高中数学《指数函数及其性质》教案（打包10套）新人教A版必修1
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高中数学《指数函数及其性质》教案（打包10套）新人教A版必修1,高中数学,指数函数,及其,性质,教案,打包,10,新人,必修
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用心 爱心 专心 1 指数函数及其性质（一） 学习目标： 理解指数函数的意义，掌握指数函数的图象和性质； 进一步体会应用函数图象讨论函数性质的方法 教学重点 ：指数函数的图象及其性质 教学难点 ：指数函数的图象、性质与底数 a 的关系 教学方法 ：探究、讨论式 教具准备 ：用几何画板演示指数函数的图象与底数 a 的关系 教学过程 ： （ I）新课引入： 师：通过前面的学习，我们将指数的取值范围从整数推广到了有理数、实数，并且整数指数幂的运算律在推广后仍然适用，这就为我们进行下一步的学习打下了基础 今天 ，我们将要对一种新的函数 指数函数进行研究 （ 授新课： 指数函数的意义： 师：本章的开始，我们利用两个实例得到了两个具体的函数 和 573012 ，后者实际上也可以写成 1573012 ，这两个函数有哪些共同的特征呢？ 生：这两个函数都是幂的形式，并且底数都是常数，指数是自变量 x，定义域都是实数集 师：一般地，函数 (0a ，且 1)a 叫做 指数函数 ，其中 x 是自变量，函数定义域是 R 指数函数的图象和性质 ： 师：下面我们利用计算机软件几何画板来观察分析指数函数 (0a ，且 1)a的图象和性质 （引导学生观察图象，填写下表、讨论交流、概括总结指数函数的基本性质） 用心 爱心 专心 2 图 象 特 征 函 数 性 质 图象都在 x 轴上方 x 取任何实数时，都有 0 图象都经过 (0,1) 点 无论 a 为任何正数，总有 0 1a 1a 时，图象在第一象限内都在直 线 1y 上方，在第二象限内都在直 线 1y 下方； 01a时相反 当 1a 时，若 0x ，则 1 ，若 0x ，则 01； 当 01a时，若 0x ，则 01， 若 0x ，则 1 自左向右， 1a 时图象逐渐上升； 01a时图象逐渐下降 当 1a 时，函数 是增函数； 当 01a时，函数 是减函数 例题：课本62 （）课后练习：课本64课本65 组 （）课时小结 要理解指数函数的意义，根据函数图象理解掌握指数函数的性质； 要逐渐学会利用函数图像分析研究函数的性质 （）课后作业 课本64课本65 组 阅读课本62P64P，思考下列问题： 怎样利用指数函数的单调性比较两个幂的大小？所有幂的大小比较都可以用指数函数的性质进行吗？ 怎样的函数称为指数型函数？ 板书设计： 指数函数及其性质（一） 指数函数的意义： 例 指数函数的图象与性质 小结： 用心 爱心 专心 3 预习提纲： 教学后记 : 用心 爱心 专心 1 指数函数及其性质（二） （一）教学目标 1知识与技能： （ 1）理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质 . （ 2）体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2过程与方法： 展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质 . 3情感、态 度 与价值观 （ 1） 让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理 . （ 2） 培养学生观察问题，分析问题的能力 . （二）教学重点、难点 1教学重点： 指数函数的概念和性质及其应用 . 2教学难点： 指数函数性质的归纳，概括及其应用 . （三） 教学方法 采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究，合作交流的教学方法， 利用多 媒体教学 ，使学生 通过 观察图象，总结出指数函数的性质， 调动学生参与课堂教学的主动性和积极性 从而培养学生 的 观察能力，概括能力 . （四）教学过程 教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图 复习 引入 复习指数函数的 概念 和图象 . 一般地，函数 （ a 0 且 a 1 ）叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R. 象 生：复习回顾 师：总结完善 复习旧知，为新课作铺垫 . 用心 爱心 专心 2 问题：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性 . 形成 概念 图象特征 a 1 0 a 1 向 x 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方 函数图象都过定点（ 0， 1） 自左向右， 图象逐渐上升 自左向右， 图象逐渐下降 在第一象限内的图 象纵坐标都大于 1 在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于 1 师：引导学生观察指数函数的图象，归纳出图象的特征 . 