【测控设计】2015-2016学年高中数学课件（全册打包12套）北师大版选修4-4
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【测控设计】2015-2016学年高中数学课件（全册打包12套）北师大版选修4-4,测控,设计,学年,高中数学,课件,打包,12,十二,北师大,选修
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-*- 第一章 坐标系 -*- 1 平面直角坐标系 -*- 面直角坐标系与曲线方程 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 体会借助坐标系研究曲线和方程的关系 . 2 了解两条曲线交点的求法 . 3 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 1 . 平面直角坐标系 ( 1 ) 在平面内两条互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系 , 如图所示 . 在平面直角坐标系中 , 有序实数对与坐标平面内的点具有 一一对应 关系 , 如图 , 有序实数对 ( x , y ) 与点 P 相对应 , 这时 ( x , y ) 称作点 P 的 坐标 , 并记为P ( x , y ), 其中 , x 称为点 P 的横坐标 , y 称为点 P 的纵坐标 . ( 2 ) 曲线可看作是满足某些条件的点的 集合 或 轨迹 , 由此我们可借助坐标系 , 研究曲线与方程间的关系 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 名师点拨 1 平面上的点与全体有序实数对之间建立了一一对应关系 ,即在给定坐标系的情况下 ,平面上的任意一点唯一地确定一个有序实数对 ;反之 ,任意给定一个有序实数对 ,它也唯一地确定平面上的一个点 . 2 在平面直角坐标系内 ,两点 P 1 ( x 1 , y 1 ), P 2 ( x 2 , y 2 ) 之间的距离公式为 |P 1 P 2 |= ( 1- 2)2+ ( 1- 2)2. 3 在平面直角坐标系内 ,若两点 P 1 ( x 1 , y 1 ), P 2 ( x 2 , y 2 ) 的中点为 M ( x , y ), 则 x= 1 + 22, y=1+ 22. 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 【做一做 1 - 1 】 点 P ( 1 , - 2) 关于点 A ( - 1 , 1 ) 的对称点 P 的直角坐标为( ) . A . ( 3 , 4 ) B . ( - 3 , 4 ) C . ( 3 , - 4) D . ( - 3, - 4) 解析 :设点 P 的坐标为 ( x , y ), 则有 1 + 2= - 1 ,- 2 + 2= 1 , = - 3 , = 4 ,即点 P 为 ( - 3 , 4 ) . 答案 : B 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 【做一做 1 - 2 】 已知点 P ( - 1 + 2 m , - 3 - m ) 在第三象限 , 则 m 的取值范围是 . 解析 :因为第三象限点的坐标特征是横坐标与纵坐标均小于 0, 所以 - 1 + 2 - 3 3 m 12. 答案 : - 3 m 12识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 2 . 曲线与方程 在平面直角坐标系中 , 如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f ( x , y ) = 0 的实数解建立了如下关系 : ( 1 ) 曲线 C 上的 点的坐标 都是方程 f ( x , y ) = 0 的解 ; ( 2 ) 以方程 f ( x , y ) = 0 的 解 为坐标的点都在曲线 C 上 . 那么 , 方程 f ( x , y ) = 0 叫作曲线 C 的方程 , 曲线 C 叫作方程 f ( x , y ) = 0 的曲线 . 名师点拨 求曲线方程一般有以下五个步骤 : ( 1 ) 建立适当的坐标系 ,并用( x , y ) 表示曲线上任意一点 M 的坐标 ; ( 2 ) 写出适合条件 P 的点 M 的集合P= M | P ( M ) ; ( 3 ) 用坐标表示条件 P ( M ), 写出方程 f ( x , y ) = 0 ; ( 4 ) 化简方程f ( x , y ) = 0( 必须等价 ) ; ( 5 ) 证明以 ( 4 ) 中方程的解为坐标的点都在曲线上 方程的变形过程若是等价的 ,则步骤 ( 5 ) 可以省略 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 【做一做 2 】 已知 B , C 是两个定点 , | B C | = 6 , 且 周长为 16 , 顶点A 的轨迹方程是 ( ) . A.216+225= 1 ( y 0 ) B.225+216= 1 ( y 0 ) C.29+225= 1 ( x 0 ) D.225+216= 1 ( x 0 ) 解析 : 因为 A B C 的周长为 16 , | B C | = 6 , 所以 | A B | + | A C | = 10 . 以 在的直线为 x 轴 , 过 中点作 垂线为 y 轴 , 建立平面直角坐标系 , 则 B ( - 3 , 0 ), C ( 3 , 0 ) . