【测控设计】2015-2016学年高中数学 1.2.3-1.2.5直线和圆的极坐标方程 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 圆锥曲线统一的极坐标方程课件 北师大版选修4-4.ppt
【测控设计】2015-2016学年高中数学课件（全册打包12套）北师大版选修4-4
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【测控设计】2015-2016学年高中数学课件（全册打包12套）北师大版选修4-4,测控,设计,学年,高中数学,课件,打包,12,十二,北师大,选修
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-*- 线和圆的极坐标方程 线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 *锥曲线统一的极坐标方程 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 求直线或圆的极坐标方程 . 2 3 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 1 . 直线和圆的极坐标方程 ( 1 ) 极坐标方程与曲线 . 在极坐标系中 , 曲线可以用含有 , 这两个变量的方程 ( , ) = 0 来表示 上的点与一个二元方程 ( , ) = 0 建立了如下的关系 : 曲线 C 上的每个点的极坐标中 至少有一组 ( , ) 满足方程 ( , ) = 0 ; 极坐标满足方程 ( , ) = 0 的 点 都在曲线 C 上 . 那么方程 ( , ) = 0 叫作曲线 C 的 极坐标方程 , 曲线 C 叫作极坐标方程 ( , ) = 0 的 曲线 . ( 2 ) 直线的极坐标方程 . 直线 l 经过极点 , 倾斜角为 , 则直线 l 的极坐标方 程是 = ( R ) . ( 3 ) 圆的极坐标方程 . 圆心在极点 , 半径为 r 的圆的极坐标方程是 =r ; 圆心在 ( a , 0 )( a 0 ), 半径为 a 的圆的极坐标方程是 = 2 a co s . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 【做一做 1 - 1 】 在极坐标系中 , 圆心为 A ( 4 , 0 ) , 半径为 4 的圆的极坐标方程为 . 答案 : = 8 c o s 【做一做 1 - 2 】 在极坐标系中 , 过点 M 2 ,2, 且平行于极轴的直线的极坐标方程是 . 解析 :如图所示 ,设 P ( , )( 0) 为所求直线上任意一点 , 在 O M P 中 , c o s 2- = 2( 0 ) , 即 s i n = 2( 0) . 答案 : s i n = 2( 0) 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 2 . 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 根据点的直角坐标与极坐标互化关系式 , 曲线方程两种形式的互化可以顺利完成 . 点的直角坐标与极坐标互化关系如下 : ( 1 ) 点 M 的极坐标 ( , ) 化为直角坐标 ( x , y ) 的关系式 : = , = ;( 2 ) 点 M 的直角坐标 ( x , y ) 化为极坐标 ( , ) 的关系式 : 2= 2+ 2,t a n =( 0 )识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 【做一做 2 】 直角坐标方程 ( y - 2)2= 4 化为极坐标方程为 . 解析 : ( y - 2)2= 4 可 化为 x2+4 y , 把 x= c o s , y= s i n 代入 , 得 ( c o s )2+ ( s i n )2= 4 s i n , 化简得 = 4 s i n . 答案 : = 4 s i n 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 3 . 圆锥曲线统一的极坐标方程 设定点为 F , 定直线为 l , 过定点 F 作定直线 l 的垂线 , 垂足为 K , 以 F 为极点 , 反向延长线 极轴 , 建立极坐标系 . 若 M ( , ) 为圆锥曲线上任意一点 , 连接 作 l , 垂足分别为 A , B , 则| | |=e , | F K | = p , 圆锥曲线统一的极坐标方程是 = 1 - c o s , 当 0 1 时 , 它表示 双曲线 . 名师点拨 在极坐标系中 ,椭圆、抛物线、双曲线的方程得到了完美的统一 圆锥曲线的极坐标统一方程 ,是以焦点为极点的 ,其中椭圆是以左焦点为极点 ,双曲线是以右焦点为极点 .当 e 0, 0 时方程只表示双曲线的右支 ,定点 F 是它的右焦点 ,定直线 l 是它的右准线 0,方程就表示整个双曲线 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 【做一做 3 】 把极坐标方程 =42 - c o s 化为直角坐标方程 . 