【步步高】2014届高考数学大一轮复习 专题1-5配套课件 理（打包5
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【步步高】2014届高考数学大一轮复习 专题1-5配套课件 理（打包5,步步高,高考,数学,一轮,复习,温习,专题,配套,课件,打包
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专题四 数列的综合应用 数学 R A（理） 第六章 数 列 基础知识 自主学习 要点梳理 不同点 相同点 等差 数列 (1) 强调从第二项起每一项与前一项的差； (2) d 可以为零； (3) 等差中项唯一 等比 数列 (1) 强调从第二项起每一项与前一项的比； (2) q 均不为零； (3) 等比中项有两个值 (1) 都强调从第二项起每一项与前一项的关系； (2) 结果都必须是同一个常数； (3) 数列都可由 d或 q 确定 1 等比数列与等差数列比较表 基础知识 自主学习 要点梳理 2 数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题 数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、分期付款、合理定价等 3 解答数列应用题的基本步骤 (1) 审题 仔细阅读材料，认真理解题意 (2) 建模 将已知条件翻译成数学 ( 数列 ) 语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征 (3) 求解 求出该问题的数学解 (4) 还原 将所求结果还原到原实际问题中 基础知识 自主学习 要点梳理 4 数列应用题常见模型 ( 1 ) 等差模型 ： 如果增加 ( 或减少 ) 的量是一个固定量时 ， 该模型是等差模型 ， 增加 ( 或减少 ) 的量就是公差 ( 2 ) 等比模型 ： 如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时 ，该模型是等比模型 ， 这个固定的数就是公比 ( 3 ) 递推数列模型 ： 如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定 ， 随项的变化而变化时 ， 应考虑是 1的递推关系 ， 还是 n 1之间的递推关系 题号 答案 解析 1 2 3 4 5 基础知识 自主学习 基础自测 115 10 2 n 1 2 n 22 n C 题型分类 深度剖析 题型一 等差数列与等比数列的综合应用 思维启迪 解析 探究提高 【 例 1 】 在等差数列 中， 30 ，50. ( 1) 求数列 的通项 ( 2) 令 102 证明：数列 为等比数列 题型分类 深度剖析 题型一 第 ( 1 ) 问列首项 a 1 与公差 d 的方程组求 a n ；第 ( 2 ) 问利用定义证明 思维启迪 解析 探究提高 等差数列与等比数列的综合应用 【 例 1 】 在等差数列 中， 30 ，50. ( 1) 求数列 的通项 ( 2) 令 102 证明：数列 为等比数列 【 例 1 】 在等差数列 中， 30 ，50. ( 1) 求数列 的通项 ( 2) 令 102 证明：数列 为等比数列 题型分类 深度剖析 题型一 思维启迪 解析 探究提高 等差数列与等比数列的综合应用 ( 1 ) 解 由 a n a 1 ( n 1 ) d ， a 10 30 ， a 20 50 ， 得方程组 a 1 9 d 30 ，a 1 19 d 50 ， 解得 a 1 12 ，d 2. a n 12 ( n 1 ) 2 2 n 10. ( 2) 证明 由 ( 1) ，得 b n 2 2 n 10 10 2 2 n 4 n ， b n 1b n 4n 14 n 4 ， b n 是首项是 4 ，公比 q 4 的等比数列 102 例 1 】 在等差数列 中， 30 ，50. ( 1) 求数列 的通项 ( 2) 令 102 证明：数列 为等比数列 题型分类 深度剖析 题型一 对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前 n 项和；分析等差、等比数列项之间的关系往往用到转化与化归的思想方法 思维启迪 解析 探究提高 等差数列与等比数列的综合应用 变式训练 1 数列 a n 的前 n 项和记为 S n ， a 1 1 ， a n 1 2 S n 1 ( n 1) ( 1) 求 a n 的通项公式； ( 2) 等差数列 b n 的各项为正，其前 n 项和为 T n ，且 T 3 15 ，又 a 1 b 1 ，a 2 b 2 ， a 3 b 3 成等比数列，求 T n . 