2008全国各地数学高考题20套word版1套图片版—试题部分有答案
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用心 爱心 专心 绝密启用前 数 学 (理工农医类 ) 一、 选择题 :本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1复数（ 1+ 1i） 3 等于 B. 8 D. 8i (D) 2“ | 2 成立”是“ x（ 0 成立”的 A充分而不必要条件 C充分必要条件 （ B） x、 y 满足条件 1, 0,2 9 0 , 则 x+y 的最大值是 (C) 服从正态分布 N(2,9) ,若 P ( c+1)=P( c 1 ,则 c= (B) m、 n 和平面 、 。下列四个命题中，正确的是 A.若 m ,n ,则 m n B.若 m ,n ,m ,n ,则 ， m ,则 m ， m ， m ,则 m （ D） f(x)=3 co 42上的最大值是 . 3 (C) 、 E、 F 分别是 三边 的点，且 2,D 2,A 2,B 则 A D B E C F与 用心 爱心 专心 (A) 21（ a 0,b 0）上横坐标为 32双曲线离心率的取值范围是 A.(1,2) B.(2,+ ) C.(1,5) D. (5,+ ) (B) 8 个顶点在同一球面上，且 ,3 , 则顶点 A、 B 间的球面距离是 B. 2 C. 22D. 24(C) x表示不超过 x 的最大整数（如 2 =2, 54 =1） ,对于给定的 n N*,定义 2 ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 )nn n n x x x ， x 1, ,则当 x 3,32时，函数 2A. 16,283B. 16,563C. 284,3 28,56D. 1 6 2 84 , , 2 833 (D) 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。把答案填在对应题号后的横线上。 m 34 15 . 21（ a b 0）的右焦点为 F,右准线为 l,离心率 e= (0,b)作 l,垂足为 M，则直线 斜率等于 12. y=f(x)存在反函数 y=f 1（ x） ,且函数 y=x)的图象过点 (1,2). 则函数 y=f 1(x)图象一定过点 () . f(x) 3 ( 1) 用心 爱心 专心 （ 1）若 a 1,则 f(x)的定义域是 3,a ; (2)若 f(x)在区间 0,1 上是减函数，则实数 a 的取值范围是 , 0 1, 3 . n(n 4)个元素的总体 1,2,3, ,n进行抽样，先将总体分成两个子总体 1,2,， m和 m+1、 m+2,， n (m 是给定的正整数，且 2 m 再从每个子总体中各随机抽取 2 个元素组成样本，用 示元素 i 和 f 同时出现在样本中的概率，则 4()m n m ;所有 i j n 的和等于 6 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16.（本小题满分 12 分） 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约 则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约 2，且面试是否合格互不影响 （）至 少有 1 人面试合格的概率 ; （）签约人数 的分布列和数学期望 . 解 用 A， B， C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格 ， B， C 相互独立，且 P（ A） P（ B） P（ C） 12. （）至少有 1 人面试合格的概率是 3171 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) B C P A P B P C （） 的可能取值为 0， 1， 2， 3. ( 0 ) ( ) ( ) ( )P P A B C P A B C P A B C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P C P A P B P C P A P B P C 3231 1 1 3( ) ( ) ( ) 2 8 ( 1 ) ( ) ( ) ( )P P A B C P A B C P A B C = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P C P A P B P C P A P B P C = 3331 1 1 3( ) ( ) ( ) 2 8 1( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B C P A P B P C 用心 爱心 专心 1( 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B C P A P B P C 所以， 的分布列是 0 1 2 3 P 38 38 18 18 的期望 3 3 1 10 1 2 3 1 8 8E 17.