解 : 由 =42 - c o s 变形得 2 - c o s = 4 ,把 = 2 + 2 , x= c o s 代入并平方得 4 x 2 + 4 y 2 =x 2 + 8 x+ 16 ,即 3 x 2 - 8 x+ 4 y 2 - 16 = 0 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 . 求曲线的极坐标方程的步骤 剖析 : ( 1 )建立适当的极坐标系 ,设 P ( , ) 是曲线上的任意一点 ; ( 2 )由曲线上的点所满足的条件 ,列出曲线上任意一点的极径 和极角 之间的关系式f ( , ) = 0 ; ( 3 ) 将列出的关系式 f ( , ) = 0 进行整理 ,化简 ,得出曲线的极坐标方程 ; ( 4 ) 证明所得的方程就是曲线的极坐标方程 ,若方程的推导过程正 确 ,化简过程都是同解变形 ,这一证明可以省略 . 2 . 直角坐标与极坐标互化时的注意事项 剖析 : ( 1 ) 两组公式是在三个条件规定下得到的 ; ( 2 ) 由直角坐标求极坐标时 ,理论上不是唯一的 ,但一般约定只在规定范围内求值 ; ( 3 ) 由直角坐标方程化为极坐标方程 ,最后要化简 ; ( 4 ) 由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性 ,通常总要用 去乘方程的两端 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 题型一 求直线的极坐标方程 【例 1 】 已知点 P 的极坐标为 2 ,4, 直线 l 经过点 P 且倾斜角为3 4,求直线 l 的极坐标方程 . 分 析 :设 M ( , )( 0) 是直线 l 上除点 P 外的任意一点 ,极点为 O ,构造三角形求出 与 之间的关系式 . 解 :如图所示 ,设 M ( , )( 0) 为直线 l 上除点 P 外的任意一点 ,极点为O ,连接 该直线交 点 A ,则有 | O M | = , | O P| = 2, 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 M O P= O 2, 所以 | O M | c o s M O P= | O P| , 即 c o s 2, 即 c o s 2, 显然点 P 也在这条直线上 c o s 2 . 反 思 在极坐标系中 ,求直线的极坐标方程的一般方法为 :设 M ( , )为直线上任意一点 ,极点为 O ,连接 构造出含有 三角形 ,再找出我们需求的 与 的关系 ,即为直线的极坐标方程 再化为极坐标方程 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 【变式训练 1 】 在直角坐标系 x O y 中 , 以 O 为极点 , x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 . 曲线 C 的极坐标方程为 c o s 1, M , N 分别为曲线 C 与x 轴、 y 轴的交点 . ( 1 ) 写出曲线 C 的直角坐标方程 , 并求 M , N 的极坐标 ; ( 2 ) 设 中点为 P , 求直线 极坐标方程 . 解 : ( 1 ) 由 c o s 1, 得 12c o s +32s i n = 1 . 从而曲线 C 的直角坐标方程为12x+32y= 1, 即 x+ 3 y= 2 . 当 = 0 时 , = 2, 所以点 M 的极坐标为 ( 2 , 0 ) . 当 =2时 , =2 33,所以点 N 的极坐标为 2 33,2. 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 ( 2 ) 点 M 的直角坐标为 ( 2 , 0 ) , 点 N 的直角坐标为 0 ,2 33. 所以点 P 的直角坐标为 1 ,33, 则点 P 的极坐标为 2 33,6, 所以直线 极坐标方程为 =6( R ) . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 题型二 求圆的极坐标方程 【例 2 】 求以 C ( 4 , 0 ) 为圆心 , 半径等于 4 的圆的极坐标方程 . 解 :如图所示 ,由题设可知 ,这个圆经过极点 ,圆心在极轴上 ,设圆与极轴的另一个交点是 A ,在圆上任取一点 P ( , ), 连接 在 O P A 中 , | O A | = 8, | O P | = , A O P = , 所以 | O A | c o s = ,即 8 c o s = , 即 = 8 c o s 就是圆 C 的极坐标方程 . 反思 在极坐标系中 ,求圆的极坐标方程时 ,关键是找出曲线上的 点满足的关系 ,将它用坐标表示并化简 ,得到 和 的关系 ,即为所求的极坐标方程 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 【变式训练 2 】 在极坐标系中 , 已知圆 C 经过点 P 2 ,4, 圆心为直线 s i n 求圆 C 的极坐标方程 . 