公务员行测备考1

数学复习总纲 .2 1. 【分享】数学运算的大致常考类型，大家复习可以参照！ .3 2. 【分享】数学公式终极总结 .4 3. 【分享】排列组合基础知识及习题分析 .8 4. 【分享】排列组合新讲义 .14 5. 【分享】无私奉献天字一号的排列组合题（系列之二） .21 6. 【分享】“插板法”的条件模式隐藏运用分析 24 7. 【纠错】两个相同的正方体的六个面上分别标有数字的排列组合问题 .26 8. 【讨论】裴波纳契数列的另类运用 .27 9. 【经验分享】关于临界点类型算数问题的分析 .28 10. 【经验总结】关于比例法中变量守恒与变化的思路分析 .30 11. 【讨论】“五个人的体重之和是 423 斤,他们的体重都是整数”一题 .33 12. 【经验分享】浅谈 mn/(m+n)公式的由来（盐水交换问题） .34 13. 【周末练习】4 道经典习题（已公布解析 DONE） .37 14. 【分享】关于相遇问题和追击问题的综合题目的分析 .40 15. 【分享】“牛吃草”的问题的模式化解题方式总结 41 16. 【纠错】关于计算某个数字在页码中出现的次数问题的公式怀疑！ .43 17. 【总结】关于页码和页数的题目（刚看到的一个题目顺便做个分析） .43 18. 【开会时间分针时针互换问题】新题型的 2 道问题的解析 45 2 19. 【分享】（绝对经典）20 道比列及列式计算 46 20. 【分享】60 道数学题的解析 51 声明： 本文所收集内容来自 QZZN 论坛 作者： 徐克猛 （天字 1 号） 飞风舞蝶 （绝对经典）20 道比列及列式计算 白狐狸 数学公式终极总结 版权所有 严禁用于商业用途 数学复习总纲 【分享】公考中数学知识部分如何学习的计划安排和心得！ 分配学习时间 我做了这样一个假设， 假如你是一张白纸（对于公务员考试而言） 我建议大家遵循这样的学习时间安排。比较合适。 这是我个人的经验和看法。 仅以参考！ 1、数字推理（每天必须练习） 开始的前 3 周， 每周 1.5 小时, 主要是以看和归纳为主。 3 周之后要能丢开资料自己 可以回忆出数字推理的若干种类型。特别是经典的 7 大类型 3 周之后 看是 1 周（每天半小时的计时练习。每道题目不得超过 53 秒），从第 5 周直 到考试， 每天都要用 10 分钟15 分钟的时间不停的巩固和练习这数字推理。主要是保持 和培养数字敏感性和了解一些新的题型（新的题型以了解为主，不要强求） 2、数学运算。（我建议集中时间整理和复习 准备时间应该是在 2 个月以上） 首先，先对国考，或者你所参加的地方考试的题型和命题风格做一个了解。 看看这些 数学运算试题的难度系数如何。 总结归纳常见的考试类型。如果你觉得你有足够的能力， 你还可以归纳考察的思维方向是来自哪几点（这个比较重要。如果不能达到这一点，可以 借鉴老师，或者网络，借鉴别人的与此相关的总结） 其次是平时的练习。应该划分专项来练习。专项的划分就是根据第一步你对考试类型的 划分。 学会总结方法（方法不是公式，只记住公式那是没用的，必须去掌握公式的由来） 。 练习的题源应当以 国家（03至今），北京（05至今），山东（04至今），浙江 （05至今），江苏（04至今），辅助于 福建（06 08 年）等地的真题为主。 最后通过练习，必须学会做总结归纳，做好笔记。 对每种类型都要学会用一句话或者一 段简洁的话写出你的感受和观点。 鲤鱼网（） 鲤鱼网成功在于执着 3 1. 【分享】数学运算的大致常考类型，大家复习可以参照！ （一） 数字推理 （1）数字性质：奇偶数，质数合数，同余，特定组合表现的特定含义 如 3.1415926 ，阶乘数列。 （2）等差、等比数列, 间隔差、间隔比数列。 （3）分组及双数列规律 （4）移动求运算数列 （5）次方数列（1 、基于平方立方的数列 2、基于 2n 次方数列 ，3 幂的 2，3 次方交替 数列等为主体架构的数列） （6）周期对称数列 （7）分数与根号数列 （8）裂变数列 （9）四则组合运算数列 （10）图形数列 （二） 数学运算 （1）数理性质基础知识。 4 （2）代数基础知识。 （3）抛物线及多项式的灵活运用 （4）连续自然数求和和及变式运用 （5）木桶（短板）效应 （6）消去法运用 （7）十字交叉法运用（特殊类型） （8）最小公倍数法的运用（与剩余定理的关系） （9）鸡兔同笼运用 （10）容斥原理的运用 （11）抽屉原理运用 （12）排列组合与概率：（重点含特殊元素的排列组合，插板法已经变式， 静止概率以 及先【后】验概率） （13）年龄问题 （14）几何图形求解思路 （求阴影部分面积 割补法为主） （15）方阵方体与队列问题 （16）植树问题（直线和环形） （17）统筹与优化问题 （18）牛吃草问题 （19）周期与日期问题 （20）页码问题 （21）兑换酒瓶的问题 （22）青蛙跳井（寻找临界点）问题 （23）行程问题（相遇与追击，水流行程，环形追击相遇： 变速行程，曲线（折返，高 山，缓行）行程，多次相遇行程， 多模型行程对比） 2. 