生：从渐进 线、 对称 轴、特殊点、图象的升降等方面观察指数函数的图象，归纳出图象的特征 . 师：帮助学生完善 . 通过分析图象，得到图象特征，为进一步 得到指数函数的性质作准备 . 概念 深化 函数性质 a 1 0 a 1 函数的定义域为 R 非奇非偶函数 函数的值域为 R+ 0a =1 增函数 减函数 x 0， 1 x 0， 1 生：从 定义域 、 值域 、定点、单调性、范围 等方面 研究 指数函数的 性质 . 师：帮助学生完善 . 获得指数函数的性质 . 用心 爱心 专心 3 x 0， 1 x 0， 1 问题：指数函数 （ a 0且 a 1 ），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系 . 师： 画出几个 提出问题 . 生： 画出几个 底数 不同的 指数函数图象，得到 指数函数 a 0 且 a 1 ）， 当底数越大时， 在第一象限的 函数图象 越高 . （底大图高） 明确底数是确定指数函数的要素 . 应用 举例 例 1 求下列函数的定义域、值域 （ 1） （ 2） 513 课堂练习 （ ） 例 2（ ）比较下列各题中的个值的大小 （ 1） 与 1分析：此题要利用指数函数的定义域、 值域，并结合指数函数的图象 . 解：（ 1）由 10x 得 1x 所以函数定义域为 | 1. 由 1 01x 得 1y ， 所以函数值域为 | 0 1y y y且 . （ 2） 由 5 1 0x 得 15x所以函数定义域为 1 | 5. 由 5 1 0x 得 1y ， 所以函数值域为 | 1. 例 2 解法 1：用数形结合的方法，如第（ 1）小题，用图形计算器或计算机画出掌握指数函数的应用 . 用心 爱心 专心 4 ( 2 ) 与 ( 3 ) 与 堂练习 ： . 7 0 . 9 0 . 80 . 8 , 0 . 8 , 1 . 2 ,a b c 的图象，在图象上找出横坐标分别为 3 的点，显然，图象上横坐标就为 3的点在横坐标为 以 . 解法 2：用计算器直接计算： 所以， 解法 3：由函数的单调性考虑 因为指数函数 在 3，所以， 仿照以上方法可以解决第（ 2）小题 . 注：在第（ 3）小题中，可以用解法 1，解法 2解决，但解法 3不适合 . 由于 不能直接看成某个函数的两个 值，因此，在这两个数值间找到 1，把这两数值分别与 1比较大小，进而比较 的大小 . 练习答案 1. 0 . 8 0 . 7 0 . 91 . 2 0 . 8 0 . 8； 2. 当 1a 时， 用心 爱心 专心 5 按大小顺序排列 , 2. 比较 1 13 2 大 小 （ a 0 且a 0 ） . 例 3（ ）截止到 1999年底，我们人口哟 13 亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在 1%，那么经过 20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？ 则 1 13 2. 当 01a时， 则 1 13 2. 分析：可以先考试一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题： 1999 年底 人口约为 13亿 经过 1年 人口约为 13（ 1+1%）亿 经过 2年 人口约为 13（ 1+1%）（ 1+1%） =13(1+1%)2亿 经过 3年 人口约为 13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿 经过 x 年 人口约为 13(1+1%)x 亿 经过 20年 人口约为 13(1+1%)20亿 解：设今后人口年平均增长率为 1%，经过 x 年后，我国人口数为 y 亿，则 1 3 (1 1 % ) 当 x =20 时，201 3 ( 1 1 % ) 1 6 ( )y 亿 答：经过 20年后，我国人用心 爱心 专心 6 口数最多为 16亿 . 小结：类似上面此题，设原值为 N，平均增长率为 P，则对 于 经 过 时 间 x 后总量( 1 ) , ( 1 ) (x x p y N p y k a K R 像 等 形 如， a 0 且 a 1 ）的函数称为指数型函数 . 归纳 总结 本节课研究了指数函数性质 及其 应用，关键是要记住 a 1 或 0 a 1 时 的图象，在此基础上研究其性质 . 本节课还涉及到指数型 函数的应用，形如xy （ a 0且 a 1 ） . 学生先自 回顾反思 ，教师 点评完善 形成知识体系 . 课后 作业 作业： 五课时 习案 学生独立完成 巩固新知 提升能力 备选例题 例 1 求下列函数的定义域与值域 （ 1） 412 （ 2） |2()3 （ 3） 124 1 【分析】由于指数函数 0( x 且 )1a 的定义域是 R ，所以函数 )(（ 0a 且 1a ）与函数 )(定义域相同 【解析】（ 1）令 ,04 x 得 4x 定义域为 ,| 且 4x . 12,041 41 ， 用心 爱心 专心 7 412 值域为 ,0| 1y . （ 2）定义域为 . |x 0 ， | | | |23( ) ( )32 1)23( 0 故 |2()3 值域为 1 . （ 3）定义域为 . 