题型分类 深度剖析 解 ( 1) 由 a n 1 2 S n 1 ，可得 a n 2 S n 1 1 ( n 2) ， 两式相减得 a n 1 a n 2 a n ，则 a n 1 3 a n ( n 2) 又 a 2 2 S 1 1 3 ， a 2 3 a 1 . 故 a n 是首项为 1 ，公比为 3 的等比数列， a n 3 n 1 . ( 2) 设 b n 的公差为 d ， 由 T 3 15 ， b 1 b 2 b 3 15 ，可得 b 2 5 ， 变式训练 1 数列 a n 的前 n 项和记为 S n ， a 1 1 ， a n 1 2 S n 1 ( n 1 ) ( 1 ) 求 a n 的通项公式 ； ( 2 ) 等差数列 b n 的各项为正 ， 其前 n 项和为 T n ， 且 T 3 15 ， 又 a 1 b 1 ，a 2 b 2 ， a 3 b 3 成等 比数列 ， 求 T n . 题型分类 深度剖析 故可设 b 1 5 d ， b 3 5 d ， 又 a 1 1 ， a 2 3 ， a 3 9 ， 由题意可得 (5 d 1) ( 5 d 9) (5 3) 2 ， 解得 d 1 2 ， d 2 10. 等差数列 b n 的各项为正， d 0 ， d 2 ， b 1 3 ， T n 3 n n n 1 2 2 n 2 2 n . 【 例 2 】 已知函数 f ( x ) x x 2( 01 2 n 1 n 1 n 0 ， 数列与函数的综合应用 a n 1 a n ， a n 是递增数列 方法二 a n 1 n 1 n 1 2 1n n 2 1 n 1n 1 n 1 2 1 a n ， a n 是递增数列 题型分类 深度剖析 题型二 思维启迪 解析 探究提高 本题融数列、方程、函数单调性等知识为一体，结构巧妙、形式新颖，着重考查逻辑分析能力 数列与函数的综合应用 【 例 2 】 已知函数 f ( x ) x x 2( 00 且 b 1 ， b ， r 均为常数 ) 的图象上 ( 1 ) 求 r 的值 ； ( 2 ) 当 b 2 时 ， 记 b n n 14 a n( n N*) ， 求数列 b n 的前 n 项和 T n . 题型分类 深度剖析 解 ( 1) 由题意， S n b n r ， 当 n 2 时， S n 1 b n 1 r . 所以 a n S n S n 1 b n 1 ( b 1) 由于 b 0 且 b 1 ， 所以 n 2 时， a n 是以 b 为公比的等比数列 又 a 1 b r ， a 2 b ( b 1) ， a 2a 1 b ，即b b 1 b r b ，解得 r 1. 变式训练 2 等比数列 a n 的前 n 项和为 S n ， 已知对任意的 n N*， 点( n ， S n ) 均在函数 y r ( b 0 且 b 1 ， b ， r 均为常数 ) 的图象上 ( 1 ) 求 r 的值 ； ( 2 ) 当 b 2 时 ， 记 b n n 14 a n( n N*) ， 求数列 b n 的前 n 项和 T n . 题型分类 深度剖析 ( 2) 由 ( 1) 知， n N * ， a n ( b 1) b n 1 2 n 1 ， 所以 b n n 14 2 n 1 n 12 n 1 . T n 22 2 32 3 42 4 n 12 n 2 ， 12 T n 22 3 32 4 n2 n 1 n 12 n 2 ， 两式相减得 12 T n 22 2 12 3 12 4 12 n 1 n 12 n 2 变式训练 2 等比数列 a n 的前 n 项和为 S n ， 已知对任意的 n N*， 点( n ， S n ) 均在函数 y r ( b 0 且 b 1 ， b ， r 均为常数 ) 的图象上 ( 1 ) 求 r 的值 ； ( 2 ) 当 b 2 时 ， 记 b n n 14 a n( n N*) ， 求数列 b n 的前 n 项和 T n . 题型分类 深度剖析 12 12 3 1 12 n 11 12n 12 n 234 12 n 1n 12 n 2， 故 T n 32 12 n n 12 n 1 32 n 32 n 1 ， n N * . 【例 3 】 ( 2012 广东 ) 设数列 的前n 项和为 足 2 1 2n 1 1 ， n N*，且 5 ， ( 1) 求 ( 2) 求数列 的通项公式； ( 3) 证明：对一切正整数 n ，有1 1 2 n 2( n 2 n ) 1 2 n 2 2 n 2 2 n ( n 1) ， 1a n 13 n 2 n 0 b n ， 有 250 ( n 1) 50 40 0 ( ) n 1 . 当 n 5 时， a 5 0 b 6 ， 满足上述不等式的最小正整数 n 为 6. 到 2013 年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85 % . 