（备课精选）2015年高中数学 第1-3章（单元检测+章末总结）（含解析）（打包9套）苏教版选修1-1
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（备课精选）2015年高中数学 第1-3章（单元检测+章末总结）（含解析）（打包9套）苏教版选修1-1,备课,精选,年高,数学,单元,检测,总结,解析,打包,苏教版,选修
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1 第 1 章 常用逻辑用语 (A) (时间： 120 分钟 满分： 160 分 ) 一、填空题 (本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 ) 1命题 “ 若 AB，则 A B” 与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是 _ 2设 a R，则 a1 是 命题 “ p q” 是真命题； 命题 “ p 綈 q” 是假命题； 命题 “ 綈 p q” 是真命 题； 命题 “ 綈 p 綈 q” 是假命题其中正确的是 _ (填序号 ) 6下列命题是真命题的为 _ (填序号 ) 若 1x 1y，则 x y； 若 1，则 x 1； 若 x y，则 x y； 若 成立 ” 是真命题，则实数 a 的取值范围 是 _ 二、解答题 (本大题共 6 小题，共 90 分 ) 15 (14 分 )(1)当 b1” 是 “ 两根都大于 1” 的什么条件？ 18 (16 分 )已知方程 (2k 1)x 0，求使方程有两个大于 1 的实 数根的充 要条件 4 19.(16 分 )已知 c0， c1 ，设命题 p：函数 y 上单调递减，命题 q：不等式2x c0 的解集为 p q” 为真命题， “ p q” 为假命题，求实 数 20 (16 分 )已知下列三个方程： 44a 3 0， (a 1)x 0， 2a 0 至少有一个方程有实数根，求实数 a 的取值范围 单元检测卷答案解析 第 1 章 常用逻辑用语 (A) 1 2 解析 原命题为假，故其逆否命题为假；其逆命题为真，故其否命题为真； 故共有 2 个真命题 2充分不必要 解析 a1 1 是充分不必要条件 3 解析 原命题与它的逆否命题为等价命题 故 正确 4 5 解析 因 p 为假命题， q 为真命题，故綈 p 真 ，綈 q 假；所以 pq 假， p 綈 q 假，綈pq 真，綈 p 綈 q 真 6 5 解析 由 1x 1y得 x y， 正确， 、 、 错误 7 解析 因 “ 1命题 ) 否命题：当 原命题为真 又 原命 题与其逆否命题等价， 逆否命题为真 方法三 (利用集合的包含关系求解 ) 命题 p：关于 x 的不等式 (2a 1)x 20 有非空解集 命题 q： a1. p： A a|关于 x 的不等式 (2a 1)x 20 有实数解 a|(2a 1)2 4(2)0 a|a 74 ， q： B a|a1 AB， “ 若 p，则 q” 为真， “ 若 p，则 q” 的逆否命题 “ 若綈 q，则綈 p” 为真 即原命题的逆否命题为真 17解 由根与系数的关系得 b ，判定的条件是 p： a2b1 ，结论是 q： 11 (0) 由 1 且 1 a 2 ， b 1 a2 且 b1，故 qp. 取 4， 12，则满足 a 4 122， b 4 12 21，但 q. 综上所述， “a2 且 b1” 是 1 且 1 的必要不充分条件 18解 令 f(x) (2k 1)x 程有两个大于 1 的实数根 2 4 2k 12 1 ， 即 解集为 R， ( 2)2 4 命题 q： c12. “ p q” 为真命题， “ p q” 为假命题， 命题 p 与命题 q 恰好一真一假， p 为真 q 为假，或 p 为假 q 为真， 即 012 ，解得 7 013，或 a 1， 2a0得 32a 1. 所求实数 a 的范围是 a 32或 a 1. 1 第 1 章 常用逻辑用语 (B) (时间： 120 分钟 满分： 160 分 ) 一、填空题 (本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 ) 1下列命题： x R，不等式 2x4x 3 成立； 若 ，则 x1； 命题 “ 若 ab0 且 的逆否命题； 若命题 p： x R， 11. 命题 q： R， 210 ，则命题 p 綈 q 是真命题 其中真命题有 _ (填序号 ) 2下列命题 中，假命题的个数为 _ 若 a b 1，则 a b； 若正数 m 和 n 满足 m n，则 m n m 设 P(圆 9 上任意一 点，圆 (a， b)为圆心且半径为 1，当(a (b 1 时，圆 2相切 3下列命题中真命题的序号为 _ x R,2x 1 是整数； x R， x1； x Z， 3； x R， x 10. 