（计算数学专业论文）非等距网格上的高精度richardson外推及多重网格算法研究.pdf

摘要 高精度紧致差分格式具有使用网格基架点少、精度高、稳定性好且使求解问题边界处理简单 等优点，在偏微分方程数值求解和计算流体力学领域越来越受到人们的重视已经发展了针对各 类偏微分方程的高精度紧致差分格式将r i c h a r d s o n 外推法、高精度紧致差分格式和多重网格方 法相结合，在非等距网格上实施计算，不但对求解各向异性问题有很大的优势，而且可以获得相 当高的计算精度，大大加快传统迭代法的收敛速度，从而可以通过减少网格数来减少工作量和计 算时间达到提高问题求解效率的目的 对于椭圆型方程，本文在已建立的高精度紧致差分格式的基础之上，利用r i c h a r d s o n 9 1 推法、 算子插值法和多重网格算法，使已有高精度紧致差分格式的计算精度整体提高二阶并将这种计 算方法向非定常的对流扩散方程进行了推广将非定常对流扩散方程已有的高阶紧致差分格式的 计算精度也提高了二阶在非等距网格上实施计算，并给出了网格部分半粗化的多重网格算法的 限制算子和插值算子，通过计算发现，对于各向异性问题，网格部分半粗化多重网格算法在计算 效率和精度方面都更具有优势最后，通过数值实验验证了本文方法的精确性和可靠性 关键词：高阶紧致差分格式，非等距网格，r i c h a r d s o n 外推法，多重网格方法 a b s t r a c t h i g h - o r d e ra c c u r a t ec o m p a c td i f f e r e n c 急m e t h o d sa t t r a c tm o r oa n dm o r en 落e a r l d l e 璐 i n t e r e s t sf o r t h o i rh i g h e ro r d e ra c c u r a c y , l e s sg r i dn e e d e da n de a s i e rt r e a t m e n to f b o u n d a r yc o n d i t i o n s ag r e a td e a l o fr e s e a r c hw o r kh a sb e e np u b l i s h e do nt h ed e v e l o p m e n to ft h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n si nc o m p u t a t i o n a l f l u i dd y n a m i c sa n dt h en u m e r i c a ls o l u t i o n st op a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i fh i g h - o r d e ra c c u r a t e c o m p a c td i f f e r e n c es c h e m e sa r ec o m b i n e dw i t ht h er i c h a r d s o ne x t r a p o l a t i o nt e c h n i q u ea n dt h e m u l t i g r i dm e t h o d , 、i t hu n e q u a lm e s h s i z ed i s c r e t i z a t i o n i tw o u l db ev e r yu s e f u lf o ra n i s o t r o p y p r o b l e m s ，a n dt h ea c c u r a c yo fac o m p u t e ds o l u t i o nm a yb ei m p r o v e df r o mac e r t a i no r d e rt oah i g h e r o r d e r , a n dt h ee f f i c i e n c ym a yb ei m p r o v e dd r a m a t i c a l l y i nt h i sp a p e r , 凰t l y ，t h eh i g h - o r d e ra c c u r a t ec o m p a c td i f f e r e n c es c h e m e sa r eu s e dt os o l v ee l l i p t i c e q u a t i o n s w h i c ha r ec o m b i n e d 谢l l lt h em u l t i g r i da l g o r i t h m t h eg l o b a la c c u r a c yo ft h eh i g h - o r d e r a c c u r a t ec o m p a c td i f f e r e n c es