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 设 A ( x , y )( y 0 ), 则 ( + 3 )2+ 2+ ( - 3 )2+ 2= 10 ( y 0 ), 化简得顶点 A 的轨迹方程是225+216= 1 ( y 0 ) . 若以 在直线为 y 轴建立平面直角坐标系 , 同理可得顶点 A 的轨迹方程是216+225= 1 ( x 0 ) . 结合选项知只有 B 满足 . 答案 : B 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 . 建立直角坐标系的作用 剖析 :坐标系是现代数学中的重要内容 ,它在数学发展的历史上 ,起着划时代的作用 在代数和几何之间架起了一座桥梁 我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置 ,也可以方便地确定空间内一个点的位置 几何图形可以通过代数形式来表达 ,这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来 ,又可将先进的代数方法应用于几何学的研究 . 2 . 建立适当坐标系的方法 剖析 : ( 1 ) 当题设中有中点、中垂线、角平分线等特定点或线时 ,常将它们选来作直角坐标系的原点或轴 ,这样建系可使点的坐标或曲线的方程简单、易求或便于化简、运算 . ( 2 ) 一般原则是 ,首选使轨迹对称的坐标系 ;其次选轨迹中的直角所在直线作为坐标轴 ;再 次可以让轨迹过坐标原点 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 题型一 利用坐标系解决代数问题 【例 1 】 如果实数 x , y 满足 x2+ x+ 1 = 0 . 求 : ( 1 )的最大值 ; ( 2 ) y - x 的最小值 . 分析 : x2+ x+ 1 = 0 表示以 ( 2 , 0 ) 为圆心 , 3 为半径的圆 . 为点 P ( x , y ) 与原点连线的斜率 ; 设 y - x=b ,则 y = x + b , b 可以是斜率为 1 的直线在 y 轴上的截距 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 解 : ( 1 ) 设=k ,得 y = k x ,所以 k 为过原点的直线的斜率 ,又 x2+ x+ 1 = 0表示以 ( 2 , 0 ) 为圆心 , 3 为半径的圆 ,如图所示 . 当直线 y = k x 与已知圆相切 ,且切点在第一象限时 , k 最大 ,此时 , | C P | = 3 , | O C | = 2, 则在 P O C 中 , P O C = 60 , k= t a n 60 = 3 . 故的最大值为 3 . ( 2 ) 设 y - x=b ,即为直线 y = x + b , b 为直线在 y 轴上的截距 ,如图所示 . 当直线 y = x + b 与圆有公共点时 ,当且仅当直线与圆相切 ,且切点在第四象限时 , b 最小 . 此时 ,圆心 ( 2 , 0 ) 到直线的距离为 3 , 即| 2 + |12+ 12= 3 . 解得 b= - 6 - 2 或 b= 6 - 2( 舍 ) . 故 y - x 的最小值为 - 6 - 2 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 反思 选择合适的平面直角坐标系 ,把代数问题转化为平面几何问题 ,用坐标法加以解决 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 【变式训练 1 】 求函数 y= 2+ 1 + 2- 4 + 8 的最小值 . 解 : y= 2+ 1 + 2- 4 + 8 = ( - 0 )2+ ( 0 - 1 )2+ ( - 2 )2+ ( 0 - 2 )2, 设 A ( 0 , 1 ) , B ( 2 , 2 ) , P ( x , 0 ) ,则问题转化为在 x 轴上求一点 P ( x , 0 ) ,使| A P | + | P B |取得最小值 . A ( 0 , 1 ) 关于 x 轴的对称点为 A ( 0 , - 1 ) , ( | A P | + | P B | )m i n= | A B | = ( 2 - 0 )2+ ( 2 + 1 )2= 13 . 函数 y= 2+ 1 + 2- 4 + 8 的最小值为 13 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 题型二 利用坐标系解决几何问题 【例 2 】 已知等边三角形 A 边长为 a , 在平面上求一点 P , 使| 2+ | 2+ | 2最小 , 并求出此最小值 . 分析 :此题是平面几何最值问题 ,用平面几何法不易解决 ,考虑用坐标法来解决 . 解 :以 在直线为 x 轴 , 垂直平分线为 y 轴 ,建立平面直角坐标系 ,如图所示 , 则 A 0 ,32 , B -2, 0 , C 2, 0 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 设 P ( x , y ), 则 | P A |2+ | P B |2+ | P C |2= 2+ +22+ -22+3 3 3 a y +5 24= 3 3 2+且仅当x= 0, y=36a 时 ,等号成立 时点 P 的坐标为 P 0 ,36 ,它是等边 A B C 的中心 . 