2012届高考数学二轮专题复习教案共23讲精品专题.doc

集合、简单逻辑用语、函数、 不等式、导数及应用集合与简单逻辑用语1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：弄清元素是函数关系式中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？ 2. 数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决3. 已知集合A、B，当AB时，你是否注意到“极端”情况：A或B？求集合的子集时是否忘记？分类讨论思想的建立在集合这节内容学习中要得到强化4. 对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n1，2n1，2n2.5. 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集1. A、B是非空集合，定义ABx|xAB，且xAB，若AxR|y，By|y3x，xR，则AB_. 2. 已知命题P：nN,2n1 000，则P为_3. 条件p：aMx|x2x0，条件q：aNx|x|0”是假命题，则实数a的取值范围为_【例1】已知集合Ax|x23x100，集合Bx|p1x2p1若BA，求实数p的取值范围【例2】设A(x，y)|y2x10，B(x，y)|4x22x2y50，C(x，y)|ykxb，是否存在k、bN，使得(AB)C？若存在，求出k，b的值；若不存在，请说明理由【例3】(2011广东)设S是整数集Z的非空子集，如果a，bS，有abS，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，TVZ且a，b，cT，有abcT，x，y，zV，有xyzV.则下列结论恒成立的是_A. T，V中至少有一个关于乘法封闭 B. T，V中至多有一个关于乘法封闭C. T，V中有且只有一个关于乘法封闭 D. T，V中每一个关于乘法封闭【例4】已知a0，函数f(x)axbx2.(1) 当b0时，若xR，都有f(x)1，证明：01时，证明：x0,1，|f(x)|1的充要条件是b1a2.1. (2011江苏)已知集合A1,1,2,4，B1,0,2，则AB_.2.(2011天津)命题“若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是_3.(2009江苏)已知集合Ax|log2x2，B(，a)，若AB，则实数a的取值范围是(c，)，其中c_.4.(2009陕西)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有_人5.(2011陕西)设nN，一元二次方程x24xn0有正整数根的充要条件是n_.6.(2011福建)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为k，即k5nk|nZ，k0,1,2,3,4.给出如下四个结论：2 0111；33；Z01234；“整数a，b属于同一类”的充要条件是“ab0”其中，正确结论的个数是_个(2011全国)(本小题满分14分)设aR，二次函数f(x)ax22x2a.若f(x)0的解集为A，Bx|1x3，AB，求实数a的取值范围解：由f(x)为二次函数知a0，令f(x)0解得其两根为x1，x2，由此可知x10，(3分) 当a0时，Ax|xx2，(5分)AB的充要条件是x23，即，(9分) 当a0时， Ax|x1x1，即1，解得a2p1p2.BA成立综上得p3.点评：从以上解答应看到：解决有关AB，ABA，ABB或AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中全方位、多角度审视问题变式训练设不等式x22axa20的解集为M，如果M1,4，求实数a的取值范围解： M1,4有n种情况：其一是M，此时0；其二是M，此时0，分三种情况计算a的取值范围设f(x)x22axa2，有(2a)2(4a8)4(a2a2)， 当0时，1a2，M1,4成立； 当0时，a1或2，当a1时，M11,4，当a2时，M21,4； 当0时，a1或a2.设方程f(x)0的两根为x1，x2，且x1x2，那么Mx1，x2，M1,41x1x24即解得：2a，综上实数a的取值范围是.例2解： (AB)C，AC且BC，由 得k2x2(2bk1)xb210， AC， k0，1(2bk1)24k2(b21)0， 4k24bk10，即b21， 4x2(22k)x(52b)0， BC， 24(1k)216(52b)0， k22k8b190, 从而8b20，即b2.5，由及bN，得b2，代入由10和22使命题乙成立的条件是：216(m2)2160， 1m3. 集合Bm|1m2m|m1或m3m|m3；若为，则有：BAm|1m3m|m2m|1m2；综合、可知所求m的取值范围是m|1m2或m3点评：明确命题为真时的充要条件，再分类确定高考回顾1. 