c h e m e sa r eu p g r a d e dt w oo r d e rb yu s i n gr i c h a r d s o ne x t r a p o l a t i o n t e c h n i q u ea n do p e r a t o ri n t e r p o l a t i o ns c h e m e , t h e n , t h em e t h o di se x t e n d e dt os o l v eu n s t e a d y c o n v e c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n s ，a n dt h ea c c u r a c yo ft h eh i g h - o r d e rc o m p a c ts c h e m e so ft h eu n s t e a d y c o n v e c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o ma r eu p g r a d e dt w oo r d e rt o o f o rc o m p u t i n go nu n e q u a lm e s h s i z eg r i d s r e s t r i c t i o na n di n t e r p o l a t i o no p e r a t o r sf o rt h ep a r t i a ls e m i - c o a r s e n i n gs t r a t e g ya r eg i v e n ，w h i c hi sm o r c e c o n o m i ca n de f f i c i e n tf o ra n i s o t r o p i cp r o b l e m s a tl a s t , n u m e r i c a le x p e r i m e n t sa r eg i v e nt op r o v et h e e f f i c i e n c ya n dd e p e n d a b i l i t yo ft h ep r e s e n tm e t h o d s k e yw o r d ：h i g h - o r d e rc o m p a c td i f f e r e n c e ，u n e q u a lm e s h s i z e ，r i c h a r d s o ne x t r a p o l a t i o nm e t h o d , m u l t i g r i dm e t h o d i l 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示了谢意。 研究生签名：李吖、易7 刁 时间：垆 年f 月谚日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交 论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位 论文的全部或部分内容。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名： 季中纫刁 时间： 砰 年，月丛日 导师签名： 零参文 时间： 仞f 年丫月动日 j ：。嗄，、，；：帧f 。；j f ? ，沦乏第。审? 齐论 1 1 研究背景和意义 第一章绪论 计算流体力学数值模拟已经成为解决许多工程问题的重要手段，在一般问题中，流动均匀区 域计算精度达到二阶就可以模拟实际流动，但是在流动变化剧烈的区域，流动现象比较复杂，低阶 精度的离散方法可能会对许多流动结构造成“失真”模拟，不能真实反映流动现象为了真实刻画 流场内流动细节，往往要求采用高阶格式因为高阶格式的耗散误差和色散误差都很小，这使得它 的差分方程与微分方程之间差别就小，从而在同样条件下高阶格式能分辨出更加精细的流场结构， 捕捉到更细微的流场结构变化因此发展高分辨率、高精度离散格式是计算流体力学发展中的迫 切需要 近几十年来，由于计算机科学技术的快速发展，使得数值求解偏微分方程的能力也越来越强， 就流动和传热问题而言，其数值模拟中可靠性和有效性的提高对偏微分方程求解的数值方法提出 更高的要求，这当中高精度和高分辨率已成为衡量一种数值计算方法好坏的重要标志如何精细、 准确地数值模拟流场已成为计算流体力学的重要课题为利用计算机优势，简单、有效地数值模拟 流场，人们对高精度有限差分方法进行了深入的研究高精度格式的使用可放松对网格步长的要 求，利用计算区域内较少的网格节点数得到较高精度的数值解，既可以提高数值解的精度又可以 提高其求解效率，在科学研究和实际工程问题的解决中具有十分重要的意义但高精度差分格式 也存在一些问题，它一般都比较复杂，给边界条件的处理带来一定的困难，同时为了不造成整体精 