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大学高等数学-梅挺-课件PPT,大学,高等数学,梅挺,课件,ppt
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高 等 数 学,梅挺 主编 中国水利水电出版社,第1章 函数和极限,主要内容: 一、函数 二、极限 三、函数的连续性,一、函 数,（一）函数的概念,1、变量与常量,常量：在某一过程中保持一定数值的量，常用字母a,b,c，来表示；,变量：在某一过程中可以取不同数值的量，常用字母x,y,z, 来表示。,注意：常量与变量并非是绝对的,2、函数的概念,设x和y是同一变化过程中的两个变量，如果对 于变量x的每一个允许的取值，变量y按照一定 规律总有一个确定的值与之对应，则称变量x 是变量y的函数，变量x称为自变量， y又称为 因变量，记为：y=f (x),值 域：所有函数值的集合称为函数的值域,定义域：自变量的所有允许值的集合称为函数 的定义域，通常用区间来表示,关于函数定义的几点说明：,（3）函数常用的表示法：,（1）构成函数的要素有两个：定义域与对应规律,如果函数的定义域相同，对应规律也相同，那么这两个 函数就是相同的，否则就是不同的。,（2）函数的定义域通常按以下两种情形来确定：,在实际问题中，函数的定义域由问题的实际意义来确定； 如果函数是由没有明确指出范围的数学表达式给出的， 那么函数的定义域就是指使表达式有意义的一切的自变 量的集合。,解析法、图像法和列表法等。,1、定义域由两个方面来确定：,注意：,2、定义域和对应规律/法则是判断两个函数是否相同的根据,1)根据函数的表达式的意义而确定，称为 自然定义域,2)根据问题的实际意义确定,例如：,（二）函数的几种特性,1、单值性与多值性,对于自变量的每一个取值，函数y有唯一确定 的一个值与之对应，这样的函数称为单值函数， 否则称为多值函数。,例如，,2、函数的单调性,例如：,3、函数的奇偶性,例如：,1.偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的关于原点对称,2.判定函数的奇偶性首先看其定义域关于原点对称否,注意,4、函数的周期性,5、函数的有界性,如：,（三）复合函数,类似地，可以定义多于两重复合关系的复合函数,复合函数的求解难点：合成与分解,对于复合函数的合成与分解注意以下几点 ：,如:,1、对复合函数的分解一定要彻底 2、分解标准是：分解成六类基本初等函数的 四则运算 3、内层函数的值域必须为外层函数定义域的 子集，否则不能构成复合函数,（四）初等函数,1、基本初等函数,以上六类函数称为基本初等函数.,A.常函数,B.幂函数,B.幂函数,C.指数函数,D.对数函数,E.三角函数,E.三角函数,E.三角函数,F.反三角函数,F.反三角函数,2、初等函数,例如：,是初等函数。,由基本初等函数经过有限次四则运算以及函数 复合所得到的仅用一个解析式表达的函数，称 为初等函数。,注意,分段函数： 有些函数，对于其定义域内自变量不同的值， 不能用一个统一的解析式表示，而要用两个或 两个以上的式子表示，这类函数称为分段函数。,分段函数是一个函数，而不是两个或几个函数,分段函数是初等函数吗？,问题,二、极 限,（一）极限的概念,1、x时函数的极限,x时函数的极限定义,说明,说明,比如：,对于函数 ，因为： ，所以只有 时的极限。 对于函数 ，要求 时的极限， 需分别讨论 和 的情况。,从而,2、xx0时函数的极限,xx0时函数的极限定义,说明,说明,也可以从函数的图像上明确地看出该函数的极限不存在,讨论：,求 和 的极限。,结论：二者定义域不同，但是极限相等， 都为2。所以，函数在无定义的点的极限 值可能存在，要区别求极限与求函数值。,（二）极限的四则运算,说明,例7 求,解：,例8 求,例9 求,例10 求,因为,所以,例11 求,解：分段函数分段点左、右的函数解析表达式不 同，因此在求分段函数分段点极限的时候一定要 考虑其左、右极限。,（三）两个重要极限,（1）,例14 求,解：,例15 求,例17 求,解：,（四）无穷小量与无穷大量,1、定义,注意,讨论：,对比无穷小量与无穷小的量， 二者是一个概念吗？