14 2 1 22( 2 ) 2 2 1 ( 2 1 ) ,x x x 且 1,02 故 124 1 值域为 1| 【小结】求与指数函数有关的函数的值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性 . 例 2用函数单调性定义证明 a 1时， y = 【解析】 设 R 且 令 h (h 0， h R)， 则有 )1(11112 a 1， h 0， 1,01 hx 012 xx 即 21 xx 故 y = a 1)为 同理可证 0 a 1 时， y = 上的减函数 . 用心 爱心 专心 1 课题： 数函数及其性质 教学任务：（ 1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系； （ 2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点； （ 3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等 教学重点：指数函数的的概念和性质 教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质 教学过程： 引入课题 （备选引例） （合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛 增加，已引起全世界关注世界人口 2000 年大约是 60亿，而且以每年 增长率增长，按照这种增长速度，到2050 年世界人口将达到 100 多亿，大有“人口爆炸”的趋势为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的 7 月 11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育 我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界 7%的国土上，却养育着 22%的世界人口因此，中国的人口问题是公认的社会问题 2000年第五次人口普查，中国人口已达到 13 亿，年增长率约为 1%为了有效地控制 人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策 1 按照上述材料中的 1%的增长率，从 2000 年起， x 年后我国的人口将达到 2000 年的多少倍？ 2 到 2050 年我国的人口将达到多少？ 3 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？ 上一节中 x 与 y 的对应关系 y=x N*， x 20）能否构成函数？ 一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的 84%，那么以时间 x 年为自变量，残留量 y 的函数关系式是什么？ 上面的几个函数有什么共同特征？ 用心 爱心 专心 2 新课教学 （一）指数函数的概念 一般地，函数 )1a,0a(ay x 且 叫做指数函数（ 其中 x 是自变量，函数的定义域为 R 注意： 1 指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析； 2 注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和 1 巩固练习：利用指数函数的定义解决（教材 、 3） （二）指数函数的图象和性质 问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性 探索研究： 1 在同一坐标系中画出下列函数的图象： （ 1） x)31(y （ 2） x)21(y （ 3） （ 4） （ 5） 2从画出的图象中你能发现函数 的图象和函数 x)21(y 的图象有什么关系？可否利用 的图象画出 x)21(y 的图象？ 3从画出的图象（ 、 和 ）中，你能发现函数的图象与其底数之用心 爱心 专心 3 间有什么 样的规律？ 4你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？ 图象特征 函数性质 1a 1 1a 1 向 x、 y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为 R 图象关于原点和 y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在 x 轴上方 函数的值域为 R+ 函数图象都过定点（ 0， 1） 1 自左向右看， 图 象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于 1 在第一象限内的图象纵坐标都小于 1 1a,0x x 1a,0x x 在第二象限内的图象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图象纵坐标都大于 1 1a,0x x 1a,0x x 图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快； 函数值开始减小极快，到了某 一值后减小速度较慢； 利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （ 1）在 a， b上， )1a)x(f x 且值域是 )b(f),a(f 或 )a(f),b(f ； （ 2）若 0x ，则 1)x(f ； )x(f 取遍所有正数当且仅当 ； （ 3）对于指数函数 )1a)x(f x 且，总有 a)1(f ； （ 4）当 1a 时，若 21 ，则 )x(f)x(f 21 ； （三）典型例题 例 1（教材 6） 解：（略） 问题：你能根据本例说出确定一个指数函数需要几个条件吗？ 