（应用数学专业论文）格矩阵幂序列的图论方法.pdf

摘要 摘要 本文利用图论方法研究了格矩阵幂序列的性质我们从模糊集与模糊关 系的概念开始，引出模糊矩阵幂序列的收敛性问题然后针对中外学者研究成 果中区间问题，把模糊矩阵幂序列的研究推广到格矩阵上 格矩阵的分解定理，是联系格矩阵和布尔矩阵之间的桥梁本文主要研究 格矩阵的有向伴随图，得到了收敛格矩阵的图论特征，进而得到了格矩阵收敛 的一些充要条件以及幂敛指数的计算方法 本文建立的有关结果可以视为对以往关于模糊矩阵幂序列的收敛性的研 究成果的发展，为格矩阵应用于神经网络等领域解决了收敛性问题 关键词；格矩阵；布尔矩阵；收敛指数；并既约元 i 北京工业大学理学硕士学位论文 a b s t r a c t t h i sp 8 p 口r e 砌e do nt h ec 0 咀、r e r 邑舯o f l a t t i c em a t r i c 笛1 1 8 i n g 鲫h t h r e t i c a la p p r o a c h a t 血融，b o t h 虹l e 僦唧t 8o ff u z z y8 e 七a n d i l z z yr e - k j o n 村eg i v 观，觚dt h e m r g 既o f 尬巧m 枷嘲j 8 妇d u d t h w e8 c r 嘲e dt h ei n t e r v a lq l l e s t i 0 咀o ft h ep 弛v i o 璐r e 蹭砌a n de 。c t e n d e dt 王峙 r 嘲e 篮c ho ff i i 杞ym 8 t r i xt ot h e 艘剖曲o fl a 越i o em t r i x i d e c o m p 商t 妣t h r 锄o fl a t t m t r i 】【b l i i l 凼t h em d g eb e t w e 1 8 ：七t i m a t r i c a n db o o l 呲m a t r i o 酷t h i 8p a p 既m a i n l yr 翻e a r d h e do nt h e d j r e c t e d 伊a p ho fl a t t i c em a t r i 渊，a n dg o tt h ef a g h - t 嫡t i c b lc b 舭a c t 幽 t i co ft h ec a 匹饨r g e n t 枷c e 如a 雠嘲，t h eg o ts o m es i i 伍槭a n d 埘鹭圈8 踟了 c 0 删凹g 凹t0 0 n d i t i o n 8o f 址t i m a t r i 嘲a 丑dt h em e t h o do fc o m p u t i n gt h e t h e 瑚l i l 妇p r 咖t e do 叫】db er e g a r d e d 髓t h e d 咖m e n to f t h ep 陀倬 咄r 朗e 凹d ho nf i i z z ym a t r i 】【a n dt h e m 帕r g e n c ep r o b l 哪i sb a 8 i c a _ l l yr o l v e d f o rl a t t i c em 8 t r i ) 【a p p l y i n gt 0n 塘6e ：i d 8o fn e r v en 蜘r i l k 哪w o r d 8 ：l a t t i m a t r 吣b o l l nm a t 血，c 叩v e r g 眈c ei n d 既j o b 岫d u d b l e 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包 含为获得北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材 料，与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留，使用学位论文的规定， 即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印。