,2、相关定理,说明,说明,3、无穷小的比较与阶,无穷小的比较与阶,三、函数的连续性,微积分学所研究的函数主要是连续函数。,我们现在要研究的就是用极限来描述 函数连续的定义。,当我们把函数y=f(x)用它的图像来表示时，就 会发现有的函数曲线的大部分是连续不断的， 只是在某些地方是断开的。例如：,函数在x=0是断开的，在-1，1的,其它地方是连续不断的。,因此，我们可以认为，如果一个函数的图 像在某一区间上是连续不断的，那么就称 这个函数在这一区间上是连续的。,为了精确地描述函数连续的概念，先引进 函数增量的概念。,1、函数的增量,说明,（一）函数的连续性,2、函数连续性的概念,因为 总成立，因此有：,上式表明：连续函数求极限时，极限符号 可以和函数符号交换次序。,（式3）,（式1）,（式2）,若函数 在区间 内每一点都连续， 则称 在开区间 内连续。,若函数 在区间 内每一点都连续， 且在区间的左端点右连续（ ） 右端点左连续（ ）， 则称 在闭区间 上连续。,几何意义： 区间上的连续函数为一条没有任何间断的曲线。,（三）函数的间断点,第一类间断点包括三种情况：,以上两种情况称为可去间断点(令 ),第二类间断点：除第一类间断点之外的间断点； 或者说左右极限中至少有一个不存在的间断点。 包括无穷间断点和振荡间断点。,（四）初等函数的连续性,例如：,（五）闭区间上连续函数的性质,几何意义：一段连续曲线必有最高点和最低点， 相应地有最大值和最小值。,特别的，有如下推论（根的存在定理）,至少有一个根,高 等 数 学梅挺 主编中国水利水电出版社第1章 函数和极限主要内容: 一、函数 二、极限 三、函数的连续性一、函 数（一）函数的概念1、变量与常量常量：在某一过程中保持一定数值的量，常用字母a,b,c，来表示；变量：在某一过程中可以取不同数值的量，常用字母x,y,z, 来表示。注意：常量与变量并非是绝对的2、函数的概念设x和y是同一变化过程中的两个变量，如果对于变量x的每一个允许的取值，变量y按照一定规律总有一个确定的值与之对应，则称变量x是变量y的函数，变量x称为自变量， y又称为因变量，记为：y=f (x)值 域：所有函数值的集合称为函数的值域定义域：自变量的所有允许值的集合称为函数 的定义域，通常用区间来表示关于函数定义的几点说明：（3）函数常用的表示法：（1）构成函数的要素有两个：定义域与对应规律如果函数的定义域相同，对应规律也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的。（2）函数的定义域通常按以下两种情形来确定：在实际问题中，函数的定义域由问题的实际意义来确定；如果函数是由没有明确指出范围的数学表达式给出的，那么函数的定义域就是指使表达式有意义的一切的自变量的集合。解析法、图像法和列表法等。1、定义域由两个方面来确定：注意：2、定义域和对应规律/法则是判断两个函数是否相同的根据 1)根据函数的表达式的意义而确定，称为 自然定义域2)根据问题的实际意义确定例如：（二）函数的几种特性1、单值性与多值性对于自变量的每一个取值，函数y有唯一确定的一个值与之对应，这样的函数称为单值函数，否则称为多值函数。 例如，2、函数的单调性例如：3、函数的奇偶性例如：1.偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的关于原点对称 2.判定函数的奇偶性首先看其定义域关于原点对称否 注意4、函数的周期性5、函数的有界性如：（三）复合函数类似地，可以定义多于两重复合关系的复合函数复合函数的求解难点：合成与分解对于复合函数的合成与分解注意以下几点 ：如:1、对复合函数的分解一定要彻底2、分解标准是：分解成六类基本初等函数的 四则运算3、内层函数的值域必须为外层函数定义域的 子集，否则不能构成复合函数（四）初等函数1、基本初等函数以上六类函数称为基本初等函数. A.常函数 B.幂函数 B.幂函数 C.指数函数D.对数函数E.三角函数E.三角函数E.三角函数F.反三角函数F.反三角函数2、初等函数例如：由基本初等函数经过有限次四则运算以及函数复合所得到的仅用一个解析式表达的函数，称为初等函数。