（概率论与数理统计专业论文）对数凹函数的一些应用.pdf

摘要 本文主要研究了具有对数凹密度函数的多维随机变量的最大和最小次序统计 量的i f r ( 失效率函数递增) 性质和d r h r ( 反向失效率函数递减) 性质，以及对 数凹函数在随机比较中的应用设多维随机向量x = ( x l ，x 2 ，五。) 的概率密 度函数为对数凹的，那么这n 个随机变量的最小值m i n f x l ，x 2 ，五。) 具有i f r 性质，最大值m 五，弼，五i 具有d r h r 性质这- - t 作纠正了g u p t a & g u p t a ( 2 0 0 1 ) 中的个错误，即多维正态随机变量其最大值呦x x l ，x 2 ，) 并非具有i f r 性质，并把g u p t a & g u p t a ( 2 0 0 1 ) 的结果推广到更一般的具有对 数凹概率密度的随机向量另外，通过加权分布的方法，利用随机比较理论和对数 凹函数的性质，建立了一组有趣的概率不等式这些概率不等式的直接证明并非容 易 关键词：对数凹；i f r ；d r h r ；多元正态分布；椭球等高分布；加权分布；通常随机 序；似然比序 a b s t r a c t t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st oe s t a b l i s ht h ep r o p e r t i e so fi f r ( i n c r e a s i n g 如武u 强r a t e ) a n dd r h r ( d e c r e a 西n gr e v e r s e dh a z a r dm t e ) o fnr a n d o mv a r i a b l e s w i t hal o g - c o n c a v ed e n s i t yf u n c t i o n ，a n dt og i v es o m ea p p l i c a t i o n so fl o g - c o n c a v e f u n c t i o n si ns t o c h a s t i cc o m p a r i s o n s m o r ep r e c i s e l y , f o ram u l t i v a r i a t er a n d o mv 吣 t o rx = ( 置，x 2 ，) w i t ha l o g - c o n c a v ed e n s i t yf u n c t i o n ，i ti ss h o w nt h a tt h e m i i l i m u mm i n 置，托，) i si f r ，a n dt h ei n 妇u n lm x x l ，咒， i s d r h i ；la sa ni m m e d i a t ec o n s e q u e n c e ，t h er e s u l to fg u p t aa n dg u p t a ( 2 0 0 1 ) o n t h em u l t i v a r i a t en o r m a ld i s t r i b u t i o ni so b t a i n e d o n ee r r o ri ng u p t aa n dg u p t a ( 2 0 0 1 ) i sa l s op o i n t e do u t i na d d i t i o n ，w ec a nd e r i v eac l a s so fp r o b a b i l i t yi n e q u a l - i t i s eb yu s i n gw e i g h t e dd i s t r i b u t i o n sa n de x p l o i t i n gs t o c h a s t i cc o m p a r i s o na n dt h e p r o p e r t yo fl o g - c o n c a v ef u n c t i o n s t h e s ep r o b a b i l i t yi n e q u a l i t i e sa r en o te a s yt o p r o v eb yac o n v e n t i o n a lm e t h o d st op r o v et h e md i r e c t l y k e y w o r d s ：l o g - c o n c a v e ，职r ，d r h r ，m u l t i v a r i a t en o r m a ld i s t r i b u t i o n ，e l - l i p t i c a l l yc o n t o u r e dd i s t r i b u t i o n ，w e i g h t e dd i s t r i b u t i o n ，u s u a ls t o c h a s t i co r d e r ， l i k e l i h o o dr a t i oo r d e r 中国科学技术大学学位论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作 所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任 何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究 所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即：学 校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：奎量 动d 7 年f 月罗日 1 1 对数凹函数 第1 章引言 一个非负函数称为是对数凹( 1 0 9 - c o n c a v e ) 是指该函数取对数后是凹函数类 似地，可以定义对数凸( 1 0 9 - c o n v e x ) 性质严格定义如下： 定义1 1 1 设d 舻为一个凸区域，函数h ：d 一筑+ 兰【o + 。