（应用数学专业论文）非线性微分方程边值问题的解(1).pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 摘要 随着科学技术的不断发展，各种各样的非线性问题已日益引起人们的广泛关 注，非线性分析已成为现代数学中的重要研究方向之一而非线性泛函分析是非 线性分析中的一个重要分支，因其能很好地解释自然界中的各种各样的自然现象 受到了国内外数学界和自然科学界的重视非线性微分方程边值问题源于应用数 学，物理学，控制论等各种应用学科中，是目前非线性泛函分析中研究最为活跃 的领域之一本文利用拓扑度理论，l e r a y - s c h a u d e r 定理研究了几类非线性奇异 微分方程边值问题的解 本文共分为三章： 在第一章中，利用拓扑度定理并且结合特征值，讨论了四阶非线性奇异s t u r m - l i o u v i l l e 微分方程的半正边值问题 fu ( 4 ) ( t ) = ( t ) ，( t ，u ( t ) ，u ( 吼0 1 ， a l 乱( o ) 一风乱7 ( o ) = 6 l u ( 1 ) - i - 一、l u 7 ( 1 ) = 0 ， ( 1 1 1 ) 【a 2 ( o ) 一励让胛( o ) = 如u ( 1 ) + y 2 u w ( 1 ) = 0 ， 其中危( ) 允许在= 0 和t = l 奇异而且f ( t ，z ，y ) ： 0 ，1 】r 2 _ r 是一个变号 的连续函数我们得到了边值问题( 1 1 1 ) 非平凡解的存在性 在第二章中，利用l e r a y - s c h a u d e r 定理，讨论了如下二阶和分数阶奇异微分 方程组边值问题正解的存在性： lu ( t ) + a 1 ( t ) ，( 岛d ”口( ) ，u ( ) ) + b ( t ) = 0 ，0 t 1 ， d a ( t ) + 口2 ( t ) 夕( t ，u ( t ) ) = 0 ，0 t 1 ， ( 2 l 1 ) 【仳( o ) = u ( 1 ) = v ( o ) = v ( 1 ) = 0 ， 其中1 o c 0 ，口一l ，a l ( t ) ，a 2 ( t ) 允许在t = 0 或t = 1 奇异而 且，： 0 ，1 】xr 酞+ 一乏+ 和g ： 0 ，1 】r + _ r + 是连续函数， b ：( 0 ，1 ) _ r 是 l e b e s g u e 可积的从而得到了奇异微分方程组问题( 2 1 1 ) 的正解 在第三章中，利用拓扑度方法，在与相应线性算子的第一特征值相关条件下， 得到了一类含参数四阶积分边值问题非平凡解的存在性所得结果推广了相关文 献中的结论 关键词：奇异四阶边值问题；变号；特征值；非平凡解；拓扑度；微 曲阜师范大学硕士学位论文 分方程组；分数阶；积分边值问题；谱半径；不动点 曲阜师范大学硕士学位论文 _-_-_l_-_-_-_-_h_-_一 a b s tr a c t a l o n gw i t hs c i e n c e sa n dt e c h n o l o g y sd e v e l o p m e n t ，v a r i o u sn o n l i n e a rp r o b l e mh a sa r o u e dp e o p l e sw i d e s p r e a di n t e r e s td a yb yd a y , a n ds ot h en o n l i n e a r a n m y s i sh a sb e c o m eo n ei m p o r t a n tr e s e a r c hd i r e c t i o n si nm o d e r nm a t h e m a t i c s t h en o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i si sa ni m p o r t a n tb r a n c hi nn o n l i n e a ra n a l y s i s ， b e c a u s ei tc a ne x p l a i nw e l lv a r i o u st h en a t u r a lp h e n o m e n o n t h eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mo fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o ns t e m sf r o mt h ea p p l i e dm a t h e m a t i c s ， t h ep h y s i c s ，t h ec y b e r n e t i c sa n de a c hk i n do fa p p l i c a t i o nd i s c i p l i n e i ti so n eo f m o s ta c t i v ed