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大学 高等数学 梅挺 课件 ppt

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高 等 数 学梅挺 主编中国水利水电出版社第1章 函数和极限主要内容: 一、函数 二、极限 三、函数的连续性一、函 数（一）函数的概念1、变量与常量常量：在某一过程中保持一定数值的量，常用字母a,b,c，来表示；变量：在某一过程中可以取不同数值的量，常用字母x,y,z, 来表示。注意：常量与变量并非是绝对的2、函数的概念设x和y是同一变化过程中的两个变量，如果对于变量x的每一个允许的取值，变量y按照一定规律总有一个确定的值与之对应，则称变量x是变量y的函数，变量x称为自变量， y又称为因变量，记为：y=f (x)值 域：所有函数值的集合称为函数的值域定义域：自变量的所有允许值的集合称为函数 的定义域，通常用区间来表示关于函数定义的几点说明：（3）函数常用的表示法：（1）构成函数的要素有两个：定义域与对应规律如果函数的定义域相同，对应规律也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的。（2）函数的定义域通常按以下两种情形来确定：在实际问题中，函数的定义域由问题的实际意义来确定；如果函数是由没有明确指出范围的数学表达式给出的，那么函数的定义域就是指使表达式有意义的一切的自变量的集合。解析法、图像法和列表法等。1、定义域由两个方面来确定：注意：2、定义域和对应规律/法则是判断两个函数是否相同的根据 1)根据函数的表达式的意义而确定，称为 自然定义域2)根据问题的实际意义确定例如：（二）函数的几种特性1、单值性与多值性对于自变量的每一个取值，函数y有唯一确定的一个值与之对应，这样的函数称为单值函数，否则称为多值函数。 例如，2、函数的单调性例如：3、函数的奇偶性例如：1.偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的关于原点对称 2.判定函数的奇偶性首先看其定义域关于原点对称否 注意4、函数的周期性5、函数的有界性如：（三）复合函数类似地，可以定义多于两重复合关系的复合函数复合函数的求解难点：合成与分解对于复合函数的合成与分解注意以下几点 ：如:1、对复合函数的分解一定要彻底2、分解标准是：分解成六类基本初等函数的 四则运算3、内层函数的值域必须为外层函数定义域的 子集，否则不能构成复合函数（四）初等函数1、基本初等函数以上六类函数称为基本初等函数. A.常函数 B.幂函数 B.幂函数 C.指数函数D.对数函数E.三角函数E.三角函数E.三角函数F.反三角函数F.反三角函数2、初等函数例如：由基本初等函数经过有限次四则运算以及函数复合所得到的仅用一个解析式表达的函数，称为初等函数。注意 分段函数： 有些函数，对于其定义域内自变量不同的值， 不能用一个统一的解析式表示，而要用两个或 两个以上的式子表示，这类函数称为分段函数。分段函数是一个函数，而不是两个或几个函数分段函数是初等函数吗？问题二、极 限（一）极限的概念1、x时函数的极限x时函数的极限定义说明说明比如：从而2、xx0时函数的极限xx0时函数的极限定义说明说明也可以从函数的图像上明确地看出该函数的极限不存在 讨论：结论：二者定义域不同，但是极限相等，都为2。所以，函数在无定义的点的极限值可能存在，要区别求极限与求函数值。（二）极限的四则运算说明 解：分段函数分段点左、右的函数解析表达式不同，因此在求分段函数分段点极限的时候一定要考虑其左、右极限。 （三）两个重要极限 （四）无穷小量与无穷大量1、定义注意讨论：对比无穷小量与无穷小的量，二者是一个概念吗？2、相关定理说明说明3、无穷小的比较与阶无穷小的比较与阶三、函数的连续性微积分学所研究的函数主要是连续函数。我们现在要研究的就是用极限来描述函数连续的定义。当我们把函数y=f(x)用它的图像来表示时，就会发现有的函数曲线的大部分是连续不断的，只是在某些地方是断开的。例如：函数在x=0是断开的，在-1，1的其它地方是连续不断的。因此，我们可以认为，如果一个函数的图像在某一区间上是连续不断的，那么就称这个函数在这一区间上是连续的。为了精确地描述函数连续的概念，先引进函数增量的概念。1、函数的增量说明（一）函数的连续性2、函数连续性的概念上式表明：连续函数求极限时，极限符号可以和函数符号交换次序。几何意义：区间上的连续函数为一条没有任何间断的曲线。（三）函数的间断点第一类间断点包括三种情况： 第二类间断点：除第一类间断点之外的间断点；或者说左右极限中至少有一个不存在的间断