1,22. 若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数3. 4解析：A(0,4，AB, a4, c4.4. 8解析：画韦恩图设同时参加数学和化学小组的有x人，则20x11x49x36，x8.5. 3或4解析：令f(x)x24xn，nN*，f(0)n0, f(2)0即n4，故n1,2,3,4，经检验，n3,4适合，或直接解出方程的根，x2，nN*，只有n3,4适合6. 3解析：正确的是，在中32才对函数、图象及性质1. 函数在高考中的题型设置有小题也有大题，其中大题有简单的函数应用题、函数与其他知识综合题，也有复杂的代数推理题，可以说函数性质的应用是高考考查的主要着力点之一2. 重点：函数的奇偶性、单调性和周期性；函数与不等式结合；函数与方程的综合；函数与数列的综合；函数与向量的综合；利用导数来刻画函数3. 难点：新定义的函数问题；代数推理问题，常作为高考压轴题1. 已知f(x)是二次函数，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，则f(x)_.2.函数f(x)的定义域为_3.函数f(x)的定义域是R，其图象关于直线x1和点(2 , 0)都对称，f2，则ff_.4.函数f(x)x22x，g(x)mx2，对x11,2，x01,2，使g(x1)f(x0)，则实数m的取值范围是_【例1】已知f(x)是二次函数，不等式f(x)2，求函数f(x)的最小值. 【例4】(2011苏锡常镇模拟)已知函数f(x)a|x|，a为实数(1) 当a1，x1,1时，求函数f(x)的值域；(2) 设m、n是两个实数，满足mn，若函数f(x)的单调减区间为(m，n)，且nm，求a的取值范围1. (2011辽宁)若函数f(x)为奇函数，则a_.2.(2011湖北)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)g(x)ex，则g(x)_.3.(2011上海)设g(x)是定义在R上、以1为周期的函数，若f(x)xg(x)在0,1上的值域为2,5，则f(x)在区间0,3上的值域为_4.(2011北京)已知点A(0,2)，B(2,0)，若点C在函数yx2的图象上，则使得ABC的面积为2的点C的个数为_5.(2011上海) 已知函数f(x)a2xb3x，其中常数a，b满足ab0.(1) 若ab0，判断函数f(x)的单调性；(2) 若abf(x)时x的取值范围6.(2011湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1) 当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2) 当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时) (2011镇江一模)(本小题满分14分)已知函数f(x)32log2x，g(x)log2x.(1) 如果x1,4，求函数h(x)(f(x)1)g(x)的值域；(2) 求函数M(x)的最大值；(3) 如果对不等式f(x2)f()kg(x)中的任意x1,4，不等式恒成立，求实数k的取值范围解：令tlog2x，(1分)(1) h(x)(42log2x)log2x2(t1)22，(2分) x1,4， t0,2，(3分) h(x)的值域为0,2(4分)(2) f(x)g(x)3(1log2x)，当0x2时，f(x)g(x)；当x2时，f(x)g(x)，(5分) M(x)M(x)(6分)当0x2时，M(x)最大值为1；(7分)当x2时，M(x)1.(8分)综上：当x2时，M(x)取到最大值为1.(9分)(3) 由f(x2)f()kg(x)，得(34log2x)(3log2x)klog2x， x1,4， t0,2， (34t)(3t)kt对一切t0,2恒成立，(10分)当t0时，kR；(11分)t(0,2时，k恒成立，即k4t15，(12分) 4t12，当且仅当4t，即t时取等号(13分) 4t15的最小值为3.综上：k3.(14分)第2讲函数、图象及性质1. 已知a，函数f(x)ax，若实数m、n满足f(m)f(n)，则m、n的大小关系为_【答案】mn解析： 考查指数函数的单调性a(0,1)，函数f(x)ax在R上递减由f(m)f(n)得：mn.2. 设a为实数，函数f(x)2x2(xa)|xa|. (1) 若f(0)1，求a的取值范围； (2) 求f(x)的最小值； (3) 设函数h(x)f(x)，x(a，)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)1的解集点拨： 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力解：(1) 若f(0)1，则a|a|1a1. a的取值范围是(，1(2) 当xa时，f(x)3x22axa2，f(x)min当xa时，f(x)x22axa2，f(x)min综上f(x)min(3) x(a，)时，h(x)1得3x22axa210，4a212(a21)128a2.