o m a i n so ff u n c t i o n a la n a l y s i ss t u d i e s i na tp r e s e n t i nt h i s p a p e r ， w eu s et h et o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r ya 8w e l la st h cl e r a y - s c h a u d e rt h e o r y , t o s t u d ys e v e r a lk i n d so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rn o n l i n e a rs i n g u l a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 ，w eu s et h et o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r yt oi n v e s t i g a t et h e f o l l o w i n g s i n g u l a rf o u r t h - o r d e rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t has i g n - c h a n g i n gn o n l i n e a r t e r mi nb a n a c hs p a c e s ( 1 1 1 ) w h e r eh ( t ) i sa l l o w e dt ob es i n g u l a ra tt = 0 a n d o rt = 1 m o r e o v e r ，( t ，z ，y ) ： 0 ，1 r 2 _ ri sas i g n - c h a n g i n gc o n t i n u o u sf u n c t i o n w eo b t a i nt h ee x i s t e n c e o fn o n t r i v i a ls o l u t i o nf o rs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( 1 1 1 ) i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs e c o n d - o r d e ra n df r a c t i o n a l o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o ns y s - t e r n sb yl e r a y - s c h a u d e rt h e o r e m f ( t ) + a l ( t ) f ( t ，d ( t ) ，u ( ) ) + 6 ( t ) = 0 ，0 t 1 ， id a v ( t ) + a 2 ( t ) g ( t ，u ( t ) ) = 0 ，0 t 1 ， iu ( o ) = 钆( 1 ) = 0 ， 【u ( o ) = ( 1 ) = 0 ， ( 2 1 1 ) l ， = 加d k f | u d i 2 o 7o”耽+ d 1 u 吣 以 = 以 | | 珀邗 d u 咖州伽 = 一 卜0 m 班 由阜师范大学硕士学位论文 w h e r e1 口 0 ，o t 一工1 ，a i c ( ( o ，1 ) ，r + ) ( i = 1 ，2 ) ，a i ( t ) i s a l l o w e dt ob es i n g u l a ra tt = 0a n d o rt = 1 ，： 0 ，1 r r + _ r + a n d g ：【0 ，1 】xr + 一r + a r ec o n t i n u o u s ，b ：( 0 ，1 ) _ ri sl e b e s g u ei n t e g r a b l ea n d m a yh a v ef i n i t e l ym a n ys i n g u l a r i t i e si n o ，1 】 i nc h a p t e r3 ，t h i sp a p e rc o n s i d e r e dt h ee x i s t e n c eo fn o n t r i v i a ls o l u t i o n sf o r ac l a s so ff o u r t h - o r d e ri n t e g r a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw i t hp a r a m e t e r s1 1 1 1 - d e rs o r d es u i t a b l ec o n d i t i o n sc o n c e r n i n gt