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大学 高等数学 梅挺 课件 ppt

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高 等 数 学梅挺 主编中国水利水电出版社第3章 不定积分主要内容: 一、不定积分的概念与性质 二、换元积分法 三、分部积分法 四、积分表的使用1、原函数的定义 一、不定积分的概念与性质注意：注意：2、不定积分的定义理解计算方法：不定积分的几何意义：一个原函数对应于一条积分曲线；不定积分对应于积分曲线簇 无穷多条积分曲线被积函数对应于切线的斜率 同一横坐标处切线平行解：例1例2解：解：例33、不定积分的性质4、基本积分表 由于微、积分是互逆的两种运算，故利用导数公式，不难得到基本初等函数的积分公式。解：例4答：练习：解：例5解：经验之一：整理为“多项式”形式是解决只含有幂函数的积分方法之一 解：例7例8解：经验之二：当含有指数函数或对数函数时，尽可能化为公式形式积分。 解：例9例10解：经验之三：化有理式函数为“整式+真分式”是一种必然的方法。 解：例11例12解：解：例13经验之四：化弦、降次、利用恒等式是解决三角函数积分的有效方法。 利用上节学过的内容我们无法计算该积分；这类积分我们要用换元积分法。换元积分法是把复合函数的微分法反过来，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法。通常分为两类：第一换元积分法和第二换元积分法二、换元积分法引问：（一）第一换元积分法（凑微分法） 即：注意应用方法：解： 例14例15解： 结论：例16例17解：解： 只要含有指数函数，就应当想法能否使 微分因子成为其指数。 经验：解：例18方法的实质：即：凑成的积分变量为复合函数的中间变量，使得凑出的结果：A. 可利用积分公式，B. 与原来的式子相等解：类似地：例19解：例20类似地，可以得到：解：因式分解例21解： 当分母为不同类型的函数的乘积， 看看可否分离一部分到微分因子中。 经验：例22解：经验： 当被积函数为三角函数的奇次方时，我们常分离出其中一个，放在微分因子中。 例23解：例24解：例25解：例26解：降次总是一种求三角函数积分的有效方法。 经验：例27解：例28解：经验：利用三角恒等式转化被积函数也是方法之一 例29解：例30解：例31（二）第二换元积分法但必须满足：证明:定理3.4（第二换元积分法）根式代换法例32解：例33 解： （待续） 此时，为了计算其它三角函数值，可以借助辅助三角形（如右）。 续解：（待续） 例34 续解：（待续） 由上例可知被积函数定义域为：xa或xa的情形例35 续三角代换法思考x-a的情形辅助三角形代换其它函数值倒代换法解：例36 对形如以下四种类型的积分采用倒代换法解：对数代换法例37 解：反三角代换法例38 补 充 公 式例39例40例41例39解：例40解：例41解：例42倒代换后利用补充公式：解：三、分部积分法称之为分部积分公式。例43 分析： 解：同理：例43 结论：解：例44 例45解： 幂函数与指数函数、正余弦函数乘积的积分，若用分部积分法，则类型一般地， 练习： 答： 解：例46 类型一般地：解：例47 解：例48 一般地：类型解：例49 练习题：1、2、3、4、解：返回练习解：返回练习解：返回练习解：返回练习四、积分表的使用通过前面的讨论，可以看出积分运算要比导数运算复杂，为了使用方便，把常用的一些不定积分公式汇集成表，称为积分表。积分表按照被积函数的类型排列于书后附