当a或a时，0，x(a，)；当a时，0，得：讨论得：当a时，解集为(a，)；当a时，解集为当a时，解集为.综上，当a时，解集为(a，)，当a时，解集为，当a时，解集为.基础训练1. x2x2. (，1)(1,0)解析：x0，x1.3. 4解析：函数图象关于直线x1对称，则f(x)f(2x)，函数图象关于点(2 , 0)对称，则f(x)f(4x)， f(x2)f(x)， f(x4)f(x)， fff，又fff，ff2f2f4.4. 解析：x1,2时，f(x)1,3m0，x1,2时，g(x)2m,22m；m0，x1,2时，g(x)22m,2mm0，2m，22m1,3；m0，22m,2m1,3得0m或1m0，故实数m的取值范围是.例题选讲例1解： (1) f(x)是二次函数，且f(x)0的解集是(0,5), 可设f(x)ax(x5)(a0) f(x)在区间1,4上的最大值是f(1)6a.由已知得6a12, a2, f(x)2x(x5)2x210x(xR)(2) 方程f(x)0等价于方程2x310x2370.设h(x)2x310x237，则h(x)6x220x2x(3x10)当x时，h(x)0，h(x)是减函数；当x时，h(x)0，h(x)是增函数 h(3)10，h0，h(4)50， 方程h(x)0在区间，内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，)内没有实数根，所以存在唯一的自然数m3，使得方程f(x)0在区间(m，m1)内有且只有两个不同的实数根变式训练已知函数yf (x)是定义在R上的周期函数，周期T5，函数yf(x)(1x1)的图象关于原点对称又知yf(x)在0,1上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在x2时函数取得最小值5.(1) 证明：f(1)f(4)0；(2)求yf(x)，x1,4的解析式；(3)求yf(x)在4,9上的解析式(1)证明： f (x)是以5为周期的周期函数， f(4)f(45)f(1)，又 yf(x)(1x1)关于原点对称， f(1)f(1)f(4), f(1)f(4)0.(2)解： 当x1,4时，由题意可设f(x)a(x2)25(a0)，由f(1)f(4)0得a(12)25a(42)250， a2， f(x)2(x2)25(1x4)(3)解： yf(x)(1x1)是奇函数， f(0)0，又知yf(x)在0,1上是一次函数， 可设f(x)kx(0x1)，而f(1)2(12)253， k3， 当0x1时，f(x)3x，从而当1x0时，f(x)f(x)3x，故1x1时，f(x)3x， 当4x6时，有1x51， f(x)f(x5)3(x5)3x15，当6x9时，1x54， f(x)f(x5)2(x5)2252(x7)25， f(x)点评：紧抓函数几个性质，将未知的转化为已知的，注意函数图象及端点值例2解： (1) 当a0时，f(x)x2，对任意x(，0)(0，)，f(x)(x)2x2f(x), f(x)为偶函数当a0时，f(x)x2(a0，x0)，取x1，得f(1)f(1)20，f(1)f(1)2a0， f(1)f(1)，f(1)f(1)， 函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(2) (解法1)设2x1x2，f(x1)f(x2)xxx1x2(x1x2)a，要使函数f(x)在x2，)上为增函数，必须f(x1)f(x2)0恒成立 x1x20，x1x24，即ax1x2(x1x2)恒成立又 x1x24, x1x2(x1x2)16. a的取值范围是(，16(解法2)当a0时，f(x)x2，显然在2，)为增函数当a0时，反比例函数在2，)为增函数， f(x)x2在2，)为增函数当a0时，同解法1. (解法3)f(x)2x0，对x2，)恒成立 a2x3而y2x3.在2，)上单调增，最小值为16， a16.点评：本题主要考查函数奇偶性、单调性及分类讨论处理含参数问题例3解：(1) 由已知f(x)f(x)，即|2xa|2xa|，解得a0.(2) f(x)当xa时，f(x)x22xa(x1)2(a1)，由a2，xa，得x1，从而x1，又f(x)2(x1)，故f(x)在xa时单调递增，f(x)的最小值为f；当xa时，f(x)x22xa(x1)2(a1)，故当1x时，f(x)单调递增，当x1时，f(x)单调递减，则f(x)的最小值为f(1)a1；由(a1)0，知f(x)的最小值为a1.点评：本题考查二次函数含参数最值的讨论方法变式训练已知函数f(x)x|x2|.