高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2_1 抛物线及其标准方程学案 北师大版选修1-1_第1页
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文档简介

2.1抛物线及其标准方程学习目标1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义,能解决简单的求抛物线标准方程问题知识点一抛物线的定义思考1如图,在黑板上画一条直线EF,然后取一个三角板,将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上,并将拉链下边一半的一端固定在C点,将三角板的另一条直角边贴在直线EF上,在拉链D处放置一支粉笔,上下拖动三角板,粉笔会画出一条曲线这是一条什么曲线,由画图过程你能给出此曲线的定义吗?思考2抛物线的定义中,l能经过点F吗?为什么?梳理(1)定义:平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离_的点的集合叫作抛物线(2)焦点:_.(3)准线:_.知识点二抛物线的标准方程思考1抛物线方程中p有何意义?抛物线的开口方向由什么决定?思考2抛物线标准方程的特点?思考3已知抛物线的标准方程,怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向?梳理抛物线的标准方程有四种类型图形标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦点坐标准线方程xxyy类型一抛物线定义的解读例1方程表示的曲线是()A圆 B椭圆C线段 D抛物线反思与感悟根据式子的几何意义 ,利用抛物线的定义,可确定点的轨迹,注意定义中“点F不在直线l上”这个条件跟踪训练1若动圆与圆(x2)2y21相外切,又与直线x10相切,则动圆圆心的轨迹是_类型二抛物线的标准方程及求解命题角度1抛物线的焦点坐标或准线方程的求解例2已知抛物线的方程如下,求其焦点坐标和准线方程(1)y26x;(2)3x25y0;(3)y4x2;(4)yax2(a0)引申探究1将例2(4)的方程改为y2ax(a0)结果如何?2将例2(4)的方程改为x2ay(a0),结果如何?反思与感悟如果已知抛物线的标准方程,求它的焦点坐标、准线方程时,首先要判断抛物线的对称轴和开口方向一次项的变量若为x(或y),则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴,一次项系数的符号决定开口方向跟踪训练2已知抛物线y22px(p0)的准线与曲线x2y26x70相切,则p为()A2 B1C. D.命题角度2求抛物线的标准方程例3求满足下列条件的抛物线的标准方程(1)过点(3,2);(2)焦点在直线x2y40上;(3)抛物线的焦点F在x轴上,直线y3与抛物线相交于点A,|AF|5.反思与感悟抛物线标准方程的求法(1)定义法:建立适当的坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出方程,进行化简,根据定义求出p,最后写出标准方程(2)待定系数法:由于标准方程有四种形式,因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上,进而确定方程的形式,然后再利用已知条件确定p的值跟踪训练3根据下列条件,求抛物线的标准方程(1)焦点为(2,0);(2)焦点到准线的距离是4;(3)过点(1,2)类型三抛物线在实际生活中的应用例4河上有一抛物线形拱桥,当水面距拱桥顶5 m时,水面宽为8 m,一小船宽4 m、高2 m,载货后船露出水面上的部分高0.75 m,问:水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时,小船开始不能通航?反思与感悟涉及拱桥、隧道的问题,通常需建立适当的平面直角坐标系,利用抛物线的标准方程进行求解跟踪训练4某抛物线形拱桥跨度是20米,拱桥高度是4米,在建桥时,每4米需用一根支柱支撑,求其中最长支柱的长1抛物线y2x0的开口()A向上 B向下C向左 D向右2抛物线y28x的焦点坐标和准线方程分别为()A(1,0),x1 B(2,0),x2C(3,0),x3 D(4,0),x43已知抛物线的焦点到准线的距离为3,则抛物线方程可以为()Ay2x By22xCx23y Dx26y4抛物线x28y上的点M到x轴的距离为6,则点M与抛物线的焦点间的距离为_5分别求满足下列条件的抛物线的标准方程:(1)准线方程为y3;(2)抛物线与椭圆1的一个焦点相同1焦点在x轴上的抛物线,其标准方程可以统设为y2mx(m0),此时焦点坐标为F(,0),准线方程为x;焦点在y轴上的抛物线,其标准方程可以统设为x2my(m0),此时焦点为F(0,),准线方程为y.2设M是抛物线上一点,焦点为F,则线段MF叫作抛物线的焦半径若M(x0,y0)在抛物线y22px(p0)上,则根据抛物线的定义,抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化,所以焦半径|MF|x0.