4已知 a， b 是实数，则 “ a0 且 b0” 是 “ a b0 且 ” 的 _条件 5下列说法正确的是 _(填序号 ) 若 a， b 都是实数，则 “ a2是 “ ab” 的既不充分也不必要条件； 若 p： x5， q： x5 ，则 p 是 q 的充分而不必要条件； 条件甲： “ a1” 是条件乙： “ a a” 的必要而不充分条件； 在 ， “ AB” 是 “” 的充分必要条件 6 “ x y” 是 “xy” 的 _条件 7命题 p：若 a b 则 cd，命题 q：若 e f 则 ， (a， b， c， d 均为实数 )，以其中两个不等式作为条件，余下一个 作为结论组成命题，可组成真命题的个数是 _ 10已知条件 p： x6 ， q： x Z，若 “ p 且 q” 与 “ 非 q” 同时为假命题，则 x 的取值集合为 _ 11命题 “ 230 恒成立 ” 是假命题，则实数 a 的取值范围是 _ 12命题 “ 存在 x R，使得 2x 5 0” 的否定是 _ 13有下列命题： 5x 1 0 是一元二次方程； 抛物线 y 2x 1 与 x 轴至少有 一个交点； 互相包含的两个集合相等； 空集是任何集合的真子集 其中真命题的序号是 _ 2 14若 |x 1|0)，则 a， b 之间的关系是 _ 二、解答题 (本大题共 6 小题，共 90 分 ) 15 (14 分 )分别写出由下列各组命题构成的 “ p 或 q” 、 “ p 且 q” 、 “ 非 p” 形式的命题，并判断它们的真假 (1)p：平行四边形对角线相等； q：平行四边形的对角线互相平分； (2)p：方程 16 0 的两根的符号不同； q：方程 16 0 的两根的绝对值相 等 16.(14 分 )已知 ，求证： a b 1 的充要条件是 0. 17.(14 分 )已知 a0，设命题 p：函数 y 上单调递增；命题 q：不等式 10 对 x R 恒成立，若 p 且 q 为假， p 或 q 为真，求 a 的取值范围 3 18 (16 分 )已知条件 p： |2x 1|a 和条件 q： 14x 30，请选取 适当的正实数 a 的值，分别利用所给的条件作为 A、 B 构造命题 “ 若 A，则 B” ，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题 4 19.(16 分 )已知 p： a 0， q：直线 x 21 0 与直线 2x 21 0 平行，求证： p是 q 的充要条件 20 (16 分 )已知 f(x) c 的图象过点 ( 1,0)，是否存在常数 a、 b、 c 使不等式 x f(x) 1 一切实数 x 均成立？ 第 1 章 常用逻辑用语 (B) 1 2 1 解析 均为真命题， 是假命题 3 4充要 解析 对于 “ a0 且 b0” 可以推出 “ a b0 且 ” ，反之也是成立的，故为充要条件 5 解析 中， a aa1， a1 是 a 6必要不充分 解析 因为 “x y” 是 “ x y” 的必要不充分条件，所以 “ x y” 是 “x 5 y” 的必要不充分条件 7充分 解析 命题 q 的否命题为 “ 若 ef，则 a b” ，且为真命题，而命题 p：若 a b 则 cd， 且为真命题，则有 “ 若 ef，则 cd” ，即 “ ef” 是 “ cd” 的充分条件，由等价命题关系可知 “ c d” 是 “ e f” 的充分条件 8 (4) 解析 不难判断命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，从而只有 (綈 p) (綈 q)为真命题 9 3 解析 共可组成 3 个命题，且都为真命题 10 1,0,1,2 解析 由题意得 p 假 q 真，所以 a b 1 0， a b 1. 必要性 ： a b 1， 即 a b 1 0， (a b 1)( 0. 综上可知，当 时， a b 1 的充要条件是 0. 17解 y 上单调递增， p： a1； 又不等式 10 对 x R 恒成立， 0，4 已知条件 q 即 4x 30， a 5，则 p 即 时必有 pq，反之不然 故可以选取一个实数 a 5，令 A为 p， B为 q，构造命题 “ 若 |2x 1|5，则 14x 30” ，由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题 19证明 (1)当 a 0 时， x 1， x 12， 所以 由 “ a 0” 能推出 “ (2)当 a0 ， 则 y 1212a， y 112a， 所以 12a 1a，无解 若 a 0，则 x 1， x 12， 显然 由 “ 能推出 “ a 0” 综上所述 a 0以 p 是 q 的充要条件 20解 假设存在常数 a、 b、 c 使题设命题成立 f(x)的图象过点 ( 1,0)， a b c 0. 