例 2（教材 7） 解：（略） 问题：你能根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小？ 说明：规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式 用心 爱心 专心 4 巩固练习 ：（教材 题 A 组第 7 题） 归纳小结，强化思想 本节主要学习了指数函数的图象，及利用图象研究函数性质的方法 作业布置 必做题：教材 题 2 1（ A 组） 第 5、 6、 8、 12 题 选做题：教材 题 2 1（ B 组） 第 1 题 用心 爱心 专心 1 指指 数数 函函 数数 及及 其其 性性 质质 （ 第第 一一 课课 时时 ） 教学目标： 1、理解指数函数的概念 2、根据图象分析指数函数的性质 3、应用指数函数的单调性比较幂的大小 教学重点： 指数函数的图象和性质 教学难点： 底数 a 对函数值变化的影响 教学方法： 学导式 （一）复习：（提问） 引例 1： 某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个， 2 个分裂成 4 个 1 个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系式是： 2 这个函数便是我们将要研究的指数函数，其中自变量 x 作为指数，而底数 2 是一个大于 0且不等于 1 的常量。 （二）新课讲解： 1 指数函数定义： 一般地，函数 （ 0a 且 1a ） 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数定义域是 R 练习：判断下列函数是否为指数函数。 2 8 (2 1) （ 12a且 1a ） ( 4) 12 25 10 （ 0a 且 1a ）的图象： 例 1画 2的图象（图（ 1） 解：列出 ,描点法画出图象 x 2 1 3 2 8 例 2画 1()2 图象（图（ 1） x 2 1 3 1()2 8 4 指出函数 2与 1()2 象间的关系？ 2 1()2 （ 1） 用心 爱心 专心 2 说明：一般地， 函数 ()y f x 与 ()y f x的图象关于 y 轴对称。 3指数函数 在底数 1a 及 01a这两种情况下的图象和性质： 1a 01a 图象 性质 （ 1）定义域： R （ 2）值域： (0, ) （ 3）过点 (0,1) ，即 0x 时 1y （ 4）在 R 上是增函数 （ 4）在 R 上是减函数 例 3已知指数函数 ( ) ( 0 , 1 )xf x a a a 的图象经过点 (3, ) ，求 ( 0 ), (1), ( 3 )f f f 的值（教材第 66 页例 6）。 例 4比较下列各题中两个值的大小： (1) 0 2 ) 0 0 0 )1 0 （教材第 66 页例 7） 小结： 学习了指数函数的概念及图象和性质； 练习：教材第 68 页练习 1、 3 题。 作业：教材第 69 页习题 2。 1A 组题 第 6、 7、 8 题 用心 爱心 专心 1 指数函数及其性质（二） 学习目标： 熟练掌握指数函数的概念、图象、性质，会求指数型函数的定义 域、值域； 会应用指数函数的单调性比较两个同底数的幂的大小，培养数学 应用意识 教学重点 ：指数函数性质的应用 教学难点 ：利用指数函数的性质比较两个不同底数的幂的大小 教学方法 ：讲练结合式 教具准备 ：多媒体投影 教学过程 ： （ I）新课引入： 师：上节课，我们学习了指数函数的概念、图象和性质，大家一起来回顾一下基本内容 定义 函数 (0a ，且 1)a 叫做指数函数 图象 01a 1a 定义域 R 值域 (0, ) 性质 图象过定点 (0,1) ，即当 0x 时， 1y 在 R 上是减函数 在 R 上是增函数 今天，我们将要应用指数函数的相关知识解决一些问题 （ 授新课： 指数型函数： 师：请同学们完成课本64课本65 组 （生练习，师订正） 例题：课本63 用心 爱心 专心 2 师：在实际问题中，经常会遇到 指数增长模型 ： 设原有量为 N，平均增长率为 p，经过时间 x 后的总量为 y，则 (1 ) p 形如 xy (， 0a ，且 1)a 的函数称为 指数型函数 同底数幂的大小比较 ： 例题：课本62 要求：学生练习、，并对照课本解答，尝试总结比较同底数幂大小的方法以及一般步骤 解：考查指数函数 由于底数 ，所以指数函数 在 R 上是增函数 考查指数函数 由于 0 ，所以指数函数 在 R 上是减函数 师：比较同底数幂大小的方法，就是指数函数的单调性的应用，其基本步骤如下： 确定所要考查的指数函数； 根据底数情况指出已确定的指数函数的单调性； 比较指数大小，然后利用指数函数单调性得出同底数幂的大小关系 解：由指数函数的性质知： , 0 00 0. 