缩印或其他复 制手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 但p 隰洱 第l 章绪论 第1 章绪论 一三 北京工业大学理学硕士学位论文 1 9 6 5 年，美国控制论专家，数学家l a z a d e h 发表了论文模糊集合，标 志着模糊数学这门学科的诞生其基本思想是t 把经典的隶属关系加以扩充。 使元素对“集合”的隶属度由只能取。和1 这两个值推广到取单位区间【0 ，1 1 中的任一数值，从而实现定量地刻画模糊对象其定义如下 定义1 1 1 论域x 上的模糊集合a 定义为，a = “z ，p ( z ) ) l z x ， 其中“ 称为隶属函数，它满足 m ：x 一【0 ，1 】z 一纵( 。) 很显然，模糊集的隶属函数可看作经典集合论中集合的特征函数的推广 1 2 问题背景 在自然界中，事物之间存在一定的关系有些关系是明确的，如。父子关 系。，。师生关系”，数学上的“线性函数关系。，集合中的。属于关系”等等 即两事物要么存在这种关系，要么没有这种关系，泾渭分明然而在实际问题 中，事物之间很难用“有”或。无。来回答，如父母与子女的长相是否相像， 有时就很难作出肯定或否定的判断；两者间的。相像关系。并非非此即彼，而 是亦此亦彼，具有程度上的差异也就是说，这些关系的界限是不明确的经 典的关系是直积上的子集，自然地界限不明确的关系可用直积上的模糊集来 加以描述类似于经典二元关系在数学中的地位和作用一样，模糊二元关系在 模糊数学中有着特别重要的作用下面我们直接引入模糊二元关系的概念 定义1 2 1 设x ，y 圣，我们称笛卡儿积x y = i z 五v y 的任意一个模糊子集兄为从x 到y 的个模糊关系特别地，当y = x 时，称r 是x 上的模糊关系 有了模糊关系的定义之后，我们就可以引入模糊矩阵的概念了 定义1 2 2 设x = z l ，现， ，y = 1 ，抛，) ，r 为从x 到y 的个模糊关系，则r 可以用个m x n 阶矩阵来表示，即冗= ( ) 。，其 中勺= r 慨，协) ，t = 1 ，2 ，m ；j = l ，2 ，住由于r ( ，玢) 【0 ，1 】，故称 r = ( ) 。为模糊矩阵 2 第1 章绪论 定义1 2 3 设a = ( ) 。铆b = ( ) ，。为模糊矩阵a 与b 的v 一 乘积记为a b = ( 奶) 。，其中 奶= v ( ) 1 s 坳 定义1 2 4 设a = ( ) 为n n 阶模栅矩阵，a 的幂序列记为= ( 略) ， 其中 掣= l = - 1 ，慨1 ，为n n 彰| 单位矩阵 本文正是围绕这个定义作为研究的问题，下面我们将会回顾一下该问题 的发展历史为了使用上的方便，我们先给出以下定义 定义1 2 5 设a 为n n 模糊矩阵，满足小+ p = 小的最小正整数k 和p ，分别称为a 的收敛指数和周期指数，记为j “和巳如果p = 1 ，则称 a 收敛，否则称a 振荡 关于模糊矩阵幂序列的问题，它最早是在1 9 7 7 年由m g t 抽m 在 篇文章中提出的，并引起了广泛的关注模糊矩阵中的幂序列理论的研究的 背景是布尔矩阵理论，因为布尔矩阵可以看作特殊的模糊矩阵，有关布尔矩阵 幂序列的研究已经取得了很好的成果，比如说，对称矩阵、传递矩阵等矩阵的 幂序列已经研究的比较透彻现在的模糊矩阵幂序列的很多成果都是在这个 基础上建立起来的 对于模糊矩阵幂序列问题，m g t d m 口8 帆最主要的成果也是最明显的 结论；任一n 阶模糊矩阵的幂序列在有限步内或者收敛或者振荡，这一结论是 以后研究模糊矩阵幂序列的主要依据在这方面，其中几位学者的结果做的比 较好我国的丘以o n 疵n 定义了类称之为可控矩阵的模糊矩阵，讨论了可控 矩阵幂序列的收敛性，指出了对称矩阵，传递矩阵等都是可控矩阵【“，1 3 ，堋但是 可控矩阵这类型未能包含全部的常用矩阵随后，我国的f 矾z b