反思 1 可使计算过程简单一些 . 2 应掌握好 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 【变式训练 2 】 已知 : 在 , 上的中线 . 求证 : | A B |2+ | A C |2= 2( | A O |2+ | O C |2) . 证明 :取线段 在的直线为 x 轴 ,点 O 为坐标原点 ,建立如图所示的直角坐标系 ,设点 A 的坐标为 ( b ,c ), 点 C 的坐标为 ( a , 0 ) ,则点 B 的坐标为 ( - a , 0 ) . 可得 | A B |2= ( a + b )2+| A C |2= ( a - b )2+ | A O |2=b2+| O C |2= | A B |2+ | A C |2= 2( a2+b2+ | A O |2+ | O C |2=a2+b2+ | A B |2+ | A C |2= 2( | A O |2+ | O C |2) . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 题型三 利用坐标系解决实际问题 【例 3 】 我海军某部发现一艘敌舰从离小岛 O 正东方向 80 海里的 沿东西方向向岛屿 O 驶来 . 指挥部立即命令在岛屿 O 正北方向 40 海里的 A 处的我军舰沿直线前往拦截 , 以东西方向为 x 轴 , 南北方向为 y 轴 ,岛屿O 为坐标原点 , 建立平面直角坐标系并标出 A , B 两点 . 若敌我两舰行驶的速度相同 , 在上述坐标系中标出我军舰最快拦住敌舰的位置 , 并求出该点的坐标 . 分析 :先画出坐标系 ,标出 A , B 的位置及坐标 ,根据相应的图形结构求出拦住敌舰的位置并求出坐标 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 解 : A , B 两点如图所示 , A ( 0 , 4 0 ) , B ( 8 0 , 0 ) ,所以 | O A | = 40( 海里 ), | O B | = 80( 海里 ) . 设我军舰直行到点 C 与敌舰相遇 ,且 C 的坐标为 ( x , 0 ) , 所以 | O C | = x , | B C | = | O B | - | O C | = 80 - x . 因为敌我两舰速度相同 , 所以 | A C | = | B C | = 80 - x . 在 A O C 中 , | O A |2+ | O C |2= | A C |2, 即 402+( 8 0 - x )2,解得 x= 30 . 所以点 C 的坐标为 ( 3 0 , 0 ) . 反思 利用坐标解决实际问题的关键是分析好题意 ,根据题意建立适当的平面直角坐标系或利用已有的坐标系建立相关点的关系式 ,从而解决实际问题 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 【变式训练 3 】 台风中心从 A 地以 2 0 k m / h 的速度向东北方向移动 ,离台风中心 3 0 k m 内的地区为危险区 , 城市 B 在 A 地正东 4 0 k m 处 . 求城市B 处于危险区内的时间 . 解 :以点 A 为坐标原点 , 在的直线为 x 轴 ,垂直于直线 直线为y 轴 ,建立如图所示的直角坐标系 . 则点 B 坐标为 ( 4 0 , 0 ) ,以点 B 为圆心 , 3 0 为半径的圆的方程为( x - 40)2+900, 台风中心移动到圆 B 内时 ,城市 B 处于危险区 ,台风中心为直线 y = x ,与圆 B 相交于 M , N 两点 ,点 B 到直线 y = x 的距离为 d=402= 20 2 , 所以 | M N | = 2 3 02- 2= 2 0 ( k m ) ,所以| |20= 1, 即城市 B 处于危险区内的时间为 1 h . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 4 5 1 已知平行四边形 D 的三个顶点 A , B , C 的坐标分别为( - 1 , 2 ) , ( 3 , 0 ) , ( 5 , 1 ) , 则点 D 的坐标是 ( ) . A . ( 9 , - 1) B . ( - 3 , 1 ) C . ( 1 , 3 ) D . ( 2 , 2 ) 解析 :设点 D 的坐标为 ( x , y ), 则 - 1 + 5 = 3 + ,2 + 1 = 0 + ,解得 = 1 , = 3 为 ( 1 , 3 ) . 答案 : C 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 4 5 2 若 三个顶点 A ( - 3 , 4 ) , B ( 3 , - 4 ) , C ( 1 , 7 ) , 则 形状是 . 解析 : | = ( - 3 - 3 )2+ ( 4 + 4 )2= 100 = 10, | = ( - 3 - 1 )2+ ( 4 - 7 )2= 25 = 5, | = ( 3 - 1 )2+ ( - 4 - 7 )2= 125 = 5 5 . | 2+ | 2= | 2, 直角三角形 . 答案 : 直角三角形 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 4 5 3 在平面直角坐标系中 , 已知 A 为平面内的一个动点 , 点 B 的坐标为 ( 2 , 0 ) =| | ( O 为坐标原点 ), 则动点 A 的轨迹为 . 