（本小题满分 12 分） 如图所示，四棱锥 底面 边长为 1 的菱形， 60， E 是 面 2. （）证明：平面 面 （）求平面 平面 成二面角（锐角）的大小 . 解 解法一（）如图所示，连结 菱形且 0知， 等边三角形 是 中点，所以 以 A平面平面 以 A ,因此 面 又 平面 以平面 面 （）延长 交于点 F，连结 作 H，由（）知平面 面 以 面 在 ，因为 60，所以， =在等腰 ，取 中点 G，连接 则 G，由三垂线定理的逆定理得， 用心 爱心 专心 所以 平面 平面 成二面角的平面角（锐角） . 在等腰 ， 2 P A在 ， 222 2 5 A B A P A P A B 所以，在 ， 25105s i n 故平面 平面 成二面角（锐角）的大小是 105解法二 如图所示，以 A 为原点，建立空 间直角坐标系 （ 0， 0，0）， B（ 1， 0， 0）， 3 3 1 3( , ,0 ), ( , ,0 ),2 2 2 20， 0， 2）， （）因为 3( 0 , , 0 )2，平面 一个法向量是0 (0,1,0)n ，所以0BE 从而 面 又因为 平面 平面 面 ( )易知 3(1 , 0 , 2 ) , ( 0 , 02P B B E ， ） ，13( 0 , 0 , 2 ) , ( , , 0 )22P A A D 设 11 1 1( , , )n x y z是平面 一 个 法 向 量 ， 则 由 110,0n E 得1 1 11 2 20 2 0 ,30 0 0 y zx y z 所以1 1 1 10 , 2 . ( 2 , 0 , 1 ) .y x z n 故 可 取 用心 爱心 专心 设2 2 2 2( , , )n x y z是平面 一 个 法 向 量 ， 则由 220,0n D 得2 2 22 2 20 0 2 0 ,13 0 0 y zx y z 所以2 2 20 , 3 .z x y 故可取2 ( 3 , 1, 0 )于是，1212122 3 1 5c o s , 故平面 角）的大小是 15518.（本小题满分 12分） 数列 221 2 21 , 2 , ( 1 c o s ) s i n , 1 , 2 , 3 , n a a a a n 满 足( )求34, ( )设21 122,n b b 证明：当 16 2 n 时 ， 解 ( )因为 221 2 3 1 11 , 2 , ( 1 c o s ) s i n 1 2 ,22a a a a a 所 以2222(1 c o s ) s i n 2 4 a a 一般地，当 *2 1 ( N )n k k 时， 222 1 2 1( 2 1 ) 2 1 1 c o s s i 211 ，即2 1 2 1 所以数列 21是首项为 1、公差为 1的等差数列，当 *2 ( N )n k k时， 22 2 22( 1 c o s 2 所以数列 2、公比为 2的等比数列，因此2 故数列 *21 , 2 1 ( N ,22 , 2 ( N n k k k ( )由 ( )知，21 22,2nb a 231 2 3 ,2 2 2 2 用心 爱心 专心 2 2 4 11 1 2 32 2 2 2 2 -得，2 3 11 1 1 1 1 2 2 2 2 21111 1 ( ) 122 2 212n n 所以1122 2 2nn n 要证明当 6n 时， 12nS n成立，只需证明当 6n 时， ( 2) 12成立 . 证法一 (1)当 n=6时，66 ( 6 2 ) 4 8 3 12 6 4 4 成立 . (2)假设当 ( 6)n k k时不等式成立，即 ( 2) 1.2 则当 n=k+1时，1( 1 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 3 ) 2 ( 2 ) ( 2 ) 2k k k k k k kk k k k 由 (1)、 (2)所述，当 n 6时，2( 1) 12 ，即当 n 6时， n 证法二 令2( 2 ) ( 6 )2n ，则 211 2 1( 1 ) ( 3 ) ( 2 ) 3 2nn n n n 所以当 6n 时，1n 时，6 6 8 3 4 于是当 6n 时，2( 2) 综上所述，当 6n 时， n19.