解 :在 s i n 令 = 0, 得 = 1, 即圆 C 的圆心坐标为 ( 1 , 0 ) . 因为圆 C 经过点 P 2 ,4, 所以圆 C 的半径 | = ( 2 )2+ 12- 2 1 2 c o s 4= 1, 则 圆 C 过极点 ,故圆 C 的极坐标方程为 = 2 c o s . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 题型三 极坐标方程和直角坐标方程的互化 【例 3 】 将下列式子进行直角坐标方程与极坐标方程之间的互化 . ( 1 ) x2+4 ; ( 2 ) = 3 c o s ; ( 3 ) = c o s 解 : ( 1 ) 将 x= c o s , y= s i n 代入 x2+4, 得 ( c o s )2+ ( s i n )2= 4, 即 2= 4 . ( 2 ) 因为 = 3 c o s ,所以 2= 3 c o s ,即 x2+3 x . ( 3 ) 由 = c o s c o s c o s i n s i 2c o s +22s i n . 整理 ,得 2=22 c o s +22 s i n , 即 x2+2x+22y . 即 0 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 反思 极坐标系和直角坐标系都是用一对有序实数来确定平面上点的位置的方法 ,都是研究平面图形的重要工具 除了正确使用互化公式外 ,还要注意变形的等价性 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 【变式训练 3 】 将下列各题进行直角坐标与极 坐标方程的互化 . ( 1 ) y2+ x - 1 = 0 ; ( 2 ) =12 - c o s . 解 : ( 1 ) 令 x= c o s , y= s i n 代入方程得 2- 2 c o s - 1 = 0 . ( 2 ) 由 =12 - c o s ,得 2 - c o s = 1 . 令 x= c o s , y= s i n ,则 2=x2+ = 2+ 2, 代入得 2 2+ 2= x + 1, 两边平方整理得 3 4 x - 1 = 0 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 4 5 1 在极坐标系中 , 圆 = - 2 s i n 的圆心的极坐标为 ( ) . A . 1 ,2B . 1 , ( 1 , 0 ) D . ( 1 , ) 解析 :由 = - 2 s i n ,得 2= - 2 s i n ,化为普通方程为 ( y+ 1)2= 1 . 圆心坐标为 ( 0 , - 1 ) ,其对应的极坐标为 1 , 答案 : B 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 4 5 2 过点 A ( 2 , 0 ), 并且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ( ) . A. co s = 2 B. s = 2 C. co s = 1 D. s = 1 解析 : 如图所示 , 设 M ( , ) 为直线上除 A ( 2 , 0 ) 外的任意一点 , 连接 则有 A 直角三角形 , 并且 A , | = 2 , | = , 所以有 | co s = | , 即 co s = 2 , 显然当 = 2 , = 0 时 , 也满足方程 co s = 2 . 故所求直线的极坐标方程为 co s = 2 . 答案 : A 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 4 5 3 已知曲线的极坐标方程为 = c o s - s i n , 则其直角坐标方程为 . 解析 :由 = c o s - s i n ,得 2= c o s - s i n , 即 x2+y2=x - y . 整理 ,得 +122=12,其轨迹为以 12, 22为半径的圆 . 答案 : +122=12识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 4 5 4 已知一条直线的极坐标方程为 s +6= 1 , 则极点到该直线的距离是 . 解析 : 因为 s +6= s co co s s 2 s +12 co s = 1 , 所以 3 s + co s = 2 , 即 x+ 3 y= 2 . 则极点到该直线的距离 d=|0 + 0 - 2 |1 + 3=22= 1 . 答案 : 1 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 4 5 5 从原点 O 引直线交直线 2 x+ 4 y - 1 = 0 于点 M , P 为射线 一点 , 已知| | = 1 , 求
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