广东南雄市2017届高考第二次模拟测试数学（文）试题含答案

2017届高考模拟测试 数学（文科） 第卷 一、 本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1, 2 , 3, 4 , 5U ，集合 2 | 5 4 0 A x Z x x ，集合 1,2B ，则() B （ ） A 1 B 1,2 C 1,3 D 2,3 z 满足 (2 ) 1i z i （ i 为虚数单位 ），则复数 z 在复平面内对应的点在 （ ） A第一象限 B第二象 限 C第三象限 D第四象限 ） A ， 120x B * ， 2( 1) 0x C ， x D ， x ，且3 11 16，则5a（ ） A 1 B 2 D 8 ，椭圆 C 的中心为原点，焦点1F，2F在 x 轴上，离心率为 12，点 P 为椭圆上一点，且12周长为 12，那么 C 的方程为（ ） A 2 2 125x yB. 22116 4C. 22125 24D. 22116 12x 的方程 s in c o sx x m在 0, 有两个不等的实 根，则 m 的一个值是（ ） A. 0 B. 12C. 22D. 1 输入某个正整数 n 后，输出的 15 6316 64S （ ， ），则输入的 n 的值为（ ） A 7 B 6 D 4 该几何体的体积为（ ） A 163B 43 D 16 64 ( ) ( 2 ) xf x x x e的图象大致是（ ） A B C. D 上的点 P 作圆 :C 22( 1 ) ( 6 ) 2 的两条切线1l、2l，当直线1l，2对称时， |（ ） A. 1 B 22 C. 12 D 2 中， 平面 1， 是边长为 2的等边三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ） A. 176B. 196) 上的可导函数，其导函数为 () 0x 时有22 ( ) ( )f x x f x x，则不等式 2( 2 0 1 7 ) ( 1 0 2 7 ) ( 1 ) 0x f x f 的解集为（ ） A.( , 2016) B.( 2 0 1 8 , 2 0 1 6 ) C.( 2018, ) D. ( , 2 0 1 8 ) ( 2 0 1 6 , ) 第卷 本卷包括必考题与选考题两部分，第（ 13）至（ 21）题是必考题，每个试题考生必须做答，第（ 22）至（ 23）是选考题，考生根据要求做答 . 二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，满分 20分） . 3( , )22， ( 3 ,1)，则 随机模拟方法来估计圆周率的值 1000粒落在正方形纸片上的芝麻中有 778粒落在正方形内切圆内，那么通过此模拟实验可得到 的估计值为 （保留小数点后三位） 15.若 x ， y 满足约束条件 22020 ，则 22的最小值是 . 入 98万元引进新生产设备，并马上投入生产，第一年需要的各种费用是 12万元，从第二年开始，所需费用比上一年增加 4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为 50 万元，则引进该设备 年后，该公司开始盈利 . 为 所在平面上一点，且满足 34P A P C m A B( 0)m 的面积为 8，则 的面积为 . 三、解答题（本大题共 6小题，满分 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） . 17. 在 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 3co s （ 1）求角 A 的值 ； （ 2）若6B ，且 的面积为 43，求 上的中线 大小 . P 是平行四边形 在平面外一点， 是等边三角形，点 A 在平面正投影 E 恰好是 点 . （ 1）求证： /面 （ 2）若 A ， 2，求点 P 到平面 距离 . 19. “大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号 力研发新产品 该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据 ( , ) ( 1 , 2 , , 6 )y i ，如下表所示： 已知 611 806. （ 1）求出 q 的值 ； （ 2）已知变量 x ， y 具有线性相关关系，求产品销量 y （件）关于试销单价 x （元）的线性回归方程 y bx a； （ 3）用 当销售数据( , )残差的绝对值 | | 1时，则将销售数据 ( , )为一个“好数据” 个销售数据中任取 2个，求抽取的 2个销售数据中至少有 1个是“好数据”的概率 . 