解析 :设点 A 的坐标为 ( x , y ), 则 = ( x , y ), = ( x - 2, y ), | |= 2 2 + 0 = 2 x ( x - 2) +2, 即 ( x - 1)2+3, 它表示一个圆 . 答案 : 圆 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 4 5 4 已知 三边 a , b , c 满足 b2+5 别为边 的中线 , 则 位置关系是 . 解析 :如图所示 ,以 顶点 A 为原点 O ,边 在的直线为 x 轴 ,建立平面直角坐标系 ,则 A ( 0 , 0 ) , B ( c , 0 ) , F 2, 0 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 4 5 设 C ( x , y ), 则 E 2,2. 所以 k -2 - , k 2 2 - . 由 b2+5 | 2+ | A B|2= 5 | 2, 即 x2+y2+5 ( x - c )2+ 整理得 2 (2 x - c )(2 c - x ) . 所以 k k - 2 2( 2 - )( 2 - )= - 1 . 所以 相垂直 . 答案 : 垂直 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 4 5 5 判断下列方程所表示的曲线 : ( 1 )( - 2 )29+26= 1; ( 2 ) ( x+ 2)2+ ( y - 2)2= 16; ( 3 ) ( 2 x+ 3 y - 5 ) ( - 3 - 1) = 0; ( 4 )( - 2 )2+ 2| - 4 |= 2 . 解 : ( 1 ) 方程( - 2 )92+26= 1, 表示的曲线是以点 ( 2 , 0 ) 为对称中心 ,焦点在 x 轴上 ,长轴长为 6, 焦距为 2 3 的椭圆 . ( 2 ) 方程 ( x+ 2)2+ ( y - 2)2= 16 表示的曲线是以 ( - 2 , 2 ) 为圆心 ,4 为半径的圆 . ( 3 ) 方程 (2 x+ 3 y - 5 ) ( - 3 - 1) = 0 可化为 2 x+ 3 y - 5 = 0 或 - 3 - 1 = 0, 因此 ,表示直线 2 x+ 3 y - 5 = 0 与射线 x= 4( x 3) . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 4 5 ( 4 ) 方程( - 2 ) 2 + 2| - 4 | = 2 可以看作点 ( x , y ) 到 ( 2 , 0 ) 点的距离与到直线 x= 4 的距离之比为 2, 故此方程表示以 ( 2 , 0 ) 为焦点 ,离心率为 2 的双曲线 . -*- 面直角坐标轴中的伸缩变换 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 知道图形之间通过变换是可以转化的 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 平面直角坐标轴中的伸缩变换 在平面直角坐标系中进行伸缩变换 , 即改变 x 轴或 y 轴上的 单位长度 ,将会对图形产生影响 . 【做一做 1 】 将一条直线作伸缩变换后得到的图形的形状可能是( ) . A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 抛物线 解析 : 直线在伸缩变换中图形的形状是不会发生变化的 . 答案 : A 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 【做一做 2 】 已知圆的方程为 x2+16 , 如果 x 轴上的单位长度为 倍 , 则该圆对应的图形是 ( ) . 答案 : D 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 . 对平面直角坐标轴中伸缩变换的理解 剖析 :在平面直角坐标系中进行伸缩变换 ,即改变 x 轴或 y 轴的单位长度 ,从而对图形产生影响 而图形对应的方程不发生变化 分别作出 f ( x , y ) = 0 的图形 : ( 1 ) x 轴与 y 轴具有相同的单位长度 ; ( 2 ) x 轴上的单位长度为 y 轴上单位长度的 k 倍 ; ( 3 ) x 轴上的 单位长度为 y 轴上单位长度的1 1 ) 种坐标系中的意思是 x 轴与 y 轴上的单位长度一样 , f ( x , y ) = 0 的图形就是我们以前学过的平面直角坐标系中的 f ( x , y ) = 0 的图形 ;第 ( 2 ) 种坐标系中的意思是如果 x 轴上的单位长度保持不变 , y 轴上的单位长度缩小为原来的1,此时 f ( x , y ) = 0 表示的图形与第 ( 1 ) 种坐标系中的图形是不同的 ;第 ( 3 ) 种坐标系中的意思是如果 x 轴上的单位长度缩小为原来的1,此时 f ( x , y ) = 0表示的图形与第 ( 1 ) 种坐标系中的图形也是不同的 . 2 . 对伸缩变换图形的画法 剖析 :图形的伸缩变换是坐标轴中 x 轴和 y 轴的变化 ,可以利用 “ 五点作图法 ” 进行转化 ,画出相应图形 ,再研究其性质 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型一 椭圆在平面直角坐标系中的伸缩变换 【例 1 】 在下列平面直角坐标系中 , 分别作出椭圆29+24= 1 的图形 : ( 1 ) x 轴与 y 轴具有相同的单位长度 ; ( 2 ) x 轴上的单位长度为 y 轴上单位长度的 2 倍 ; ( 3 ) x 轴上的单位长度为 y 轴上单位长度的12. 