注意 分段函数： 有些函数，对于其定义域内自变量不同的值， 不能用一个统一的解析式表示，而要用两个或 两个以上的式子表示，这类函数称为分段函数。分段函数是一个函数，而不是两个或几个函数分段函数是初等函数吗？问题二、极 限（一）极限的概念1、x时函数的极限x时函数的极限定义说明说明比如：从而2、xx0时函数的极限xx0时函数的极限定义说明说明也可以从函数的图像上明确地看出该函数的极限不存在 讨论：结论：二者定义域不同，但是极限相等，都为2。所以，函数在无定义的点的极限值可能存在，要区别求极限与求函数值。（二）极限的四则运算说明 解：分段函数分段点左、右的函数解析表达式不同，因此在求分段函数分段点极限的时候一定要考虑其左、右极限。 （三）两个重要极限 （四）无穷小量与无穷大量1、定义注意讨论：对比无穷小量与无穷小的量，二者是一个概念吗？2、相关定理说明说明3、无穷小的比较与阶无穷小的比较与阶三、函数的连续性微积分学所研究的函数主要是连续函数。我们现在要研究的就是用极限来描述函数连续的定义。当我们把函数y=f(x)用它的图像来表示时，就会发现有的函数曲线的大部分是连续不断的，只是在某些地方是断开的。例如：函数在x=0是断开的，在-1，1的其它地方是连续不断的。因此，我们可以认为，如果一个函数的图像在某一区间上是连续不断的，那么就称这个函数在这一区间上是连续的。为了精确地描述函数连续的概念，先引进函数增量的概念。1、函数的增量说明（一）函数的连续性2、函数连续性的概念上式表明：连续函数求极限时，极限符号可以和函数符号交换次序。几何意义：区间上的连续函数为一条没有任何间断的曲线。（三）函数的间断点第一类间断点包括三种情况： 第二类间断点：除第一类间断点之外的间断点；或者说左右极限中至少有一个不存在的间断点。包括无穷间断点和振荡间断点。（四）初等函数的连续性例如：（五）闭区间上连续函数的性质几何意义：一段连续曲线必有最高点和最低点，相应地有最大值和最小值。 特别的，有如下推论（根的存在定理）高 等 数 学,梅挺 主编 中国水利水电出版社,第2章 导数与微分,主要内容 一、导数的概念 二、求导法则 三、函数的微分 四、中值定理、罗彼塔法则 五、利用导数研究函数的性态,极限反映在一定变化条件下函数的变化情况；,连续反映的是在这种变化下是否具备某种特定 的变化；,导数反映相对于自变量函数的变化快慢的程度；,微分反映自变量有微小变化时函数变化的多少,一、导数的概念,1、变化率问题举例,解：1）先求平均速度,2）再求瞬时速度,通过上例，再研究式（1）,（式1）,下面通过三个步骤，抽象出函数的增量与自变 量的增量之比的极限（当自变量增量趋于0时）。,平均变化率。,2、导数的定义,说明,解：,由以上两例， 类似地对幂函数 （ 是实数），有：,这是幂函数的导数公式。,同理：,即：,特别地， 时，有：,3、导数的几何意义,4、函数可导与连续的关系,反之，未必，即：连续不一定可导！,注意,函数可导则函数必连续，即：,二、求导法则,1、函数四则运算的求导法则,定理2.1的1）、2）可以推广到有限多个 函数的情形，如下：,例6 求函数 的导数。,解：,例7 ，求,注意,例8 求函数 的导数。,解：,例9 求函数 的导数。,解：,同理：,例10 求函数 的导数。,同理：,2、复合函数的求导法则,该法则说明复合函数之导数等于对各中间变量 导数的乘积,例11 求下列函数的导数,解：,课堂练习：,3、反函数的求导法则,即：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。,反函数与直接函数实际上是一个等式， 只是自变量因变量不同而已。,即：,特别地：,例13 已知函数 ， 求 。,即：,同理可得：,4、对数求导法,求这种函数的导数，常用对数求导法来解决。,，,续例16,5、隐函数求导法,1）先将隐函数显化后用以前的方法求导；,隐函数的求导方法有两种：,6、由参数方程所确定的函数的求导法,方法一：消去参数用前面的方法解。,如：,它可以看作是由,求导法则有：,这即是参数方程的求导公式：函数的导数等于 因变量与自变量分别对参数的导数之商。