h ef i r s te i g e n v a l u eo ft h e c o r r e s p o n d i n g l i n e a ro p e r a t o r t h em a i nt o o lo ft h i sp a p e ri st o p o l o g i c a ld e g r e e t h er e s u l t s p r e s e n t e dh e r ei m p r o v ea n dg e n e r a l i z es o m ek n o w nr e s u l t s k e y w o r d s ：s i n g u l a rf o u r t h - o r d e rb v p s ；s i g n - c h a n g i n g ；e i g e n v a l u e ；n o n t r i v - i a ls o l u t i o n ；t o p o l o g i c a ld e g r e e ；d i f f e r e n t i a ls y s t e m s ；f r a c t i o n a lo r d e r ；i n t e g r a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；s p e c t r a lr a d i u s ；f i x e dp o i n t u 曲阜师范大学硕士学位论文 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文非线性微分方程边值问题的解， 是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取 得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果对本文 的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注明本声明 的法律结果将完全由本人承担 作者签名蕙丈翟咿砷。 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 非线性微分方程边值问题的解系本人在曲阜师范大学攻读硕士学位期 间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大学所有， 本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师范大学关于 保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电 子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他 复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 作者签名箍爻楚日期：如巧彳 一名。刁匆啉7 - 第一章半正四阶非线性奇异s t u r m l i o u v i l l e 边值问题 本文的主要目的是建立以下带有变号项的奇异边值问题的非平凡解的存在性： f “( 4 ( ) 一h ( t ) f ( t ，“( ) ，u ( z ) ) ，0 t 0 ( i = l ，2 ) ， ，： 0 ，1 】r 2 一r 是一个连续函数，( t ，z ，y ) 关于z 和矽是变号的，h ： ( 0 ，1 ) 一r + 是连续，且在t = 0 和t = t 是奇异的，其中酞= ( 一。，+ o 。) ，r + = 【o ，+ 。) ，r 一= ( 一。) ，o 】 近年来，许多作者研究了四阶奇异边值问题的正解的存在性，其中的非线性 项是非负值 1 - 5 在 6 】中，张，刘和姜研究了以下的s t u r m - l i o u v i l l e 边值问题： fu ( 4 ( ) = a ( t ) f ( t ，钆( z ) ，u ( t ) ) + 6 ( t ) ，0 t 1 ， a l u ( o ) 一p l u ，( 0 ) = 5 1 u ( 1 ) 十v l u ，( 1 ) = o ， iq 2 钆( o ) 一岛u 胛( o ) = 5 2 u ( 1 ) + m u 胛( 1 ) = o ， 其中，：【0 ，1 r + r 一_ 酞+ 是非负的，a ：( 0 ，1 ) 一r + 连续，b ：( 0 ，1 ) _ r 是l e b e s g u e 可积，关于可以是变号的作者运用不动点定理得到了边值问题 正解的存在性 在 7 】中，孙和张研究了以下的s t u r m - l i o u v i l l e 边值问题： i 一( l u ) ( t ) = 无( t ) ，( 锃( # ) ) ，0 t 1 ， r l ( u ) = a l u ( o ) + 尻 ，( o ) = o ： l 岛( 珏) = a ：u ( 1 ) + 历u ，( 1 ) = 0 ， 