u t i 觚 和髓t d e 一知在引入图论的基础上做出了较好的结果吣3 ，”- 6 一利用囹 论知识，他们以更加简捷的方式证明了以前的一些结论他们研究了模糊矩 3 北京工业大学理学硕士学位论文 阵幂序列收敛的主对角元素，讨论了模糊矩阵幂序列收敛的充分必要条件， 研究了收敛指数，给出了对任一n n 阶收敛的模糊矩阵的收敛指数最大为 ( r i 一1 ) 2 + 1 ；f 帆把州n 和”m 茹算子推广为任意的模运算，即t 一模和s 一 模运算；给出了在m 口z 一2 算子下的模糊矩阵幂序列收敛的一些充分必要条 件在这之后，许多学者又对f 帆和l 讥的成果作了总结和更细的研究，更 深的推广比如说。勖一肘 姗g t ，y g n 眈r ，g m r 一t z g p 叽口 研究了在m xm i n 运算符下的有限数量的模糊矩阵的无限次乘积，研究了幂 零矩阵问题，并在此基础上作了推广，讨论联立幂零矩阵问题2 4 一后 来，一些学者发现，以前所研究的内容均可以表示为 o ，1 1 上的格他们在此 基础上作出了一些成果。2 0 0 1 年，丁mn 一以d 研究了在【o ，1 】上的格矩 阵的指数和周期，给出了格矩阵收敛的充分必要条件m ；在2 0 0 2 年，他研究 了分配格矩阵算子的一些性质嗍；2 0 0 5 年，他研究了分配格上的幂零矩阵的 一些性质和特点，给出了指数为n 的幂零矩阵的充要条件以及递减的幂零矩 阵的一些性质删2 0 0 1 年，z 胁9 t n 一厶m 研究了在d 0 1 格下的幂零矩 阵，给出了d 0 1 格矩阵是一个幂零矩阵的充要条件删；2 0 0 4 年，姜超讨论 了利用完备的分配格工上三角模定义l 上的矩阵运算，给出了这些运算的一 些基本性质，并讨论了二上的r 一幂等矩阵，t 一传递矩阵【匏删；2 0 0 5 年。 z 幻u 以一t 讨论了在徊，1 】上m 懿一m i 算子下格矩阵的收敛性，得到了 一些相应的性质，并且证明了任何非自反矩阵的幂序列都是递减和收敛的【3 l 】 然而，在所有的文章中，我们发现。所用的矩阵都是在f 0 ，1 】上讨论模糊 矩阵幂序列的收敛性，也就是完全以布尔代数为背景；虽然对算子作了一定的 推广，符合模糊数学算子的多样性，但是没有做在区问上的推广，也就是在没 有区间的格意义上讨论矩阵的幂收敛性在本文中，我们利用已有研究成果。 把模糊矩阵幂序列推广到更一般的意义上的没有区间限制的分配格上 4 第2 章预备知识 第2 章预备知识 2 1 偏序集爰其哈斯圉 定义2 1 1 ( 偏序关系和偏序集) 设s 是集合x 上的个= 元关系，如 果s 满足， 1 ) 自反性对比x ，有z z ； 2 ) 反对称性对比，x ，若z s 口且sz ，则z = “ 3 ) 传递性对比，玑2 x ，若z 玑s ：，则z sz ； 那么，称s 为x 上的个偏序关系，称 为偏序集 在偏序集 中，若x 的任意两个元素z 和都是可比的，即关系 z s ”和z 必有一个成立，则称 为全序集全序集也成为链 例2 1 1 1 设x 为全体实数构成的集合，是实数问通常的。小于或等于”，那么， 是个链 2 集合x = l ，2 ，3 ，4 在r 下做成一个偏序集 ，这里冗= ， ， ， ， ， ， ， 这里也可以看成整数集上关于整除关系做成一个偏序集 3 令p ) 是由集合x 的所有子集构成的集合，关系为集包含关系。则 构成偏序集 由于偏序具有反对称性，因而有限集上的偏序有向图具有这样的性质， 偏序关系图没有长大于1 的回路由于偏序具有自反性，在它的关系图中。 每个顶点都有自环，为了简化起见，删去这样的自环关于偏序的关系图，我 们般用哈斯( h a 酷e ) 图来表示 定义2 1 2 ( h e 图) 设 为偏序集如果。，弘z x ，。蔓， 且z so s 冒意味着2 = 或o = 口，则称g 覆盖矗 5 北京工业大学理学硕士学位论文 图2 1 的哈斯图以x 为顶点集，当且仅当口覆盖。时。