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高 等 数 学,梅挺 主编 中国水利水电出版社,第2章 导数与微分,主要内容 一、导数的概念 二、求导法则 三、函数的微分 四、中值定理、罗彼塔法则 五、利用导数研究函数的性态,极限反映在一定变化条件下函数的变化情况；,连续反映的是在这种变化下是否具备某种特定 的变化；,导数反映相对于自变量函数的变化快慢的程度；,微分反映自变量有微小变化时函数变化的多少,一、导数的概念,1、变化率问题举例,解：1）先求平均速度,2）再求瞬时速度,通过上例，再研究式（1）,（式1）,下面通过三个步骤，抽象出函数的增量与自变 量的增量之比的极限（当自变量增量趋于0时）。,平均变化率。,2、导数的定义,说明,解：,由以上两例， 类似地对幂函数 （ 是实数），有：,这是幂函数的导数公式。,同理：,即：,特别地， 时，有：,3、导数的几何意义,4、函数可导与连续的关系,反之，未必，即：连续不一定可导！,注意,函数可导则函数必连续，即：,二、求导法则,1、函数四则运算的求导法则,定理2.1的1）、2）可以推广到有限多个 函数的情形，如下：,例6 求函数 的导数。,解：,例7 ，求,注意,例8 求函数 的导数。,解：,例9 求函数 的导数。,解：,同理：,例10 求函数 的导数。,同理：,2、复合函数的求导法则,该法则说明复合函数之导数等于对各中间变量 导数的乘积,例11 求下列函数的导数,解：,课堂练习：,3、反函数的求导法则,即：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。,反函数与直接函数实际上是一个等式， 只是自变量因变量不同而已。,即：,特别地：,例13 已知函数 ， 求 。,即：,同理可得：,4、对数求导法,求这种函数的导数，常用对数求导法来解决。,，,续例16,5、隐函数求导法,1）先将隐函数显化后用以前的方法求导；,隐函数的求导方法有两种：,6、由参数方程所确定的函数的求导法,方法一：消去参数用前面的方法解。,如：,它可以看作是由,求导法则有：,这即是参数方程的求导公式：函数的导数等于 因变量与自变量分别对参数的导数之商。,2）幂函数的导数：,3）对数函数的导数：,4）正弦函数和余弦函数的导数 ：,7、初等函数的导数,5）正切函数和余切函数的导数 ：,，,，,6）正割函数和余割函数的导数 ：,7）指数函数的导数 ：,特别地：,8）反三角函数的导数 ：,8、高阶导数,解：,两个函数的和差积求高阶导数：,三、函数的微分,1、微分的定义,导数反映的是函数相对于自变量的变化快慢 的程度（变化率的大小），即： 当 时的极限。 微分是讨论自变量发生了很小变化的情况下 函数改变量 本身的。,如图，一块正方形金属薄片受温度变化的 影响时，其边长由 变化到 ， 问此薄片的面积改变了多少？,设此薄片的面积为 ，则 是边长 的函数 ，薄片受温度变化的影响时面积的 改变量为：,第一部分称为 的线性部分，它表示阴影面 积，是主要部分；,第二部分为 的高阶无穷小（若 ）， 是次要部分。,其中：,故可以用第一部分近似代替面积的 增量，即：,我们称这个近似值为面积S的微分， 记为,可表示为：,那么称函数 在点 是可微的。,续定义2.3,2、微分与导数的关系,结论：,于是， 又可以写成：,因此，当 很小时，可以用 作为 的近似值，即：,且,上式表明：自变量的微分等于自变量的改变量。,于是函数 的微分又可以记为：,上式表明函数的微分等于该函数的导数 与自变量微分的乘积。,上式两边除以 ，得：,注意,由微分定义可知，只要求出导数，微分也就求 出来了，因此，求微分的问题，可归结为求导 数的问题，故求导法又叫微分法。,3、微分的几何意义,函数在某点的微分等于曲线在 该点切线的纵坐标的增量。,4、微分的基本公式和运算法则,同样，可以根据函数的和、差、积、商的求导法 则，得到函数的和、差、积、商的求微分法则。