其中，是可变号函数，并要求格林函数是对称的作者运用拓扑度定理建立了方 程非平凡解和正解的存在性 在 8 】中：崔和邹扩充了【7 】中以下方程的结论： i 一( l 妒) ( 亡) = ( ) ，( 妒( ) ) ，0 t 1 ， ? m 一2 l 妒( o ) = o ，妒( 1 ) = 哪( 釉， 第一章 半正四阶非线性奇异s t u r m l i o u v i l l e 边值问题 其中( l p ) ( t ) = ( p ( t ) 妒7 ( t ) ) 7 + q ( z ) 妒( ) ，0 荨1 已 岛一2 0 使得对于任意的 z r 有，( z ) - b 成立 受以上工作启发，本文的主要目的是在较弱条件下研究边值问题的解的存在 性首先，这篇文章中讨论的边值问题( 1 1 1 ) 中的非线性项( t ，z ，y ) 是关于。 和y 变号的，而且作用在厂上的条件要比以上文章中的条件广泛其次，本文所 讨论的变号问题是四阶方程它包含了一个二阶的导数，而且它的格林函数不要求 是对称的最后，本文用拓扑度的方法关于入1 和a 1 进行证明，入l 和a 1 是相应 线性算子的第一特征值显然，这篇文章的讨论与 1 1 1 】是不同的作为结果， 本文得到了边值问题( 1 1 1 ) 非平凡解的存在性接下来，文章由以下部分组成： 第二部分给出了一些引理和预备知识，第三部分是主要的结果和推论，第四部分 是应用举例 1 2 预备知识 令，= 0 ，l 】，e = c ( x ) 是b a n a c h 空间，其范数定义为恻| = m 躏t li u ( t ) i ， 其中u c ( ，) 定义 p = “c ( x ) i 钆( ) 0 ，t ， 则尸是e 中的锥 现在定义边值问题 i 一( t ) = 0 ，0 t 1 ， lq t t z ( o ) 一屈乱( o ) = 0 ，尻钆( 1 ) + ? i u 7 ( 1 ) = 0 ，i = 1 ，2 ， 的格林函数为g t ( t ，8 ) ( i = 1 ，2 ) ，且 g i ( t ，s ) 二三 ( z i + a i s ) ( m + 文( 1 一。) ) ， o s 1 ( 1 2 1 ) 胁i ( 屈+ a t t ) ( 饥+ 以( 1 一s ) ) ，0 t s 1 为了方便给出以下的假设： ( h 1 ) h ：( 0 ，1 ) _ r + 是连续的，h ( t ) 0 ，t ( 0 ，1 ) ， g 2 ( s ，s ) h ( s ) d s o 和# l g 2 ( t ，t ) a 2 ( s ，5 ) g 2 ( ，s ) g 2 ( s ，s ) ( 或a ( t ，) ) ，v t ，s 【o ，1 】，其中p 1 = 面耘而 令 e ( t ) = m 0 2 ( t ，右) ， 可以得到对于任意的t i 有0 e ( t ) 1 定义线性算子s ：c ( i ) 一c ( ，) 由 广1 ( s v ) ( t ) = g 1 ( t ，刀) 秒( 叩) d 7 7 ，0 和( 1 2 1 ) ，得到 f ( 乳) ( z ) = 一u ( t ) ，0 t 1 ， 口1 ( 跏) ( o ) 一尻( 跏) ，( 0 ) = o ， 【6 1 ( 跏) ( 1 ) + 饥( 跏) ，( 1 ) = 0 考虑以下的奇异非线性边值问题： f 一( t ) ：h ( t ) f ( t ，s 可( ) ，一( t ) ) ，o t 1 ， c 屹v ( o ) 一侥可，( o ) = o ， 【6 2 v ( 1 ) + 7 2 v ，( 1 ) = o ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) 引理1 2 2 假设u ( ) 是边值问题( 1 2 4 ) 的非平凡解，则u ( ) = s v ( t ) 是边值问 题( 1 1 1 ) 的非平凡解 证明事实上，如果u ( t ) 是边值问题( 1 2 4 ) 的个非平凡解，则由( 1 2 3 ) 和( 1 2 4 ) 得到 l ( s u ) ( 4 ) ( 亡) = h ( t ) y ( t ，( s 口) ) ，( s u ) ( t ) ) ，0 0 ， l i mm a xi i a 竹钍一a “i i = 0 ， n - - + o oi l u l l 0 ，使得 0 g z ( t ，s ) 尬，v ( t ，s ) i j ( 1 。2 。7 ) 对于u c ( 5 ，由一i l v l l v ( t ) l i v l l ，t i 所以一脶i u ) l | ( s t ，) ) 尬l l v l l ，t i 因此，由( h 1 ) 和( h 2 ) ，有 a v l l m 吲a x 。 一i m l ，1 1 “ 1 1 i ，【一肘l h ! ， l lh 。n ! ，( ，z ，y ) i 1 g 2 ( s ，s ) 危( s ) d s + 。 