画出无向弧 ( z ，f ) ，且把z 置于f 的下方 例2 1 2 图2 1 为整除格a = 1 ，2 ，3 ，4 ，1 2 ) 的哈斯图 哈斯图的结构非常简单，层次分明，能够突出偏序关系的特征当偏序关 系的元素较多时，其关系很复杂，哈斯图就更能突出其简练的优点了值得注 意的是，两个不同定义的偏序关系，他们的啥斯图可能是相同的 为了下文使用方便，我们给出偏序集中的一些特殊元素 定义2 1 3 设 为偏序集， 1 设n a ，如果托a ，不存在d c ，则称口为a 的极大元 2 设口a ，如果v c a ，不存在c o 为a 的边集，其 中o 为格中的最小元，边的赋权为 ( ) = ，v e 我们先介绍几个图论中的简单概念g ( a ) 中首尾相接的个有向边的序 列 ， ， 称为由顶点地到顶点吩的一条通 路，简记为l g ( a ) 中的通路上 的容量记为 旺 ) ，或简记为 ( 工) ，其中 ( l ) = t ，( 工 ) = b 口。 m 。b 啦- d m 、 z c c i z c 耻( 二 = 玑、 c c z c 第2 章预备知识 l 中有向边的数目称为m 的长度如果她= ，即m 的起终点相同，则称 m 为条回路如果一条通路中的顶点不重复出现，则称之为初级回路，否 则称之为复杂回路如果条回路中的顶点，除起终点外不重复出现，则称之 为初级回路，否则称之为复杂回路很明显，任意初级回路的长度都小于或等 于n ，丽任意初级通路的长度都小于或等于n 一1 定义2 5 2 如果d ( a ) 为有向图，如果地到码可达且到优可达，称 耽，吩是强连通的；如果d ( a ) 中任意两点都是强连通的，则d ( a ) 强连通的； 如果d ( a ) 是强连通的，则记d ( a ) 的所有回路长度的最大公因子为d ( a ) ，称 为d ( a ) 或a 的回路指数 按顺序排在后面的每条回路都至少与排在其前面的某条回路或通路有一 个或以上的公共顶点，称为顺序相关如果1 ，如，厶。顺序相关，h 可以是通路也可以是回路，而如，厶。则必须都是回路如果通路三1 = l 1 ( ，q 一，q 。，) 和回路如= 如( ，t k ，) ，顺序相关，p 为任 意正整数我们定义通路厶+ p 如为- l l + p 岛2 工( ，芝：兰：警：兰：丝：7 一，) 重复f 次 我们可以用归纳的方法来定义较为复杂的情况 由通路容量的定义立即有下列引理成立 引理2 5 1 设图m 中的通( 回) 路l 可分解为通( 回) 路l 1 ，如之和， 则 伽( l ) = 叫( l 1 + 如) = 叫( l 1 ) ( 如) 定义2 5 3 如果有向图m 中存在过砜的回路，则称铫为回路顶点；若地 不是回路顶点，但是存在与单向连通的回路顶点吩，剐称饿为分支顶点； 否则称为瞬态顶点 下面的定理为我们揭示出了格矩阵的幂序列与其伴随图之间的内在联系 - 1 5 一 北京工业大学理学硕士学位论文 定理2 5 1 设小= ( 吨) 。为格矩阵a 的幂序列任给正整数女，任给 ( t ，j ) ，l l ，j n ，令( 1 ，j ，) 为仉到长为的所有通路构成的集合，则 砖= v0 ：埘。日，。主主= 以 证明s 由于在分配格下v 一 的乘积有结合律，再有运算v ， 的可交换 性和可结合性。我们有 磅=v 幻。 口l 。b 吼一。 l s h ，l 一l s ” 定理成立 2 6 本章小结 我们首先定义了偏序集的概念及其图形表示，引入了格的相关概念，并定 义了格上的矩阵，规定了它的运算，引出了格矩阵幂序列问题然后介绍了格 矩阵幂序列的有向伴随图的表示为我们在下一章作了预备工作 1 6 第3 章格矩阵幂序列的幂敛指数与计算 第3 章格矩阵幂序列的幂敛指数与计算 3 1 有限分配格e 矩阵的分解 定义3 l 1 设l 为格，个元索o 工称为并既约元，若，v 厶等 式n = 孑v 口蕴涵茁= a 或v 一口若l 有极小元o ，n o ，着v b 厶o x ，砖2 。境= 1 充分性。 