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积分
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大学高等数学-梅挺-课件PPT,大学,高等数学,梅挺,课件,ppt
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高 等 数 学梅挺 主编中国水利水电出版社第4章 定积分及其应用主要内容: 一、定积分的概念与性质 二、微积分学基本定理 三、定积分的计算 四、定积分在几何中的应用 五、定积分在其他方面的应用 六、广义积分一、定积分的概念与性质面积 S=?S1S2=?引例1 求曲边梯形的面积 曲边梯形:由三条直线段(其中二条平行且与第三条垂直(底边)和一条曲线段(称之为曲边,且与二平行线段有且仅有一个交点)所围成的图形,称之为曲边梯形。如左图 abBA(一)两个引例引例1 求曲边梯形的面积 引例1 求曲边梯形的面积 分割(化整为零)引例1 求曲边梯形的面积 取近似(不变代变)引例1 求曲边梯形的面积 求和(积零为整)引例1 求曲边梯形的面积 取极限(无限逼近)引例1 求曲边梯形的面积 引例2 变速直线运动的路程基本思想:引例2 变速直线运动的路程引例2 变速直线运动的路程综上二例:分割(化整为零)取近似(不变代变)求和(积零为整)取极限(无限逼近)1、定义(二)定积分的定义其中:注意:1)极限存在时,定积分为一个确定的数,仅与被积函数与积分区间有关,与字母的选取无关。即:引例1:引例2:定理4.1: 定理4.2: 2、可积条件3、几何意义例1规定:性质1性质2性质34、定积分的性质性质5推论1推论2性质4如:性质6(估值定理)证明:性质7(定积分中值定理)任何一个曲边梯形的面积,总有一个与它是相同底的矩形与之面积相等(如下图) 几何上积分中值定理表示:二、微积分学基本定理 (一)积分上限函数及其导数积分上限函数具有以下性质:该定理说明: 更进一步地:证明:利用定积分性质、变上限函数性质以及复合函数求导法则证明。解:例2证: 例3注意: 例5 常记为:方法:(二)牛顿莱布尼兹公式解:例7解:例8解:例6解:例9三、定积分的计算方法由牛顿莱布尼兹公式可知,计算定积分的问题转化为求不定积分的问题。上一章学习了不定积分的换元、分部积分法,相应地,定积分也有换元、分部积分法。 1、换元积分法注意:例10解: 解:换元换限,不换元则不换限例12 注意:证明:例15续此结论广泛应用于以后的计算中。 2、定积分的分部积分法 于是,例17解:解:例18四、定积分在几何中的应用对于定积分的应用,关键在于微元法。那么什么是微元法呢?简单地说,就是怎样把一个所求量表示成定积分的分析方法。回顾本章第一节中讨论的引例 :1、微元法步骤:为了便于应用,取消这里的下标 i ,同时 事实上,即:可见, 步骤:例19法12、直角坐标系下平面图形的面积法2法1,如图例20法2,如图 由于所求面积具有对称性,所以选取第一象限进行计算 解:例21一般地,求图形的面积通常有以下各种情形: 方法:上下方法:右左须拆分成两部分或多部分进行计算选取积分变量,以可以进行积分运算、分割部分区域尽量少为原则。 旋转体: 由一平面图形绕这个平面内的一条直线旋转一周而成的立体. 圆锥、圆柱、圆台、球体等到分别由三角形、矩阵、梯形、半圆等旋转而成 如:3、旋转体的体积讨论:同理:注意:解:例22解:例23五、定积分在其他方面的应用要求一组离散数据的平均值并不难,比如一个球队的平均身高、一个班的平均成绩等等。但对于一个连续函数来说,用这样的方法则不行。比如要求一昼夜间的平均气温、变速直线运动的平均速度、交流电在一个周期内的平均电流等等。这类问题也可以利用微元法的思想来解决。1、函数的平均值即有公式:解:例24例25 讨论:2、定积分在物理学中的应用1)功例26(待续)(续)例27(待续)(续)注意解题关键在于:2)液体静压力如果平板垂直放置在液体中,由于深度不同,液体的压强也就不同,平板一侧所受的压力就不能用上述方法来计算。这仍然是一个定积分的应用问题。 底边为4米,高为3米的任意三角形薄板,垂直地浸入水中,顶点在上,底边与水平面平行,且底边距水平面4米(如图)。求此三角形薄板单侧所受的压力。 例28解:取水平面为 y 轴,取 x 轴垂直向下且过三角形薄板顶点建立直角坐标系(如上图所示)。 (待续)(续)所以三角形薄板单侧所受的压力 在一临床试验中,先让病人禁食,以便降低体内的血糖含量,然后注射大量的葡萄糖,经测定血液中胰岛素浓度符合下列函数:例29血液中胰岛素的平均浓度。 3、定积分在医学上的应用4、定积分在经济学上的应用 例30所以第一个五年的
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