（本小题满分 13 分） 在一个特定时段内，以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域 正北 55 海里处有一个雷达观测站 北偏东 45 且与点 A 相距40 2 海里的位置 B，经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东45 + (其中 = 2626， 0 90 )且与点 A 相距 10 13 海里的位置C. （ I）求该船的行驶速度（单位：海里 /时） ; 用心 爱心 专心 （ 该船不改变航行方向继续行驶 说明理由 . 解 （ I）如图， 0 2 ， 0 13 ， 26, s i n 由于 040=以点 Q 位于点 A 和点 E 之间，且 5. 过点 E 作 点 P，则 点 E 到直线 距离 . 在 ， E s i n s i n ( 4 5 )P Q E Q E A Q C Q E A B C = 51 5 3 5 7 所以船会进入警戒水域 . 20.（本小题满分 13 分） 若 A、 B 是抛物线 x 上的不同两点，弦 平行于 y 轴）的垂直平分线与 x 轴相交于点 P，则称弦 点 P 的一条“相关弦” x2 时，点 P（ x,0）存在无穷多条“相关弦” . （ I）证明：点 P（ ）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同； (问：点 P（ ）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用 若 不存在，请说明理由 . 解 （ I）设 点 P（ ）的任意一条“相关弦”，且点 A、 B 的坐标分别是 （ x1,（ x2, ,则 两式相减得（ y1+ =4（ 以 y1+0. 设直线 斜率是 k，弦 中点是 M（ ,则 k=121 2 1 242x y y y . 从而 垂直平分线 l 的方程为 ( ) y x x 又点 P（ ）在直线 l 上，所以 )my 而 0,于是0 故点 P（ ）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是 ( )由 ( )知，弦 在直线的方程是 ()y k x x ， 代入 2 4中， 整理得 2 2 22 ( ) 2 ( ) 0 .m m m mk x k y k x x y k x （） 则12方程（）的两个实根，且 212 2()k k 设点 P 的“相关弦” 弦长为 l，则 用心 爱心 专心 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2( ) ( ) (1 ) ( )l x x y y k x x 2 2 2 21 2 1 2 1 222222 2 4 22 2 2 2 2 200(1 ) ( ) 4 4 (1 ) ( )2()44 (1 ) 4( 4 ) ( 4 ) 4 ( 1 ) 1 64 ( 1 ) 2 ( 1 ) 4 ( 1 ) 2 ( 3 ) m m m m m mm m m mk x x x x k x x x y y y x xx y x x y x 因为 03,则 2( (0, 4所以当 t=2(即 2( , l 有最大值 2( 若 23 时，点 P（ ）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为 2 （ 当 2 3 时，点 P（ ）的“相关弦”的弦长中不存在最大值 . 21.（本小题满分 13 分） 已知函数 f(x)=+x)- 21 (I)求函数 f(x) 的单调区间 ; （）若不等式 1(1 ) aa 对任意的 N*n 都成立（其中 e 是自然对数的底数） . 求 的最大值 . 解 （）函数 f(x)的定义域是 ( 1, ) ， 22222 l n (1 ) 2 2 (1 ) l n (1 ) 2( ) 1 ) (1 )x x x x x x x x 设 2( ) 2 (1 ) l n (1 ) 2 ,g x x x x x 则 ( ) 2 l n (1 ) 2 .g x x x 令 ( ) 2 l n (1 ) 2 ,h x x x 则 22( ) 2 当 10x 时， ( ) 0, ( )h x h x 在（ 0）上为增函数， 当 x 0 时， ( ) 0, ( )h x h x 在 (0, ) 上为减函数 . 所以 h(x)在 x=0 处取得极大值，而 h(0)=0,所以 ( ) 0 ( 0 )g x x ，函数 g(x)在 ( 1, ) 上为 用心 爱心 专心 减函数 . 于是当 10x 时， ( ) ( 0 ) 0 ,g x g 当 x 0 时， ( ) ( 0 ) 0 .g x g 所以，当 10x 时， ( ) 0 , ( )f x f x 在（ 0）上为增函数 . 当 x 0 时， ( ) 0 , ( )f x f x 在 (0, ) 上为减函数 . 故函数 f(x)的单调递增区间为（ 0），单调递减区间为 (0, ) . （）不等
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