20. 已知动点 P 到定直线 :2 的距离比到定点 1( ,0)22. （ 1） 求动点 P 的轨迹 C 的方程 ； （ 2）过点 (2,0)D 的直线交轨迹 C 于 A ， B 两点，直线 别交直线 l 于点 M ， N ，证明以 直径的圆被 x 轴截得的弦长为定值，并求出此定值 . 21. 已知函数 3( ) l n (1 )f x x a x b x ， () xg x xe b（ , ， e 为自然对数的底数），且 () , ( )e f e 处的切线方程为 1( 1). （ 1）求实数 a ， b 的值 ； （ 2）求证： ( ) ( )f x g x . 请考生在第（ 22）、（ 23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号 . 标系与参数方程 在平面直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为32132 （ t 为参数） 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立直坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 ( 0)a ，且曲线 C 与直线 l 有且仅有一个公共点 . （ 1）求 a ； （ 2）设 A ， B 为曲线 C 上的两点，且3，求 | | | |B 的最大值 . 等式选讲 已知函数 ( ) | 1 | 2 | 1 |f x x x 的最大值 a .() （ 1）求 a 的值； （ 2）若 112 ( 0, 0)，试比较 2与 2的大小 . 22017届高考模拟测试数学（文科） 参考答案与评分标准 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分 1 6 11、 12： 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分 . 13. 15. 2 三、解答题 1）由正弦定理： =co s 所以， 3co s 3A . 因为， (0, )A ,所以，6A . （ 2）由已知6B ，则 是等腰三角形， 23C ,设 2C a， 221 1 2s i n ( 2 ) s i n 32 2 3 C B C A C B a a ， 由已知 的面积为 43，得： 2 4, 2， 中，由余弦定理， 2 2 2 22 c o C A C M C A C M ， 22 14 2 2 2 4 ( ) = 2 82 ， 所以， 27. 1）证明：连 点 F ， 四边形 平行四边形， F 是 中点， 又 E 是 中点， ， 又 面 面 /面 （ 2） 点 A 在平面 正投影恰好是 点， 面 E 是 中点， 又 平面 , ， 在 中， E 是 中点， ， 是等腰直角三角形， 2,1 在等边 中， 312 22 在 中， 222 在等腰三角形 中，27222221 22 A B 设点 P 到平面 距离为 d ， 由V 得 C 3131， 7212732 1） 611 806 ，可求得 90q . （ 2） 6162213 0 5 0 6 6 . 5 8 0 7 0 42 7 1 2 5 3 . 5 1 7 . 5y n x n x （ ）$ ， 8 0 4 6 . 5 1 0 6a y b x $ ， 所以所求的线性回归方程为 4 106 $ . （ 3） 当1 4x时，1 90y $；当2 5x 时，2 86y $；当3 6x 时，3 82y $；当4 7x 时，4 78y $；当5 8x时，5 74y $；当6 9x时，6 70y $. 与销售数据对比可知满足 | | 1$ ( 1, 2, , 6)i 个“好数据”： (4,90) 、 (6,83) 、(8,75) . 