2019届高考数学二轮复习考前冲刺三第三类立体几何问题重在“建”——建模、建系学案理.docx

第三类立体几何问题重在“建”建模、建系立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深，解决这类题目的原则是建模、建系.建模将问题转化为平行模型、垂直模型及平面化模型；建系依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.【例3】 (2017全国卷)如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABDCBD，ABBD.(1)证明：平面ACD平面ABC；(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值.(1)证明由题设可得，ABDCBD.从而ADDC，又ACD为直角三角形，所以ADC90，取AC的中点O，连接DO，BO，则DOAC，DOAO，又由于ABC是正三角形，故BOAC，所以DOB为二面角DACB的平面角.(建模)在RtAOB中，BO2OA2AB2，又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90，所以平面ACD平面ABC.(2)解由题设及(1)知，OA，OB，OD两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，(建系)则O(0，0，0)，A，D，B，C(1，0，0)，由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得E，故，.设平面AED的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，平面AEC的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则即取n1(1，1)，即取n2(0，1，)，若二面角DAEC为，易知为锐角，则cos .所以二面角DAEC的余弦值为.探究提高1.(1)建模：构建二面角的平面角模型.(2)建系：以两两垂直的直线为坐标轴.2.破解策略：立体几何的内容在高考中的考查情况总体上比较稳定，因此，复习备考时往往有“纲”可循，有“题”可依.在平时的学习中，要加强“一题两法(几何法与向量法)”的训练，切勿顾此失彼；要重视识图训练，能正确确定关键点或线的位置，将局部空间问题转化为平面问题；能依托于题中的垂直条件，建立适当的空间直角坐标系，将几何问题化归为代数问题.【训练3】 (2018日照一模)如图所示的几何体ABCDE中，DA平面EAB，CBDA，EADAAB2CB，EAAB，M是线段EC上的点(不与端点重合)，F为线段DA上的点，N为线段BE的中点.(1)若M是线段EC的中点，AF3FD，求证：FN平面MBD；(2)若，二面角MBDA的余弦值为，求的值. (1)证明如图1，连接MN，因M，N分别是线段EC，线段BE的中点，图1MNCB且MNCBDA，又AF3FD，FDDA，MNFD，又CBDA，MNDA，MNFD.所以四边形MNFD为平行四边形，FNMD.又FN平面MBD，MD平面MBD，所以FN平面MBD. (2)解由已知，分别以AE，AB，AD所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，如图2，设CB1，则A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(0，2，1)，D(0，0，2)，E(2，0，0)，图2由已知，平面ABD的一个法向量为n1(1，0，0)，设平面MBD的法向量为n(x，y，z)，则有n，n，(0，2，2)，(0，2，1)，(2，2，1).，(2，2，2)，令z1，则n