o ) 知果对所有 x ，y d 和任意a ( o ，1 ) ，有 _ i l ( o 蔗+ ( 1 一口) y ) 陋( x ) 】4 陋( y ) 】1 一o ， 则称函数h 于d 上是对数凹的如果对所有的x d ，有 ( x ) o 成立。那么函 数h 是对敷凹性质等价于对所有x ，y d 和任意a ( 0 ，1 ) ， l o g h ( a , x + ( 1 一n ) y ) c e l o g h ( x ) + ( 1 一口) l o g h ( y ) ， 定义1 , 1 2 一个非负序列( ，n = 0 ，1 ，) 称为是对敷凹的，如果 2 一1 a n - i - 1 ，n = 1 ，2 ， 在上定义中改变不等号的方向，类似可给出对数凸的严格定义对数凹并不 仅仅是对数凸的对偶，对数凹函数( 序列) 具有一些对数凸函数( 序列) 所不具有的 好的性质对数凹性质在可靠性理论，组合数学、概率统计，经济学、生物以及其 他领域都有非常多的应用，具体见k a r l i n ( 1 9 6 8 ) ，b a f l o w & p r o s c h a n ( 1 9 8 1 ) ，a n ( 1 9 9 8 ) 和b a g n o i i & b e r g s t o r m ( 2 0 0 s ) 在组合数学中，人们关心的是如下的问题： 设 如，n 0 ，和 弧，n l 是两个对数凹序列，( d ( n ，膏) ，0 k r i ) 是每个元 非负的三角阵，人们寻找施加于 d ( n ，七) ，o ksn ) 上的条件，使得新序列 n = a ( n ，k ) x k ，n 0 ， k - - - - o 或 n 磊= 8 ( n ，k ) x k y 幽 = 0 1 ， 1 也具有对数凹性质( 见l i g g e t t ，1 9 9 7 ；w a n g ，2 0 0 3 ；w a n g & y e h ，2 0 0 7 ) 在本篇学 位论文中，我们不讨论对数凹序列，面只考虑对数凹函数 设h ：d 一驻+ 是个对数凹函数，其中凸区域d 为舻的真子集，定义新函 数h ：渺一毗如下： 鼬；傺h ：嚣 则h 在舻上也具有对效凹性质对数凸函数不具有这条性质 下面条性质也是对数凹函数所特有的，我们以引理的形式表述，后面将要用 到该性质，即函数对数凹性质对边际积分运算保持封闭 引理1 1 3 ( p r d k o p a , 1 9 7 3 ；e a t o n , 1 9 8 2 ) 设函数h ：鸵”g 铲一【o o o ) 是一个 对敷凹函数。记 9 ( x ) = fh ( x ，z ) d z ，v x 妒 若对所有的x 妒，g ( x ) 存在有限。则函数9 俐在x 舻上是对敷凹的 1 2 寿命分布类 下面给出寿命分布类i l r ( 似然比递增) ，i f r ( 失效率递增) ，d r k r ( 反向失 效率递减) 以及其对偶类d l r ( 似然比递劫，d f r ( 失效率递减) ，i r h r ( 反向失 效率递增) 的定义 定义1 2 1 设x 是一个随机变量具有分布函数f 称x 或f 为 ( 1 ) i l r d l r , 若它的密度函数，( o ) 存在且关于o 乳+ 为对数凹尉数凸 ( 2 ) i f r d f r , 若f ( 霉) 关于z 筢 为对敷凹户r 教凸 ( 3 ) d r h r4 剐旺吼若f ( 甸关于z 乳+ 为对数凹尉数凸， 值得注意的是，若，是对数凹，则f 和f 均为对数凹( 见b a r l o w p r o s c h a n ， 1 9 8 1 ，p 7 7 ) 若，是对数凸，则霄是对数凸，而f 是对数凹( 见s e n g u p t a & n a n d a ， 1 9 9 9 ) b l o c ke t8 1 ( 1 9 9 8 ) 进步指出，若亨是对数凸，则f 是对数凹因此， 2 引理1 2 2 i l r 号i f r 和d r h r ； d l r = = d f r = = 辛d r h r 设x 是个绝对连续的随机变量，它的分布函数为f ( t ) 、生存函数为f ( ) = 1 一f ( t ) 、密度函数为，( ) 我们记 l x = i n f 缸：f ( t ) o ) ，u x = s u p t ：( 力 o ) 那么随机变量x 的失效率函数定义为 洲= 器，t i x 则x 或f 是i f r d f r 】等价于函数a x ( t ) 在其支撑区间( 坟，锨) 上是递增隧 减】的；x 或f 是d r h r 【珉h r 】等价于函数似( t ) 在其支撑区间( 1 x ，u x ) 上是 递减隧增1 的 注意到对任意随机变量x ，有 p x ( t ) = a x ( 一t ) ，vt 显然，x 是i f r