度的降低，边界也要有高阶精度的差分格式来匹配，这就导致了差分格式的不协调，给计算带来很 大不便另一方面，一般来讲，差分格式的计算量随着网格剖分的加密，即网格步长的减小而增加， 但网格步长越小，网格节点就越多，差分方程系数矩阵的阶数就越高，计算存储量就越大，故所需 计算的时间也相应增加高精度紧致差分格式的出现正好克服了这一缺陷，高精度紧致差分格式 尽可能利用较少的网格基架点，可以在不比二阶中心差分格式增加计算量的情况下，达到更高的 精度总之，高精度紧致格式具有网格基架点少，精度高，稳定性好且使求解问题边界处理简单等 优势，在偏微分方程数值解和计算流体力学领域越来越受到人们的重视，是数值模拟许多复杂流 动问题的关键技术之一目前已经发展了针对泊松方程、对流扩散方程、以及涡量一流函数变量 n a v i c r - s t o k c s 方程组u 。3 1 的高精度差分格式但目前已有的高精度紧致差分格式的多重网格方法几 乎是在均匀网格上提出和实施的而在实际流场计算中，经常遇到求物理量的浓度、温度等急剧变 化或空间分布不均匀的各向异性问题，使等距网格格式的计算精度受到很大的影响比较合理的 做法是在物理量变化急剧的方向多分布一些计算节点，而在变化缓慢的区域内少分布计算节点， 这样既可以兼顾算法的稳定性和计算结果的精确性，又可以节省计算量，因此发展非等距网格上 的高精度紧致格式具有十分重要的价值 在很多1 程问题中，会遇到各种大型代数方程组的求解，由于计算问题的复杂，相应的代数方 程组不但形式复杂，阶数更高，而且求解难度也增大最常用的方法是迭代法，但一般迭代法收敛 速度比较慢，且为了提高精度，需要将网格划分的足够精细，这样不仅计算比较麻烦，而且需要很 长的迭代时间，因此加速求解代数方程组收敛速度的迭代方法也是一个很重要的课题1 9 6 2 年 。j ：嗄j j 。? ：f 6l 。：f j i 仑乏珂j 。争? 托沦 f e d o r e n k o 【4 1 提出了求解离散方程的一种新方法，即多重网格方法的最早雏形，1 9 7 7 年b r a n d t 发表 了其开创性的文章“边值问题的多重网格适应解”哺，标志多重网格方法研究的全面开始，经过3 0 多年的发展，多重网格方法已成为数值计算领域必不可少的加速收敛方法 1 9 1 0 年r i c h a r d s o n 提出了一种外推技术，后人称之为r i c h a r d s o n 外推法1 9 2 7 年又有所改进， 它是一种简便易行而且精度又很高的数值方法，是对较粗糙的近似解进行加工得到较准确的近似 解，通过把两个不同步长下的计算结果进行加权平均和外推处理，从而使已有的计算方法的计算 精度整体提高二阶 将r i c h a r d s o n 外推法、高精度紧致差分格式、多重网格方法相结合，在非等距网格上实施计 算，可以获得相当高的计算精度，并且可以大大加快传统迭代法的收敛速度，并且对各向异性问题 的求解，有很好的计算结果，从而可以通过减少网格数来减少计算工作量和计算时间，达到提高问 题求解效率的目的 1 2 国内外研究现状 在高精度紧致差分方法中，g u p t a 嫡1 提出了二维p o i s s o n 方程的四阶精度的紧致差分格式；田振 夫基于h e r m i t e 插值法的基本思想，提出了求解二维p o i s s o n 方程一般形式的四阶和六阶紧致差 分格式族；s p o t z 和c a r e y 哺1 则分别采用待定系数法和对截断误差项进行修正的办法得到了三维 p o i s s o n 方程四阶和六阶精度的紧致差分格式；t i a n 和d a i 憎1 提出了求解一维和二维定常对流扩散 方程的高阶指数型紧致差分格式；田振夫u 伽采用降阶法得到了二维定常对流扩散方程的四阶紧致 差分格式：z h a n g 1 和t i a n n 别分别构造t - - 维定常对流扩散方程的多项式型四阶紧致差分格式； 1 9 9 2 年，l e l e 3 1 发展了具有伪谱分辨率的紧致差分方法，提出了不限于三点的对称性紧致格式，如 五点六阶精度格式，七点十阶精度格式等；为了改善数值解在激波附近的非物理的高频振荡，马延 文和付德熏提出了迎风紧致格式，为了不增加节点数而进一步提高精度，他们又提出了超紧致格 式【川；葛永斌等人纠刨提出了双曲型方程、抛物型方程，以及非定常不可压n s 方程组的高阶紧 致差分格式 另外，多重网格方法已经从理论上被证明至少对于求解线性椭圆型方程是一种最优化的数值 计算方法1 2 引近年来，随着高精度紧致格式的建立和发展，基于高精度紧致差分格式的多重网格方 法也有了长足的发展1 9 9 7 到2 0 0 2 年，g u p t a 和z h a n g 埋卜2 8 1 等人基于高精度紧致差分格式，提出了 二维和三维p o i s s o n 方程和定常对流扩散方程的高精度多重网格方法；葛永斌等人n 刚将多重网 格方法应用于双曲型方程、抛物型方程和非定常不可压n s 方程组的高精度紧致差分格式求解中， 克服了传统迭代方法在求解隐式格式时收敛速度慢的缺点，大大加快了传统迭代法的收敛速度， 提高了问题的求解效率 