题型四 数列的实际应用 思维启迪 解析 探究提高 题型分类 深度剖析 解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题，这恰好是数学实际应用的具体体现 【 例 4 】 某市 2008 年新建住房 400万平方米 ， 其中有 25 0 万平方米是中低价房 ， 预计在今后的若干年内 ，该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8 % 每年新建住房中 ，中低价房的面积均比上一年增加 50万平方米 那么 ， 到哪一年底 ： ( 1 ) 该市历年所建中低价房的累计面积 ( 以 2008 年为累计的第一年 ) 将首次不少于 4 750 万平方米 ？ ( 2 ) 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85 % ？ ( 参考数据 ： 1. 084 题型四 数列的实际应用 思维启迪 解析 探究提高 变式训练 4 今年 “ 十一 ” 期间，北京十家重点公园将举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨 6 时 30 分有 2 人进入公园，接下来的第一个 30 分钟内有 4 人进去 1人出来，第二个 30 分钟内有 8 人进去 2 人出来，第三个 30 分钟内有16 人进去 3 人出来，第四个 30 分钟内有 32 人进去 4 人出来 按照这种规律进行下去，到上午 11 时30 分公园内的人数是 ( ) A 211 47 B 212 57 C 213 68 D 214 80 题型分类 深度剖析 解析 由题意，可知从早晨 6 时30 分开始，接下来的每个 30 分钟内进入的人数构成以 4 为首项， 2为公比的等比数列，出来的人数构造以 1 为首项， 1 为公差的等差数列，记第 n 个 30 分钟内进入公园的人数为 n 个 30 分钟内出来的人数为 4 2n 1，n ，则上午 11 时 30 分公园内的人数 为 S 2 4 1 2101 210 1 10 2 212 57. B 典例 ： ( 12 分 ) 已知数列 a n 的前 n 项和为 S n ，且满足 a 1 12， a n 2 S n S n 1 ( n 2) ( 1) 求数列 a n 的通项公式 a n ； ( 2) 求证： 1214 n. 审 题 视 角 规 范 解 答 温 馨 提 醒 思想与方法 题型分类 深度剖析 典例 ： ( 12 分 ) 已知数列 a n 的前 n 项和为 S n ，且满足 a 1 12， a n 2 S n S n 1 ( n 2) ( 1) 求数列 a n 的通项公式 a n ； ( 2) 求证： 1214 n. 规 范 解 答 温 馨 提 醒 题型分类 深度剖析 ( 1 ) 从求证内容来看，首先要求出 S n . ( 2 ) 从 S n 与 S n 1 的递推关系来看，可考虑构造新数列1S n. ( 3 ) 可考虑用放缩法证明 思想与方法 审 题 视 角 典例 ： ( 12 分 ) 已知数列 a n 的前 n 项和为 S n ，且满足 a 1 12， a n 2 S n S n 1 ( n 2) ( 1) 求数列 a n 的通项公式 a n ； ( 2) 求证： 1214 n. ( 1 ) 解 a n 2 S n S n 1 ( n 2 ) ， S n S n 1 2 S n S n 1 . 规 范 解 答 温 馨 提 醒 题型分类 深度剖析 审 题 视 角 思想与方法 两边同除以 S n S n 1 ，得 1S n 1S n 1 2 ( n 2) ， 2分 数列 1S n 是以 1S 1 1a 1 2 为首项，以 d 2 为公差的等差数列， 3分 1S n 1S 1 ( n 1) d 2 2( n 1) 2 n ， S n 12 n . 5分 将 S n 12 n 代入 a n 2 S n S n 1 ， 典例 ： ( 12 分 ) 已知数列 a n 的前 n 项和为 S n ，且满足 a 1 12， a n 2 S n S n 1 ( n 2) ( 1) 求数列 a n 的通项公式 a n ； ( 2) 求证： 1214 n. 得 a n 12 n 1 ，12 n 2 n 2 n 2 范 解 答 温 馨 提 醒 题型分类 深度剖析 审 题 视 角 6分 ( 2) 证明 S 2n 14 n 2 a n 满足 a n f ( n ) ( n N*) ， 且 a n 是递增数列 ， 则实数 a 的取值范围是 ( ) A 94， 3 B 94， 3 C ( 2 , 3 ) D ( 1 , 3 ) 解 析 专项基础训练 2 3 4 5 6 7 8 9 1 练出高分 3 已知函数 f ( x ) 3 a x 3 ， x 7 ， 6， x a n 满足 a n f ( n ) ( n N*) ， 且 a n 是递增数列 ， 则实数 a 的取值范围是 ( ) A 94， 3 B 94， 3 C ( 2 , 3 ) D ( 1 , 3 ) 解 析 数列 a n 满足 a n f ( n ) ( n N * ) ，则函数 f ( n ) 为增函数， 注意 a 8 6 ( 3 a ) 7 3. 