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大学高等数学-梅挺-课件PPT,大学,高等数学,梅挺,课件,ppt
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高 等 数 学,梅挺 主编 中国水利水电出版社,第1章 函数和极限,主要内容: 一、函数 二、极限 三、函数的连续性,一、函 数,（一）函数的概念,1、变量与常量,常量：在某一过程中保持一定数值的量，常用字母a,b,c，来表示；,变量：在某一过程中可以取不同数值的量，常用字母x,y,z, 来表示。,注意：常量与变量并非是绝对的,2、函数的概念,设x和y是同一变化过程中的两个变量，如果对 于变量x的每一个允许的取值，变量y按照一定 规律总有一个确定的值与之对应，则称变量x 是变量y的函数，变量x称为自变量， y又称为 因变量，记为：y=f (x),值 域：所有函数值的集合称为函数的值域,定义域：自变量的所有允许值的集合称为函数 的定义域，通常用区间来表示,关于函数定义的几点说明：,（3）函数常用的表示法：,（1）构成函数的要素有两个：定义域与对应规律,如果函数的定义域相同，对应规律也相同，那么这两个 函数就是相同的，否则就是不同的。,（2）函数的定义域通常按以下两种情形来确定：,在实际问题中，函数的定义域由问题的实际意义来确定； 如果函数是由没有明确指出范围的数学表达式给出的， 那么函数的定义域就是指使表达式有意义的一切的自变 量的集合。,解析法、图像法和列表法等。,1、定义域由两个方面来确定：,注意：,2、定义域和对应规律/法则是判断两个函数是否相同的根据,1)根据函数的表达式的意义而确定，称为 自然定义域,2)根据问题的实际意义确定,例如：,（二）函数的几种特性,1、单值性与多值性,对于自变量的每一个取值，函数y有唯一确定 的一个值与之对应，这样的函数称为单值函数， 否则称为多值函数。,例如，,2、函数的单调性,例如：,3、函数的奇偶性,例如：,1.偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的关于原点对称,2.判定函数的奇偶性首先看其定义域关于原点对称否,注意,4、函数的周期性,5、函数的有界性,如：,（三）复合函数,类似地，可以定义多于两重复合关系的复合函数,复合函数的求解难点：合成与分解,对于复合函数的合成与分解注意以下几点 ：,如:,1、对复合函数的分解一定要彻底 2、分解标准是：分解成六类基本初等函数的 四则运算 3、内层函数的值域必须为外层函数定义域的 子集，否则不能构成复合函数,（四）初等函数,1、基本初等函数,以上六类函数称为基本初等函数.,A.常函数,B.幂函数,B.幂函数,C.指数函数,D.对数函数,E.三角函数,E.三角函数,E.三角函数,F.反三角函数,F.反三角函数,2、初等函数,例如：,是初等函数。,由基本初等函数经过有限次四则运算以及函数 复合所得到的仅用一个解析式表达的函数，称 为初等函数。,注意,分段函数： 有些函数，对于其定义域内自变量不同的值， 不能用一个统一的解析式表示，而要用两个或 两个以上的式子表示，这类函数称为分段函数。,分段函数是一个函数，而不是两个或几个函数,分段函数是初等函数吗？,问题,二、极 限,（一）极限的概念,1、x时函数的极限,x时函数的极限定义,说明,说明,比如：,对于函数 ，因为： ，所以只有 时的极限。 对于函数 ，要求 时的极限， 需分别讨论 和 的情况。,从而,2、xx0时函数的极限,xx0时函数的极限定义,说明,说明,也可以从函数的图像上明确地看出该函数的极限不存在,讨论：,求 和 的极限。,结论：二者定义域不同，但是极限相等， 都为2。所以，函数在无定义的点的极限 值可能存在，要区别求极限与求函数值。,（二）极限的四则运算,说明,例7 求,解：,例8 求,例9 求,例10 求,因为,所以,例11 求,解：分段函数分段点左、右的函数解析表达式不 同，因此在求分段函数分段点极限的时候一定要 考虑其左、右极限。,（三）两个重要极限,（1）,例14 求,解：,例15 求,例17 求,解：,（四）无穷小量与无穷大量,1、定义,注意,讨论：,对比无穷小量与无穷小的量， 二者是一个概念吗？,2、相关定理,说明,说明,3、无穷小的比较与阶,无穷小的比较与阶,三、函数的连续性,微积分学所研究的函数主要是连续函数。,我们现在要研究的就是用极限来描述 函数连续的定义。,当我们把函数y=f(x)用它的图像来表示时，就 会发现有的函数曲线的大部分是连续不断的， 只是在某些地方是断开的。例如：,函数在x=0是断开的，在-1，1的,其它地方是连续不断的。,因此，我们可以认为，如果一个函数的图 像在某一区间上是连续不断的，那么就称 这个函数在这一区间上是连续的。,为了精确地描述函数连续的概念，先引进 函数增量的概念。,1、函数的增量,说明,（一）函数的连续性,2、函数连续性的概念,因为 总成立，因此有：,上式表明：连续函数求极限时，极限符号 可以和函数符号交换次序。,（式3）,（式1）,（式2）,若函数 在区间 内每一点都连续， 则称 在开区间 内连续。,若函数 在区间 内每一点都连续， 且在区间的左端点右连续（ ） 右端点左连续（ ）， 则称 在闭区间 上连续。,几何意义： 区间上的连续函数为一条没有任何间断的曲线。,（三）函数的间断点,第一类间断点包括三种情况：,以上两种情况称为可去间断点(令 ),第二类间断点：除第一类间断点之外的间断点； 或者说左右极限中至少有一个
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