因此a 是良定义的 下面说明4 是一个全连续算子对于任意的自然数n 2 ) ，假设 4 1 一 l 一一礼 ，li 鱼礼 一 一 一 t t l 一 一 o 因此存在 a l ，b l 】c ( o ，1 ) 使得t l ( a l ，b 1 ) 和 g 2 ( t ，s ) ( s ) o ，vt ，s k l ，b 1 取u c ( i ) 使得v ( t ) o ，vt i ( 1 ) 0 和 v ( t ) = 0 ，vtg 0 1 ，b 1 则对于t a l ，6 l 】， ，1 1 1 ( t v ) ( t ) = c 2 ( t ，s ) h ( s ) v ( s ) d s g 2 ( t ，s ) h ( s ) v ( s ) d s o j o ，o l 因此存在一个常数c 0 使得c ( t v ) ( t ) u ( ) ，vt i 由引理1 2 5 ，得到谱 半径r ( t ) 0 且丁有一个正的特征函数，这个特征函数对应它的第一特征值 a l = ( r ( 丁) ) 一 口 引理1 2 7 f 6 】令e 是个b a n a c h 空间，q 是e 中的有界开集假设a ：q e 是一个全连续的线| 生算子如果存在u o 使得i t a u # u o ，v u a q ，p 0 ， 5 第一章半正四阶非线性奇异s t u r m l i o u v i l l e 边值问题 则d e g ( i a ，q ，0 ) = 0 引理1 2 8 1 s , 1 2 , 1 4 令e 是一个b a n a c h 空间，q 是e 中的有界开集，且0 q 假设a ：q _ e 是一个全连续算子如果a u 丁t | ，v u a q ，7 - 1 ，则 d e g ( i a ，q ，0 ) = 1 令 ，1 一u ( 死u ) ( t ) = g 2 ( t ，s ) h ( s ) v ( s ) d s ，vt ，( 1 2 1 0 ) - ，u 其中u ( 0 ，互1 ) 使得h ( t ) 0 ，s ( u ，l u ) 显然死：c ( i ) _ c ( i ) 是一个全连续的线性算子按照与引理1 2 6 相同的 方法，得到谱半径r ( 死) 0 而且死有正特征函数相对应于它的第一特征值 k = ( r ( 兄) ) 引理1 2 9 【5 】假设( h 1 ) 和( h 2 ) 成立，则存在个t 的特征值a 1 使得当u 一0 + 有k 一天1 成立，其中扎是由( 1 2 1 0 ) 定义的线性算子死的第一特征值 定义 p 1 = u pu ( t ) e ( ) i ，t ，) ， 其中e ( ) 在( 1 2 2 ) 中定义对于任意的r 0 ，令 b = u c ( i ) ii l u l i ，a b ，= u c ( i ) ii l u l l = r ) ， 一b r = “c ( i ) | l l u 0 r ) 1 3 主要结果 定理1 3 1 假设( h 1 ) ，( h 2 ) 成立并且满足以下条件： ( 风) 假设存在非负函数n ( t ) ，b ( t ) c ( i ) 和k ( x ，y ) c r 2 ，r + 使得对于 任意的z ，y 酞，t i ， 并且， f ( t ，z ，y ) - a ( t ) 一6 ( ) k ( z ，剪) ， 卅l i r a 一粼y = o z i + 一+ 。l z i + i 6 曲阜师范大学硕士学位论文 i 甄) 对享任意的，有 l z 陶臻俐 ， ( - 5 ) 对于任意的t i ，有 l i m 怕s m u p 俐“ 其中a l 是由( 1 2 5 ) 定义的算子丁的第一特征值则边值问题( 1 1 1 ) 至少有一 个非平凡解 证明由( h 4 ) ，存在0 x o ( 1 3 1 ) 对任意取定的满足0 l o e o ，其中 = 糯研丽斋击赢，l = 1 g z ( s ，洲hs ) d s + 。， 6 = m i n t e o ，1 14 t ) ，而且e ( t ) 和 磊分别在( 1 2 2 ) 和( 1 2 6 ) 中有定义显然 o x 1 ( 1 3 2 ) 由( 凰) ，( 1 3 + 1 ) 和( 1 3 2 ) 得到 f ( t ，z ，y ) ( a 1 + c o ) ( i x l + i y i ) 一a ( t ) 一b ( t ) k ( x ，y ) 。 ( a 1 + e o ) ( 1 z i + l i ) 一o ( ) 一s 6 ( t ) ( 1 z i + i y l )( 1 3 3 ) ( a 1 + o e i l b l l ) ( 1 x i + 引) 一o ) ，v l z i + i y i x 1 取r 粤铭尝学接下来证明 钆一a u p u + ，v u o b n ，p o ，( 1 3 4 ) 其中口+ 是对应丁的第一特征值a 1 的正特征函数，因此影+ = a 1 t v + 而且u r 事实上，如果( 1 3 4 ) 不成立，则存在v o o b n 和p o o 使得 v o a v o = # o r + ( 1 3 5 ) 7 第一章 半垂婴阶非线性奇异s t u r m l i o u v i l l e 边值问题 令 7 移( ) = o 1 g 2 ( t ，s ) ( s ) 0 ( s ) + 6 ( s ) k ( s 咖( s ) ，一如( s ) ) j d s ，v tei ( 1 3 6 ) 由t ( p ) c 只，u + p 1 和 咖( t ) + 移( ) = l 6 2 ( ，s ) ( s ) 厂( s ，s 如( s ) ，一珈( s ) ) + 。