d f r 当且仅当一x 是d r i - i r m h a 1 3 主要工作 个随机变量墨，恐，墨的最大值和最小值分布在统计应用中扮演重要 的角色例如，在可靠性中，如果n 个元件构成个串联系统，则一般只能观测到 丑= r a i n x , ，x 2 ，墨) ，其中五表示第 个元件的寿命；如果n 个元件构成一 个并联系练 则一般只能观测到t 2 = m 8 x 墨，为，x 曩 3 如果上面的n 个随机变量独立同分布，共同的底分布为f ，则众所周知f 的i f r 性质蕴涵了所有次序统计量( 特别，乃和b ) 也具有i f r 性质( 见b a r - l o w & p r o s c h a n ，1 9 8 1 ) 但是，n a g a r a j a & b a g g s ( 1 9 9 6 ) 指出：如果随机变量 五，恐，之间不具有独立性，则底分布f 的i f r 性质并不能蕴涵噩与死 具有i f r 性魇 g u p t a & g u p t a ( 2 0 0 1 ) 证明了：如果x l ，恐，溉服从多元正态分布，则 最小和最大次序统计量噩和正均具有i f r 性质! 但是，文中关于最大次序统计 量噩具有m r 性质的证明是错误的，事实上，死具有d r i i r 性质本文将把这 一结果推广到其他的具有对数凹联合概率密度的t 1 个随机变量噩，弱，墨 利用对数凹的性质大大简化文献中的证明具体地，我们证明了：如果随机变量 置，弼，墨的联合概率密度函数具有对数凹性质，则乃是i f r 的，而乃是 d r h r 的我们还将给出个反例。从中可以看出多元正态分布的最大值已在一 般情况下并不具有i f r 性这一部分内容将在第二章中给出 在本文的第三章，我们将讨论利用函数的对数凹性和个变换来导出一类有 趣的概率不等式设6 ：鸵一驼+ 是个可测函数，x 是个随机变量，其分布函 数为f ( t ) ，使得 i 拓( f ) 兰e p ( x ) 】 t ) = z 。：z ”，( x ) a b c 5 厶“x ) 娶1 洲峨挺蛾 ( 2 j ) 乃的分布函数表示如下t 黜) = 啊纠= 丘，( x ) 敬 2 厶，( x ) - ：11 ( 一和) 叔，涎哦 ( 2 卫) 其中1 表示集合a 的示性函数我们先来证明函数1 ( 一。，日( z ) 关于o ，z ) 舻是 对数凹的根据定义1 1 1 ，只需验证对所有的a ( 0 ，1 ) ，( 亡l ，2 ：1 ) 铲，( t 2 ，勋) 舻，有如下不等式成立即可一 【1 ( 一一i 】0 1 ) 】4 【1 ( 一，嘲( z 2 ) 】1 一。1 ( 一，a t 。+ ( 1 一。) t 2 l ( a x l + ( 1 一a ) z 2 ) 又因为示性函数只取值0 或1 ，故只需证明上述不等式左侧取1 时，右侧值也为 1 若左侧取值为1 ，则z l t l ，现屯于是对任意o l ( 0 ，1 ) ，有 c 啊l + ( 1 一q ) 勋a t l + ( 1 一o ) t 2 ， 5 这蕴涵了 1 ( 一，啦i + ( 1 一d 均l ( a z i4 - ( 1 一a ) 工2 ) = 1 从而证得示性函数1 ( 一。，目( z ) 关于心z ) 舻是对数凹的类似，可证示性函数 1 口，。) ( 。) 关于$ ) 铲也是对数凹的 再由对数凹函数的乘积仍是对数凹函数，这样( 2 1 ) 式和( 2 2 ) 式中被积函数 关于( t ，x ) s ”1 是对数凹的故由引理1 1 3 可知函数u i c t ) 和g 2 ( c ) 关于t 野 是对敬凹的最后由弓l 理1 2 2 得，a 是i f r 的，疋是i h r 的i 2 2 一些具有对数凹联合密度的多元分布 下面将给出一些多维分布，其联合概率密度函数为对数凹的 铡2 2 。1 ( 糖球等高分布族) 设随机向量x = ( 墨，恐，矗) 具有椭球等高分 布，其联合概率密度函数为 f ( x ) = l r i 一1 2 妒( ( x p ) e 一1 ( x p ) ) ，x g 妒， 其中p 舻，e 是n 阶正定矩阵，妒：g “一聍+ 是个单调递减函数具体细节 见f a n g ，k o t z & n g ( 1 9 9 0 ) 另外。如果妒在乳+ 上是对数凹的，那么，( x ) 在舻上也是是对数凹的，这 是因为对任意的( p ，e ) ，函致( x p ) - 1 ( x p ) 关于x g p 是凸的 当选择单调递减且对数凹的函数i p ( x ) 时，可以得到一系列非常有用的多元分 布族，且有这些分布的联合概率密度函数是对效凹的常见的几个分布如下， 多元正态分布： 妒( t ) = ( 2 7 r ) 一n 2 e 一2 ，t 粤 多元p e a r s o ni i 型分布： ) = 黼( 1 嘶t 喁 其中参数d 0 ，且对所有的盘，约定q = m a x z ，o 6 证明t 我们只给出函数a ( z ) 是对数凹情形的证明，j ( z ) 是对数凸情形的证明 类似我们使用归纳法来证明首先假设n = 2 由引理3 1 1 或例3 1 4 知，存在 非负随机变量h ，蚝，其联合概率密度函数为 ，y ( 眦) = 耸撬警字，( 蛐) 噼， ( 3 1 7 ) 使得 乃( 噩+ ) 些m - i - b 由( 3 7 ) 得m 的边际概率密度函数为 丸( 玑) o f x , ( u 1 ) e 陋觚- t - 恐) 】，饥瓤， 这里符号表示在相差个正则常数意义下相同进而 悫c 0 ，则 ( 2 ) 如果p 。e 【( 羔。