有理式的不定积分与有理化方法.ppt

1. 有理式的不定积分 3-3 有理式的不定积分与有理化方法 有理函数: 时,为假分式;时, 为真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分 式 分解 若干部分分式之和 其中部分分式的形式为 部分分式: 有理函数积分法 如果 有一个 重实根 , 则 的部分 分式中一定包含下列形式的 项部分分式之和: 如果 中包含因子 时 , 则 的部分分式中一定包含下列形式的 项部分分式之和: 例如 将真分式 分解成部分分式. 四种典型部分分式的积分: 变分子为 再分项积分 而最后一个积分可以用上上一节例6中的递推公式. 说明: 递推公式 已知利用递推公式可求得 例如, 例1 求 解 第一种方法: 待定系数法， 可以用如下的方法求出待定系数. 上式通分后得 比较恒等式两端同次幂的系数，得一方程组： 从而解得 故有 于是 化简并约去两端的公因子 后为 得 例 2 求 第二种方法 (赋值法) 两端去分母,得 或 比较两端的各同次幂的系数及常数项，有 解之得 解 补例解 例 3 求 解 即有 即 用递推公式求 或 总之,有理函数分解为多项式及部分分式之和以后,各个部分 都能积出,且原函数都是初等函数.此外,由代数学知道,从理论上说 ,多项式Q(x)总可以在实数范围内分解成为一次因式及二次因式的 乘积,从而把有理函数 分解为多项式与部分分式之和.因此, 有理函数的原函数都是初等函数. 但是,用部分分式法求有理函数的积分,一般说来计算比较繁 ,只是在没有其它方法的情况下,才用此方法. 例4 求 解 补例 求 解 原式 注意本题技巧 按常规方法较繁 (1) 三角有理式： 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成 的函数三角函数有理式可记为 2. 三角函数有理式的不定积分 (2) 三角有理式的积分法： 令万能替换公式： 例 4 求解 令，则 注（1）用万能代换一定能将三角函数有理式的积分 化为有理函数的积分； （2）万能代换不一定是最好的； （3）常用的将三角函数有理式的积分化为有理函数 的积分的代换方法（非“万能的”）： 1）若 R(-sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) ，可取 u=cosx 为 积分变量； 2）若 R(sinx, -cosx) = -R(sinx, cosx) ，可取 u=sinx 为 积分变量； 3）若 R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx) ，可取 u=tanx 为 积分变量. 例 5 求 解 例 6 求 解 例 7 求 解 注 3. 某些根式的不定积分 令 令 被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如: 令 例 8 求 解 令 则 原式 例 9 求 解 令则 原式 补例 求 解 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的 最小公倍数 6 ,则有 原式 令 内容小结 1. 可积函数的特殊类型 有理函数 分解 多项式及部分分式之和 三角函数有理式 万能代换 简单无理函数 三角代换 根式代换 2. 特殊类型的积分按上述方法虽