从 6个销售数据中任意抽取 2个的所有可能结果有 65152 种， 其中 2个数据中至少有一个是“好数据 ”的结果有 3 3 3 12 种， 于是从抽得 2个数据中至少有一个销售数据中的产品销量不超过 80 的概率为 12 415 5P. 1）设点 P 的坐标为 ,因为定点 1( ,0)22 的右侧，且动点 2 的距离比到定点 1( ,0)22， 所以 , 2x- 且 2213( ) 2x y = + -， 化简得 2211()x y = +，即 2 2， 轨迹 C 的方程为 2 2. （ 2）设直线 方程为 2x ，1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y， 由 2 22，消去 x ，得 2 2 4 0y m y (*)， 方程 (*)的两根为 A 、 B 两点的横坐标，故 121224y y ， 1112， 直线 ，令 2x ，得14( 2, )M 同理可得24( 2, )N 以 直径的圆的 方程为1244( 2 ) ( 2 ) 0x x y ， 即22 121 2 1 216( 2 ) 4 0y yy y y y . 将 121224y y 代入上式，可得 22( 2 ) 2 4 0x y m y ， 令 0y ，即 0x 或 4x ， 故以 直径的圆被 x 轴截得的弦长为定值 4 . 注：或利用垂径定理：可求得14( 2, )M 24( 2, )N 则 中点为12122( 2 , )- ，即 ( 2, ) 圆心 ( 2, )直线 x 轴的距离为， 221211 2 1 2 1 2()44 44 y y y y - + = =， 2 22 1 1 2212( ) 4 ( 2 ) 4 ( 4 )4 4 2 44y y y y m -?= = = +. 由垂径定理可得： 以 直径的圆被 x 轴截得的弦长为， 2 2 2 22 2 ( 4 ) 4r d m + - =， 故以 直径的圆被 x 轴截得的弦长为定值 4 . 1） 21( ) 3 ( 1 )f x a x ， 21( ) 3 ( 1 )f e a e ，且 3( ) 1 (1 )f e a e b e ， 又 () , ( )e f e 处的切线方程为 1( 1)， 切点为 ( ,1 )， 23113 ( 1 ) 1 ( 1 )1 ( 1 ) 1 ( 2 )a e e b e e ， 1a， 1b ； （ 2） 由（ I）可知 ( ) l n , ( ) 1xf x x x g x x e ，且 ()0, ) ， 令 ( ) ( ) ( ) l n 1xF x f x g x x x x e ， 则 1 1 1( ) 1 ( 1 ) ( 1 ) ( )x x x x e x e x e x ex x x ， 令 1() xG x ，显然 ()0, ) 为减函数，且 1( ) 2 0 , ( 1 ) 1 02G e G e ， 0 1( ,1)2x ，使得0( ) 0即001 0 当0(0, )， ( ) 0 ( ) 0G x F x ， ()为增函数； 当0( , )时， ( ) 0 ( ) 0G x F x ， ()为减函数 ； 00 0 0 0( ) ( ) l n 1xF x F x x x x e ， 又001 0， 00001 , l x ， 0( ) 0，即 ( ) 0. ( ) ( )f x g x . (注：本题第（）问也可以利用不等式 1证明 ) 请考生在第（ 22）、（ 23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号 . 1） 直线 l 的普通方程是 3 3 0 ， 曲线 C 的直角坐标方程是 2 2 2()x a y a ， 依题意直线 l 与圆相切：则 32 解得 3a 或 1a ， 因为 0a ， 所以， 1a . 2） 如图，不仿设1( , )A , (3， 则1 2 ，1 2 c o s ( )3， 12O A O B 2 c o s 2 c o s ( )33 c o s 3 s i n， 2 3 c o s ( )6. 所以， 26 k，即 2,6k k z 时， B 最大值是 23. 1）由于 3 ( 1 )( ) 3 1 ( 1 1 )3 ( 1 )x x ， () 1) 2f ，故 2a . （ 2） 1122，且 0, 0， 1 1 1 1 2 1 22 ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 2 2 ) 22 2 2 2 2 2m n m nm n m nm n n m n m ， 当且仅当 22即 1m ， 12n等号成立 . 所以 22 （或利用柯西不等式证明） . 