分析 : ( 1 )常规描点法画椭圆 ; ( 2 )改变 y 轴上的单位长度 ; ( 3 ) 改变 x 轴上的单位长度 . 解 : ( 1 ) 建立平面直角坐标系 ,使 x 轴与 y 轴具有相同的单位长度 ,29+24= 1 的图形如图所示 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 ( 2 ) 如果 x 轴上的单位长度保持不变 , y 轴上的单位长度缩小为原来的12,29+24= 1 的图形如图所示 . ( 3 ) 如果 y 轴上的单位长度保持不变 , x 轴上的单位长度缩小为原来的12,29+24= 1 的图形如图所示 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 反思 改变 x 轴或 y 轴的单位长度 ,导致了椭圆 29+ 24= 1 的图形的变化 ,改变了哪个轴的单位长度及改变了多少一定要清楚 ,不然画出的伸缩变换后的图形就不符合题目要求了 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 【变式训练 1 】 将曲线 C 按伸缩变换公式 = 2 , = 3 变换得到曲线方程x2+ y 2= 1, 则曲线 C 的方程为 ( ) . A .24+29= 1 B .29+24= 1 C . 4 9 36 D . 4 9 1 解析 :将 = 2 , = 3 代入 x2+ y 2= 1, 可得到关于 x , y 的 式子 ,即为曲线 C 的方程 4 9 1 . 答案 : D 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型二 双曲线在平面直角坐标系中的伸缩变换 【例 2 】 在下列平面直角坐标系中 , 分别作出双曲线2924= 1 的图形 : ( 1 ) x 轴与 y 轴具有相同的单位长度 ; ( 2 ) x 轴上的单位长度为 y 轴上单位长度的 3 倍 ; ( 3 ) x 轴上的单位长度为 y 轴上单位长度的13. 解 : ( 1 ) 建立平面直角坐标系 ,使 x 轴与 y 轴具有相同的单位长度 ,2924= 1 的图形如图所示 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 ( 2 ) 如果 x 轴上的单位长度保持不变 , y 轴上的单位长度缩小为原来的13, 29 24= 1 的图形如图所示 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 ( 3 ) 如果 y 轴上的单位长度保持不变 , x 轴上的单位长度缩小为原来的13,2924= 1 的图形如图所示 . 反思 图形的变化 ,有的不仅是坐标轴单位长度的变化 ,有的还会引起图形形状的变化 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 【变式训练 2 】 对曲线 28 24= 1 向 y 轴进行伸缩变换 , 伸缩系数为 k=12,所得的曲线方程为 . 解析 :伸缩变换为 =12 , = ,即 = 2 , = ,( 2 )28 24= 1, 化简得 22 24= 1 . 答案 : 22 24= 1 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 4 5 1 一条双曲线在平面直角坐标系中进行伸缩变换后 , 其图形的形状可能是 ( ) . A. 双曲线 B. 圆 C. 椭圆 D. 抛物线 解析 : 双曲线在平面直角坐标系中进行伸缩变换后 , 图形的形状是不会发生变化的 . 答案 : A 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 4 5 2 已知 一椭圆的方程为216+24= 1 , 如果 x 轴上的单位长度为 y 轴上单位长度的12, 则该椭圆的形状为 ( ) . 解析 : 如果 y 轴上的单位长度保持不变 , x 轴上的单位长度缩小为原来的12, 则该椭圆的形状为选项 B 中所示 . 答案 : B 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 4 5 3 将曲线 F ( x , y ) = 0 上的点的横坐标伸长到原来的 2 倍 , 纵坐标缩短到原来的13, 得到的曲线方程为 ( ) . A . F 2, 3 = 0 B . F 2 ,3= 0 C . F 3 ,2= 0 D . F 3, 2 = 0 答案 : A 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 4 5 4 一个平行四边形经过平面直角坐标轴中的伸缩变换后 , 其图形是 . 答案 : 平行四边形 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 4 5 5 在下列平面直角坐标系中 , 分别作出抛物线 - 4 x 的图形 : ( 1 ) x 轴与 y 轴具有相同的单位长度 ; ( 2 ) x 轴上的单位长度为 y 轴上单位长度的 2 倍 ; ( 3 ) x 轴上的单位长度为 y 轴上单位长度的12. 