答案精析问题导学知识点一思考1平面内与一个定点F和一条定直线l(定点不在定直线上)距离相等的点的轨迹叫作抛物线,定点F叫作抛物线的焦点,定直线l叫作抛物线的准线思考2不能,若l经过点F,满足条件的点的轨迹不是抛物线,而是过点F且垂直于l的一条直线梳理(1)相等(2)点F(3)直线l知识点二思考1p是抛物线的焦点到准线的距离,抛物线的方程中一次项决定开口方向思考2(1)原点在抛物线上;(2)对称轴为坐标轴;(3)p为大于0的常数,其几何意义表示焦点到准线的距离;(4)准线与对称轴垂直,垂足与焦点关于原点对称;(5)焦点、准线到原点的距离都等于.思考3一次项变量为x(或y),则焦点在x轴(或y轴)上;若系数为正,则焦点在正半轴上;系数为负,则焦点在负半轴上焦点确定,开口方向也随之确定题型探究例1D,它表示点M(x,y)与点F(3,1)的距离等于点M到直线xy30的距离,且点F(3,1)不在直线上根据抛物线的定义,知此方程表示的曲线是抛物线跟踪训练1抛物线解析由题意,动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x10的距离大1,故动圆圆心的轨迹是以(2,0)为焦点,x2为准线的抛物线,其方程为y28x.例2解(1)由方程y26x,知抛物线开口向左,2p6,p3,所以焦点坐标为(,0),准线方程为x.(2)将3x25y0化为x2y,知抛物线开口向下,2p,p,所以焦点坐标为(0,),准线方程为y.(3)将y4x2化为x2y,知抛物线开口向上,2p,p,所以焦点坐标为(0,),准线方程为y.(4)抛物线方程yax2可化为x2y,当a0时,2p,p,故焦点坐标是(0,),准线方程是y.当a0,因此有34,解得p2,故选A.例3解(1)当抛物线的焦点在x轴上且过点(3,2)时,可设抛物线方程为y22px(p0),把(3,2)代入得222p(3),p,所求抛物线方程为y2x.当抛物线的焦点在y轴上且过点(3,2)时,可设抛物线方程为x22py(p0),把(3,2)代入得(3)22p2,p,所求抛物线方程为x2y.综上,所求抛物线方程为y2x或x2y.(2)直线x2y40与x轴的交点为(4,0),与y轴的交点为(0,2),故抛物线的焦点为(4,0)或(0,2),当抛物线的焦点为(4,0)时,设抛物线方程为y22px(p0),4,p8,抛物线方程为y216x.当抛物线的焦点为(0,2)时,设抛物线方程为x22py(p0),2,p4,抛物线方程为x28y.综上,所求抛物线方程为y216x或x28y.(3)设所求焦点F在x轴上的抛物线的标准方程为y22px(p0),A(m,3)则由抛物线的定义得|AF|5,点A在抛物线上,(3)22pm,从而可得p1或p9.所求抛物线的标准方程为y22x或y218x.跟踪训练3解(1)焦点在x轴的负半轴上,2,即p4.所以抛物线的方程是y28x.(2)p4,抛物线的方程有四种形式:y28x,y28x,x28y,x28y.(3)方法一点(1,2)在第一象限,要分两种情形讨论:当抛物线的焦点在x轴上时,设抛物线的方程为y22px (p0),则222p1,解得p2,抛物线方程为y24x;当抛物线的焦点在y轴上时,设抛物线的方程为x22py(p0),则122p2,解得p,抛物线方程为x2y.方法二设所求抛物线的标准方程为y2mx或x2ny,将点(1,2)代入,得m4,n,故所求的方程为y24x或x2y.例4解如图,以拱桥的拱顶为原点,以过拱顶且平行于水面的直线为x轴,建立平面直角坐标系设抛物线方程为x22py(p0)由题意可知,点B(4,5)在抛物线上,故p,得x2y.当船面两侧和抛物线接触时,船不能通航,设此时船面宽为AA,则A(2,yA),由22yA,得yA.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m,所以h|yA|0.752(m)所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时,小船开始不能通航跟踪训练4解如图,建立平面直角坐标系,设抛物线方程为x22py(p0)依题意知,点P(10,4)在抛物线上,所以1002p(4),2p25.即抛物线方程为x225y.因为每4米需用一根支柱支撑,所以支柱横坐标分别为6,2,2,6.由图知,AB是最长的支柱之一设点B的坐标为(2,yB),代入x225y,得yB.所以|AB|4

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