即 ， 01， . 说明：此题难点在于解题思路的确定，即如何找到中间值进行比较题中与中间值 1进行比较，这一点可由指数函数性质或图象得出，与 1 比较时，还是采用同底数幂比较大小的方法，要特别注意此题中“ 1”的灵活变形技巧 （）课后练习：课本65 组； B 组 （）课时小结 要 理解指数函数的意义，根据函数图象理解掌握指数函数的性质； 要逐渐学会利用函数图象、性质解决问题 （）课后作业 课本65 阅读课本68P70P，思考下列问题： 什么叫对数？对数的底数、真数？ 对数与指数之间有怎样的关系？ 由对数的定义可以得到对数的那些基本性质？ 用心 爱心 专心 3 常用的特殊对数有哪几种？ 板书设计： 指数函数及其 性质（二） 指数增长模型与指数型函数： 同底数幂的大小比较： 例 例 小结： 预习提纲： 教学后记 : 用心 爱心 专心 1 指指 数数 函函 数数 及及 其其 性性 质质 （ 第第 二二 课课 时时 ） 教学目标： 象、性质； 域； 4. 培养学生数学应用意识。 教学重点： 指数函数性质的运用 教学难点： 指数函数性质的运用 教学方法： 学导式 （一）复习：（提问） 1指数函数的概念、图象、性质 2练习： （ 1）说明函数 34 图象与函数 4 图象的关系； （ 2）将函数 21()3 象的左移 2 个单位，再下移 1 个单位所得函数的解析式是 ； （ 3）画出函数 1()2 的草图。 （二）新课讲解： 例 1 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过 1 年剩留的这种物质是原来的 84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留 1个有效数字）。 分析 ： 通过恰当假设，将剩留量 y 表示成经过年数 x 的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求。 解：设这种物质量初的质量是 1，经过 x 年，剩留量是 y . 经过 1年，剩留量 y =1 84%= 经过 2年，剩留量 y =1 84%= 一般地，经过 留量 ， 根据这个函数关系式可以列表如下： x 0 1 2 3 4 5 6 y 1 描点法画出指数函数 的图象。从图上看出 ，只需 4x . 答：约经过 4年，剩留量是原来的 一半。 例 2 说明下列函数的图象与指数函数 2的图象的关系，并画出它们的示意图： （ 1） 12 ； （ 2） 22 解：（ 1）比较函数 12 与 2的关系： 312y 与 22y 相等， 212y 与 12y 相等， 212y 与 32y 相等 ， 由此可以知道，将指数函数 2的图象向左平移 1个单位长度，就得到函数 12 的图象。 用心 爱心 专心 2 （ 2）比较函数 22 与 2的 关系： 122y 与 32y 相等， 022y 与 22y 相等， 322y 与 12y 相等 ， 由此可以知道，将指数函数 2的图象向右平移 2个单位长度，就得到函数 22 的图象。 说明： 一般地，当 0a 时，将函数 ()y f x 的图象向左平移 a 个单位得到 ()y f x a的图象；当 0a 时，将函数 ()y f x 的图象向右平移 |a 个单位，得到 ()y f x a的图象。 练习：说出下列函数图象之间的关系： （ 1） 11y x 与 1 （ 2） 3 与 3 ；（ 3） 2 2y x x与 2 2y x x 例 3 求下列函数的定义域、值域： （ 1） 1218 （ 2） 11 ( )2 （ 3） 3 （ 4） 1 ( 0 , 1 )1a 解：（ 1） 2 1 0x 12x原函数的定义域是 1 , 2x x R x， 令 121t x 则 0,t t R 8 ( , 0 )ty t R t 得 0, 1， 所以，原函数的值域是 0, 1y y y （ 2） 11 ( ) 02 x 0x 原函数的定义域是 0, ， 令 11 ( )2 ( 0)x则 01t ， 在 0,1 是增函数 01y， 所以，原函数的值域是 0,1 （ 3）原函数的定义域是 R ， 令 则 0t ， 3在 ,0 是增函数， 01y， 所以，原函数的值域是 0,1 （ 4）原函数的定义域是 R ， 由 1 ( 0 , 1 )1a 得 11x ya y ， 0 1 01， 11y ，所以，原函数的值域是 1,1 说明： 求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的 值域。 小结： 1学会怎样将应用问题转化为数学问题及利用图象求方程的解； 2学会灵活地应用指数函数的性质比较幂的大小及求复合函数的值域。 3了解函数 ()y f x 与 ()y f x及函数 ()y f x 与 ()y f x a图象间的关系。 作业： 习题 第 3， 5， 6题 用心 爱心 专心 1 指指 数数 函函 数数 及及 其其 性性 质质 （ 第第 三三 课课 时时 ） 教学目标： 教学重点： 函数单调性、奇偶性的证明通法 教学难点： 指数函数性质的运用 教学方法： 学导式 （一）复习：（提问） 设作差变形判断 （ 1）考查函数定义域是否关于原点对称； （ 2）比较 ()与 ()的关系； （ 3）根据函数奇偶性定义得出结论。 （二）新课讲解： 例 1 当 1a 时，证明函数 11a 是奇函数。 证明：由 10 得， 0x ， 故函数定义域 0关于原点对称。 1() 1a ( 1)( 1)11 () ( ) ( )f x f x ， 所以，函数 11a 是奇函数。 评析： 此题证明的结构仍是函数奇偶性的证明，但在证明过程中的恒等变形用到推广的实数指数幂运算性质。 例 2设 a 是实数， 2( ) ( )21xf x a x R ， （ 1）试证明：对于任意 , ( )a f x 在 R 为增函数； （ 2）试确定 a 的值，使 () 分析： 此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题型的解答方法。 （ 1）证明：设 1 2 1 2,x x R x x，则 12( ) ( )f x f x1222( ) ( )2 1 2 1 21222 1 2 112122 ( 2 2 )( 2 1 ) ( 2 1 )， 用心 爱心 专心 2 由于指数函数 2在 R 上是增函数，且 12，所以 1222即 122 2 0， 又由 20x ，得 1 120x ， 2 120x ，所以， 12( ) ( ) 0f x f x即 12( ) ( )f x f x 因为此结论与 a 取值无关，所以对于 a 取任意实数， () 为增函数。 评述： 上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性。 （ 2）解：若 () ( ) ( )f x f x ， 即 22()2 1 2 1 ，变形得： 2 2 2 2 ( 2 1 )2( 2 1 ) 2 2 1 2 1x x ， 解得： 1a ，所以，当 1a 时 , () 评述： 此题并非直接确定 a 值，而是由已知条件逐步推导 a 值。应要求学生适应这种题型。 练习： （ 1）已知函数 () (0, )x 时， 1( ) 2 ,求当 ( , 0)x 时，() （ 2）判断 2 4 ( 0, 1)的单调区间。 小结： 灵活运用指数函数的性质，并掌握函数单调性，奇偶性证明的通法。 作业：（ 补充） 1 已知函数 21()21 ， （ 1）判断函数 () （ 2）求 证函数 () , )x 上是增函数。 2函数 22 3 63 的单调递减区间是 ) ，当 0x 时有 ()1()3 ，求 () 用心 爱心 专心 1 课题： 教学任务： （ 1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系； （ 2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点； （ 3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等 教学重点： 指数函数的的概念和性质 教学难点： 用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质 教学过程： 一、 引入课题 （备选引例） 1 （合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛 增加，已引起全世界关注世界人口 2000年大约是 60亿，而且以每年 增长率增长，按照这种增长速度，到 2050 年世界人口将达到 100 多亿，大有“人口爆炸”的趋势为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的 7月 11 日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育 我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界 7%的国土上，却养育着 22%的世界人口因此，中国的人口问题是公认的社会问题 2000 年第五次人口普查，中国人口已达到 13 亿，年增长率约为 1%为了有效地控制 人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策 1 按照上述材料中的 1%的增长率，从 2000 年起， x 年后我国的人口将达到2000年的多少倍？ 2 到 2050 年我国的人口将达到多少？ 3 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？ 2 上一节中 x 与 y=x N*， x 20）能否构成函数？ 3 一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的 84%，那么以时间 留量 4 上面的几个函数有什么共同特征？ 