2 si n( x +4)(0 x )( ,12科） 参考答案与评分标准 评分说明 : 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题不给中间分 一选择题：本大题共 12小题，每小题 5分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D B A D D C C B B D B (1)【解析】集合 2 | 5 4 0 2 , 3 A x Z x x ，选 A. (2)【解析】 由 (2 ) 1i z i ，得： 3155， z 在复平面内对应的点为 31( , )55选 D (3)【解析】当 1x 时， 2( 1) 0x 故 选 B. (4)【解析】 依题意 比 2q ，所以， 3 1 175 224 14 ， 选A (5)【解析】由 122 2 1 2 +=得 4, 2,从而 2 2 2 12b a c= - = ,所以 22116 12为所求，选 D. (6)【解析】原方程即为 2 s i n ( )4，作出函数 O 2s i n ( )4在 0, 的图象，易知当 1, 2)m 时， 直线 与其有两个交点，选 D (7)【解析】 当 5n 时， 3132S 15 63( , )16 64选 C (8)【解析】该几何体由一个四棱锥及一个41圆锥组成， 故3 16644431414431 22 V,选 ( 9)【解析】易知， ()y f x 有两个零点，所以 A, 又 2( ) ( 2 ) xf x x e，所以，()（ - ,- 2 或 2 + ), 是增函数， () 2, 2 是减函数，所以 B. (10) 易知，圆心 C(1,6) 不在直线 1上 . 由圆的性质，两条切线1l、2由已知，两条切线1l、2l ： 1对称，所以， CP l ,由点到直线距离可得 =2 2选 B. (11)【解析】设 和 中心12,O 是球心，易证12 123 323 3460s 则 外接球半 径 ， 2 22212 3 1 1 93 2 1 2R r O O 故表面 积为 2 1943R,选 D. (12)【解析】令 2( ) ( )F x x f x ，则有 2( ) 2 ( ) ( )F x x f x x f x 由于 当 0x 时 有 22 ( ) ( )f x x f x x，所以 23( ) 2 ( ) ( ) 0F x x f x x f x x 当,0)时， 2( ) ( )F x x f x 单调递减 , () 2( ) ( )F x x f x 也是偶函数 2( ) ( )F x x f x 在(0, ) 单调递增 由 2( 2 0 1 7 ) ( 2 0 1 7 ) ( 1 ) 0x f x f 可得 22( 2 0 1 7 ) ( 2 0 1 7 ) ( 1 ) ( 1 )x f x f 即 ( 2 0 1 7 ) ( 1 )F x F 2 0 1 7 1x ， 即 2 0 1 8 2 0 1 6x 选 B 二、填空题： 本大题共 4小题，每小题 5分 . 2= 0x+ 0x= 2O（ 13） 6； （ 14） ； （ 15） 2 ； （ 16） 3 . (13)【解析】 1， , 2 ,所以 C 3= 2C,又因为 0， 则有 6(14)【解析】设正方形的边长为 2a ，则 227784 1 0 0 0aP a 圆 的 面 积正 方 形 面 积，于是 (15)【解析】不等式组表示区域如右图所示，由几何意义知，所求为 原点到直线 20 距离的最小值 ,可得其值等于 2 . (16) 【 解 析 】 设 引 进 该 设 备 n 年 后 开 始 盈 利 ， 盈 利 为 y 万 元 ， 则( 1 )5 0 ( 1 2 4 )2n n ， 29 8 2 4 0 9 8 , 令 0y ，得：1 0 5 1 1 0 5 1n ，又 n 是正整数，所以 3 17n ，所以则引进该设备 3 年后，该公司开始盈利 . (17) （）由正弦定理： =co s 以， 3co s 3 因为， (0, )A ,所以，6A . （）由已知6B ，则 是等腰三角形， 23C ,设 2C a， 221 1 2s i n ( 2 ) s i n 32 2 3 C B C A C B a a 8分 由已 知 的面积为 43，得： 2 4, 2 9分 中，由余弦定理， 2 2 2 22 c o C A C M C A C M 22 14 2 2 2 4 ( ) = 2 82 11分 所以， 27 12 分 (18)（）证明：连 点 F 四边形 平行四边形， F 是 中点 2分 又 E 是 中点 3分 又 面 面 /面 4分 （）解： 点 A 在平面 正投影恰好是 点 面 E 是 中点 5分 又 平面 , 在 中， E 是 中点， ， 是等腰直角三角形， 2,1 在等边 中， 312 22 在 中， 222 7分 在等腰三角形 中，27222221 22 A B 9分 设点 P 到平面 距离为 d ， 由V 得 C 3131 10 分 7212732 12分 (19) （） 611 806 ，可求得 90q 2分 （） 6162213 0 5 0 6 6 . 