所以a 1 ，3 a 0 ，a 8 6 3 a 7 3 ，解得 250 成立的最小正整数 n 的值 专项基础训练 2 3 4 5 6 7 8 9 1 练出高分 解 析 专项基础训练 2 3 4 5 6 7 8 9 1 练出高分 9 ( 12 分 ) 已知单调递增的等比数列 a n 满足 a 2 a 3 a 4 28 ， 且 a 3 2 是 a 2 ， a 4 的等差中项 ( 1 ) 求数列 a n 的通项公式 ； ( 2 ) 若 b n a o ga n ， S n b 1 b 2 b n ， 求使 S n n 2n 150 成立的最小正整数 n 的值 解 析 解 ( 1 ) 设此等比数列为 a 1 ， a 1 q ， a 1 q 2 ， a 1 q 3 ， ，其中 a 1 0 ， q 0. 由题意知： a 1 q a 1 q 2 a 1 q 3 28 ， a 1 q a 1 q 3 2( a 1 q 2 2) 7 得 6 a 1 q 3 15 a 1 q 2 6 a 1 q 0 ， 即 2 q 2 5 q 2 0 ， 解得 q 2 或 q 12 . 专项基础训练 2 3 4 5 6 7 8 9 1 练出高分 9 ( 12 分 ) 已知单调递增的等比数列 a n 满足 a 2 a 3 a 4 28 ， 且 a 3 2 是 a 2 ， a 4 的等差中项 ( 1 ) 求数列 a n 的通项公式 ； ( 2 ) 若 b n a o ga n ， S n b 1 b 2 b n ， 求使 S n n 2n 150 成立的最小正整数 n 的值 解 析 等比数列 a n 单调递增， a 1 2 ， q 2 ， a n 2 n . ( 2) 由 ( 1) 得 b n n 2 n ， S n b 1 b 2 b n (1 2 2 2 2 n 2 n ) 设 T n 1 2 2 2 2 n 2 n ， 则 2 T n 1 2 2 2 2 3 n 2 n 1 . 由 ，得 T n 1 2 1 2 2 1 2 n n 2 n 1 专项基础训练 2 3 4 5 6 7 8 9 1 练出高分 9 ( 12 分 ) 已知单调递增的等比数列 a n 满足 a 2 a 3 a 4 28 ， 且 a 3 2 是 a 2 ， a 4 的等差中项 ( 1 ) 求数列 a n 的通项公式 ； ( 2 ) 若 b n a o ga n ， S n b 1 b 2 b n ， 求使 S n n 2n 150 成立的最小正整数 n 的值 解 析 2 n 1 2 n 2 n 1 (1 n ) 2 n 1 2 ， T n ( n 1) 2 n 1 2. S n ( n 1) 2 n 1 2. 要使 S n n 2 n 1 50 成立， 即 ( n 1 ) 2 n 1 2 n 2 n 1 5 0 ，即 2 n 2 6 . 2 4 1 6 2 6 ，且 y 2 x 是单调递增函数， 满足条件的 n 的最小值为 5. 专项 能力提升 1 2 3 4 5 6 7 练出高分 专项 能力提升 1 已知数列 a n 的通项公式为 a n n 1n 2( n N*) ，设其前 n 项和为 S n ，则使 S n 6 ， 即 n 2 6 4 ， n 6 2 ， n 有最小值 63. A 专项 能力提升 2 已知数列 a n 满足 3 a n 1 a n 4 ( n N*) 且 a 1 9 ，其前 n 项和为S n ，则满足不 等式 | S n n 6| 7 5 0 . 将 n 5 ,6 ,7 分别代入验证符合题意的最小正整数 n 7. C 3 设函数 f ( x ) 导函数 f ( x ) 2 x 1 ，则数列1f n ( n N*)的前 n 项和是 ( ) 2n 1专项 能力提升 1 2 3 4 5 6 7 练出高分 解 析 专项 能力提升 1 2 3 4 5 6 7 练出高分 3 设函数 f ( x ) 导函数 f ( x ) 2 x 1 ，则数列1f n ( n N*)的前 n 项和是 ( ) 2n 1析 由 f ( x ) mx m 1 a 2 x 1 得 m 2 ， a 1. f ( x ) x 2 x ，则 1f n 1n n 1 1n 1n 1 . S n 1 12 12 13 13 14 1n 1n 1 1 1n 1 1 . A 专项 能力提升 1 2 3 4 5 6 7 练出高分 解 析 4 已知数列 a n 满足 a 1 33 ， a n 1 a n 2 n ，则a 最小值为 _ 专项 能力提升 1 2 3 4 5 6 7 练出高分 4 已知数列 a n 满足 a 1 33 ， a n 1 a n 2 n ，则a 最小值为 _ 解 析 a n ( a n a n 1 ) ( a n 1 a n 2 ) ( a 2 a 1 ) a 1 2 ( n 1) ( n 2) 1 33 33 n 2 n ， 所以 a 33n n 1. 