、革命老区百色某芒果种植基地，去年结余 500 万元，估计今年可结余 960 万元， 并且今年的收入比去年高 15%，支出比去年低 10%，求去年的 收入与支出各是多少万元？ 【答案】去年的收入是 2040 万元，支出是 1540 元 【解析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组. 等量关系是： 去年的收入-去年的支出=500 万元今年的收入-今年的支出=960 万元然 后根据这两个等量关系来列方程组 解：设去年的收入是 x 万元，支出是 y 万元，依题意，得 解这个方程组，得 答：去年的收入是 2040 万元，支出是 1540 元 18、据研究，当洗衣机中洗衣粉的含量在 0.20.5 之间时，衣服的洗涤 效果较好，因为这时表面活性较大现将 4.94kg 的衣服放入最大容量为 15kg 的洗衣机中，欲使洗衣机中洗衣粉的含量达到 ，那么洗衣机中需 要加入多少千克水，多少匙洗衣粉？（1 匙洗衣粉约 0.02kg，假设洗衣机以 最大容量洗涤） 【答案】洗衣机中需加入 10 千克水，3 匙洗衣粉 【解析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程. 等量关系：衣服 的容量+水的容量 +洗衣粉的容量 =15，洗衣粉的容量=150.4%，直接设未知 数，根据等量关系列出方程组， 设洗衣机中需加入 千克水， 匙洗衣粉 由题意得 解得 所以，洗衣机中需加入 10 千克水，3 匙洗衣粉 19、某储蓄所去年储户存款为 2300 万元，今年与去年相比，定期存款增加 了 25，而活期存款减少了 25，但存款总额增加了 15，问今年的定期、 活期存款各是多少？ 【答案】定期 2300 万元，活期 345 万元 【解析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组不能直接设 未知量，要先设去年的定期和活期存款，根据题意可得出等量关系为：现 有定期存款+现有的活期存款= 现有的总存款数 解：设去年的定期存款为 x 万元，去年的活期存款为 y 万元， 则 解得 所以现有定期存款为（1+25%）x=2300（万元） ，现有活期存款为（1-25% ） y=345（万元） 答：定期 2300 万元，活期 345 万元 20、 一千零一夜中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢 歌，另一部分在树下觅食，树上的一只鸽子对树下觅食的鸽子说：“若从你 们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个个群的 ；若从树上飞下去一只， 则树上、树下的鸽子就一样多拉。 ”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？ 【答案】树上 7 只，树下 5 只 【解析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组要求树上、 树下各有多少只鸽子吗？就要设树上有 x 只鸽子，树下有 y 只鸽子，然后根 据若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的 ；列出一个方 程，再根据若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子有一样多，列一个 方程组成方程组，解方程组即可 解：设树上有 x 只鸽子，树下有 y 只鸽子 由题意可： 解之可得： 答：树上原有 7 只鸽子，树下有 5 只鸽子 3、一人驾驶快船沿江顺流而下，迎面遇到一艘逆流而上的快艇他问快艇 驾驶员：“你后面有轮船开过吗”快艇驾驶员回答：“ 半小时前我超过一艘轮 船”快船继续航行了半小时，遇到了迎面而来的轮船已知轮静水 速度是快船静水速度的 2 倍，那么快艇静水速度是快船的静水速度的_ 倍 5 本题中需要注意的一点是：快艇和轮船都是逆流行驶，而快船是顺流而 行等量关系是：快艇 0.5 小时逆流行驶的路程= 轮船逆流行驶两个 0.5 小 时行驶的路程+ 快船顺流 0.5 小时行驶的路程，据此可列方程求解 10 第 19 页 共 30 页 第 20 页 共 30 页 解：设水流速度是 a，快船的静水速度是 x，快艇的静水速度是 y，依题意 可得轮船的静水速度为 2x， 则：0.5（x+a ）+（2x a）=0.5 （y a） 解得：y=5x 即快艇静水速度是快船的静水速度的 5 倍 故填 5 4、如图，商店里把一些塑料凳整 齐地叠放在一起，当有 11 张塑料 凳整齐地叠放在一起时的高度是 _ 设凳面的高度为 xcm，凳脚的高 度为 ycm，根据图象建立方程组 求其解救可以了 解：设凳面的高度为 xcm，凳脚的高度为 ycm，由题意，得 ，解得： ， 故 11 张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度为：311+20=53cm ， 故答案为：53cm 5、现有八个大小相同的矩形，可拼成如图 1、2 所示的图形，在拼图 2 时， 中间留下了一个边长为 2 的小正方形，则每个小矩形的面积是_ 设小矩形的宽是 x，长是 y，根据图 1 可得到长和宽的一个方程，根据图 2 也可得到一个方程，从而可列出方程组求解 解：设小矩形的宽是 x，长是 y， ，解得： 小矩形的面积为：6 10=60故答案为： 60 1、 （ 2013 年四川自贡 8 分）某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统 计该校高一年级男生 740 人，使用了 55 间大寝室和 50 间小寝室，正好住 满；女生 730 人，使用了大寝室 50 间和小寝室 55 间，也正好住满 （1 ）求该校的大小寝室每间各住多少人？ （2 ）预测该校今年招收的高一新生中有不少于 630 名女生将入住寝室 80 间，问该校有多少种安排住宿的方案？ 【答案】解：（1）设该校的大寝室每间住 x 人，小寝室每间住 y 人，由题 意得： ，解得： 。 答：该校的大寝室每间住 8 人，小寝室每间住 6 人。 （2 ）设大寝室 a 间，则小寝室（ 80a）间，由题意得： ，解得：75a80。 a 为整数， a=75 时， 8075=5，a=76 时，80 a=4， a=77 时，80 a=3，a=78 时，80 a=2， a=79 时，80 a=1，a=80 时，80 a=0 共有 6 种安排住宿的方案。 【解析】 （1）首先设该校的大寝室每间住 x 人，小寝室每间住 y 人，根据关 键语句“高一年级男生 740 人，使用了 55 间大寝室和 50 间小寝室，正好住 满；女生 730 人，使用了大寝室 50 间和小寝室 55 间，也正好住满”列出方 程组即可。 （2 ）设大寝室 a 间，则小寝室（ 80a）间，由题意可得 a80，再根据关键 语句“ 高一新生中有不少于 630 名女生将入住寝室 80 间”可得不等式 8a+6（80 a）630，解不等式组即可。 考点：二元一次方程组和一元一次不等式的应用。 2、某公司欲租赁甲、乙两种设备，用来生产 A 产品 80 件、 B 产品 100 件已知甲种设备每天租赁费为 400 元，每天满负荷可生产 A 产品 12 件和 B 产品 10 件；乙种设备每天租赁费为 300 元，每天满负荷可生产 A 产品 7 件和 B 产品 10 件 （1 ）若在租赁期间甲、乙两种设备每天均满负荷生产，则需租赁甲、乙两 种设备各多少天恰好完成生产任务？ （2 ）若甲种设备最多只能租赁 5 天，乙种设备最多只能租赁 7 天，该公司 为确保完成生产任务，决定租赁这两种设备合计 10 天（两种设备的租赁天 数均为整数） ，问该公司共有哪几种租赁方案可供选择？所需租赁费最少是 多少？ 【答案】解：（1）设需租赁甲、乙两种设备分别为 x、y 天， 则依题意得 ，解得 。 答：需租赁甲种设备 2 天、乙种设备 8 天。 （2 ）设租赁甲种设备 a 天、乙种设备（ 10a）天，总费用为 w 元， 根据题意得， ，解得 3a5。 a 为整数，a=3、4、5。 根据题意得，w=400a+300（10a）=100a+3000， 1000，w 随 a 的增大而增大。 当 a=3 时，w 最小 =1003+3000=3300。 答：共有 3 种租赁方案：甲 3 天、乙 7 天； 甲 4 天、乙 6 天；甲 5 天、乙 5 天最少租赁费用 3300 元 【解析】 试题分析：（1）设需租赁甲、乙两种设备分别为 x、y 天，然后根据生产 A、B 产品的件数列出方程组，求解即可。 （2 ）设租赁甲种设备 a 天，表示出乙种设备（ 10a）天，然后根据租赁两 种设备的天数和需要生产的 A、B 产品的件数列出一元一次不等式组，求出 解集，再根据天数 a 是正整数设计租赁方案，然后求出各种方案的费用或列 出关于费用的一次函数，然后根据一次函数的增减性确定租赁费用最少的 方案。 3、甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠 方案：在甲商场累计购物超过 100 元后，超出 100 元的部分按 90%收费； 在乙商场累计购物超过 50 元后，超出 50 元的部分按 95%收费，设小红在 同一商场累计购物 x 元，其中 x100 （1 ）根据题题意，填写下表（单位：元） 累计购物实际花费 130 290 x 在甲商场 127 在乙商场 126 （2 ）当 x 取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？ 12 第 23 页 共 30 页 第 24 页 共 30 页 （3 ）当小红在同一商场累计购物超过 100 元时，在哪家商场的实际花费少？ 【答案】解：（1）填表如下： 累计购物实际花费 130 290 x 在甲商场 127 271 0.9x+10 在乙商场 126 278 0.95x+2.5 （2 ）根据题意得：0.9x+10=0.95x+2.5 ， 解得：x=150。 答：当 x=150 时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同。 （3 ）由 0.9x+100.95x+2.5 解得：x150， 由 0.9x+100.95x+2.5，解得： x150， 当小红累计购物大于 150 时上没封顶，选择甲商场实际花费少； 当小红累计购物超过 100 元而不到 150 元时，在乙商场实际花费少。 【解析】 试题分析：（1）根据已知得出： 在甲商场：100+（290100）0.9=271，100+（290100）0.9x=0.9x+10； 在乙商场：50+（29050 ）0.95=278，50+（29050）0.95x=0.95x+2.5。 （2 ）根据题中已知条件，求出 0.95x+2.5，0.9x+10 相等，从而得出正确结 论。 （3 ）根据 0.95x+2.5 与 0.9x+10 相比较，从而得出正确结论。 4、已知关于 x、y 的方程组 的解满足不等式组 。求满足条件的 m 的整数值。 【答案】解：由关于 x、y 的方程组 ，得 ； ，得 。 