( 5 ) + 6 ( s ) k ( s 珈( s ) ，一 。( s ) ) d s + # o v + ( z ) ， 得到 由( 1 2 6 ) ，( 1 3 3 ) 和( 1 3 6 ) 有 + 面r ( 1 3 7 ) a v o ( t ) + 雷( t ) ，- 1 = 9 2 ( t ，s ) h ( s ) f ( s ，s ( s ) ，- v o ( s ) ) d s + 1 92(t训小s)十b(s)k(svo(s)，-vo(j0 s ) ) 如 + ，s ) ( s ) l o ( s ) 十 ， s ) ) l 如 lj f r1 上g z ( 。，s ) 危( s ) 【a - + g o - c b ( 刚s v o ( s ) i + i v o ( s ) d d s z 1g z ( ，s ) 危( s ) 。( s ) 幽+ f og 2 ( z ，s ) 九( s ) 。( 5 ) + 6 ( s ) k ( s 咖( s ) ，一( 5 ) ) d s ( a ，+ c o _ i i b l l e ) g 2 ( t ，s ) h ( s ) ( i s v o ( s ) i + i v o ( s ) 1 ) d s ( a 1 + e o 1 1 6 l 忙) g 2 ( t ，s ) h ( s ) v o ( s ) d s ( 1 3 8 ) 由算子t 的定义得到 ，1 ( a 1 + e o i | 6 | g ) g 2 ( t ，s ) h ( s ) v o ( s ) d s ，0 a ，z 1g z ( ，s ) 危( s ) 卜。( s ) 十移( s ) d s + ( g 。一i j 6 i i g ) f o 1 g 2 ( t ，s ) ( s ) t ，o ( s ) d s 8 曲阜师范大学硕士学位论文 一a l g 2 ( t ，s ) ( s ) 匆( s ) d 5 广1，l 入1 丁( 咖+ 西) + ( e o i l b l l s ) g 2 ( t ，s ) h ( s ) v o ( s ) d s a l g 2 ( t ，s ) h ( s ) 9 ( s ) d s j 0 j 0 = a 1 t ( v o + 面) + 0 0 一 l 圳) g 2 ( t ，s ) ( s ) f u o ( s ) + 否( s ) 】d s ，1 1 一( 入1 + o l 6 | i ) g 2 ( t ，s ) 危( s ) 云( s ) d s ( 1 3 9 ) 由( 1 3 7 ) 得到 因此 v o ( t ) + 移( t ) e ( t ) l l v o 一面| | e ( t ) ( 1 l v o l l i i 面1 1 ) ，t j ， ，上，1 ( 5 0 1 1 6 l k ) ，g 2 ( t ，s ) 危( s ) 【( s ) + 矛( s ) 】d s 一( a - + c o 1 1 6 l i ) g 2 ( t ，s ) 庇( s ) 雷( s ) d s j o，0 e ( ) ( 。一l厂1g 2 ( t , i b l l 5 ) r g 2 ( ts ) 是( 5 ) d s f ( e ( ) + 1 ) ( e o l 8 9 ) + a ，1 弦” e ( ) ( o ls ) 是( 5 ) d s l ( e ( ) +一l 8 9 ) + a 1 | 亩” j 0 oo ，1 g 2 ( t ，s ) h ( s ) d s ( 1 3 1 0 ) 由( 1 3 6 ) ，l 和炳的定义有 = i f o g z ( 1 1 矛1 1 m , x f j o 抽) 郴) 0 ( s ) + 6 ( s ) k ( s v o ( “一( s ) ) d s l = 。，s ) 九( s ) ) + 6 ( s ) ks ) ，一( s ) ) j d s | z i l l ，s ) 酬8 ( s ) + 6 ( s ) k ( ( s ) ，一如( s ) ) | 如 f 1 3 1 1 ) ， i l o 上上j l l l a l l + l i 训$ z ( s ，s ) 九( s ) i i s 咖( s ) l + f v o ( s ) | | d s j o tj l l l a l l 十l l i 圳( m + 1 ) r 由f 1 3 8 ) 一f 1 3 1 1 1 ，厶和咒的定义得到 a v o ( t ) + 矛( t ) ，i _ a 1 t ( v o + 矛) + e ) ( o l i b 1 ) r g 2 ( ，s ) h ( s ) d s 0 一陋三怕i i ( m ，+ 1 ) 司) + 1 ) ( 旷5 ) + 入， f l g 2 ( 抽) ( s ) d s 9 第一章半正四阶非线性奇异s t u r m - l i o u v i u e 边值问题 a l 丁( 掣。