高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2_1 抛物线及其标准方程学案 北师大版选修1-1

2.1抛物线及其标准方程学习目标1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题知识点一抛物线的定义思考1如图，在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉链D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？思考2抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？梳理(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离_的点的集合叫作抛物线(2)焦点：_.(3)准线：_.知识点二抛物线的标准方程思考1抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？思考2抛物线标准方程的特点？思考3已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？梳理抛物线的标准方程有四种类型图形标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦点坐标准线方程xxyy类型一抛物线定义的解读例1方程表示的曲线是()A圆 B椭圆C线段 D抛物线反思与感悟根据式子的几何意义 ，利用抛物线的定义，可确定点的轨迹，注意定义中“点F不在直线l上”这个条件跟踪训练1若动圆与圆(x2)2y21相外切，又与直线x10相切，则动圆圆心的轨迹是_类型二抛物线的标准方程及求解命题角度1抛物线的焦点坐标或准线方程的求解例2已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程(1)y26x；(2)3x25y0；(3)y4x2；(4)yax2(a0)引申探究1将例2(4)的方程改为y2ax(a0)结果如何？2将例2(4)的方程改为x2ay(a0)，结果如何？反思与感悟如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向一次项的变量若为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向跟踪训练2已知抛物线y22px(p0)的准线与曲线x2y26x70相切，则p为()A2 B1C. D.命题角度2求抛物线的标准方程例3求满足下列条件的抛物线的标准方程(1)过点(3,2)；(2)焦点在直线x2y40上；(3)抛物线的焦点F在x轴上，直线y3与抛物线相交于点A，|AF|5.反思与感悟抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立适当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值跟踪训练3根据下列条件，求抛物线的标准方程(1)焦点为(2,0)；(2)焦点到准线的距离是4；(3)过点(1,2)类型三抛物线在实际生活中的应用例4河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m、高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？反思与感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解跟踪训练4某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长1抛物线y2x0的开口()A向上 B向下C向左 D向右2抛物线y28x的焦点坐标和准线方程分别为()A(1,0)，x1 B(2,0)，x2C(3,0)，x3 D(4,0)，x43已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则抛物线方程可以为()Ay2x By22xCx23y Dx26y4抛物线x28y上的点M到x轴的距离为6，则点M与抛物线的焦点间的距离为_5分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)准线方程为y3；(2)抛物线与椭圆1的一个焦点相同1焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2mx(m0)，此时焦点坐标为F(，0)，准线方程为x；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2my(m0)，此时焦点为F(0，)，准线方程为y.2设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫作抛物线的焦半径若M(x0，y0)在抛物线y22px(p0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|x0.答案精析问题导学知识点一思考1平面内与一个定点F和一条定直线l(定点不在定直线上)距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线思考2不能，若l经过点F，满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于l的一条直线梳理(1)相等(2)点F(3)直线l知识点二思考1p是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线的方程中一次项决定开口方向思考2(1)原点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于.思考3一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上焦点确定，开口方向也随之确定题型探究例1D，它表示点M(x，y)与点F(3,1)的距离等于点M到直线xy30的距离，且点F(3,1)不在直线上根据抛物线的定义，知此方程表示的曲线是抛物线跟踪训练1抛物线解析由题意，动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x10的距离大1，故动圆圆心的轨迹是以(2,0)为焦点，x2为准线的抛物线，其方程为y28x.例2解(1)由方程y26x，知抛物线开口向左，2p6，p3，所以焦点坐标为(，0)，准线方程为x.(2)将3x25y0化为x2y，知抛物线开口向下，2p，p，所以焦点坐标为(0，)，准线方程为y.(3)将y4x2化为x2y，知抛物线开口向上，2p，p，所以焦点坐标为(0，)，准线方程为y.(4)抛物线方程yax2可化为x2y，当a0时，2p，p，故焦点坐标是(0，)，准线方程是y.当a0，因此有34，解得p2，故选A.例3解(1)当抛物线的焦点在x轴上且过点(3,2)时，可设抛物线方程为y22px(p0)，把(3,2)代入得222p(3)，p，所求抛物线方程为y2x.当抛物线的焦点在y轴上且过点(3,2)时，可设抛物线方程为x22py(p0)，把(3,2)代入得(3)22p2，p，所求抛物线方程为x2y.综上，所求抛物线方程为y2x或x2y.(2)直线x2y40与x轴的交点为(4,0)，与y轴的交点为(0，2)，故抛物线的焦点为(4,0)或(0，2)，当抛物线的焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y22px(p0)，4，p8，抛物线方程为y216x.当抛物线的焦点为(0，2)时，设抛物线方程为x22py(p0)，2，p4，抛物线方程为x28y.综上，所求抛物线方程为y216x或x28y.(3)设所求焦点F在x轴上的抛物线的标准方程为y22px(p0)，A(m，3)则由抛物线的定义得|AF|5，点A在抛物线上，(3)22pm，从而可得p1或p9.所求抛物线的标准方程为y22x或y218x.跟踪训练3解(1)焦点在x轴的负半轴上，2，即p4.所以抛物线的方程是y28x.(2)p4，抛物线的方程有四种形式：y28x，y28x，x28y，x28y.(3)方法一点(1,2)在第一象限，要分两种情形讨论：当抛物线的焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y22px (p0)，则222p1，解得p2，抛物线方程为y24x；当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x22py(p0)，则122p2，解得p，抛物线方程为x2y.方法二设所求抛物线的标准方程为y2mx或x2ny，将点(1,2)代入，得m4，n，故所求的方程为y24x或x2y.例4解如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系设抛物线方程为x22py(p0)由题意可知，点B(4，5)在抛物线上，故p，得x2y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA，则A(2，yA)，由22yA，得yA.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h|yA|0.752(m)所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航跟踪训练4解如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)依题意知，点P(10，4)在抛物线上，所以1002p(4)，2p25.即抛物线方程为x225y.因为每4米需用一根支柱支撑，所以支柱横坐标分别为6，2,2,6.由图知，AB是最长的支柱之一设点B的坐标为(2，yB)，代入x225y，得yB.所以|AB|4