解 : ( 1 ) 建立平面直角坐标系使 x 轴与 y 轴具有相同的单位长度 ,抛物线- 4 x 的图形如图所示 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 4 5 ( 2 ) 如果 x 轴上的单位长度保持不变 , y 轴上的单位长度缩小为原来的12,抛物线 - 4 x 的图形如图 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 4 5 ( 3 ) 如果 y 轴上的单位长度保持不变 , x 轴上的单位长度缩小为原来的12,抛物线 - 4 x 的图形如图 . -*- 2 极坐标系 -*- 坐标系的概念 的极坐标与直角坐标的互化 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 体会借助坐标系研究曲线和方程的关系 . 2 了解两条曲线交点的求法 . 3 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 1 . 极坐标系的概念 ( 1 ) 极坐标系的建立 . 在平面内取一个定点 O , 叫作 极点 , 从点 O 引一条射线 叫作 极轴 , 选定一个 单位长度 和 角 的正方向 ( 通常取逆时针方向 ) . 这样就确定了一个平面极坐标系 , 简称为 极坐标系 . ( 2 ) 点的极坐标的规定 . 如图 所示 , 对于平面内任意一点 M , 用 表示线段 长 , 表示以始边、 终边的角 , 叫作点 M 的 极径 , 叫作点 M 的 极角 , 有序实数对 ( , ) 叫作点 M 的 极坐标 , 记作 M ( , ) . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 当点 M 在极点时 , 它的极径 = 0 , 极角 可以取 任意值 . 为了研究问题方便 , 极径 也允许取负值 . 当 0 , 0 0 , 0 0 , 0 0 , 0 2 ) . ( 2 ) 已知点 M 的极坐标为 ( 5 , ), 且 t a n = 2 , 则点 M 的直角坐标为 . 解析 : ( 1 ) = ( - )2+ 2= 2 , t a n = - 1, 当 0 2 时 , =3 4或7 4,又 ( - , ) 在第二象限 , =3 4. 故所求点的极坐标为 2 ,3 4. ( 2 ) t a n = 2 , c o s = s i n =45, x= 5 c o s = - 3, y= 5 s i n = 4, 点 M 的直角坐标为 ( - 3 , 4 ) . 答案 : ( 1 ) 2 ,3 4( 2 ) ( - 3 , 4 ) 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 4 5 1 在极坐标系中与点 A 3 , ) . A. 3 ,2 3B. 3 ,3C. 3 ,4 3D. 3 ,5 6解析 : 极坐标系中的点 ( , ) 关于极轴所在直线的对称点的极坐标为 ( , 2 k ( k Z ), 利用这个规律即可判断 . 与点 A 3 , 3 , 2 +3( k Z ), 这时只有选项 B 满足条件 . 答案 : B 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 4 5 2 在极坐标系中 , 确定点 M - 2 ,6的位置 , 下面方法正确的是 ( ) . A. 作射线 使 =6, 再在射线 取点 M , 使 | = 2 B. 作射线 使 6, 再在射线 反向延长线上取点 M , 使 | = 2 C. 作射线 使 7 6, 再在射线 反向延长线上取点 M , 使 | = 2 D. 作射线 使 = 再在射线 取点 M , 使 | = 2 解析 : 本题涉及极径为负值时的坐标表示 . 当 0 时 , 表示点 ( , ) 的方法如下 :作射线 使 = . 在 向延长线上取一点 M , 使 | O M| = | | , 故 B 项正确 . 答案 : B 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 4 5 3 关于极坐标系的下列叙述 : 极轴是一条射线 ; 极点的极坐标是 ( 0 , 0 ) ; 点 ( 0 , 0 ) 表示极点 ; 点 M 4 ,4与点 N 4 ,5 4表示同一个点 . 其中正确的是 ( 填序号即可 ) . 解析 :设极点为 O ,极轴就是射线 正确 ; 极点 O 的极径 = 0, 极角 是任意实数 ,极点的极坐标应为 ( 0 , ), 错误 ; 给定极坐标 ( 0 , 0 ) ,可以在极坐标平面内确定唯一的点 ,即极点 , 正确 ; 点 M 与点 N 的极角分别为 1=4,2=5 4,二者的终边互为反向延长线 ,错误 . 答案 : 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 4 5 4 已知点 M 的极坐标为 4 , 则它的直角坐标为 . 解析 : 因为 x= co s = 4 co s 4 22= 2 2 , y= s = 4 s 4 2 , 所以点 M 的直角坐标为 ( 2 2 , - 2 2 ) . 答案 : ( 2 2 , - 2 2 ) 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 4 5 5 将下列各点由直角坐标化为极径 是正值 , 极角在 0 到 2 之间的极坐标 . ( 1 ) ( 3 , 3 ); ( 2 ) ( - 2, - 2 3 ) . 解 : ( 1 ) = 32+ ( 3 )2= 2 3 , t a n =33. 因为点 ( 3 , 3 ) 在第一象限 ,所以 =6. 