五) 一p 】。台 ，】 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 这里( 3 1 5 ) 和( 3 1 6 ) 即为b r o w n ( 2 0 0 6 ) 中( 1 0 2 ) 和( 1 0 3 ) 取6 ( z ) = 南，则 丽1 习若南叫一d 再分别取 6 ( z ) = 1 f z a ， 6 ( z ) = 1 如曼吣和占( z ) = 1 。 。耐， 其中0 口 d j ； l = li ；lj = l e i 冠l 置s6 i e x d x t h i ； l * lib lj ：l e 壹五j 。 壹五6 1 壹e x d 。 酊。6 ( z ) = 1 伽h 和6 ( x ) = l t “。9 ， 其中o 口 6 仁卜售兄) 卜，加d ， jl扛iij e 咖( 娄咒) l 喜五6 e ( 砉茂) j 至6 ， 和 e 惟卅 喜五忙卜售褂 一一。 夏叫 参考文献 【1 】a n ，m y ( 1 9 9 8 ) l o g c o n c a v l t yv e r s u sl o g c o n v e x i t y ：ac o m p l e t ec h a r a c t e r i z a t i o n j o u r n a lo ，e c o n o m i ct h e o r y , 8 0 ：3 5 0 - 3 6 9 【2 】b a g n o l i ，m a n db e r g s t r o m ，t ( 2 0 0 s ) l o g n c a v ep r o b a b i l i t ya n d i t sa p p l i c a t i o n s e c o n o m i c 而2 6 ：4 4 5 - 4 6 9 【3 】b a r l o w ，r e a n dp r o s c h a n ，f ( 1 9 8 1 ) 眦“。口l 刃i 删o ，r e l i a b i l i t ya n dl i f e t e s t i s t ob e g mw 1 t h ，s i l v e rs p r i n g ，m d 【4 】b l o c k , h w ，s a v i t s ，t h a n ds m g h ，h ( 1 9 9 8 ) t h er e v l 蒯h a z a r dr a t ef u n c t i o n p r o b a b i l i 纫讯t h ef m g i n s e r i n ga n di n f o r m a t i o n a ls c i e n c e s , 1 2 ：6 9 - 9 0 【5 】b r o w n ，m ( 2 0 0 6 ) e x p l o i t i n gt h ew a i t i n gt i m ep a r a d o x ：a p p l i c a t i o n so ft h es i z e - b i a s i n gt r a n s f o r m a t i o n p r o b a b i l i t y 讥t h ee n g i n e e r i n ga n di n f o r m a t i o n a ls c i e n c e s , 2 0 ：1 9 5 - 2 3 0 【6 】e a t o n ，m l ( 1 9 8 2 ) ar e v i e wo fs e l e c t e dt o p i c si nm u l t i v a r i a t ep r o b a b i l i t yi n e q u a l - i t i e s a n n a l so s t a t i s t i c s , 1 0 ：1 1 4 3 7 】f a n g ，k tk o t z ，s a n dn g ，k w ( 1 9 9 0 ) s y m m e t r i cm u l t i v a r i a t ea n dr e l a t e d d i s t r i b u t i o n s c h a p m a na n dh a l l ，l o n d o n i s f i s h e r ，r a ( 1 9 3 4 ) t h ee f f e c t so fm e t h o d so fa s c e r t a i n m e n tu p o nt h ee s t i m a t i o n o ff r e q u e n c i e s ，弛a n n a l s 巧蜀叼e n b ：1 3 2 5 【9 | g u p t a , p l a n dg u p t a ，r c ( 2 0 0 1 ) f 柚u 弛r a t eo ft h em i n i m u ma n dm 躲岫 o fam u l t i v a r i a t en o r m a ld i s t r i b u t i o n m e t r i k a , 5 3 ：3 9 - 4 9 【1 0 h o r r a c e ，w c ( 2 0 0 5 ) s o m er e s u l t so nt h em u l t i v a x i a t et r u n c a t e dn o r m a ld i s t r i b u - t i o n 面删彤m u l t i v a