又 x f(x) 1 一切 x R 均成立， 当 x 1 时，也成立，即 1 a b c1 ， 故 a b c 1， b 12， c 12 a. f(x) 12x 12 a. 故有 x 12x 12 a 1 ， x R 成立 即 12x12 a0 ， 2a x 2a0 ，恒成 立 1020a01 2a0 14 4a 12 a 0 ，1 8a 2a ，0a12， a 14， c 14， 从而 f(x) 1412x 14， 7 存 在一组常数 a、 b、 c 使得不等式 x f(x) 1 于 x R 恒成立 1 2015 年高中数学全套备课精选 第一章 常用逻辑用语章末总结（含解析）苏教版选修 1识点一 四种命题间的关系 命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆 否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题 例 1 判断下列命题的真假 (1)若 x A B，则 x B 的逆命题与逆否命题； (2)若 00. 且綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围 知识点三 逻辑联结词的应用 对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假 利 用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一 例 4 判断下列命题的真假 (1)对于任意 x，若 x 3 0，则 x 30 ； (2)若 x 3 或 x 5，则 (x 3)(x 6) 0. 3 例 5 设命题 p：函数 f(x) x 116a 的定义域为 R；命题 q：不等式 2x 14； (3)对任意实数 x， x0； (4)有些质数是奇数 例 7 已知函数 f(x) 2x 5. (1)是否存在实数 m，使不等式 m f(x)0 对于任意 x R 恒成立，并说 明理由 (2)若存在一个实数 不等式 m f(0 成立，求实数 m 的取值范围 章末 总 结 重点解读 例 1 解 (1)若 x A B，则 x B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若 x B，则 x A B，为真命题 (2) 00 x|成立得 a0 1 4 a q：由 2x 11，则 x 12 ， 成立 2 2t 1， a1. p 或 q 为真， p 且 q 为假， p 与 q 一真一假 若 p 真 q 假， a2 且 化为 m f(x)， 即 m 2x 5 (x 1)2 4. 要使 m (x 1)2 4 对于任意 x R 恒成立，只需 m 4 即可 故存在实数 m，使不等式 m f(x)0 对于任意 x R 恒成立，此时，只需 m 4. (2)不等式 m f(0 可化为 mf( 若存在一个实数 不等式 mf(立， 只需 mf(x)又 f(x) (x 1)2 4， f(x)4， m4. 所以，所求实数 m 的取值范围是 (4， ) 1 第 3 章 导数及其应用 (A) (时间： 120 分钟 满分： 160 分 ) 一、填空题 (本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 ) 1物体自由落体运动方程为 s(t) 12g m/当 t 无限趋近于 0 时，s t s t 无限趋近于 9.8 m/s，那么下面说法正确的是 _ (填序号 ) 9.8 m/s 是 0 1 s 这段时间内的平均速度； 9.8 m/s 是从 1 s 到 (1 t) s 这段时间内的速度； 9.8 m/s 是物体在 t 1 这一 时刻的速度； 9.8 m/s 是物体从 1 s 到 (1 t) s 这段时间内的平均速度 2曲线 y x ln x 在点 (2)处的切线在 y 轴上的截距为 _ 3若 f(在且 f( 0， 下列结论中正确 的是 _ (填序号 ) f(定是极值点； 如果在 f( x)0，右侧 f( x)0，右侧 f( x)0，那么 f(极大值 4下列有关导数的说法正确的是 _ (填序号 ) f( 是曲线 f(x)在点 (f(的切线的斜率； f( (f( 意义是一样的； 设 s s(t)是位移函数，则 s( 示物体在 t 设 v v(t)是速度函数，则 