设a0，求f(x)在0，a上的最大值解： f(x)x|x2| f(x)的单调递增区间是(，1和2，); 单调递减区间是1,2 当0a1时，f(x)是0，a上的增函数，此时f(x)在0，a上的最大值是f(a)a(2a)； 当1a2时，f(x)在0,1上是增函数，在1，a上是减函数，此时f(x)在0，a上的最大值是f(1)1； 当a2时，令f(a)f(1)a(a2)1a22a10, 解得a1.若2a1，则f(a)f(1)，f(x)在0，a上的最大值是f(1)1；若a1，则f(a)f(1)，f(x)在0，a上的最大值是f(a)a(a2)综上，当0a1时，f(x)在0，a上的最大值是a(2a)；当1a1时，f(x)在0，a上的最大值是1；当a1时，f(x)在0，a上的最大值是a(a2)例4解： 设yf(x)，(1) a1时，f(x)|x|，当x(0,1时，f(x)x为增函数，y的取值范围为(1,1当x1,0时，f(x)x，令t，0t1，则xt21，y2，0t1，y的取值范围为. 1，x1,1时，函数f(x)的值域为1,1(2) 令t，则xt2a，t0，yg(t)ta|t2a|. a0时，f(x)无单调减区间； a0时，yg(t)at2ta2，在上g(t)是减函数，则在上f(x)是减函数a0不成立 a0时，yg(t)仅当，即a时，在t时，g(t)是减函数，即x时，f(x)是减函数nma，即(a2)(16a2a2)0. a2.故a的取值范围是.高考回顾1. 解析：f(x)f(x)恒成立或从定义域可直接得到2. g(x)解析： 因为函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(x)g(x)f(x)g(x)ex.又因为f(x)g(x)ex，所以g(x).3. 2,7解析：设x10,1，则f(x1)x1g(x1)2,5， g(x)是定义域为R周期为1的函数， 当x21,2时，f(x2)x11g(x11)1x1g(x1)1f(x1)1,6，当x22,3时，f(x2)x12g(x12)2x1g(x1)2f(x1)0,7， f(x)在区间0,3上的值域为2,74. 4解析：AB2，直线AB的方程为xy2，在yx2上取点C(x，y)，点C(x，y)到直线AB的距离为，|xx22|2，此方程有四个解5. 解：(1) 当a0，b0时，任意x1，x2R，x1x2，则f(x1)f(x2)a(2x12x2)b(3x13x2)， 2x12x2，a0a(2x12x2)0,3x13x2，b0b(3x13x2)0， f(x1)f(x2)0，函数f(x)在R上是增函数当a0，b0时，同理函数f(x)在R上是减函数(2) f(x1)f(x)a2x2b3x0，当a0，b0时，x，则xlog1.5；当a0，b0时，x，则xlog1.5.6. 解：(1) 由题意：当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb，显然v(x)axb在20,200是减函数，由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)(2) 依题意并由(1)可得f(x)当0x20时，f(x)为增函数，故当x20时，其最大值为60201 200；当200，a1)的图象经过的定点坐标为_2.函数ylg(x22x)的定义域是_. 3.函数yax(a0，a1)在R上为单调递减函数，关于x的不等式a2x2ax30的解集为_4.定义：区间x1，x2(x1x2)的长度为x2x1.已知函数y|log0.5x|定义域为a，b，值域为0,2，则区间a，b的长度的最大值为_【例1】函数f(x)(a，b，cZ)是奇函数，且f(1)2，f(2)3.(1) 求a，b，c的值；(2) 当x0时，讨论f(x)的单调性【例2】已知函数f(x)2x.(1) 若f(x)2，求x的值；(2) 若2tf(2t)mf(t)0对于t1,2恒成立，求实数m的取值范围【例3】已知函数g(x)ax22ax1b(a0，b0且a1)当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*，则n_.5.(2009山东)已知函数f(x)xa(2lnx)(a0)，讨论f(x)的单调性6.(2011陕西)设f(x)lnx，g(x)f(x)f(x)(1) 求g(x)的单调区间和最小值；(2) 讨论g(x)与g的大小关系；(3) 求实数a的取值范围，使得g(a)g(x)对任意x0成立(2011常州模考)(本小题满分16分)已知a为实数，函数f(x)(1ax)ex，函数g(x)，令函数F(x)f(x)g(x)(1) 若a1，求函数f(x)的极小值；(2) 当a时，解不等式F(x)1；(3) 当a0时，求函数F(x)的单调区间解：(1) 当a1时，f(x)(1x)ex.则f(x)(x2)ex.令f(x)0，得x2.(1分)列表如下：x(，2)2(2，)f(x)0f(x)极小值f(2) 当x2时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(2)e2.