关于 x、y 的方程组 的解满足不等式组 ， 将 代入不等式组，得 ，解得 。 满足条件 的 m 的整数值为：3，2。 【解析】将方程组通过 和 变形后整体代入不等式组，化为 一元一次不等式组，解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等 式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小， 大小小大中间找，大大小小解不了（无解） 。最后求出满足条件的 m 的整数 值。 5、解不等式组： 【答案】解：解得：2x5， ， 解得： ，x3， 不等式组的解集为 【解析】 试题分析：解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集， 再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中 间找，大大小小解不了（无解） 。 6、 （ 1）解不等式组 并把解集在数轴上表示出来； （2 ）如图，已知墙高 AB 为 6.5 米，将一长为 6 米的梯子 CD 斜靠在墙面， 梯子与地面所成的角BCD=55，此时梯子的顶端与墙顶的距离 AD 为多少米？ （结果精确到 0.1 米） （参考数据：sin550.82 ，cos550.57，tan551.43） 【答案】 （1）解： ， 解不等式得：x3， 解不等式得，x 1， 则不等式的解集为：1 x3。 不等式组的解集在数轴上表示为： （2 ）解：在 RtBCD 中， DBC=90，BCD=55，CD=6 米， BD=CDsinBCD=6sin5560.82=4.92（米） 。 AD=ABBD6.54.92=1.581.6（米） 。 答：梯子的顶端与墙顶的距离 AD 为 1.6 米 【解析】 试题分析：（1）解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的 解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小 小大中间找，大大小小解不了（无解） 。 不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示 出来（，向右画；， 向左画） ，数轴上的点把数轴分成若干段，如果 数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就 是不等式组的解集有几个就要几个。在表示解集时“”， “”要用实心圆点 表示；“” ， “”要用空心圆点表示。 （2 ）在 RtBCD 中，根据BCD=55，CD=6 米，解直角三角形求出 BD 的长 度，继而可求得 AD=ABBD 的长度。 7、解不等式组： 【答案】解： ， 解得，x3； 解得，x5， 原故此不等式组的解集为：x3。 【解析】 试题分析：解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集， 再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中 间找，大大小小解不了（无解） 。 8、已知两个语句： 式子 的值在 1(含 1)与 3(含 3)之间； 式子 的值不小于 1 且不大于 3 请回答以下问题： （1 ）两个语句表达的意思是否一样( 不用说明理由)？ （2 ）把两个语句分别用数学式子表示出来 【答案】解：（1）一样。 （2 ） 式子 2x1 的值在 1（含 1）与 3（含 3）之间可得 12x13。 式子 2x1 的值不小于 1 且不大于 3 可得 。 【解析】 试题分析：（1）注意分析“ 在 1（含 1）与 3（含 3）之间”及“ 不小于 1 且不 大于 3”的意思即可。 （2 ）根据题意可得不等式组 12x13 和 。 9、已知 是关于 的不等式 的解，求 的取值范围。 14 第 27 页 共 30 页 第 28 页 共 30 页 【答案】解： 是关于 的不等式 的解， ，解得 a4。 a 的取值范围是 a4。 【解析】先根据不等式的解的定义，将 x=3 代入不等式 ， 得到 ，解此不等式，即可求出 a 的取值范围。 10、雅安地震后，政府为安置灾民，从某厂调拨了用于搭建板房的板材 5600m2 和铝材 2210m，计划用这些材料在某安置点搭建甲、乙两种规格的 板房共 100 间，若搭建一间甲型板房或一间乙型板房所需板材和铝材的数 量如下表所示： 板房规格 板材数量（m 2） 铝材数量（m） 甲型 40 30 乙型 60 20 请你根据以上信息，设计出甲、乙两种板房的搭建方案 【答案】解：设甲种板房搭建 x 间，则乙种板房搭建（100x）间，根据题 意得： ，解得：20x21。 x 只能取整数，x=20 ，21。 共有 2 种搭建方案： 方案一：甲种板房搭建 20 间，乙种板房搭建 80 间， 方案二：甲种板房搭建 21 间，乙种板房搭建 79 间。 【解析】设甲种板房搭建 x 间，则乙种板房搭建（100x ）间，根据题意列 出不等式组，再根据 x 只能取整数，求出 x 的值，即可得出答案。 11、 （ 2013 年四川泸州 7 分）某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创 办特色学校”的会议精神，决心打造“书香校园” ，计划用不超过 1900 本科技 类书籍和 1620 本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共 30 个.已知组建