v( 示物体在 t 5如图为 y f(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是 _ (填序号 ) f(x)在 ( 3,1)内是增函数； x 1 是 f(x)的极小值点； f(x)在 (2,4)内是减函数，在 ( 1,2)内是增函数； x 1 是 f(x)的极大值点 6某汽车启动阶段的路程函数 为 s(t) 252，则 t 2 时，汽车的加速度是_ 7设函数 f(x) 13a0)在 (0,2)上不单调，则 a 的取值范围是 _ 8函数 f(x) 4x 1,2上的最大、最小值分别为 _ 9设 f( x)是函数 f(x)的导函数， y f( x)的图象如图所示，则 y f(x)的图象最有可能是下图中的 _ 2 10一批物资用 13 辆汽车从 A 地运到 300 外的 B 地，若车速为 v km/h，则两车的距离不能小于 ，这批物资全部从 A 地运到 B 地至少要花 _h. 11函数 y x x 在 区间 0， 2上的最大值是 _ 12已知函数 f(x) 区间 ( 1,1)上是增函数，则实数 a 的取值范围是_ 13 f( x)是 f(x) 132x 1 的导函数，则 f( 1)的值是 _ 14在平面直角坐标系 ，点 P 在曲线 C： y 10x 3 上，且在第二象限内，已知曲线 处的切线斜率为 2，则点 _ 二、解答题 (本大题共 6 小题， 共 90 分 ) 15 (14 分 )求过点 (1， 1)的曲线 y 2x 的切线方程 3 16 (14 分 )某物流公司购买了一块长 30 米，宽 20 米的矩形地块 划建设占地如图中矩形 仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点 C 在地块对角线 ， B、 D 分别在边 ，假设 度为 x 米若规划建设的仓库是高度与长相同的长方体建筑，问 为多少时仓库的库容最大？ (墙体及楼板所占空间忽略不计 ) 17.(14 分 )已知直线 y f(x) x 2 在点 (1,0)处的切线， (1)求直线 (2)求由直线 x 轴所围成的三角形的面积 4 18 (16 分 )要设计一容积为 V 的有盖圆柱形储油罐，已知侧面的单位面积造价是底面造价的一半，盖的单位面积造价又是侧面造价 的一半问储油罐的半径 r 和高 h 之比为何值时造价最省？ 19.(16 分 )若函数 f(x) 4，当 x 2 时，函数 f(x)有极值 43. (1)求函数的解析式； (2)若方程 f(x) k 有 3 个不同的根，求实数 k 的取值范围 5 20 (16 分 )已知函数 f(x) 321(x R)，其中 a0. (1)若 a 1，求曲线 y f(x)在点 (2， f(2)处的切线方程； (2)若在区间 12， 12上， f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围 第 3 章 导数及其应用 (A) 1 2 1 解析 因为 y 1 1x，所以曲线在点 (2)处的切线的斜率为 k 1 1 切线方程为 y 2 1 1x 即 y 1 1e2 x 1， 令 x 0，得 y 1. 3 解析 由题意 f( x)0，即 理 f(极大值 4 解析 因 f( 示在 x 而 f( 表示对函数值 f(导 因 f(常数，所以 f( 0. 5 解析 错，因在 ( 3， 1)上 f( x)0， 故 f(x)在 ( 3， 1)内是减函数，在 ( 1,1)内是增函数； 正确，因 f( x)在 ( 3， 1)上为负， f( 1) 0， f( x)在 ( 1,2)上为正； 正确， 因在 (2,4)内 f( x)0，故 f(x)在 ( 1,2)内为增函数， 错，在 ( 1,1)内 f( x)0，在 (1,2)内 f( x)0， 且 f(1)0 ，故 x 1 不是极值点 6 14 解析 v(t) s( t) 610t， a(t) v( t) 12t 10. 当 t 2 时， a(2) 24 10 14. 7 (1， ) 8 3， 8 解析 f( x) 4 4 f( x) 0 得 x 1，易知 x 1 为极值点，又 f(1) 3， f(1) 5， f(2) 8. 所以 f(x)在 1,2上的最大值为 3，最小值为 8. 9 解析 由已知图象可知，当 x ( ， 0)时， f( x)0，所以函数 f(x)在 ( ， 0) 6 上递增；当 x (0,2)时， f( x)0，所以函数 f(x)在 (2， ) 上递增注意观察导函数 f( x)的图象的特点，根据图象划分好区 间 10 12 解析 最后一辆汽车从 A 地到 B 地所 用的时间为 t300 12 v 300v 3v (0， ) ， 则 t 300 325.