故点 ( 3 , 3 ) 的极坐标为 2 3 ,6. ( 2 ) = ( - 2 )2+ ( - 2 3 )2= 4, t a n =- 2 3- 2= 3 . 又因为点 ( - 2, - 2 3 ) 在第三象限 ,所以 =4 3. 故点 ( - 2, - 2 3 ) 的极坐标为 4 ,4 3. 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 4 5 ( 4 ) 方程( - 2 ) 2 + 2| - 4 | = 2 可以看作点 ( x , y ) 到 ( 2 , 0 ) 点的距离与到直线 x= 4 的距离之比为 2, 故此方程表示以 ( 2 , 0 ) 为焦点 ,离心率为 2 的双曲线 . -*- 线和圆的极坐标方程 线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 *锥曲线统一的极坐标方程 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 求直线或圆的极坐标方程 . 2 3 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 1 . 直线和圆的极坐标方程 ( 1 ) 极坐标方程与曲线 . 在极坐标系中 , 曲线可以用含有 , 这两个变量的方程 ( , ) = 0 来表示 上的点与一个二元方程 ( , ) = 0 建立了如下的关系 : 曲线 C 上的每个点的极坐标中 至少有一组 ( , ) 满足方程 ( , ) = 0 ; 极坐标满足方程 ( , ) = 0 的 点 都在曲线 C 上 . 那么方程 ( , ) = 0 叫作曲线 C 的 极坐标方程 , 曲线 C 叫作极坐标方程 ( , ) = 0 的 曲线 . ( 2 ) 直线的极坐标方程 . 直线 l 经过极点 , 倾斜角为 , 则直线 l 的极坐标方 程是 = ( R ) . ( 3 ) 圆的极坐标方程 . 圆心在极点 , 半径为 r 的圆的极坐标方程是 =r ; 圆心在 ( a , 0 )( a 0 ), 半径为 a 的圆的极坐标方程是 = 2 a co s . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 【做一做 1 - 1 】 在极坐标系中 , 圆心为 A ( 4 , 0 ) , 半径为 4 的圆的极坐标方程为 . 答案 : = 8 c o s 【做一做 1 - 2 】 在极坐标系中 , 过点 M 2 ,2, 且平行于极轴的直线的极坐标方程是 . 解析 :如图所示 ,设 P ( , )( 0) 为所求直线上任意一点 , 在 O M P 中 , c o s 2- = 2( 0 ) , 即 s i n = 2( 0) . 答案 : s i n = 2( 0) 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 2 . 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 根据点的直角坐标与极坐标互化关系式 , 曲线方程两种形式的互化可以顺利完成 . 点的直角坐标与极坐标互化关系如下 : ( 1 ) 点 M 的极坐标 ( , ) 化为直角坐标 ( x , y ) 的关系式 : = , = ;( 2 ) 点 M 的直角坐标 ( x , y ) 化为极坐标 ( , ) 的关系式 : 2= 2+ 2,t a n =( 0 )识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 【做一做 2 】 直角坐标方程 ( y - 2)2= 4 化为极坐标方程为 . 解析 : ( y - 2)2= 4 可 化为 x2+4 y , 把 x= c o s , y= s i n 代入 , 得 ( c o s )2+ ( s i n )2= 4 s i n , 化简得 = 4 s i n . 答案 : = 4 s i n 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 3 . 圆锥曲线统一的极坐标方程 设定点为 F , 定直线为 l , 过定点 F 作定直线 l 的垂线 , 垂足为 K , 以 F 为极点 , 反向延长线 极轴 , 建立极坐标系 . 若 M ( , ) 为圆锥曲线上任意一点 , 连接 作 l , 垂足分别为 A , B , 则| | |=e , | F K | = p , 圆锥曲线统一的极坐标方程是 = 1 - c o s , 当 0 1 时 , 它表示 双曲线 . 名师点拨 在极坐标系中 ,椭圆、抛物线、双曲线的方程得到了完美的统一 圆锥曲线的极坐标统一方程 ,是以焦点为极点的 ,其中椭圆是以左焦点为极点 ,双曲线是以右焦点为极点 .当 e 0, 0 时方程只表示双曲线的右支 ,定点 F 是它的右焦点 ,定直线 l 是它的右准线 0,方程就表示整个双曲线 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 2 3 【做一做 3 】 把极坐标方程 =42 - c o s 化为直角坐标方程 . 解 : 由 =42 - c o s 变形得 2 - c o s = 4 ,把 = 2 + 2 , x= c o s 代入并平方得 4 x 2 + 4 y 2 =x 2 + 8 x+ 16 ,即 3 x 2 - 8 x+ 4 y 2 - 16 = 0 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 1 . 