【分享】数学公式终极总结 容斥原理 涉及到两个集合的容斥原理的题目相对比较简单，可以按照下面公式代入计算： 一的个数+二的个数都含有的个数总数都不含有的个数 【例 3】某大学某班学生总数为 32 人，在第一次考试中有 26 人及格，在第二次考试中 鲤鱼网（） 鲤鱼网成功在于执着 5 有 24 人及格，若两次考试中，都及格的有 22 人，那么两次考试都没有及格的人数是多少 【国 2004B-46】 A.10 B.4 C.6 D.8 应用公式 26+24-22=32-X X=4 所以答案选 B 【例 9】某单位有青年员工 85 人，其中 68 人会骑自行车，62 人会游泳，既不会骑车又 不会 游泳的有 12 人，则既会骑车又会游泳的有多少人。 【山东 2004-13】 A.57 B.73 C.130 D.69 应用公式： 68+62-X=85-12 X=57 人 抽屉原理： 【例 1】在一个口袋里有 10 个黑球，6 个白球，4 个红球，至少取出几个球才能保证其中 有 白球？【北京应届 2007-15】 A.14 B.15 C.17 D.1849. 采取总不利原则 10+4+1=15 这个没什么好说的 剪绳问题核心公式 一根绳连续对折 N 次，从中 M 刀，则被剪成了(2NM+1)段 【例 5】将一根绳子连续对折三次，然后每隔一定长度剪一刀，共剪 6 刀。问这样操作后， 原来的绳 子被剪成了几段？【浙江 2006-38】 A.18 段 B.49 段 C.42 段 D.52 段 23*6+1=49 方阵终极公式 假设方阵最外层一边人数为 N，则 一、实心方阵人数=NN 二、最外层人数=（N 1 ）4 【例 1】某学校学生排成一个方阵，最外层的人数是 60 人，问这个方阵共有学生多少人？ 6 【国 2002A-9】 【国 2002B-18】 A.256 人 B.250 人 C.225 人 D.196 人 （N-1）4=60 N=16 16*16=256 所以选 A 【例 3】某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是 96 人，问这个学校共有学生： 【浙 江 2003-18】 A.600 人 B.615 人 C.625 人 D.640 人 （N-1）4=96 N=25 N*N=625 过河问题： 来回数=（总量 -每次渡过去的） /（每次实际渡的）*2+1 次数=（总量 -每次渡过去的）/ （每次实际渡的）+1 【例 1】有 37 名红军战士渡河，现仅有一只小船，每次只能载 5 人，需要几次才能渡 完？ 【广东 2005 上-10 】 A.7 次 B.8 次 C.9 次 D.10 次 37-1/5-1 所以是 9 次 【例 2】49 名探险队员过一条小河，只有一条可乘 7 人的橡皮船，过一次河需 3 分钟。 全体 队员渡到河对岸需要多少分钟？（ ） 【北京应届 2006-24】 A.54 B.48 C.45 D.39 【（49-7）/6】2+1=15 15*3=45 【例 4】有一只青蛙掉入一口深 10 米的井中。每天白天这只青蛙跳上 4 米晚上又滑下 3 米， 则这只青蛙经过多少天可以从井中跳出? A.7 B.8 C.9 D.10 【（10-4）/1】+1=7 核心提示 三角形内角和 180 N 边形内角和为（ N-2）180 【例 1】三角形的内角和为 180 度，问六边形的内角和是多少度？【国家 2002B-12】 A.720 度 B.600 度 C.480 度 D.360 度 （6-2 ） 180=720 盈亏问题： （1）一次盈，一次亏：（盈+亏）（两次每人分配数的差）= 人数 （2）两次都有盈： （大盈- 小盈）（两次每人分配数的差）=人数 鲤鱼网（） 鲤鱼网成功在于执着 7 （3）两次都是亏： （大亏- 小亏）（两次每人分配数的差）=人数 （4）一次亏，一次刚好：亏（两次每人分配数的差）=人数 （5）一次盈，一次刚好：盈（两次每人分配数的差）=人数 例：“小朋友分桃子，每人 10 个少 9 个，每人 8 个多 7 个。问：有多少个小朋友和多少个 桃子？” 解（7+9）（ 10-8）=162=8（个）人数 108-9=80-9=71（个）桃子 还有那个排方阵，一排加三个人，剩 29 人的题，也可用盈亏公式解答。 行程问题模块 平均速度问题 V=2V1V2/V1+V2 【例 1】有一货车分别以时速 40km 和 60km 往返于两个城市，往返这两个城市一次的 平均 时速为多少？【国家 1999-39】 A.55km B.50km C.48km D.45km 2*40*60/100=48 【例 2】一辆汽车从 A 地到 B 地的速度为每小时 30 千米，返回时速度为每小时 20 千米， 则它的平均速度为多少千米/时？