令 t 0，得 300 325 0， v 50. 又 函数 t 300v 30， ) 内只有一个极值点 v 50，且这是极小值点 当 v 50 时，所花费的时间最短为 12 h. 解析 y 1 x，令 y 0，得 x 1， x 2 ，又因 f(0) 0 1， f( 2) 2 2 ， 所以 y x x 在 0， 2上的最大值为 2. 12 a3 解析 由题意应有 f( x) 3a0 ，在区间 ( 1， 1)上恒成立，则 a3 x (1,1)恒成立，故 a3. 13 3 解析 f( x) 2， f( 1) 3. 14 ( 2,15) 解析 设 P( 当 x (20,30)时， V( x)0 等价于 f 12 ，f 12 ，即 5 0，5 式组得 52，则 00 等价于 f 12 ，f 1a ，即 5 0，1 12组得 22 a5 或 a 22 . 因此 2a5. 综合 ，可知 a 的取值范围为 0a5. 1 第 3 章 导数及其应用 (B) (时间： 120 分钟 满分： 160 分 ) 一、填空题 (本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 ) 1直线 y 1 与曲线 y b 相切于点 A(1， 3)，则 b 的值为 _ 2已知函数 f(x) (5x 3)ln x，则 f 13 _. 3如果函数 y f(x)的图象如图，那么导函数 y f( x)的图象可能是以下四个中的_ 4 M 按规律 s 23 做直线运动 (位移单位： m，时间单位： s)，则质点 M 在 t 2 时的瞬时速度是 _m/s. 5. 如图，函数 y f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y 2x 9， P 点的横坐标是 4，则f(4) f(4) _. 6设方程 3x k 有 3 个不等的实根，则常数 k 的取值范围是 _ 7已知 a 为实数， f(x) (4)(x a)，且 f( 1) 0，则 a _. 8设 f(x)为偶函数，若曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线的斜率为 1，则该曲线在点 ( 1， f( 1)处的切线的斜率为 _ 9某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品，若该商品零售价定为 p 元，销售量为Q，则销售量 Q(单位：件 )与零售价 p(单位：元 )有如下关系： Q 8 300 170p 毛利润销售收入进货支出 )_元 10若不等式 x a 对任意 x 0,2恒成立，则实数 a 的取值范围为_ 11若函数 f(x) 3x a 在区 间 0,3上的最大值、最小值分别为 m、 n，则 m n_. 12若 f(x) 12x 2)在 ( 1， ) 上是减 函数，则 _ 13设函数 f(x) 3x 1 (x R)，若对于 x 1， 1，都有 f(x)0 ，则实数 14已知函数 f(x) c， x 2,2表示过原点的曲线，且在 x 1 处的切线的倾斜角均为 34 ，有以下命题： 2 f(x)的解析式为 f(x) 4x， x 2,2 f(x)的极值点有且只有一个 f(x)的最大值与最小值之和等于零 其中正确命题的序号为 _ 二、解答题 (本大题共 6 小题，共 90 分 ) 15 (14 分 )若函数 f(x) 1312(a 1)x 1 在区间 (1,4)上为减函数，在区间 (6， ) 上为增函数，试求实数 a 的取值范围 16.(14 分 )已知函数 f(x) c 在 x 23与 x 1 时都取得极值 (1)求 a， b 的值与函数 f(x)的单调区间； (2)若对 x 1,2，不等式 f(x) 1 且 x0 时， ex21. 20.(16 分 )已知函数 f(x) ln x. (1)求函数 f(x)在 1， e上的最大值和最小值； (2)求证：当 x (1， ) 时，函数 f(x)的图象在 g(x) 2312 第 3 章 导数及其应用 (B) 1 3 解析 令 y f(x)， y by 3a， f(1) 3 a k，又 3 k1 1k 2， a 1， 3 13 ( 1)1 bb 3. 2 14 5 解析 f( x) 5ln x 5x 3x 5ln x 5 3x， f 13 53 5 9 14 5. 3 解析 如图，由 y f(x)图象知，当 在 ()上， y f(x)是 减少的， 5 故 f( x)0； 在 xy f(x)是减少的，故 f( x)0 2 侧 L( p)0， f(x)是增加的 6 当 x 1 时， f(x)取得最小值 53. 