对r i c h a t r d s o n 外推法而言，目前被广泛应用于系统截断误差试验和精度估计工作，而在有限 差分方法中并不多见2 0 0 3 年，s u n 和2 ：h a n g 啪在四阶紧致差分格式、a d i 迭代法的基础之上，采 用r i c h a r d s o n 外推法得到了一维和二维定常对流扩散方程六阶精度的数值解；2 0 0 5 年孙志忠和李 雪玲b 将r i c h a r d s o n 外推法应用于紧交替方向隐式差分格式，外推得到反应扩散方程的六阶精度 的数值解；2 0 0 6 年r a h u l 和b h a t t a c h a r y y a 口引将r i c h a r d s o n 外推法应用于单侧有限差分逼近的数值 求解中；2 0 0 7 年，邓定文3 1 针对一类二维和三维非线性发展方程做了数值逼近法的研究，运用二阶 2 。 ! 夏j 、。7 “6i 。、；：f ? ，沦乏琊争? 齐沦 曼置皇曼曼曼曼i i ； 一 ； 一m a i m 。一。 。一。 i 一一。一i 皇曼皇曼曼 导数的紧致型差分格式和差分算子逼近分裂法对二维非线性发展方程构造了新的有限差分格式， 它在时间上和空间上分别具有二阶和四阶精度，并且运用r i c h a r d s o n 外推法将时间由二阶精度外 推到四阶精度：2 0 0 8 年，w a n g 和z h a n g m 在四阶紧致差分格式、多重网格方法的基础之上，采用 r i c h a r d s o n 外推法得到了二维p o i s s o n 方程六阶精度数的值解，充分体现了其精确和高效的计算优 势但这些仅限于二维p o i s s o n 方程和二维对流扩散方程，并且都是在等距网格上进行计算的，对 于三维方程以及非定常对流扩散方程在非等距网格上的计算有待于进一步的研究，这正是本文的 立足点和出发点 1 3 本文主要工作 本文基于已建立的椭圆型方程的高精度紧致差分格式和多重网格方法的研究基础上，利用 r i c h a r d s o n 外推法和算子插值法将高精度紧致差分格式的计算精度在非等距网格上整体提高了二 阶，并在将此方法向非定常对流扩散方程的推广方面，做了初步的尝试，且取得了一定的成果。为 此本文主要进行以下几方面的工作： 1 对二维和三维椭圆型方程，包括p o i s s o n 方程和定常对流扩散方程，在已有高精度紧致差 分格式的基础上，利用r i c h a r d s o n 夕i 推法、算子插值法和多重网格方法，在非等距网格上实施计算， 使已有的高精度紧致差分格式的计算精度提高二阶，并且对各向异性问题的求解，有更好的结果， 通过实验验证方法的精确性和可靠性 2 对二维和三维非定常对流扩散方程，在已有的高精度紧致差分格式的基础上，利用 r i c h a r d s o n 外推法和多重网格方法，在非等距网格实施计算，得到了更高精度的计算结果，通过数 值实验验证方法的精确性和可靠性 3 宁砭j j 。卜f ? ，论之第：f i i：维椭阿l ，i l j 方”的- ，1 f 誓外 f ，乏彩币f l j 恪斡i ： 第二章二维椭圆型方程的高精度外推及多重网格算法 在物理学和工程技术领域中，许多典型问题都归结为椭圆型方程对流扩散方程和p o i s s o n 方 程是应用非常广泛的椭圆型方程，对流扩散方程是描述粘性流体流动的非线性方程的线性化模型 方程，该方程可用于描述许多自然现象，例如水和大气中污染物浓度的扩散，海水盐度、温度扩散、 流体流动和传热等过程p o i s s o n 方程是流体力学、传热传质学、弹性力学、水动力学及电磁学等 基础理论研究的控制方程之一由于物理问题本身的复杂性，寻求其精确解往往非常困难，因此研 究其数值求解方法具有重要意义 本章在二维椭圆型方程已有等距网格的高精度紧致差分格式的基础上，利用r i c h a r d s o n 外推 法、算子插值法和多重网格方法，使已有高精度紧致差分格式的计算精度提高两阶 2 1二维p o i s s o n 方程非等距网格的高精度紧致差分格式 考虑如下二维p o i s s o n 方程： 碧+ 笔：厂( 训) 亿j ，) q ( 2 - 1 )- = 丁+ i i f = 【x ，y _ ) 【j ，) s 2 傩 砂 其中u ( x , y ) 是待求函数，q 为矩形区域，q = ( 工，夕) 10 x l x ，0 y ，) 首先将二维计算区域在直角坐标系中用一族平行于坐标轴的直线族进行网格剖分将区间 【o ，l x 】作以等分，记h x = i x m ，毛= h ，0 f m ；将区间【o ，】作，等分，记 h ，= ，r ，y ，= j h y , o 歹，并假设m ，都是偶数，其中h x 和j j i ，分别为z 和y 方向的 网格步长为方便起见，我们分别用数字0 到8 依次代表网格点( z ，y ) ，o + h x , j ，) ，( 五y + h y ) ， ( x h ，y ) ，( x , y h ，) ，( 石+ h x ，y4 - h ，) ，( x h x , y4 - h ，) ，( z h x ，y h y ) ，( 工4 - h x , y h y ) ， 如图l 所示用u ，( ，= 0 8 ) 表示函数u 对应各点的近似值 _ _ - _ 7 _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ - _ _ 。