【浙江 2003-20】 A.24 千米时 B.24.5 千米时 C.25 千米时 D.25.5 千米/时 2*30*20/30+20=24 比例行程问题 路程速度时间（ 1 2 1 2 12 S vt = 或 或 或 ）路程比速度比 时间比， S1/S2=V1/V2=T1/T2 运动时间相等，运动距离正比与运动速度 运动速度相等，运动距离正比与运动时间 运动距离相等，运动速度反比与运动时间 【例 2】 A、B 两站之间有一条铁路，甲、乙两列火车分别停在 A 站和 B 站，甲火车 4 分 钟走的路 程等于乙火车 5 分钟走的路程，乙火车上午 8 时整从 B 站开往 A 站，开出一段时间后，甲 火车从 A 站出发 开往 B 站，上午 9 时整两列火车相遇，相遇地点离 A、B 两站的距离比是 1516，那么， 甲火车在什么时 刻从 A 站出发开往 B 站。 【国 2007-53】 A.8 时 12 分 B.8 时 15 分 C.8 时 24 分 D.8 时 30 分 速度比是 4：5 路程比是 15：16 15S：16S 8 5V : 4V 所以 T1:T2=3:4 也就是 45 分钟 60-45=15 所以答案是 B 在相遇追及问题中： 凡有益于相对运动的用“加” ，速度取“和” ，包括相遇、背离等问题。 凡阻碍 相对运动的用“减” ，速度取“差” ，包括追及等问题。 从队尾到对头的时间=队伍长度/ 速度差 从对头到队尾的时间=队伍长度/ 速度和 【例 2】红星小学组织学生排成队步行去郊游，每分钟步行 60 米，队尾的王老师以每分 钟 步行 150 米的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用 10 分钟。求队伍的长度？ （ ） 【北京社招 2005-20】 A.630 米 B.750 米 C.900 米 D.1500 米 X/90+X/210=10 X=630 某铁路桥长 1000 米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用 120 秒，整列火车完全在桥上的时间 80 秒，则火车速度是？【北京社招 2007-21】 A.10 米/秒 B.10.7 米/秒 C.12.5 米/秒 D.500 米/分 核心提示 列车完全在桥上的时间=（桥长-车长）/列车速度 列车从开始上桥到完全下桥所用的时间=（桥长+车长）/ 列车速度 1000+X=120V 1000-X=80V 解得 10 米/秒 为节约用水，某市决定用水收费实行超额超收，标准用水量以内每吨 2.5 元，超过标准的 部分加倍收费。某用户某月用水 15 吨，交水费 62.5 元，若该用户下个月用水 12 吨，则 应交水费多少钱？ 15 顿和 12 顿都是超额的，所以 62.5（3X5） 例 1某团体从甲地到乙地，甲、乙两地相距 100 千米，团体中一部分人乘车先行，余下 的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已经步行速 度为 8 千米/小时，汽车速度为 40 千米/ 小时。问使团体全部成员同时到达乙地需要多少时 间？ A.5.5 小时 B.5 小时 C.4.5 小时 D.4 小时 假设有 m 个人（或者 m 组人） ，速度 v1，一个车，速度 v2。 鲤鱼网（） 鲤鱼网成功在于执着 9 车只能坐一个/组人，来回接人，最短时间内同时到达终点。总距离为 S。 T=(S/v2)*(2m-1)v2+v1/v2+(2m-1)v1 3. 【分享】排列组合基础知识及习题分析 在介绍排列组合方法之前 我们先来了解一下基本的运算公式！ C5 取 3（543）/（321） C6 取 2（65 ）/（21） 通过这 2 个例子 看出 CM 取 N 公式 是种子数 M 开始与自身连续的 N 个自然数的降序乘积做为分子。 以取值 N 的阶层作为分母 P53543 P66654321 通过这 2 个例子 PMN从 M 开始与自身连续 N 个自然数的降序乘积 当 NM 时 即 M 的阶层 排列、组合的本质是研究“从 n 个不同的元素中，任取 m (mn)个元素，有序和无序摆放的 各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序” 与“无序”. 解答排列、组合问题的思维模式有二： 其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列” ，无序用 “组合”； 其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法” ，分步用 “乘法”. 分 类：“做一件事，完成它可以有 n 类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分 类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个 标准下进行分类； 其次，分类时要注意满足两条基本原则：完成这件事的任何一种方法必须属于某一类； 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步：“做一件事，完成它需要分成 n 个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要 分成 n 个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的 设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这 n 个步骤后，这件事才算最终完成. 