当 10， 故 2x b0 在 ( 1， ) 上恒成立， 即 2x b0 在 ( 1， ) 上恒成立 又函数 y 2x b 的对称轴 x 1， 故要满足条件只需 ( 1)2 2( 1) b0 ， 即 b 1. 13 4 解析 若 x 0，则不论 a 取何值， f(x)0 ，显然成立； 当 x0，即 x (0,1时， f(x) 3x 10 可转化为 a 31 设 g(x) 31 g( x) 2 所以 g(x)在区间 0， 12 上单调递增，在区间 12， 1 上单调递减， 因此 g(x)g 12 4，从而 a4 ； 当 a 1x 1 x 1. 又 x 1 (7， ) ， a7 ， 同时成立， 5 a7. 经检验 a 5 或 a 7 都符合题意 所求 a 的取值范围为 5 a7. 16解 (1)f(x) c， f( x) 32b， 由 f 23 129 43a b 0， f(1) 3 2a b 0 得 a 12， b 2. f( x) 3x 2 (3x 2)(x 1)， 令 f( x)0，得 令 f( x)f(2) 2 c，得 17解 (1)f( x) 32因为 f(1) 3 2a 3，所以 a 0. 又当 a 0 时， f(1) 1， f(1) 3， 所以曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线方程为 3x y 2 0. (2)令 f( x) 0，解得 0， 2当 20 ，即 a0 时， f(x)在 0,2上单调递增， 从而 f(x)f(2) 8 4a. 当 22 ，即 a3 时， f(x)在 0,2上单调递减， 从而 f(x)f(0) 0. 当 0 1 时， g( x)取最小值为 g() 2(1 a)0. 于是对任意 x R，都有 g( x)0，所以 g(x)在 R 内单调递增 于是当 a 1 时，对任意 x (0， ) ，都有 g(x)g(0) 而 g(0) 0，从而对任意 x (0， ) ，都有 g(x)0. 即 210，故 ex21. 20 (1)解 f(x) ln x， f( x) 2x 1x. x1 时， f( x)0，故 f(x)在 1， e上是增函数， f(x)的最小值是 f(1) 1，最大值是 f(e) 1 (2)证明 令 F(x) f(x) g(x) 1223ln x， F( x) x 21x 21x 1x x xx x1， F( x)0， F(x)在 (1， ) 上是减函数， F(x)F(1) 12 23 160. f(x)g(x) 故当 x (1， ) 时，函数 f(x)的图象在 g(x) 2312 1 2015 年高中数学全套备课精选 第三章 导数及其应用章末总结（含解析）苏教版选修 1识点一 导数与曲线的切线 利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一类是求 “ 在某点处的切线方程 ” ，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求 “ 过某点的切线方程 ” ，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为 Q(则切线方程为 y f( x 再由切线过点 P( f( 又 f( 由 求出 即求出了过点 P(切线方程 例 1 已知曲线 f(x) 3x，过点 A(0,16)作曲线 f(x)的切线，求曲线的切线方程 知识点二 导数与函数的单调性 利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为： (1)求导数 f( x)； (2)解不等式 f( x)0 或 f( x)0(或 f( x)0(或 f( x)0， 解得 2 23 0 时， 函数 f(x)的单调递增区间为 ( ， a)， ， 单调递减区间为 a， 当 a 0 时， f( x) 3 ， 函数 f(x)的单调区间 为 ( ， ) ，即 f(x)在 例 3 解 令 f( x) 330， 得 0， a. 当 x 变化时， f( x)与 f(x)的变化情况如下表： 从上表可知，当 x 0 时， f(x)取得极大值 b，而 f(0)f(a)， f(1)f( 1)，故需比较f(0)与 f(1)的大小因为 f(0) f(1) 32a 10，所以 f(x)的最大值为 f(0) b 1. 又 f( 1) f(a) 12(a 1)2(a 2)0， 2a0 ， a2 x 2， ) 上恒成立 a (2x3) x 2， ) ， y 2 (2x3)16， a16. 当 a 16 时， f( x) 2160 ( x 2， ) 有且只有 f(2) 0， a 的取值范围是 a16. 