,2）幂函数的导数：,3）对数函数的导数：,4）正弦函数和余弦函数的导数 ：,7、初等函数的导数,5）正切函数和余切函数的导数 ：,，,，,6）正割函数和余割函数的导数 ：,7）指数函数的导数 ：,特别地：,8）反三角函数的导数 ：,8、高阶导数,解：,两个函数的和差积求高阶导数：,三、函数的微分,1、微分的定义,导数反映的是函数相对于自变量的变化快慢 的程度（变化率的大小），即： 当 时的极限。 微分是讨论自变量发生了很小变化的情况下 函数改变量 本身的。,如图，一块正方形金属薄片受温度变化的 影响时，其边长由 变化到 ， 问此薄片的面积改变了多少？,设此薄片的面积为 ，则 是边长 的函数 ，薄片受温度变化的影响时面积的 改变量为：,第一部分称为 的线性部分，它表示阴影面 积，是主要部分；,第二部分为 的高阶无穷小（若 ）， 是次要部分。,其中：,故可以用第一部分近似代替面积的 增量，即：,我们称这个近似值为面积S的微分， 记为,可表示为：,那么称函数 在点 是可微的。,续定义2.3,2、微分与导数的关系,结论：,于是， 又可以写成：,因此，当 很小时，可以用 作为 的近似值，即：,且,上式表明：自变量的微分等于自变量的改变量。,于是函数 的微分又可以记为：,上式表明函数的微分等于该函数的导数 与自变量微分的乘积。,上式两边除以 ，得：,注意,由微分定义可知，只要求出导数，微分也就求 出来了，因此，求微分的问题，可归结为求导 数的问题，故求导法又叫微分法。,3、微分的几何意义,函数在某点的微分等于曲线在 该点切线的纵坐标的增量。,4、微分的基本公式和运算法则,同样，可以根据函数的和、差、积、商的求导法 则，得到函数的和、差、积、商的求微分法则。,1）基本函数的微分公式,2）和、差、积、商运算法则,3）复合函数微分法则,由此，计算微分也可如下：,例24 设,解：,例25 设,解法一：,解法二：先求导，再写出微分表达式,即：,4）微分在近似求值中的应用,解：,例26,解：,例27,1.罗尔定理,四、中值定理、罗彼塔法则,（一）中值定理,证明：,（待续）,（续）,几何解释,例28,解,2.拉格朗日中值定理,几何解释,(如图),从上图可知:罗尔定理是该定理特例。,推论1,例29,证明,分析,引入：,3、柯西中值定理,定理2.6(柯西中值定理 ),其实：拉格朗日定理也是柯西中值定理的特例.,综上所述 ：,三个中值定理有从特殊到一般的关系。罗尔定理可视为拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理又可视为柯西中值定理的特例，但同时柯西中值定理也可视为拉格朗日中值定理的参数方程形式。因此，在应用中拉格朗日中值定理更为广泛,（二）罗彼塔法则,如：,1、,证明,例30,更进一步地:,解,例31,解,例32,解,如:,例33,解,例34,解,例35,解,注意：在利用罗彼塔法则的同时,也利用一些别的方法,如等价无穷小或重要极限等，可使运算变得更简捷.,例36,解,在使用罗彼塔法则求未定式的极限时，需要注意： 1)每次使用都需检验是否满足罗彼塔法则的条件； 2)随时化简，并注意同其它求极限方法并用；,五、利用导数研究函数的性态,（一）函数的单调性,如图：,反之，,则有如下定理：,定理2.8,理解,如：,例36,解,例37,解,小结讨论函数单调性的步骤：,A.求函数的定义域,找出无定义的点;,B.求函数的导数,找出驻点、不可导点;,C.以无定义点、驻点、不可导点为分界点分割定义域或所给区间;,D.按分割的不同分段逐一讨论.(对多项式情形可用穿针法),解,练习:,例38,分析：,例38,证明,这是一种非常典型的题目，须掌握其方法.,(二）函数极值、最值,1、极值,定义2.4,这样,理解 依定义,A.极值是一个局部概念，是函数局部范围内的最值，而不是区间或定义域内的最值；,B.极值不一定唯一；,C.对于极值点，仅有定义即可，不必连续或可导故极值点可能是间断点，不可导点，或导数为零的点，但不可能为端点（如图）,其中，,导数为零的点称为函数的驻点.,此外，从图中还可以看出：在函数取得极值的点处，若有切线（可导）的话，该切线是水平的；但是，有水平切线的点未必是极值点，这就有：,定理2.9,证明,那么如何判断某点是否取得极值呢？