两 个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有 n 类办法，这 n 类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完 成这件事， 求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成 n 个步骤，缺一不可， 即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个 步骤各有若干种不同的方法， 求完成这件事的方法种类就用乘法原理. 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点： 1有限制条件的排列问题常见命题形式： “在”与“不在 ” “邻”与“不邻 ” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法： 10 “相邻” 问题在解题时常用“ 合并元素法” ，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处 理相邻最常用的方法. “不邻” 问题在解题时最常用的是“插空排列法”. “在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置. 元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情 求出结果. 2有限制条件的组合问题，常见的命题形式： “含”与“不含 ” “至少”与“至多” 在解题时常用的方法有“直接法 ”或“间接法”. 3 在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按 事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的， 也是最重要的思想方法. * 提供 10 道习题供大家练习 1、三边长均为整数，且最大边长为 11 的三角形的个数为（ C ） (A)25 个 (B)26 个 (C)36 个 (D)37 个 - 【解析】 根据三角形边的原理 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 可见最大的边是 11 则两外两边之和不能超过 22 因为当三边都为 11 时 是两边之和最大的时候 因此我们以一条边的长度开始分析 如果为 11，则另外一个边的长度是 11，10，9，8，7 ，6， 。 。 。 。 。 。1 如果为 10 则另外一个边的长度是 10，9，8。 。 。 。 。 。2 ， （不能为 1 否则两者之和会小于 11，不能为 11，因为第一种情况包含了 11，10 的组合） 如果为 9 则另外一个边的长度是 9，8 ，7， 。 。 。 。 。 。 。3 （理由同上 ，可见规律出现） 规律出现 总数是 1197 。 。 。 。1 （111）6236 2、 （1）将 4 封信投入 3 个邮筒，有多少种不同的投法？ - 【解析】 每封信都有 3 个选择。信与信之间是分步关系。比如说我先放第 1 封信，有 3 种可能性。接着再放第 2 封，也有 3 种可能性，直到第 4 封， 所以分步属于乘法原则 即 333334 （2）3 位旅客，到 4 个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？ - 【解析】跟上述情况类似 对于每个旅客我们都有 4 种选择。彼此之间选择没有关系 不够 鲤鱼网（） 鲤鱼网成功在于执着 11 成分类关系。属于分步关系。如：我们先安排第一个旅客是 4 种，再安排第 2 个旅客是 4 种选择。知道最后一个旅客也是 4 种可能。根据分步原则属于乘法关系 即 44443 （3）8 本不同的书，任选 3 本分给 3 个同学，每人一本，有多少种不同的分法？ - 【解析】分步来做 第一步：我们先选出 3 本书 即多少种可能性 C8 取 356 种 第二步：分配给 3 个同学。 P336 种 这 里稍微介绍一下为什么是 P33 ，我们来看第一个同学可以有 3 种书选择，选择完成后， 第 2 个同学就只剩下 2 种选择的情况，最后一个同学没有选择。即 321 这是分步选择 符合乘法原则。最常见的例子就是 1，2 ，3，4 四个数字可以组成多少 4 位数？ 也是满足 这样的分步原则。 用 P 来计算是因为每个步骤之间有约束作用 即下一步的选择受到上一 步的压缩。 