i 西) + e ( 亡) ( 如5 。一f ) l 0 1 r 【( e ( ) + 1 ) ( 。一 i b k ) 6 + a 。) l l 8 l g 2 ( t ：s ) 危( s ) 如 a ，丁( 咖+ 矛) + l o e 0 6 - e d ) l i l r 一( a ，+ 2 ) l o 。f j f o l c 。( t ，s ) 九( s ) d s _ a 1 t ( v o + 移1 ( 1 3 1 2 ) 因此由( 1 3 5 ) 和( 1 3 1 2 ) 有 令 + 移a 1 t ( v o + 雷) + # o v + # o r p = s u p # 0iv o + 雷p + ) 容易看到旷弘。且v o + 西旷u 由t ( p ) cp 和可= a 1 t v 得到 a 1 丁( 如+ 雷) # * a 1 t v + = 矿矿 因此 v o + 矛a 1 t ( v o + 百) + # o v ( p o + p + ) 钞， 这与旷的定义相矛盾所以( 1 3 4 ) 成立，由引理1 2 7 有 d e g ( 1 一a ，b n ，0 ) = 0 另一方面，由( 凰) ，存在0 e 1 2 ( m 土1 + 一1 ) 和0 r 1 使得 l ，( z ，z ，秒) i a 1 e 1 ( i z i + i yj ) ，v t ，o i z i + i y l 1 ， n 。on - - o o 这与7 ( 乃) 的定义矛盾，且由引理1 2 8 得到( 3 1 5 ) 成立，故 d e g ( i a ，研，目) = 1 ( 1 3 1 6 ) 由( 1 3 1 3 ) 和( 1 3 1 6 ) ，得到 d e g ( i a ，8 r y ，移) = d e g ( i a ，b r ，秽) 一d e g ( i a ，研，伊) = 一1 从而a 在三涵耳中至少有一个不动点那么边值问题( 1 1 1 ) 至少有一个非平 凡解 口 注1 3 1 取k ( x ，y ) = h p ，牟川晚，其中0 p l 1 ，0 h ( 1 3 肌) 其中a 1 是在引理1 2 9 中的定义，则边值问题( 1 1 1 ) 至少有一个非平凡解 证明由( 1 3 1 7 ) 和引理1 2 9 ，得到存在o 0 ，使得 f ( t ，z ，y ) ( 九+ e 7 ) ( j z l + l y l ) ，v t i ，j z i + i y i x 7 ， 其中九是线性算子死的第一特征值 对任意取定的1 满足0 l l 1 e 7 ，其中 三z = 丽葡丽赢与丽，l = z 1 g z ( 8 , 8 ) h ( s ) d 8 o 使得 v o a v o2 “o v o j 1 2 趣阜师范大学硕士学位论文 由( 1 2 1 0 ) ，显然死( 尸) cp l 且t v ( t ) 死u ( ) ，i 取与定理1 3 1 中相同 的移和方法得到 a v o ( t ) + 雷( t ) a 。死( u o + 雷) 参照定理1 3 1 中的证明，可以得到结论 1 4 例子 这一部分构造了一个例子来证明对第三部分结果的应用令 ( t ) = 丽1 ， 邢忍沪a s i n i x - y ：，警描怕三茎嚣；尝瓮 ( 1 4 1 ) 其中0 0 ，h 在t = 0 ，1 奇异，是下无界的设 k ( 。，彰) = i n ( i x 一爹l + 1 ) 那么定理1 3 1 中的条件都满足从而边值问题( 1 4 1 ) 至少有- 个非平凡解 1 3 第二章二阶和分数阶微分方程组的奇异边值问题的解 这篇文章研究了以下的非线性奇异边值问题： lu ( t ) + a l ( t ) f ( t ，d ”口( ) ，乱( ) ) 十b ( t ) = o ，o t 1 ， d 口u ( 。) + 。2 ( 。) 9 ( 。，u ( 。) ) = o ， o 。 1 ( 2 1 1 ) i 乱( o ) = u ( 1 ) = 0 ， l lu ( o ) = 咎( 1 ) = 0 ， 其中1 口 o ，a 一1 ，a i c ( ( o ，1 ) ，r + ) ( i = 1 ，2 ) ，o t ( t ) 允许在 t = 0 和t = 1 奇异，：【0 ，1 】rxr + _ r + 和g ： 0 ，1 j r + 一r + 是连续 的，b ：( 0 ，1 ) _ r 是l e b e s g u e 可积，可以在f o ，1 】内有无穷个奇异点 分数阶方程可以描述科学和工程中的许多现象，而且已经存在有大量讨论非 线性分数阶方程的论文在 1 6 】中作者讨论了d i r i c h l e t 形式的非线性分数阶微 分方程正解的存在性： id 再乱( t ) + f ( t