5 8 0 7 0 42 7 1 2 5 3 . 5 1 7 . 5y n x n x （ ）$ ， 4分 . 8 0 4 6 . 5 1 0 6a y b x $ 6分 A B P D C E F 所以所求的线性回归方程为 4 106 $ . 7分 （）当1 4x时，1 90y $；当2 5x 时，2 86y $；当3 6x时，3 82y $；当4 7x时，4 78y $；当5 8x时，5 74y $；当6 9x时，6 70y $。 与销售数据对比可知满足 | | 1$ ( 1, 2, , 6)i 个“好数据”： (4,90) 、 (6,83) 、(8,75) . 9分 从 6个销售数据中任意抽取 2个 的所有可能结果有 65152 种 10分， 其中 2个数据中至少有一个是“好数据”的结果有 3 3 3 12 种， 11 分， 于是从抽得 2个数据中至少有一个销售数据中的产品销量不超过 80 的概率为 12 415 5P. 12分 (20)解 :（）法 1：设点 P 的坐标为 ,因为定点 1( ,0)22 的右侧，且动点 P 到定直线 :2 的距离比到定点 1( ,0)22，所以 , 2x- 且 2213( ) 2x y = + - 2分 化简得 2211()x y = +，即 2 2， 轨迹 C 的方程为 2 2. 4分 解法 2：设点 P 的坐标为 ,则 由已知条件可知，动点 P 到定直线 1:2的距离等于到定点 1( ,0)2 根据抛物线的定义，点 P 的轨迹是以定点 1( ,0)2 2分， 122p=， 1p= ， 动点 P 的轨迹 C 的方程为 2 2. 4分 （）解： 设直线 方程为 2x ，1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y， 由 2 22，消去 x ，得 2 2 4 0y m y (*)， 方程 (*)的两根为 A 、 B 两点的横坐标，故 121224y y ， 6分 1112， 直线 ，令 2x ，得14( 2, )M 同理可得24( 2, )N 8分 以 直径的圆的方程为1244( 2 ) ( 2 ) 0x x y ， 即22 121 2 1 216( 2 ) 4 0y yy y y y 将 121224y y 代入上式，可得 22( 2 ) 2 4 0x y m y 10 分 令 0y ，即 0x 或 4x 故以 直径的圆被 x 轴截得的弦长为定值 4 12 分 注：或利用垂径定理：可求得14( 2, )M 24( 2, )N 则 中点为12122( 2 , )- ，即 ( 2, ) 圆心 ( 2, )直线 x 轴的距离为 ， 221211 2 1 2 1 2()44 44 y y y y - + = = 2 22 1 1 2212( ) 4 ( 2 ) 4 ( 4 )4 4 2 44y y y y m -?= = = +. 10 分 由垂径定理可得： 以 直径的圆被 x 轴截得的弦长为 2 2 2 22 2 ( 4 ) 4r d m + - = 故以 直径的圆被 x 轴截得的弦长为定值 4 12 分 （）另解：设 211(2 , 2 )A t t， 222(2 , 2 )B t t（120则 211( 2 2 , 2 )D A t t= 222( 2 2 , 2 )D B t t= ,点共线， 222 1 1 22 ( 2 2 ) 2 ( 2 2 )t t t -， 1 2 1 2( ) ( 1 ) 0t t t =， 又12 12 1， 8分 直线 ，令 2x=- ，得12( 2, )M 同理可得22( 2, )M 所以以 直径的圆的方程为1222( 2 ) ( 2 ) 0x x y ， 即22 121 2 1 24( 2 ) 2 0y yt t t t 10分 将12 1代入上式，可得 2212( 2 ) 2 ( ) 4 0x y t t y 令 0y ，即 0x 或 4x 故以 直径的圆被 x 轴截得的弦长为定值 4 12 分 （ 21） 解：（ I） 21( ) 3 ( 1 )f x a x ， 1分 21( ) 3 ( 1 )f e a e ，且 3( ) 1 (1 )f e a e b e 2分 又 () , ( )e f e 处的切线