4 _ - - _ - _ _ - _ - - - 。8 _ _ 。 iii 图1二维空间离散子域 f i g u r e1 c o m p u t a t i o n a ls t e n d lo f 2 d 4 l，v l 百二疆，j 。p 顺i 。f ? ，沦乏 筑：节 i 维艄网p 方的- ? ? j 事 f 复 f ，乏多重h 7 i 上 j i , i i i _ -i m i i n _ il =li 。 i i i_la i 皇曼舅曼皇曼舅曼曼 丢84 j = 厶+ 击( ；厶+ ；厶) ( 2 _ 2 ) 其中 4 一1 吉+ 旁 4 = 丢c 舌一旁 铲吉c 寿一旁 4 = 丢c 舌一寺 4 = 吾c 舌一旁 4 = 击c 寿+ 旁 a = 壶c 专一旁 4 = 击c 古+ 旁 4 = 去c 寿一旁 此格式的截断误差为o ( 群+ ；) 当 ，= h ) ，= h 时，( 2 2 ) 就是方程( 2 一1 ) 等距网格上的四 阶紧皲蒡分格式此时截断误差为o ( h 4 、 2 2 二维定常对流扩散方程非等距网格的高精度紧致差分格式 考虑如下二维定常对流扩散方程： 罢+ 考讹y ) 警+ g ( ) 等川圳 小q( 2 - 3 ) 其中“( x ，y ) 是待求函数，q 为矩形区域，q = ( 五y ) 10 - x 乞，o y 0 ) ，为了保证文中所 得格式的完整性，不失一般性，假设p ( 石，y ) ，q ( x ，j ，) ，f ( x ，y ) 均为已知函数且具有充分的光滑性 取计算网格为非等距网格，在x ，y ，z 方向的步长分别为j i i ，j i l ，h ：，用数字0 到8 依次代表网 格点( 五y ) ，( x + j j l ，y ) ，( 而y + ，) ，( 工一h ；，y ) ，( x ，y h y ) ，( 石+ j | i ，y + h j ，) ，( x h x ，y + b ) ， 0 一h x ，少一砖) ，o + 丸，y 一乃) ，f f j u ( ，= o 8 ) 表示函数“对应各点的近似值 5 t j ! 疆，j 一舰卜# f t 论上 筇幸：维确啊p 方f n 的“ f i 瞍外 f 使影币m 恪钎i 土 由文献【3 7 】，可得方程( 2 3 ) 的四阶紧致差分( f 0 0 格式 81 4 “，= 厶+ 击( 矗；矾+ ；织+ j i i ；厶+ 嘭厶) ( 2 - 4 ) ，穹o - 其中 4 一扣寿+ 耖c p 2 + q 2 m c p 朋川。 仁糖寺+ 芒一p 可h 2 + h 2 + 倒+ 击暇2 咖2 玩叫酬。 妒糖一耖 砑h ；+ h 2 + l ( q 2 + 2 q y ) + 击孵蜘2 ；p q x + h ；鸭) 】o 4 = 吉c c 者一寿，+ 芒+ p 笔等+ 1p 2 十z p ，一面1 c 彰2 p 。+ 矗，2 p + ：刀，+ y 2 印，m 4 = 丢【( 寿一矽1 一万3 q + 留丽h 2 + h ；+ 圭( 9 2 + 2 9 ，) 一丐1 ( 圮g 。+ ，2 9 + ；朋，+ ，2 钾，) 】。 4 = 西1c c 虿1 + 耖去c 华州氖叫2 川+ 筹c 万p + 瓦q 吼 小老咭+ 护去c 华州氖叫2 川一筹2c 石p + 瓦qm 铲老咭+ 耖去i 华州氖叫2 川一筹c 万p + 瓦q m 4 吲1c 去+ 耖去c 华删厄叫2 + 警2 c 石p + 瓦qm 此格式的截断误差为o ( ：+ i l ；) 当 ，= j i l y = h 时，( 2 - 4 ) 就是方程( 2 - 3 ) 等距网格上的四阶 紧致差分格式，此时截断误差为o ( h 4 ) 2 3r i c h a r d s o n 外推法 基于r i c h a r d s o n 外推法和算子插值法建立求解方程( 2 1 ) 的高阶有限差分方法，计算空间包 括三部分，分别是q ：， ，q 荔。m ，q ：， ，其中q ：，k 表示细网格截断误差为o ( 而：+ j i i ；) 的解空 间，如图2 ( a ) 所示；q ：。，。表示粗网格截断误差为o ( ( 2 h ，) 4 + ( 2 h ，) 4 ) 的解空间，如图2 ( b ) 所 示：q ：。表示细网格截断误差为o ( ( 2 h 。) 6 + ( 2 j i l ，) o ) 的解空间 在计算过程中，首先通过求解( 2 - 2 ) 和( 2 4 ) 分别得到方程( 2 1 ) 和( 2 3 ) 细网格上( 图2 ( a ) ) 节点处的四阶精度近似解，同样办法可以得到粗网格( 图2 ( b ) ) 节点处的四阶精度近似解；其次， 通过r i c h a r d s o n # f 推法，得到粗网格节点处的六阶精度近似解，粗网格节点对应细网格偶数线的交 6 宁砭j 顺卜f 一论上 钯：市：维 1 ：f j 网i i j 方千i ；t n ! 