所以该题结果是 566336 3、 七个同学排成一横排照相. （1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？ （3600） - 【解析】 这个题目我们分 2 步完成 第一步： 先给甲排 应该排在中间的 5 个位置中的一个 即 C5 取 15 第二步： 剩下的 6 个人即满足 P 原则 P66720 所以 总数是 72053600 （2）某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？ （1440） - 【解析】 第一步：确定乙在哪个位置 排头排尾选其一 C2 取 12 第二步：剩下的 6 个人满足 P 原则 P66720 则总数是 72021440 （3）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？ （3120） - 【解析】特殊情况先安排特殊 第一种情况：甲不在排头排尾 并且不在中间的情况 去除 3 个位置 剩下 4 个位置供甲选择 C4 取 14， 剩下 6 个位置 先安中间位置 即除 了甲乙 2 人，其他 5 人都可以 即以 5 开始，剩下的 5 个位置满足 P 原则 即 5P555120600 总数是 46002400 第 2 种情况：甲不在排头排尾， 甲排在中间位置 则 剩下的 6 个位置满足 P66720 因为是分类讨论。所以最后的结果是两种情况之和 即 24007203120 12 （4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？ （1440） - 【解析】相邻用捆绑原则 2 人变一人，7 个位置变成 6 个位置，即分步讨论 第 1： 选位置 C6 取 16 第 2： 选出来的 2 个位置对甲乙在排 即 P222 则安排甲乙符合情况的种数是 2612 剩下的 5 个人即满足 P55 的规律 120 则 最后结果是 120121440 （5）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？（2520） - 【解析】 这个题目非常好,无论怎么安排甲出现在乙的左边 和出现在乙的右边的概率是一样的。 所 以我们不考虑左右问题 则总数是 P775040 ,根据左右概率相等的原则 则排在左边的情 况种数是 504022520 4、用数字 0，1 ，2，3，4 ， 5 组成没有重复数字的数. （1）能组成多少个四位数？ （300） - 【解析】 四位数 从高位开始到低位 高位特殊 不能排 0。 则只有 5 种可能性 接下来 3 个位置满足 P53 原则 54360 即总数是 605300 （2）能组成多少个自然数？ （1631） - 【解析】自然数是从个位数开始所有情况 分情况 1 位数： C6 取 16 2 位数： C5 取 2P22C5 取 1P1125 3 位数： C5 取 3P33C5 取 2P222100 4 位数： C5 取 4P44C5 取 3P333300 5 位数： C5 取 5P55C5 取 4P444600 6 位数： 5P555120600 总数是 1631 这里解释一下计算方式 比如说 2 位数： C5 取 2P22 C5 取 1P1125 先从不是 0 的 5 个数字中取 2 个排列 即 C5 取 2P22 还有一种情况是从不是 0 的 5 个数 字中选一个和 0 搭配成 2 位数 即 C5 取 1P11 因为 0 不能作为最高位 所以最高位只有 1 种可能 （3）能组成多少个六位奇数？ （288） - 【解析】高位不能为 0 个位为奇数 1，3，5 则 先考虑低位，再考虑高位 即 34P441224288 鲤鱼网（） 鲤鱼网成功在于执着 13 （4）能组成多少个能被 25 整除的四位数？ （21） - 【解析】 能被 25 整除的 4 位数有 2 种可能 后 2 位是 25： 339 后 2 位是 50： P424312 共计 91221 （5）能组成多少个比 201345 大的数？ （479） - 【解析】 从数字 201345 这个 6 位数看 是最高位为 2 的最小 6 位数 所以我们看最高位大于等于 2 的 6 位数是多少？ 4P554120480 去掉 201345 这个数 即比 201345 大的有 4801479 （6）求所有组成三位数的总和. （32640） - 【解析】每个位置都来分析一下 百位上的和：M1=100P52(5+4+3+2+1) 十位上的和：M2=4410(5+4+3+2+1) 个位上的和：M3=44(5+4+3+2+1) 总和 MM1+M2+M3=32640 5、生产某种产品 100 件，其中有 2 件是次品，现在抽取 5 件进行检查. （1） “其中恰有两件次品”的抽法有多少种？ （152096） 【解析】 也就是说被抽查的 5 件中有 3 件合格的 ，即是从 98 件合格的取出来的 所以 即 C2 取 2C98 取 3152096 （2） “其中恰有一件次品”的抽法有多少种？ （7224560） 【解析】同上述分析，先从 2 件次品中挑 1 个次品，再从 98 件合格的产品中挑 4 个 C2 取 1C98 取 47224560 （3） “其中没有次品”的抽法有多少种？ （67910864） 【解析】则即在 98 个合格的中抽取 5 个 C98 取 567910864 （4） “其中至少有一件次品”的抽法有多少种？ （7376656） 【解析】全部排列 然后去掉没有次品的排列情况 就是至少有 1 种的 C100 取 5C98 取 57376656 （5） “其中至多有一件次品”的抽法有多少种？ （75135424） 【解析】所有的排列情况中去掉有 2 件次品的情况即是至多一件次品情况的 C100 取 5C98 取 375135424 14 6、从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少要有甲型和乙型电视机各 1 台，则不同的取法共有（ ） (A)140 种 (B)84 种 (C)70 种 (D)35 种 - 【解析】根据条件我们可以分 2 种情况 第一种情况：2 台甲1 台乙 即 C4 取 2C5 取 16530 第二种情况：1 台甲2 台乙 即 C4 取 1C5 取 241040 所以总数是 304070 种 7、在 50 件产品中有 4 件是次品，从中任抽 5 件，至少有 3 件是次品的抽法有_种. - 【解析】至少有 3 件 则说明是 3 件或 4 件 3 件：C4 取 3C46 取 24140 4 件：C4 取 4C46 取 146 共计是 4140464186 8、有甲、乙、丙三项任务, 甲需 2 人承担, 乙、丙各需 1 人承担.从 10 人中选派 4 人承担 这三项任务, 不同的选法共有（ C ） (A)1260 种 (B)2025 种 (C)2520 种 (D)5040 种 【解析】分步完成 第一步：先从 10 人中挑选 4 人的方法有：C10 取 4210 第二步：分配给甲乙并的工作是 C4 取 2C2 取 1C1 取 162112 种情况 则根据分步原则 乘法关系 210122520 9、12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分配 方案共有_ C(4,12)C(4,8)C(4,4) _种 【解析】每个路口都按次序考虑 第一个路口是 C12 取 4 第二个路口是 C8 取 4 第三个路口是 C4 取 4 则结果是 C12 取 4C8 取 4C4 取 4 可能到了这里有人会说 三条不同的路不是需要 P33 吗 其实不是这样的 在我们从 12 人中 任意抽取人数的时候，其实将这些分类情况已经包含了对不同路的情况的包含。 如果再 P33 则是重复考虑了 如果这里不考虑路口的不同 即都是相同路口 则情况又不一样 因为我们在分配人数的时候 考虑了路口的不同。所以最后要去除这种可能情况 所以在上述结果的情况下要P33 鲤鱼网（） 鲤鱼网成功在于执着 15 10、在一张节目表中原有 8 个节目，若保持原有节目的相对顺序不变，再增加三个节目， 求共有多少种安排方法？ 990 【解析】 这是排列组合的一种方法 叫做 2 次插空法 直接解答较为麻烦，故可先用一个节目去插 9 个空位，有 P(9,1)种方法；再用另一个节目 去插 10 个空位，有 P(10,1)种方法；用最后一个节目去插 11 个空位，有 P(11,1)方法，由 乘法原理得：所有不同的添加方法为 P(9,1)P(10,1)P(11,1)=990 种。 另解：先在 11 个位置中排上新添的三个节目有 P(11,3)种，再在余下的 8 个位置补上原有 的 8 个节目，只有一解，所以所有方法有 P3111=990 种。 4. 【分享】排列组合新讲义 作者：徐克猛（天字 1 号 ） 2009-2-19 一、 排列组合定义 1、什么是 C 公 式 C 是 指 组 合 ， 从 N 个 元 素 取 R 个 ， 不 进 行 排 列 （ 即 不 排 序 ） 。 例 如 ： 编 号 1 3 的 盒 子 ， 我 们 找 出 2 个 来 使 用 ， 这 里 就 是 运 用 组 合 而 不 是 排 列 ， 因 为 题 目 只 是 要 求 找 出 2 个 盒 子 的 组 合 。 即 C（ 3， 2） 3 2、什么是 P 或 A 公 式 P 是 指 排 列 ， 从 N 个 元 素 取 R 个 进 行 排 列 (即 排 序 )。 例 如 ： 1 3， 我 们 取 出 2 个 数 字 出 来 组 成 2 位 数 ， 可 以 是 先 取 C（ 3， 2） 后 排 P22， 就 构 成 了 C（ 3， 2） P（ 2， 2） A（ 3， 2） 3、 A 和 C 的关系 事实上通过我们上面 2 个对定义的分析，我们可以看出的是，A 比 C 多了一个排序步 骤，即组合是排列的一部分且是第一步骤。 4、计算方式以及技巧要求 组合：C（M ，N）M ！ （ N！（MN）！） 