求曲线的极坐标方程的步骤 剖析 : ( 1 )建立适当的极坐标系 ,设 P ( , ) 是曲线上的任意一点 ; ( 2 )由曲线上的点所满足的条件 ,列出曲线上任意一点的极径 和极角 之间的关系式f ( , ) = 0 ; ( 3 ) 将列出的关系式 f ( , ) = 0 进行整理 ,化简 ,得出曲线的极坐标方程 ; ( 4 ) 证明所得的方程就是曲线的极坐标方程 ,若方程的推导过程正 确 ,化简过程都是同解变形 ,这一证明可以省略 . 2 . 直角坐标与极坐标互化时的注意事项 剖析 : ( 1 ) 两组公式是在三个条件规定下得到的 ; ( 2 ) 由直角坐标求极坐标时 ,理论上不是唯一的 ,但一般约定只在规定范围内求值 ; ( 3 ) 由直角坐标方程化为极坐标方程 ,最后要化简 ; ( 4 ) 由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性 ,通常总要用 去乘方程的两端 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 题型一 求直线的极坐标方程 【例 1 】 已知点 P 的极坐标为 2 ,4, 直线 l 经过点 P 且倾斜角为3 4,求直线 l 的极坐标方程 . 分 析 :设 M ( , )( 0) 是直线 l 上除点 P 外的任意一点 ,极点为 O ,构造三角形求出 与 之间的关系式 . 解 :如图所示 ,设 M ( , )( 0) 为直线 l 上除点 P 外的任意一点 ,极点为O ,连接 该直线交 点 A ,则有 | O M | = , | O P| = 2, 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 M O P= O 2, 所以 | O M | c o s M O P= | O P| , 即 c o s 2, 即 c o s 2, 显然点 P 也在这条直线上 c o s 2 . 反 思 在极坐标系中 ,求直线的极坐标方程的一般方法为 :设 M ( , )为直线上任意一点 ,极点为 O ,连接 构造出含有 三角形 ,再找出我们需求的 与 的关系 ,即为直线的极坐标方程 再化为极坐标方程 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 【变式训练 1 】 在直角坐标系 x O y 中 , 以 O 为极点 , x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 . 曲线 C 的极坐标方程为 c o s 1, M , N 分别为曲线 C 与x 轴、 y 轴的交点 . ( 1 ) 写出曲线 C 的直角坐标方程 , 并求 M , N 的极坐标 ; ( 2 ) 设 中点为 P , 求直线 极坐标方程 . 解 : ( 1 ) 由 c o s 1, 得 12c o s +32s i n = 1 . 从而曲线 C 的直角坐标方程为12x+32y= 1, 即 x+ 3 y= 2 . 当 = 0 时 , = 2, 所以点 M 的极坐标为 ( 2 , 0 ) . 当 =2时 , =2 33,所以点 N 的极坐标为 2 33,2. 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 ( 2 ) 点 M 的直角坐标为 ( 2 , 0 ) , 点 N 的直角坐标为 0 ,2 33. 所以点 P 的直角坐标为 1 ,33, 则点 P 的极坐标为 2 33,6, 所以直线 极坐标方程为 =6( R ) . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 题型二 求圆的极坐标方程 【例 2 】 求以 C ( 4 , 0 ) 为圆心 , 半径等于 4 的圆的极坐标方程 . 解 :如图所示 ,由题设可知 ,这个圆经过极点 ,圆心在极轴上 ,设圆与极轴的另一个交点是 A ,在圆上任取一点 P ( , ), 连接 在 O P A 中 , | O A | = 8, | O P | = , A O P = , 所以 | O A | c o s = ,即 8 c o s = , 即 = 8 c o s 就是圆 C 的极坐标方程 . 反思 在极坐标系中 ,求圆的极坐标方程时 ,关键是找出曲线上的 点满足的关系 ,将它用坐标表示并化简 ,得到 和 的关系 ,即为所求的极坐标方程 . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 【变式训练 2 】 在极坐标系中 , 已知圆 C 经过点 P 2 ,4, 圆心为直线 s i n 求圆 C 的极坐标方程 . 解 :在 s i n 令 = 0, 得 = 1, 即圆 C 的圆心坐标为 ( 1 , 0 ) . 因为圆 C 经过点 P 2 ,4, 所以圆 C 的半径 | = ( 2 )2+ 12- 2 1 2 c o s 4= 1, 则 圆 C 过极点 ,故圆 C 的极坐标方程为 = 2 c o s . 识梳理 难聚焦 堂演练 例透析 标导航 题型一 题型二 题型三 题型三 极坐标方程和直角坐标方程的互化 【例 3 】 将下列式子进行直角坐标方程与极坐标方程之间的互化 . ( 1 ) x2+4 ; ( 2 ) = 3 c o s ; ( 3 ) = c o s 解 : ( 1 ) 将 x=
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