,注意,若二阶导不存在，或为零，或计算太复杂时，则用第一充分条件或定义判定。,根据上述介绍，求函数极值的步骤为：,例41 求函数 的极值。,待续,续例41,方法：,2、最值,解：,在实际应用中，若函数在区间（开， 闭，半开半闭）上可导且只有一个驻 点，并且在该点处函数取得极值，则 该极值便是最值；若是极大值则为最 大值，若是极小值，则为最小值。,可见：,（三）曲线的凹凸性,定义2.5：,凹的,凸的,凹的,凸的,定理2.12,曲线的凹凸性的判定方法：,解：,例43,一般地，判定函数凹凸性的步骤：,（1）求定义域； （2）求二阶导并令其为0，求其根； （3）以根为分界点分区间判定。,例44,解：,连续曲线凹凸性的分界点称之为曲线的拐点。,有关拐点的讨论：,拐点是曲线凹凸性的分界点，当然就意味着拐点两侧的凹凸性不同，即二阶导数符号不同。因此，曲线的拐点只能是二阶导数为0的点或者不存在的点。,由此，判定函数凹凸性的步骤：,（1）求定义域； （2）求二阶导等于0的点和不存在的点， 并用这些点将定义域分成若干开区间； （3）判别二阶导在每个开区间内的符号， 从而确定曲线的凹凸性，同时也确定 这些点是否拐点。,例45,解：,例46,解：,曲线的渐近线有三种： 垂直渐近线、水平渐近线、斜渐近线。,（四）函数曲线的渐近线,（五）函数图形的描绘的一般方法,例48,解,极小,拐点,极大,+,+,+,0,-,-,-,+,0,-,-,-,0,+,图 形,1,（4）,例48图：,例48图：,例48图：,例48图：,例49,解,拐点,极大,+,0,-,-,-,-,-,-,-,0,+,-,图形,-3,又,例49图,高 等 数 学梅挺 主编中国水利水电出版社第2章 导数与微分主要内容 一、导数的概念 二、求导法则 三、函数的微分 四、中值定理、罗彼塔法则 五、利用导数研究函数的性态极限反映在一定变化条件下函数的变化情况；连续反映的是在这种变化下是否具备某种特定的变化；导数反映相对于自变量函数的变化快慢的程度；微分反映自变量有微小变化时函数变化的多少一、导数的概念1、变化率问题举例解：1）先求平均速度2）再求瞬时速度通过上例，再研究式（1） （式1）下面通过三个步骤，抽象出函数的增量与自变量的增量之比的极限（当自变量增量趋于0时）。2、导数的定义说明这是幂函数的导数公式。3、导数的几何意义4、函数可导与连续的关系反之，未必，即：连续不一定可导！注意二、求导法则1、函数四则运算的求导法则定理2.1的1）、2）可以推广到有限多个函数的情形，如下：注意2、复合函数的求导法则该法则说明复合函数之导数等于对各中间变量导数的乘积3、反函数的求导法则即：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。反函数与直接函数实际上是一个等式，只是自变量因变量不同而已。同理可得：4、对数求导法 求这种函数的导数，常用对数求导法来解决。 ，续例165、隐函数求导法1）先将隐函数显化后用以前的方法求导；隐函数的求导方法有两种： 6、由参数方程所确定的函数的求导法方法一：消去参数用前面的方法解。 如： 这即是参数方程的求导公式：函数的导数等于因变量与自变量分别对参数的导数之商。 4）正弦函数和余弦函数的导数 ：7、初等函数的导数5）正切函数和余切函数的导数 ：6）正割函数和余割函数的导数 ：8）反三角函数的导数 ：8、高阶导数 两个函数的和差积求高阶导数： 三、函数的微分1、微分的定义其中：故可以用第一部分近似代替面积的增量，即：我们称这个近似值为面积S的微分，记为 可表示为：续定义2.32、微分与导数的关系结论：上式表明：自变量的微分等于自变量的改变量。注意由微分定义可知，只要求出导数，微分也就求出来了，因此，求微分的问题，可归结为求导数的问题，故求导法又叫微分法。3、微分的几何意义函数在某点的微分等于曲线在该点切线的纵坐标的增量。4、微分的基本公式和运算法则同样，可以根据函数的和、差、积、商的求导法则，得到函数的和、差、积、商的求微分法则。1）基本函数的微分公式 2）和、差、积、商运算法则3）复合函数微分法则由此，计算微分也可如下： 即：4）微分在近似求值中的应用解：解：1.罗尔定理 四、中值定理、罗彼塔法则（一）中值定理证明：（待续）（续）几何解释例28解2.