矗 占f 窖钋拊，乏够币1 - 1 锋i 土 曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼皇曼曼曼曼鼍曼鼍_ 一一一i 一 一i 1 ；i 皇曼皇皇曼鼍曼曼皇曼皇曼曼皇曼曼曼曼曼曼曼鼍 点。即得剑细网格偶数线交点处的六阶精度近似解；最后，通过算子插值法得到细网格上其他节点 处的六阶精度的近似解 嚷， 咳“ ( a )( b ) 图2 c a ) 细嘲格； ( b ) 粗网格 f i g u r e2 ( a ) f i n eg r i d( b ) c o a r s e 鲥d 对四阶紧致差分格式，r i c h a r d s o n 外推法的计算公式为： 磊2 1 , 2 j 一- - - 掣( o i ，) 时，构造限制算子时只在石方向做加权平均： r v h n , h r l 。j = r 。j = k k h x , 以= 圭( “，j + 2 吒，+ ，) = 弓， 当m 基以时，构造限制算子时在x 和y 方向同时做加权平均： r ，= 。= 西 嗽何7 ，= 话1 ( + l + 2 一l + + l + + 4 ，+ 2 + - i , j - i + 2 , j - i 1 一1 ) = 弓，j 对于插值算子同样分情况讨论，当帆以时，插值算子只在x 方向做插值： p ih h h ：| h f - i j = k = r i j 巧h 以x , k _ ，, _ - - ，= 丢( 峨，) = ， 当m 曼以时，插值算子在工方向和y 方向同时做插值： p h h h x i h h y 了j 。j = i j = r 。j 8 。广丝，j 。i ：坝1 f 4 - 沦艾 粥：节 孵椭i ，万_ f l 旧一n j f 外卅乏第1 | f h 再f f ；： 磕麓弓，= ( h ，+ 弓，) = 。， 磋：皇，亏j = 专( 亏，j _ + 亏。j ) = 气，一t p 何h h 以x h y - - = 去( + 弓j + 一l + 巧乒1 ) = 川 文献【3 4 】提出一种多尺度多重网格方法来求解粗网格和细网格上的四阶精度的数值解它的 迭代过程类似于常用的完全多重网格方法( f m g ) ，但不是从最粗的网格上开始进行迭代计算过 程如图4 所示， vvv 网格q 网格q 。网格q 图4 多尺度多重网格方法 f i g u r e4t h e m u l t i s c a l em u l t i g r i dm e t h o d 计算区域包括三部分，分别是q ：、q 轰和q ：，其计算步骤为：首先，通过多重网格方法得 到细网格g 上网格节点处的四阶精度的数值解“：，( f ，j = 1 , 2 忉，及粗网格q 上网格节点处 的四阶精度的数值解”i ? ( f ，j = 1 , 2 n 2 ) 其次，通过r i c h a r d s o n 外推法，可得到方程( 2 - 1 ) 和( 2 3 ) 在粗网格上网格点处的六阶精度的近似解“如( 0 f ，_ ，n 2 ) 最后，由( 2 6 ) 式，通过 算子插值法得到细网格上其它网格点处的六阶精度的近似解循环迭代，直到误差小于控制收敛 准则 用“舻厶和三腑分别代表区域q 伪上近似解、右端项和差分算子，j 孙) 是把区域q ( f - 1 ) 上 的残余限制到区域q 胁上的算子，即“限制算子”，嚣_ 1 是把区域q 伪上的结果插值到区域q ( ，- m 上子，即“插值算子”下面给出基于r i c h a r d s o n 外推法和算子插值法及多尺度多重网格方法求解 二维方程( 2 1 ) 和( 2 3 ) 的高阶有限差分( r e c m g ) 方法的具体算法： 1 在网格q 4 上做一次矿循环，得到近似解甜4 ； 2 由网格q 4 上的近似解“4 插值得到网格q 2 的初始值“2 = ，4 2 h “4 ； 3 以”2 为网格q 2 上的初始值，做y 循环直到误差小于控制收敛准则，得到四阶精度的数值 解”芍q 4 ； 4 由四阶精度的数值解“2 插值得到网格q 的初始值u = 吃 ； 5 以为网格q 上的初始值，做矿循环直到误差小于控制收敛准则，得到四阶精度的数值解 “! ，q ：； 9 j ：疆j 、。舢砸卜f _ j = 沦殳 弼：干： # ：椭网弘方f ：1 的一h j t , j j f 誓卜 1 i 技彩m q 再t7 i ： 6 令甜乞= 砂“： 7 计算细网格上偶数节点处六阶精度的数值解：由甜：h f 2 , n ，q ：u w 2 h 川q 幺，利用格式( 2 - 3 ) 得 到解q ：。再由直接插值的方法可得到嘲；1 q ：； 8 计算细网格上奇数节点处六阶精度的数值解：由插值算子( 2 - 4 ) 得 石孑= ( ，u - a 。矗妻0 - a ：磊长。一4 矗0 易一彳。疠等。一 ah ，h + , 。n ，p + l 。 - a 6 荭i 6 + m 1 , j 州- l - a 7 h , n 圹+ i l 一代- - h , n ，+ 一l i ) 4 0 其中，f = 1 , 2 ，( m 2 ) ，j = 1 , 2 ( ，2 ) 5 9 计算细网格上奇偶节点和偶奇节点处六阶精度的数值解：由( 2 4 ) ，同8 中的方法可得 1 0 a n = 0 , 1 ，2 重复步骤6 - 9 ，醐j e r r o r = 畛虬叶1 一站i l 小于控制收敛准则 一般的多重网格方法与r i c h a r d s o n 步 b 推法及算子插值法求解此问题的算法与此算法的不同之 处在于，将此算法中的1 5 用下面的l ，2 所代替： 1 以“2 = 0 为网格q 2 上的初始值，做矿循环直到误差小于控制收敛准则，得到四阶精度的 数值解“黧q 篡 2 以u 。= 0 为网格q 。上的初始值，做y 循环直到误差小于控制收敛准则，得到四阶精度的数 值解“：，q ： 2 5 数值算例 为了验证基于r i c h a r d s o n 外推法和算子插值法及多重网格方法求解二维p o i s s o n 方程和对流 扩散方程的精确性和可靠性，考察如下有精确解问题 问题1 t z l l ( 二维p o i s s o n 方程) ： u ( x ，夕) = s i n ( 1 0 n ：r ) c o s ( 2 砂) f ( x , y ) = 一1 0 4 力r 2s i n ( 1 0 刃c ) c o s ( 2 n y ) 0 x , y l 问题2 ( 二维对流扩散方程1 ) ： u ( x ，y ) = c o s ( 4 x + 6 y ) p ( x ，夕) = d s i n ( n x ) g ( 五y ) = d c o s ( n y ) 问题3 ( 二维对流扩散方程2 ) ： u ( x ，少) = e 2 w p ( x ，y ) = d x q ( x ，y ) = 一y 其中，非齐次项f ( x ，y ) 和边界条件均由精确解给出 计算是用f o r t r a n 7 7 语言进行编程且在p 4 2 6 p c 机双精度下进行的计算过程中当误差残量 的厶范数小于控制收敛准贝j 1 0 1 0 时，认为计算达到收敛 表2 1 给出了在等距网格上基于多尺度多重网格方法的f o c 格式和r e c 格式的计算结果比 较，其中包括v ( 1 ，1 ) 循环迭代次数、c p u 时间、最大误差e r r o r 和收敛阶r a t e 对于r e c - m g 方 法，迭代次数分为三部分：粗网格q 2 上的y 循环次数，细网格q 上的y 循环次数和 l o 宁砭尺。h - 6r 一论之弼：干：绀 ：f j 网p 疗一f i 勺! i i j f ”：，卜擀，乏彩币i q f 并讳i ： 曼皇曼量量曼皇置曼曼曼曼曼曼曼量曼曼曼曼曼曼曼曼皇曼量曼曼i i 1 i i_ i i i_i _ 11 1 1 i i i 皇舅皇曼曼寰曼曼曼 r i c h a r d s o n 外推方法的迭代次数多重网格算法松弛算子分别采用点高斯塞德尔迭代( p o i i l t ) 和线 高斯塞德尔迭代方法( 1 i n e ) 计算结果表明。两种方法均达到各自所需要的精度并且采用m g f o c 的计算结果与文献【1 9 1 的结果相吻合，采用r e c m g 格式，随着网格数的增加，r i c h a r d s o n 外推方法的迭代次数在减少， 采用线高斯塞德尔迭代方法( 1 i n e ) 比点高斯塞德尔迭代( p o i n t ) 需要更少的循环迭代次数，但需更 多的计算时间 表2 1 问题1 的数值结果比较 t a b 2 1n u m e r i c a lc o m p a r i s o nr e s u l t sf o rp r o b l e ml n s t r a t e g y n u mc p ue r r o rr a t e r e c m g ( p o i n t )o o ，1 1 ) 1 3 0 0 1 6 9 1 6 ( - 2 ) 1 6 m g f o c ( p o i n t ) 1 0 0 0 1 5 6 5 8 ( - 2 ) r e c - m g ( i i n e )( 8 ，1 0 ) 1 3 0 0 1 6 9 1 “- 2 ) m g - f o c ( 1 i n o 80 0 1 5 6 5 8 ( 一2 ) r e c m g ( p o i n 0( 1 l ，1 2 ) 1 3 0 0 6 3 1 8 9 ( - 3 ) 5 6 0 3 2 m g - f o c ( p o i n t ) 1 0 0 0 4 7 3 6 1 ( - 3 ) 4 1 9 r e c - m g ( 1 i n e )( 1 0 ，1 2 ) 1 3 0 0 6 2 1 8 9 ( 3 ) 5 6 0 m g - f o c ( 1 i n e ) 90 0 4 6 3 6 1 ( - 3 ) 4 1 