,1）基本函数的微分公式,2）和、差、积、商运算法则,3）复合函数微分法则,由此，计算微分也可如下：,例24 设,解：,例25 设,解法一：,解法二：先求导，再写出微分表达式,即：,4）微分在近似求值中的应用,解：,例26,解：,例27,1.罗尔定理,四、中值定理、罗彼塔法则,（一）中值定理,证明：,（待续）,（续）,几何解释,例28,解,2.拉格朗日中值定理,几何解释,(如图),从上图可知:罗尔定理是该定理特例。,推论1,例29,证明,分析,引入：,3、柯西中值定理,定理2.6(柯西中值定理 ),其实：拉格朗日定理也是柯西中值定理的特例.,综上所述 ：,三个中值定理有从特殊到一般的关系。罗尔定理可视为拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理又可视为柯西中值定理的特例，但同时柯西中值定理也可视为拉格朗日中值定理的参数方程形式。因此，在应用中拉格朗日中值定理更为广泛,（二）罗彼塔法则,如：,1、,证明,例30,更进一步地:,解,例31,解,例32,解,如:,例33,解,例34,解,例35,解,注意：在利用罗彼塔法则的同时,也利用一些别的方法,如等价无穷小或重要极限等，可使运算变得更简捷.,例36,解,在使用罗彼塔法则求未定式的极限时，需要注意： 1)每次使用都需检验是否满足罗彼塔法则的条件； 2)随时化简，并注意同其它求极限方法并用；,五、利用导数研究函数的性态,（一）函数的单调性,如图：,反之，,则有如下定理：,定理2.8,理解,如：,例36,解,例37,解,小结讨论函数单调性的步骤：,A.求函数的定义域,找出无定义的点;,B.求函数的导数,找出驻点、不可导点;,C.以无定义点、驻点、不可导点为分界点分割定义域或所给区间;,D.按分割的不同分段逐一讨论.(对多项式情形可用穿针法),解,练习:,例38,分析：,例38,证明,这是一种非常典型的题目，须掌握其方法.,(二）函数极值、最值,1、极值,定义2.4,这样,理解 依定义,A.极值是一个局部概念，是函数局部范围内的最值，而不是区间或定义域内的最值；,B.极值不一定唯一；,C.对于极值点，仅有定义即可，不必连续或可导故极值点可能是间断点，不可导点，或导数为零的点，但不可能为端点（如图）,其中，,导数为零的点称为函数的驻点.,此外，从图中还可以看出：在函数取得极值的点处，若有切线（可导）的话，该切线是水平的；但是，有水平切线的点未必是极值点，这就有：,定理2.9,证明,那么如何判断某点是否取得极值呢？,注意,若二阶导不存在，或为零，或计算太复杂时，则用第一充分条件或定义判定。,根据上述介绍，求函数极值的步骤为：,例41 求函数 的极值。,待续,续例41,方法：,2、最值,解：,在实际应用中，若函数在区间（开， 闭，半开半闭）上可导且只有一个驻 点，并且在该点处函数取得极值，则 该极值便是最值；若是极大值则为最 大值，若是极小值，则为最小值。,可见：,（三）曲线的凹凸性,定义2.5：,凹的,凸的,凹的,凸的,定理2.12,曲线的凹凸性的判定方法：,解：,例43,一般地，判定函数凹凸性的步骤：,（1）求定义域； （2）求二阶导并令其为0，求其根； （3）以根为分界点分区间判定。,例44,解：,连续曲线凹凸性的分界点称之为曲线的拐点。,有关拐点的讨论：,拐点是曲线凹凸性的分界点，当然就意味着拐点两侧的凹凸性不同，即二阶导数符号不同。因此，曲线的拐点只能是二阶导数为0的点或者不存在的点。,由此，判定函数凹凸性的步骤：,（1）求定义域； （2）求二阶导等于0的点和不存在的点， 并用这些点将定义域分成若干开区间； （3）判别二阶导在每个开区间内的符号， 从而确定曲线的凹凸性，同时也确定 这些点是否拐点。,例45,解：,例46,解：,曲线的渐近线有三种： 垂直渐近线
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