设 f ( x ) 33 x x 1 ， 则 f ( x ) 33x 2 1. 令 f ( x ) 0 ， 得 x 33 或 x 21 2 ， 所以 a 最小值为 21 2 . 212 5 在等比数列 a n 中， S n 为其前 n 项和，已知 a 5 2 S 4 3 ， a 6 2 S 5 3 ，则此数列的公比 q _. 专项 能力提升 1 2 3 4 5 6 7 练出高分 解 析 专项 能力提升 1 2 3 4 5 6 7 练出高分 5 在等比数列 a n 中， S n 为其前 n 项和，已知 a 5 2 S 4 3 ， a 6 2 S 5 3 ，则此数列的公比 q _. 解 析 因为 a 6 a 5 2( S 5 S 4 ) ， 所以 a 6 3 a 5 ，所以 q 3. 3 专项 能力提升 6 ( 201 1 陕西 ) 植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10 米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 _ 米 1 2 3 4 5 6 7 练出高分 解 析 专项 能力提升 1 2 3 4 5 6 7 练出高分 6 ( 201 1 陕西 ) 植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10 米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 _ 米 解 析 假设 20 位同学是 1 号到 20 号依次排列的，使每位同学的往返所走的路程和最小，则树苗需放在第 10 或第 11 号树坑旁此时两侧的同学所走的路程分别组成以 20 为首项， 20 为公差的等差数列，所有同学往返的总路程为 S 9 20 9 82 20 10 20 10 92 20 2 000( 米 ) 2 000 专项 能力提升 1 2 3 4 5 6 7 练出高分 7 ( 13 分 ) ( 2012 天津 ) 已知 a n 是等差数列，其前 n 项和为 S n ， b n 是等比数列，且 a 1 b 1 2 ， a 4 b 4 27 ， S 4 b 4 10. ( 1) 求数列 a n 与 b n 的通项公式； ( 2) 记 T n a n b 1 a n 1 b 2 a 1 b n ， n N*，证明： T n 12 2 a n 10 b n ( n N*) 解 析 专项 能力提升 1 2 3 4 5 6 7 练出高分 7 ( 13 分 ) ( 2012 天津 ) 已知 a n 是等差数列，其前 n 项和为 S n ， b n 是等比数列，且 a 1 b 1 2 ， a 4 b 4 27 ， S 4 b 4 10. ( 1) 求数列 a n 与 b n 的通项公式； ( 2) 记 T n a n b 1 a n 1 b 2 a 1 b n ， n N*，证明： T n 12 2 a n 10 b n ( n N*) 解 析 ( 1) 解 设等差数列 a n 的公差为 d ，等比数列 b n 的公比为 q . 由 a 1 b 1 2 ，得 a 4 2 3 d ， b 4 2 q 3 ， S 4 8 6 d . 由条件，得方程组 2 3 d 2 q 3 27 ，8 6 d 2 q 3 10 ， 解得 d 3 ，q 2. 所以 a n 3 n 1 ， b n 2 n ， n N * . ( 2 ) 证明 方法一 由 ( 1 ) 得 T n 2 a n 2 2 a n 1 2 3 a n 2 2 n a 1 ， 2 T n 2 2 a n 2 3 a n 1 2 n a 2 2 n 1 a 1 . 专项 能力提升 1 2 3 4 5 6 7 练出高分 7 ( 13 分 ) ( 2012 天津 ) 已知 a n 是等差数列，其前 n 项和为 S n ， b n 是等比数列，且 a 1 b 1 2 ， a 4 b 4 27 ， S 4 b 4 10. ( 1) 求数列 a n 与 b n 的通项公式； ( 2) 记 T n a n b
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