拉格朗日中值定理 几何解释(如图) 从上图可知:罗尔定理是该定理特例。 例29证明分析引入：3、柯西中值定理定理2.6(柯西中值定理 )其实：拉格朗日定理也是柯西中值定理的特例.综上所述 ： 三个中值定理有从特殊到一般的关系。罗尔定理可视为拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理又可视为柯西中值定理的特例，但同时柯西中值定理也可视为拉格朗日中值定理的参数方程形式。因此，在应用中拉格朗日中值定理更为广泛 （二）罗彼塔法则如：1、证明例30更进一步地:解例31解例32解如:例33解例34解例35解注意：在利用罗彼塔法则的同时,也利用一些别的方法,如等价无穷小或重要极限等，可使运算变得更简捷. 例36解在使用罗彼塔法则求未定式的极限时，需要注意：1)每次使用都需检验是否满足罗彼塔法则的条件；2)随时化简，并注意同其它求极限方法并用；五、利用导数研究函数的性态（一）函数的单调性如图： 反之，则有如下定理：定理2.8理解如：例36 解 例37小结讨论函数单调性的步骤：A.求函数的定义域,找出无定义的点; B.求函数的导数,找出驻点、不可导点;C.以无定义点、驻点、不可导点为分界点分割定义域或所给区间; D.按分割的不同分段逐一讨论.(对多项式情形可用穿针法) 解练习:例38分析：例38这是一种非常典型的题目，须掌握其方法.(二）函数极值、最值 1、极值定义2.4这样理解 依定义A.极值是一个局部概念，是函数局部范围内的最值，而不是区间或定义域内的最值； B.极值不一定唯一； C.对于极值点，仅有定义即可，不必连续或可导故极值点可能是间断点，不可导点，或导数为零的点，但不可能为端点（如图） 其中，导数为零的点称为函数的驻点. 此外，从图中还可以看出：在函数取得极值的点处，若有切线（可导）的话，该切线是水平的；但是，有水平切线的点未必是极值点，这就有： 定理2.9证明那么如何判断某点是否取得极值呢？注意若二阶导不存在，或为零，或计算太复杂时，则用第一充分条件或定义判定。 根据上述介绍，求函数极值的步骤为： 待续续例41方法： 2、最值解：在实际应用中，若函数在区间（开，闭，半开半闭）上可导且只有一个驻点，并且在该点处函数取得极值，则该极值便是最值；若是极大值则为最大值，若是极小值，则为最小值。 （三）曲线的凹凸性定义2.5：凹的凸的凹的凸的定理2.12 曲线的凹凸性的判定方法：例43一般地，判定函数凹凸性的步骤：（1）求定义域；（2）求二阶导并令其为0，求其根；（3）以根为分界点分区间判定。 连续曲线凹凸性的分界点称之为曲线的拐点。 有关拐点的讨论： 拐点是曲线凹凸性的分界点，当然就意味着拐点两侧的凹凸性不同，即二阶导数符号不同。因此，曲线的拐点只能是二阶导数为0的点或者不存在的点。由此，判定函数凹凸性的步骤：（1）求定义域；（2）求二阶导等于0的点和不存在的点， 并用这些点将定义域分成若干开区间；（3）判别二阶导在每个开区间内的符号， 从而确定曲线的凹凸性，同时也确定 这些点是否拐点。 例45例46曲线的渐近线有三种：垂直渐近线、水平渐近线、斜渐近线。 （四）函数曲线的渐近线（五）函数图形的描绘的一般方法例48解极小拐点极大+0-+0-0+例48图：例48图：例48图：例48图：例49解拐点极大+0-0+-又例49图高 等 数 学,梅挺 主编 中国水利水电出版社,第3章 不定积分,主要内容: 一、不定积分的概念与性质 二、换元积分法 三、分部积分法 四、积分表的使用,1、原函数的定义,如：,又如：,一、不定积分的概念与性质,注意：,注意：,2、不定积分的定义,理解,计算方法：,不定积分的几何意义：,一个原函数对应于一条积分曲线； 不定积分对应于积分曲线簇 无穷多条积分曲线 被积函数对应于切线的斜率 同一横坐标处切线平行,解：,例1,例2,解：,解：,例3,3、不定积分的性质,即：,4、基本积分表,由于微、积分是互逆的两种运算，故利用导数公式，不难得到基本初等函数的积分公式。,解：,例4,答：,练习：,解：,例5,例6,解：,经验之一：,整理为“多项式”形式是解决只含有幂 函数的积分方法之一,解：,例7,例8,解：,经验之二：,当含有指数函数或对数函数时，尽可能 化为公式形式积分。