例 5 解 f(x) 122x 5， f( x) 3x 2. 令 f( x) 0，即 3x 2 0， x 1 或 x 23. 当 x 1， 23 时， f( x)0， f(x)为增函数； 当 x 23， 1 时， f( x)0， f(x)为增函数 所以，当 x 23时， f(x)取得极大值 f 23 15727 ； 当 x 1 时， f(x)取得极小值 f(1) 72. 又 f( 1) 112 ， f(2) 7， 因此， f(x)在 1,2上的最大值为 f(2) 7. 要使 f(x)7. 所以，所求实数 m 的取值范围是 (7， ) 1 第 2 章 圆锥曲线与方程 (A) (时间： 120 分钟 满分： 160 分 ) 一、填空题 (本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 ) 1已知椭圆的离心率为 12，焦点是 ( 3,0)， (3,0)，则椭圆方程为 _ 2当 a 为任意实数时，直线 (2a 3)x y 4a 2 0 恒过定点 P，则过点 P 的抛物线的标准方程是 _ 3方程 0 与 1 (m0， n0， m n)表示曲线在同一坐标系中的示意图可能为 _ 4短半轴长为 2，离心率 e 3 的双曲线两焦点为 、 8，则 _ 5已知 ， B 两点，若 这个椭圆的离心率是 _ 6若直线 4 与 O： 4 没有交点，则过点 P(m， n)的直线与椭圆 的交点个数是 _ 7. 如图所示，若等腰直角三角形 接于抛物 线 2p0)， O 为抛物线的顶点，直角三角形 面积是 _ 8已知抛物线 2p0)与双曲线 1 (a0， b0)有相同的焦点 F，点 A 是两曲线的交点，且 x 轴，则双曲线的离心率为 _ 9等轴双曲线 直 线 4x 5y 0 所得弦长为 41，则双曲线的实轴长是_ 10若双曲线的渐近线方程为 y 3 x，它的一个焦点是 ( 10， 0)，则双曲线的方程是_ _ 11椭圆的两个焦点为 轴的一个端点为 A，且三角形 20 的等腰三角形，则此椭圆的离心率为 _ 12点 P(8,1)平分双曲线 44 的一条弦，则这条弦所在直线的方程是_ 13设椭圆 1 (ab0)的左、右焦点分别是 段 0 分成 3 2 1 的两段，则此椭圆的离心率为 _ 14对于曲线 C： k1 1，给出下面四个命题： 曲线 C 不可能表示椭圆； 当 14； 若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 1b0)上的一点， 求： (1)椭圆的方程； (2) 4 19.(16 分 )已知过抛物线 2px(p0)的焦点的直线 交抛物线于 A、 B 两点，且 52p，求 在的直线方程 20 (16 分 )在直角坐标系 ，点 P 到两点 (0， 3)、 (0， 3)的距离之和等于 4，设点 P 的轨迹为 C，直线 y 1 与 C 交于 A、 B 两点 (1)写出 C 的方程； （ 2）若 ，求 k 的值 第 2 章 圆锥曲线与方程 (A) 1 5 解析 已知椭圆的离心率为 12，焦点是 ( 3,0)， (3,0)，则 c 3， a 6， 36 9 27， 因此椭圆的方程为 1. 2 32x 或 12y 解析 将直线方程化为 (2x 4)a 3x y 2 0，可得定点 P(2， 8)，再设抛物线方程即可 3 解析 由 m0， n0 知 1 表示的是椭圆的方程，又由 0， 得 以抛物线开口向左 4 16 2 2 解析 由于 b 2， e 3， c 3a， 94， a 22 ， 设 则由双曲线的定义知： 2， 2， 2 2， 8 2 2， 则 6 2 2. 5. 33 解析 由题意知 33 3 2 c， 即 2 33 2 33 0， 2 33 e 1 0，解之得 e 33 (负值舍去 ) 6 2 解析 由题意 4，即 e 2 1. 6 9 3 解析 注意到直线 4x 5y 0 过原点，可设弦的一端为 (则有 1 1625 12 . 可得 254 ，取 52， 2. 254 4 94， |a| 32， 2|a| 3. 10 1 解析 设双曲线方程为 9 ( 0)， 即 1. 9 10，解得 9. 双曲线方程为 1. 11. 32 解析 由已知得 30 ，故 0 从 而 e 32 . 12 2x y 15 0 解析 设弦的两个端点分别为 A( B(则 44， 44， 两式相减得 ( 4( 0. 因为线段 中点为 P(8,1)， 所以 16， 2. 所 以 2. 所以直线 方程为 y 1 2(x 8)， 代入 44 满足 0. 即 2x y 15 0. 13. 22 解析 由题意，得3c 3c 32b b c， 因此 e 1222 . 