二、 新课教学 （一）指数函数的概念 一般地，函数 )1a,0a(ay x 且 叫做 指数函数 （ 其中 数的定义域为 R 注意： 1 指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析； 2 注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和 1 巩固练习： 利用指数函数的定义解决（教材 、 3） （二）指数函数的图象和性质 问题： 你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法： 画出函数的图象，结合图象研究函数的性质 研究内容： 定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性 用心 爱心 专心 2 探索研究： 1 在同一坐标系中画出下列函数的图象： （ 1） x)31(y（ 2） x)21(y（ 3） （ 4） （ 5） 2从画出的图象中你能发现函数 的图象和函数 x)21(y的图象有什么关系？可否利用 的图象画出 x)21(y的图象？ 3从画出的图象（ 、 和 ）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么 样的规律？ 4你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？ 图象特征 函数性质 1a 1 1a 1 向 x、 y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为 R 图象关于原点和 非奇非偶函数 函数图象都在 函数的值域为 R+ 函数图象都过定点（ 0， 1） 1 自左向右看， 图 象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于 1 在第一象限内的图象纵坐标都小于 1 1a,0x x 1a,0x x 在第二象限内的图象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图象纵坐标都大于 1 1a,0x x 1a,0x x 图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快； 函数值开始减小极快，到了某 一值后减小速度较慢； 5 利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （ 1）在 a， b上， )1a)x(f x 且值域是 )b(f),a(f 或 )a(f),b(f ； （ 2）若 0x ，则 1)x(f ； )x(f 取遍所有正数当且仅当 ； （ 3）对于指数函数 )1a)x(f x 且，总有 a)1(f ； 用心 爱心 专心 3 （ 4）当 1a 时，若 21 ，则 )x(f)x(f 21 ； （三）典型例题 例 1（教材 ） 解：（略） 问题： 你能根据本例说出确定一个指数函数需要几个条件吗？ 例 2（教材 ） 解：（略） 问题： 你能根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小？ 说明： 规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式 巩固练习 ： （教材 组第 7题） 三、 归纳小结，强化思想 本节主要学习了指数函数的图象，及利用图象研究函数性质的方法 四、 作业布置 1 必做题：教材 1（ 第 5、 6、 8、 12题 2 选做题：教材 1（ 第 1题 用心 爱心 专心 1 课题： 数 函数 及其性质 教学 任务 ： （ 1） 使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系 ； （ 2） 理解 指数 函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点 ； （ 3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等 教学重点： 指数函数的的概念和 性质 教学难点： 用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质 教学过程： 一、 引入课题 （备选引例） 1 （合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛 增加，已引起全世界关注世界人口 2000 年大约是 60 亿，而且以每年 增长率增长，按照这种增长速度，到 2050 年世界人口将达到 100 多亿，大有“人口爆炸”的趋势为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的 7 月 11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育 我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界 7%的国土上，却养育着 22%的世界人口因此，中国的人口问题是公认的社会问题 2000 年第五次人口普查，中国人口已达到 13 亿，年增长率约为 1%为了有效地控制 人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基
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