,解：,例9,例10,解：,经验之三：,化有理式函数为“整式+真分式”是 一种必然的方法。,解：,例11,例12,解：,解：,例13,经验之四：,化弦、降次、利用恒等式是解决 三角函数积分的有效方法。,利用上节学过的内容我们无法计算该积分；,这类积分我们要用换元积分法。,换元积分法是把复合函数的微分法反过来， 利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法。,通常分为两类： 第一换元积分法和第二换元积分法,二、换元积分法,引问：,（一）第一换元积分法（凑微分法）,即：,注意,定理3.3,应用方法：,第一换元积分法的关键是： 通过引入中间变量 ，把被积表达式 凑成某个函数的微分，然后利用基本积分公式 求出结果，所以又称为凑微分法。,解：,例14,例15,解：,结论：,例16,例17,解：,解：,只要含有指数函数，就应当想法能否使 微分因子成为其指数。,经验：,解：,例18,方法的实质：,即：凑成的积分变量为复合函数的中间变量，使得凑出的结果：,A. 可利用积分公式，,B. 与原来的式子相等,凑,解：,类似地：,例19,解：,例20,类似地，可以得到：,解：,因式分解,例21,解：,当分母为不同类型的函数的乘积， 看看可否分离一部分到微分因子中。,经验：,例22,解：,经验：,当被积函数为三角函数的奇次方时，我们常分离出其中一个，放在微分因子中。,例23,解：,例24,解：,例25,解：,例26,解：,降次总是一种求三角函数积分的有效方法。,经验：,例27,解：,例28,解：,经验：,利用三角恒等式转化被积函数也是方法之一,例29,解：,例30,解：,例31,（二）第二换元积分法,但必须满足：,证明:,定理3.4（第二换元积分法）,根式代换法,例32,解：,例33,解：,（待续）,此时，为了计算其它三角函数值，可以借助辅助三角形（如右）。,续,解：,（待续）,例34,续,解：,（待续）,由上例可知,被积函数定义域为：xa或xa的情形,例35,续,三角代换法,思考x-a的情形,原式,辅助三角形,代换,其它函数值,倒代换法,解：,例36,对形如以下四种类型的积分采用倒代换法,解：,对数代换法,例37,解：,反三角代换法,例38,补 充 公 式,例39,例40,例41,例39,解：,例40,解：,例41,解：,例42,倒代换后利用补充公式：,解：,原式,三、分部积分法,称之为分部积分公式。,例43,分析：,解：,同理：,例43,结论：,解：,例44,例45,解：,幂函数与指数函数、正余弦函数乘积 的积分，若用分部积分法，则,类型,一般地，,练习：,答：,解：,例46,类型,一般地：,解：,例47,解：,例48,一般地：,类型,解：,例49,练习题：,1、,2、,3、,4、,解：,返回,练习,解：,返回,练习,解：,返回,练习,解：,返回,练习,四、积分表的使用,通过前面的讨论，可以看出积分运算要比导数 运算复杂，为了使用方便，把常用的一些不定 积分公式汇集成表，称为积分表。 积分表按照被积函数的类型排列于书后附录中。 求不定积分时，可根据被积函数的类型直接或 经过简单变形后，在表内查得其结果。,1、直接查表,例50 查表求,例51 查表求,例52 查表求,2、先代换后查表,例53 查表求,（待续）,（续）,3、用递推公式,例54 查表求,例55 查表求,高 等 数 学梅挺 主编中国水利水电出版社第3章 不定积分主要内容: 一、不定积分的概念与性质 二、换元积分法 三、分部积分法 四、积分表的使用1、原函数的定义 一、不定积分的概念与性质注意：注意：2、不定积分的定义理解计算方法：不定积分的几何意义：一个原函数对应于一条积分曲线；不定积分对应于积分曲线簇 无穷多条积分曲线被积函数对应于切线的斜率 同一横坐标处切线平行解：例1例2解：解：例33、不定积分的性质4、基本积分表 由于微、积分是互逆的两种运算，故利用导数公式，不难得到基本初等函数的积分公式。解：例4答：练习：解：例5解：经验之一：整理为“多项式”形式是解决只含有幂函数的积分方法之一 解：例7例8解：经验之二：当含有指数函数或对数函数时，尽可能化为公式形式积分。 