14 解析 错误，当 k 2 时，方程表示椭圆； 错误，因为 k 52时，方程表示圆；验证可得 正确 7 15解 设 P 点的坐标为 (x， y)， M 点的坐标为 ( 点 M 在椭圆 1 上， 1. M 是线段 的中点， x， 把 代入 1，得1，即 36. P 点的轨迹方程为 36. 16解 设双曲线方程为 1. 由椭圆 1，求得两焦点为 ( 2,0)， (2,0)， 对于双曲线 C： c 2. 又 y 3x 为双曲线 C 的一条渐近线， 3，解得 1， 3， 双曲线 C 的方程为 1. 17解 将 y 2 代入 8x 中变形整理得： (4k 8)x 4 0， 由 k0k 2 16 ，得 k 1 且 k0. 设 A( B( 由题意得： 4k 8 4k 2k 2 0. 解得： k 2 或 k 1(舍去 ) 由弦长公式得： 1 64k 64 5 1924 2 15. 18解 (1)令 c,0)， F2(c,0)， 则 所以 1，即 43 c 43 c 1， 解得 c 5，所以设椭圆方程为 25 1. 因为点 P(3,4)在椭圆上，所以 91625 1. 解得 45 或 5. 又因为 ac，所以 5 舍去 故所求椭圆方程为 1. (2)由椭圆定义知 6 5， 又 100， 2 得 280， 所以 S 1220. 8 19解 焦点 F(0)，设 A( B( 若 2成立 故 24， 34. 若 ， 即 0. 而 k( 1， 于是 34 3424 1 0， 化简得 41 0，所以 k 12. 1 第 2 章 圆锥曲线与方程 (B) (时间： 120 分钟 满分： 160 分 ) 一、填空题 (本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 ) 1以 x 轴为对称轴，抛物线通径长为 8， 顶点在坐标原点的抛物线的方程为 _ 2双曲线 94 36 的渐近线方程是 _ 3若抛物线 2的一点 A(6， y)到焦点 F 的距离为 10， 则 p _. 4已知双曲线 1 (ab0)的 离心率为62 ，椭圆1 的离心率为 _ 5设 1 的两个焦点，点 P 在双曲线上， 90 ，则 _ 6过双曲线 M： 1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l，若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分别相交于点 B、 C，且 双曲线 M 的离心率是 _ 7双曲线 1 (a0， b0)的左、右焦点分别是 0 的直 线交双曲线右支于 M 点，若 x 轴，则双曲线的离心率为 _ 8椭圆 k 1 的离心率为45，则 k 的值为 _ 9双曲线 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m _. 10曲线 y 1 4 y k(x 2) 4 有两个交点时，实数 k 的取值范围 是_ 11在平面直角坐标系中，椭圆 1 (ab0)的焦距为 2，以 O 为圆心， a 为半径作圆，过点 0 作圆的两切线互相垂直，则离心率 e _. 12椭圆 1 (ab0)的焦点为 条准线与 x 轴的交点分别为 M， N，若 该椭圆离心率的取值范围是 _ 13若点 M 是抛物 线 4x 到直线 2x y 3 0 的距离最小的一点，那么点 M 的坐标是 _ 14过双曲线 1 的焦点作弦 48，则此弦的倾斜角为 _ 二、解答题 (本大题共 6 小题，共 90 分 ) 15 (14 分 )已知双曲线与椭圆 1 共焦点，它们的离心率之和为145 ，求双曲线方程 2 16.(14 分 )抛物线 2p0)有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边的方程是 y 2x，斜边长是 5 3，求此抛物线方程 17 (14 分 )设 P 是椭圆 1 (a1)短轴的一个端点， Q 为椭圆上的一个动点，求最大值 3 18.(16 分 )点 A、 B 分别是椭圆 1 长轴的左、右端点，点 F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且 位于 x 轴上方， 的坐标 19 (16 分 )已知抛物线 2x，直线 l 过点 (0,2)与抛物线交于 M， N 两点，以线段 ，求直线 l 的方程 4 20.(16 分 )已知抛物线 C： y 2线 y 2 交 C 于 A， B 两点， M 是线段 中点，过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点 N. (1)证明：
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