(3分)(2) 当a时，F(x)ex，定义域为x|x2，xR F(x)ex(ex)0， F(x)在(，2)及(2，)上均为减函数(5分) 当x(，2)时，F(x)0， x(，2)时，F(x)1. 当x(2，)时，F(0)1， 由F(x)1F(0)，得x0.综上所述，不等式F(x)1的解集为(，2)(0，)(7分)(3) 函数F(x)ex，定义域为.当a0时，F(x)exex.令F(x)0，得x2.(9分) 当2a10，即a时，F(x)0. 当a时，函数F(x)的单调减区间为.(11分) 当a0时，解x2得x1，x2. ， 令F(x)0，得x，x，x(x2，)；令F(x)0，得x(x1，x2)(13分) 当a0时，函数F(x)的单调减区间为；函数F(x)单调增区间为.(15分) 当2a10，即a时，由(2)知，函数F(x)的单调减区间为(，2)(2，)(16分)第3讲基本初等函数1. 已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x)且在区间0,2上是增函数，若方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_.【答案】8解析：因为定义在R上的奇函数，满足f(x4)f(x)，所以f(x4)f(x)，对f(x)是奇函数，函数图象关于直线x2对称且f(0)0，由f(x4)f(x)知f(x8)f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为f(x)在区间0,2上是增函数，所以f(x)在区间2,0上也是增函数如图所示，那么方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1x2x3x4由对称性知x1x212，x3x44，所以x1x2x3x41248.2. 已知函数f(x)x3(k2k1)x25x2，g(x)k2x2kx1，其中kR.(1) 设函数p(x)f(x)g(x)若p(x)在区间(0,3)上不单调，求k的取值范围；(2) 设函数q(x)是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2(x2x1)，使得q(x2)q(x1)成立？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由解： (1)因p(x)f(x)g(x)x3(k1)x2(k5)x1，p(x)3x22(k1)x(k5)，因p(x)在区间(0,3)上不单调，所以p(x)0在(0,3)上有实数解，且无重根，由p(x)0得k(2x1)(3x22x5)， k，令t2x1，有t(1,7)，记h(t)t，则h(t)在(1,3上单调递减，在3,7)上单调递增，所以有h(t)6,10，于是(2x1)6,10)，得k(5，2，而当k2时有p(x)0在(0,3)上有两个相等的实根x1，故舍去，所以k(5，2)(2) 当x0时，有q(x)f(x)3x22(k2k1)x5；当x0时，有q(x)g(x)2k2xk，因为当k0时不合题意，因此k0，下面讨论k0的情形，记A(k，)，B(5，)，当x10时，q(x)在(0，)上单调递增，所以要使q(x2)q(x1)成立，只能x20且AB，因此有k5，当x10时，q(x)在(，0)上单调递减，所以要使q(x2)q(x1)成立，只能x20且BA，因此k5，综合k5；当k5时AB，则x10，q(x1)BA，即x20，使得q(x2)q(x1)成立，因为q(x)在(0，)上单调递增，所以x2的值是唯一的；同理，x10，即存在唯一的非零实数x2(x2x1)，使q(x2)q(x1)成立，所以k5满足题意基础训练1. (1,1)2. x|x0或x23. (，loga3)解析：由题知0a1，不等式a2x2ax30可化为(ax3)(ax1)0，ax3，xloga3.4. 解析：由函数y|log0.5x|得x1，y0；x4或x时y2,4.例题选讲例1解：(1)函数f(x)为奇函数，f(x)f(x)恒成立， c0，又由f(1)2，f(2)3得 0b，bZ b1，a1.(2) f(x)x，函数在(，1)上递增，在(1,0)上递减变式训练已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1) 求a，b的值；(2) 若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求实数k的取值范围解： (1) 因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)0，即0b1, f(x)，又由f(1) f(1)知a2.经检验符合题意， a2，b1.(2) (解法1)由(1)知f(x)，易知f(x)在(，)上为减函数又因f(x)是奇函数，从而不等式： f(t22t)f(2t2k)0等价于f(t22t)f(2t2k)f(k2t2)，因f(x)为减函数，由上式推得：t22tk2t2.即对一切tR有：3t22tk0，从而判别式412k0k.(解法2)由(1)知