解：例9例10解：经验之三：化有理式函数为“整式+真分式”是一种必然的方法。 解：例11例12解：解：例13经验之四：化弦、降次、利用恒等式是解决三角函数积分的有效方法。 利用上节学过的内容我们无法计算该积分；这类积分我们要用换元积分法。换元积分法是把复合函数的微分法反过来，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法。通常分为两类：第一换元积分法和第二换元积分法二、换元积分法引问：（一）第一换元积分法（凑微分法） 即：注意应用方法：解： 例14例15解： 结论：例16例17解：解： 只要含有指数函数，就应当想法能否使 微分因子成为其指数。 经验：解：例18方法的实质：即：凑成的积分变量为复合函数的中间变量，使得凑出的结果：A. 可利用积分公式，B. 与原来的式子相等解：类似地：例19解：例20类似地，可以得到：解：因式分解例21解： 当分母为不同类型的函数的乘积， 看看可否分离一部分到微分因子中。 经验：例22解：经验： 当被积函数为三角函数的奇次方时，我们常分离出其中一个，放在微分因子中。 例23解：例24解：例25解：例26解：降次总是一种求三角函数积分的有效方法。 经验：例27解：例28解：经验：利用三角恒等式转化被积函数也是方法之一 例29解：例30解：例31（二）第二换元积分法但必须满足：证明:定理3.4（第二换元积分法）根式代换法例32解：例33 解： （待续） 此时，为了计算其它三角函数值，可以借助辅助三角形（如右）。 续解：（待续） 例34 续解：（待续） 由上例可知被积函数定义域为：xa或xa的情形例35 续三角代换法思考x-a的情形辅助三角形代换其它函数值倒代换法解：例36 对形如以下四种类型的积分采用倒代换法解：对数代换法例37 解：反三角代换法例38 补 充 公 式例39例40例41例39解：例40解：例41解：例42倒代换后利用补充公式：解：三、分部积分法称之为分部积分公式。例43 分析： 解：同理：例43 结论：解：例44 例45解： 幂函数与指数函数、正余弦函数乘积的积分，若用分部积分法，则类型一般地， 练习： 答： 解：例46 类型一般地：解：例47 解：例48 一般地：类型解：例49 练习题：1、2、3、4、解：返回练习解：返回练习解：返回练习解：返回练习四、积分表的使用通过前面的讨论，可以看出积分运算要比导数运算复杂，为了使用方便，把常用的一些不定积分公式汇集成表，称为积分表。积分表按照被积函数的类型排列于书后附录中。求不定积分时，可根据被积函数的类型直接或经过简单变形后，在表内查得其结果。 1、直接查表 2、先代换后查表 （待续）（续）3、用递推公式 高 等 数 学,梅挺 主编 中国水利水电出版社,第4章 定积分及其应用,主要内容: 一、定积分的概念与性质 二、微积分学基本定理 三、定积分的计算 四、定积分在几何中的应用 五、定积分在其他方面的应用 六、广义积分,一、定积分的概念与性质,面积 S=？,S1,S2,=？,引例1 求曲边梯形的面积,（一）两个引例,引例1 求曲边梯形的面积,引例1 求曲边梯形的面积, 分割（化整为零）,引例1 求曲边梯形的面积, 取近似(不变代变),引例1 求曲边梯形的面积, 求和(积零为整),引例1 求曲边梯形的面积, 取极限(无限逼近),引例1 求曲边梯形的面积,引例2 变速直线运动的路程,基本思想：,引例2 变速直线运动的路程,引例2 变速直线运动的路程,综上二例:,分割 (化整为零),取近似 (不变代变),求和 (积零为整),取极限 (无限逼近),1、定义,（二）定积分的定义,其中：,：积分和,：积分区间,：积分变量,：被积表达式,：积分号,注意：,1）极限存在时，定积分为一个确定的数， 仅与被积函数与积分区间有关，与字母的 选取无关。即：,引例1：,引例2：,定理4.1：,定理4.2：,2、可积条件,3、几何意义,例1,所以,规定：,性质1,性质2,性质3,4、定积分的性质,性质5,推论1,推论2,性质4,如：,性质6（估值定理）,证明：,性质7（定积分中值定理）
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