r i a t ea n a l y s i s ，9 4 ：2 0 9 - 2 2 1 【1 1 】k a r l i n ，s ( 1 9 6 8 ) t o t a lp o s i t i v i 蛳s t a n f o r du n i v e r 窟i t yp r e s s ，p a l oa l t o ，c a 【1 2 】l t m ( 1 9 9 7 ) u l t r al o g c o n c a v es e q u e n c e sa n dn e g a t i v ed e p e n d e n c e j o u r n a lo c o m b i n a t o r i a lt h e o r y ( s e r a ) ，7 9 ：3 1 5 - 3 2 , 5 【1 3 n a g a r a j a h n a n db a g g s ，g e 。( 1 9 9 6 ) o r d e rs t a t i s t i c so fb i v a r i a t ee x p o n e n t i a l r a n d o mv a r i a b l e s ，i n ：黜“c 以t h e o r ya n da p p l i c a t i o n s ( h n n a g a r a j a ，p k s e n ，d f m o r r i s o n ，e d s ) ，s p r i n g e r - v e d a g ，n e wy o r k 【1 4 1p a t t i ，g p ( 1 9 9 1 ) e n c o u n t e r e dd a t a ，s t a t i s t i c a le c o l o g y , e n v i r o n m e n t a ls t a t i s t i c s ， a n dw e i g h t e dd i s t r i b u t i o nm e t h o d s e n v i r o n m e t r c s , 2 ：3 7 7 - 4 2 3 f 1 5 1p a o l ，g p ( 2 0 0 2 ) w e i g h t e dd i s t r i b u t i o n s i n ：e n c y c l o p e d i ad ，e n v i r o n m e t r i c s ( a h e 1 - s h a a x a w i ，w w p i e g o r s c h ，e d s ) ，j o h nw i l e y s o n s ，l t d ，c h i c h e s t e r ， v b l 4 p p 2 3 6 9 _ 2 3 7 7 【1 6 】p r 酞o p a , a ( 1 9 7 1 ) l o g a r i t h m i cc o n c a v er n e a g u i e s 前t ha p p c a t i o n s a c t a & i m h m 3 2 ：3 0 2 - 3 1 6 【i 7 p r d k o p a , a ( 1 9 7 3 ) o nl o g a r i t h m i cc o n c s v eh l e a $ u r a n df t m c t i o n s a c t as c i m a t h 3 4 ：3 3 5 - 3 4 3 【1 8 】r a o ，c r ( i 9 6 5 ) o nd i 蝴e t ed i s t r i b u t i o n sa r i s i n go u to fm e t h o d so fa s c e r u d n m e n t i n ：c l a s s i c a la n dc o u t a g i o d 妇c 他钯d 妇打6 “缸，附( g p p a t u ，e d ) ，p e z g a m o n p r e s sa n ds t a t i s t i c a lp u b l i s h i n gs o c i e t y , c a l c u t t a ，p p 3 2 0 - 3 3 2 【1 9 r a o ，c r ( 1 0 s s ) w e i g h t e dd i s t r i b u t i o n sa r i s i n go u to fm e t h o d so fa s c e r t a i n m e n t i n ：ac e l e b r a t i o no ys t a t i s t i ( a c a t k i n s o n ，s e f i e n b e r g , e d s ) ，s p r i n g e r - v e d a g ，n e wy o r k , c h a p t e r2 4 ，p p 5 4 3 - 5 6 9 【2 0 】m 瑚，s m ( 1 9 9 6 ) 5 t , o c h a s t cp r o c e s s e s , 2 r i de d ，w i l e y , n e wy o r k 2 1 】s e n g u p t a ，d a n dn a n d a , a k ( 1 0 9 0 ) l o g - c o n c a a n dc o n y ed i s t r i b u t i o n si n r e l i