条件：N=下车人数的时候 车子上的人一直在增加 。知道相等 达到饱和 。 我们看到上车的人数从起始站开始，下车的人数也是从起始站开始。列举一下 70 起始站（上车）：14，13，12，11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1，0 起始站（下车）：0 ，1， 2， 3， 4， 5，6，7，8，9， 我们发现当上车人数7 的时候下车人数也是 7 达到最大值 所以答案是 14（131）（122）（113）（104）（95）（86）56 人 32. 自然数乘 1999，末尾 6 位数都是 9，是哪个数？（ ） A .2001 B.2011 C.2111 D.20001 【天字一号解析】 此题看上去貌似很复杂，其实还是我们常见的考察知识点 我们知道这个数末尾 6 个数字全是 9 ，如果这个数字1，那么末尾 6 个数字应该都是 0 了 我们根据平方差公示 这个数的开方应该是 3 个 0 A2-1=(A+1)*(A-1) 因为一个数字是 1999 只能是 A11999 A2000 那么另外一个数字就是 A12001 选 A 33. 参加会议的人两两都彼此握手，有人统计共握手 36 次，到会共有（）人。 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【天字一号解析】 鲤鱼网（） 鲤鱼网成功在于执着 71 每个人握手的次数是 N1 次，N 人就握手了 N（N1）次 但是每 2 个人之间按照上述方 法计算重复了一次。 所以要除以 2， 即公式是 N（N1）236 这样 N9 如果不理解。我们还可以这样考虑 假设这些人排成一排。 第一个人依次向排尾走去。一个一个的握手。第 2 个人跟着第一个 人也是这样。第一个人是 N1 次。第 2 个人是 N2 次 第 3 个人是 N3 次 、最后第 2 人是 1 次，最后一个人不动，所以他主动握手的次数是 0 次。 这样我们就看出这些人握手的次数是一个线段法则规则 我在我的 45 题练习里面解析了关 于线段法则的运用情况 即总握手次数就是 12345、N1 计算公式 就是（首项尾项 ）项数2 当然如果是这样的题目 你还可以通过排列组合计算 这么多人中 任意挑出 2 人即多少种就 有多少次握手： Cn 取 236 也就是 N（N1）2！36 解得 N9 这个只适用 于比较简单的握手游戏 取 2 如果 C 取值大于 2 则就不要用排列组合了， 例如这样一道例题： 某个班的同学体育课上玩游戏，大家围成一个圈，每个人都不能跟相邻的 2 个人握手，整 个游戏一共握手 152 次， 请问这个班的同学有（ ）人 A、16 B、17 C、18 D、19 【天使在唱歌解析】此题看上去是一个排列组合题，但是却是使用的对角线的原理在解决 此题。按照排列组合假设总数为 X 人则 Cx 取 3152 但是在计算 X 时却是相当的麻烦。 我们仔细来分析该题目。以某个人为研究对象。则这个人需要握 x3 次手。每个人都是这 样。则总共握了 x（x-3）次手。但是没 2 个人之间的握手都重复计算了 1 次。则实际的 握手次数是 x（x-3）2152 计算的 x19 人 34. 商场的自动扶梯匀速自下而上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上， 男孩每秒向上行走 2 个阶梯，女孩每 2 秒向上走 3 个阶梯。如果男孩用 40 秒到达，女孩用 50 秒到达，则当电梯停止时，可看到的扶梯级有： A 80 B 100 C 120 D 140 【天字一号解析】 关于电梯问题实际上也是一种行程问题，而不是我们所理解的“牛吃草”问题：但跟行程 问题却又很大的不同！下面就来说说其不同之处！ 行程问题里面我们常见的有 2 种 一种是相遇问题：同时想向而行！ 何时相遇的行程问题。 72 一种是追击问题：是一个人在另外一个人的前面，两个人同方向走。后面的人速度快，前 面人速度慢，什么时候能追上的问题。 我们先分析 2 种模型： （1）： 人的方向跟电梯方向同向 ，当人在扶梯的底端开始往上走。而扶梯也是自动往上走，方向相同，我们发现虽然方向 相同，但是扶梯是帮助人往同一个方向走的。并且共同走过了扶梯的总级数， 说明（人的速度扶梯的速度）时间扶梯级数，这就好比行程问题里面的相遇问题。 这不过这里的方向是同向。 （2）：人的方向跟电梯方向反向， 人本来是向上走的，但是扶梯的速度是向下的。行程 了反向，人走的路程往往被扶梯同时间内出来的级数抵消一部分。所以人的速度一定要大 于扶梯的速度才能到达顶部。当到达顶部的时候，我们不难发现。其实就是（人的速度 扶梯的速度）时间扶梯级数。 这就好比行程问题里面的追击问题，只不过这里的方向 是相反 ！ 我们再来分析例题：首先确定是同向。