9 r e c - m g ( p o i n t )( 1 l ，1 2 ) 1 6 o 2 9 7 4 0 6 ( 5 ) 5 5 4 6 4 m g - f o c ( p o i n t ) 1 lo 2 6 6 2 1 9 ( - 4 ) 4 0 4 r e c - m g ( 1 i n e )( 1 2 ，1 3 ) 1 6 o 3 1 3 4 0 6 ( - 5 ) 5 5 4 m g f o c ( 1 i n e ) 1 00 1 7 2 2 1 9 ( - 4 ) 4 0 4 r e c - m g ( p o i n t ) ( 1 2 ，1 2 ) 1 4 1 5 0 0 7 4 4 ( - 7 ) 5 7 7 1 2 8 m g - f o g ( p o i n t ) 1 1 1 4 2 2 1 3 6 ( - 5 ) 4 o o r e c - m g ( 1 i n e )( 1 3 ，1 3 ) 1 4 1 5 3 1 7 3 5 ( - 7 ) 5 7 9 m g - f o c ( 1 i n e ) 1 l0 8 7 5 1 3 6 ( 一5 ) 4 o o r e c - m g ( p o i n t )( 1 l ，1 1 ) 1 1 6 0 7 9 1 2 3 ( 一8 ) 5 9 2 2 5 6 m g f o c ( p o i n t ) l l 6 0 3 1 8 4 6 ( 7 ) 4 0 0 r e c - m g ( 1 i n e )( 1 3 ，1 3 ) 11 6 9 8 4 1 2 7 ( - 8 ) 5 8 5 m g - f o c ( 1 i n e ) l l6 4 5 3 8 4 6 ( 一7 ) 4 o o 为了证实非等距网格和高精度格式处理此类问题的优势，表2 2 给出了非等距网格上 j ：疆，、 f i ! ；| i f i i 沦乏第：辛：维椭网弘，j 耵的：。- mj 受讣拊埂影币削 舁浊 m g f o c 格式和r e c m g 格式对问题l 的计算结果比较，可以看出，对m g f o c 格式来说，在 等距网格离散数n ，= 2 5 6 和n ，= 2 5 6 ，计算所得到的最大误差是8 4 6 x1 0 ，c p u 时间是 2 5 3 1 ，所需迭代次数为1 4 ，而在非等距网格离散所需网格为，= 2 5 6 和n ，= 6 4 时，最大误差 就能达到8 3 9 l o - s ，并且c p u 时间是0 5 1 5 ，迭代次数为8 ，都大大减少了 表2 2 问题1m g f o c 格式与r e c m g 格式数值结果比较 t a b2 2c o m p a r i s o no ft h en u m e r i c a lr e s u l t so ft h em g f o ca n dt h er e c m gs c h e m ef o rp r o m b l e1 m g f o c 格式r e c m g 格式 n x n y n u mc p ue r r o rn u mc p ue r r o r 2 5 62 5 61 42 5 3 l 8 4 6 ( 一7 )( 1 1 ，1 4 ) 8 2 7 9 7 1 3 5 ( 一8 ) 2 5 61 2 8l l1 2 1 9 6 5 8 ( - 7 )( 9 ，1 1 ) 1 1 1 3 7 5 2 7 9 ( - 8 ) 2 5 66 480 5 1 5 8 3 9 ( - 8 ) ( 6 ，9 ) 9 0 5 6 2 3 0 4 ( - 8 ) 2 5 63 26o 1 8 7 2 8 8 ( - 6 )( 6 ，6 ) 6 6 0 3 7 5 1 0 8 ( - 6 ) 2 5 61 660 0 9 4 1 1 4 ( - 5 )( 5 ，6 ) 1 2 1 0 2 3 5 8 1 6 ( - 6 ) 1 2 81 2 81 3o 5 1 5 1 3 5 ( - 5 )( 1 0 ，1 3 ) 1 2 0 5 9 3 7 3 5 ( 一7 ) 1 2 86 41 00 2 5 0 1 0 4 ( - 5 )( 7 ，1 0 ) 1 5 0 2 9 7 1 4 3 ( - 6 ) 1 2 83 270 0 9 3 1 3 2 ( - 6 ) ( 6 ，7 ) 2 0 0 1 2 5 5 7 4 ( 7 ) 1 2 81 660 0 3 2 4 6 1 ( - 5 )( 5 ，6 ) 5 9 0 0 6 3 3 2 8 ( - 5 ) 6 46 41 20 1 2 5 2 1 9 ( - 4 )( 9 ，1 2 ) 1 3 0 1 4 0 4 0 6 ( - 5 ) 6 43 280 0 4 7 1 7 1 ( _ 4 )( 6 ，8 ) 1 5 0 0 6 36 81 ( - 5 ) 6 41 650 0 1 6 1 9 3 ( 一5 )( 5 ，5 ) 1 5 0 0 1 6 1 5 7 ( - 5 ) 3 2 3 2l l0 0 3 l 3 6 1 ( - 3 )(