确定为相遇问题 速度和时间电梯级数 对于男生： （2V 电梯）40 对于女生： （1.5V 电梯）50 建立等式关系： （2V 电梯）40（1.5V 电梯）50 解得 V 电梯0.5 则电梯级数2.540100 或者 250100 例如我们在举例一个反向的例子： 【例题练习】：商场的自动扶梯匀速自上而下行驶，两个孩子从下往上走，于是在行驶的 扶梯上，男孩每秒向上行走 2 个阶梯，女孩每 2 秒向上走 3 个阶梯。如果男孩用 50 秒到达， 女孩用 40 秒到达，则当电梯停止时，可看到的扶梯级有： A 80 B 100 C 120 D 140 35. 有甲乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重克，乙杯盐水重克现在从两 杯倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中这样两杯新盐水的含盐率相同从每杯中倒出 的盐水是多少克？ A 24 B 48 C 32 D 16 鲤鱼网（） 鲤鱼网成功在于执着 73 【天字一号解析】 公式： mn/(m+n)=120*80/(12080)48 公式的由来是通过 2 个十字交叉法得到的 你假设交换的部分是 a 克盐水 假设 120 克的盐水浓度是 P1， 80 克的盐水浓度是 P2， 交换混合后相同的浓度是 P 那么对于 120 克的盐水来讲建立十字交叉法 120a（P1） PP2 P a（P2） P1P 我们得到 （120a）：a（PP2）：（P1P） 那么对于 80 克的盐水来讲建立十字交叉法 80a（P2） P1P P a（P1） PP2 我们得到 （80a）：a（P1P）：（PP2） 根据这 2 个比例的右边部分我们可以得到 （120a）：aa：（80a） 化简得到 a12080/(120+80) 说明跟各自的浓度无关！ 补充方法： 因为 2 种溶液的混合浓度相等。其实可以看作是先将 2 种溶液直接混合，在按照比例分开 成 2 部分。所以我们假设交换了 a 克 a 克相对于 120 克的溶液剩下部分的比例也就是满足浓度之间的差值比例 跟原始的参照质量也是同一比例。即 (120a)/a=120/80 a=48 克 或者 （80a）/a=80/120 a=48 克 36. 甲乙两人各坐一游艇在湖中划行,甲摇浆 10 次时乙摇浆 8 次,而乙摇浆 70 次,所走的路 程等于甲摇浆 90 次所走的路程,现甲先摇浆 4 次,则乙摇浆多少次才能追上? A. 14 B.16 C.112 D.124 【天字一号解析】 这种类型的题目我们首先求出其速度！ 甲摇浆 10 次时乙摇浆 8 次 知道甲乙频率之比=5：4 而乙摇浆 70 次,所走的路程等于甲摇浆 90 次所走的路程 则可以得到每浆得距离之比是甲： 乙7：9 所以，我们来看 相同时间内甲乙得速度之比，57：4935：36 74 说明，乙比甲多出 1 个比例单位 现在甲先划桨 4 次， 每浆距离是 7 个单位，乙每浆就是 9 个单位， 所以甲领先乙是 4728 个单位 而事实上乙每 4 浆才能追上 36351 个单位，说明 28 个单位需要 284112 浆次追上！ 选 C 37. 一个游泳者逆流游泳，在桥遗失一只空水壶，水壶浮在水面，随水漂流游泳者继续逆 游了小时到达桥，发觉水壶遗失，休息了分钟再游回去找寻水壶，又游了. 小时后，在桥找到了水壶求，两桥的距离是，两桥距离的几倍 A1.5 倍 B 4/3 倍 C 2 倍 D 2.5 倍 【天字一号解析】 B。A。D 从 A 掉下是逆水行使到 D 跟水壶的速度差都是静水速度。时间 1 小时，从 D 到 B 是顺水行 使，跟水壶的速度差也是静水速度。 所以追上水壶用时也应该是 1 小时。 但是因为中间 休息了 12 分钟,水壶还在飘向 B 所以才会延长了追上的时间延长了 1.05-1=0.05 小时 说明： 水壶速度：游泳者的静水速度时间的反比0.05 小时：12 分钟1：4 AD1 小时的逆水（41）的水流速度 AB（11.050.2）小时的水流速度2.25 AD：AB3/2.25=4/3 38. 机场上停着 10 架飞机，第一架起飞后，每隔 4 分钟就有一架飞机接着起飞，而在第一架飞 机起飞后 2 分钟，又有一架飞机在机场上降落，以后每隔 6 分钟就有一架飞机在机场上降 落，降落在飞机场上的飞机，又依次隔 4 分钟在原 10 架之后起飞。那么，从第一架飞机起 飞之后，经过多少分钟，机场上第一次没有飞机停留？ A 104 B 108 C 112 D 116 【天字一号解析】 这个题目类似于“青蛙跳井”问题，我们不能直接求最终结果，否则我们会忽略在临界点 状态的一些变化。 碰到这种问题 首先就是求临界点是在什么时候发生，发生时的状况怎么样。这样才好判断。 例如“青蛙跳井”问题， 10 米深的井，青蛙每次跳 5 米 就会下滑 4 米。 问几次能够跳 上来。这个题目的临界点就是当青蛙最后一次跳 5 米的时候刚好到井口！也就是说我们只 需研究到青蛙跳到 1055 米的地方，这里都是常规计算 （105）/(5-4)=5 次。最后 一次的时候 我们就无需考虑下滑了 因为已经到顶了。 同样这个题目很多人做出 116 分钟，其原因就是犯了这个错误。 我们必须先求临界点。 所谓