设对所有的圆路磺点地，有 = 1 慨 对任意给定的( ，j ) ，1 t ，j j ，我们考察磙 ( 1 ) 若鸥= o ，t l ，则 砖= 嗜1 5 墨恐咯= o ( 2 ) 若存在岛 n 使砖= 1 ，则存在到码长为岛 n 的通路把 n 分解为饥到吩长为z 1sn 一1 的初级通路l 1 和与之相关的回路如 之和设是三l 与如的个公共顶点，则由吒= 1 ，k ，存在长为t 且通过的回路厶，我们有鸸= ( l l + 三h 。) 一1 ，女x + z 1 ，即 舰咯= l 易见，对所有瞬态或旁支顶点忱，有畦= o 讹之1 综上有a 是收敛的定理证毕 定理3 2 2 设a 为n x n 的布尔矩阵则t a 收敛 = d ( 舢= 1 该定理是显然的 2 l 一 北京工业大学理学硕士学位论文 定理3 2 3 ( 15 】) 设a 为n x n 布尔矩阵，则对任意给定的蟊，1 i ，j n ， 下列说法等价t 1 舰2 1 。 2 存在由仇到长度大于或等于n 的通路 3 存在由仇，1 t n ，使轨到也和仇到都有通路且仇是回路顶点 证明。 ( 1 ) ( 2 ) 显然成立由于长度大于或等于n 的通路必包含回路，有 ( 2 ) = 寺( 3 ) 成立设地到仇和仇到吩通路分别为l 1 和如，其长分别记为 z l ，屯由地是回路顶点。设b 是仉长为z 3 的回路，则 砖他+ i b = ( l 1 + s 岛+ 如) = l 2 1 有 酗= 1 r + 。 这证明了( 3 ) = = ( 1 ) 成立定理证毕 定理3 2 4 ( 【1 5 】) 设a 为n n 布尔矩阵如果a 收敛，则 l i ma ；a n v 4 1 v v a 2 ，i 一1 m 证明t 只需注意到任意两个顶点之间存在长度大于或等于n 的通路等价于存在 存在长度在n 和2 n l 之间的通路。由上述定理得，即有本定理成立 定理3 2 5 设l 为分配格，a 为格l 上的n n 阶矩阵，令睨为 k 的所有初级回路的集合，为非零并既约元集合。贝4 熙磙存在错坚= v ”( l ) = v # “! h 蟮k s n 2 2 第3 章格矩阵幂序列的幂敛指数与计算 证明：充分性显然 必要性t 由于1 i m 畦存在， 所以坳z i m ( ) p 存在 因为( a ) ，为布尔矩阵， 所以有占恐( ) ，2 ，泌。( ) ， ， 因为。l i m 磙= v 。l i m ( 磙) p = vv ( ) ，= v o + p e j o + ，l s 蜒nl k “ 所以结论得证 定义3 2 。2 设a 为nxn 格矩阵，口= a v v v 小= ( ) 我们称 6 l l ，6 2 2 ，以。 为a 回路容量指标氨而称为顶点仉的回 路容量指标 我们称下面定义的d i ，1 sn 是a 的回路指数集t 如果坛= 0 ，则定 义凼= l ；否则，设一v 丑砖为优并既约元分解令如为饥容量大 i k 詈r 啦 于或等于弛的回路长度的最大公约数，令d = z 唧k k 】，称d f 为q 的回路 指数 我们经常用啦，i = 1 ，n 表示模糊矩阵a 的回路容量指标容易看 到，如果口i = o ，则执一定不是a 的匿路顶点，并特别有磙= o ，慨1 ；如 果a 是收敛的，则d ( a ) = d l = 矗 定理3 2 6 设l 为分配格，a 驴“，为非零并既约元集合，则 a 收敛孛= 争坳j 如每个顶点的回路长的最大公约为1 证明t 必要性；由于a 收敛，且坳z 4 是布尔矩阵，所以岛收敛 根据布尔矩阵连通图的知识得到它的每个顶点的回路长的最大公约为1 充分性，由于v p z 4 每个顶点的回路长的最大公约为1 ，所以4 收 敛 根据格矩阵分解定理，a 收敛 一2 3 北京工业大学理学硕士学位论文 定理3 2 7 设三为分配格，a 扩“，为非零并既约元集合，如果a 收敛，则 i i ma = a ”v 4 件1 v v a 2 ，一1 k + 可以看到，定理3 1 2 确实是个非常基本而有用的结论对于给定的格 矩阵，利用上述定理结果。很容易判定其收敛性一般可按下列步骤进行 一、画出a 的伴随图d ( a ) = ，找出每个顶点的所有初级回路并确定其回路容量指标和回路指数 做完第二步后，由定理3 2 6 就可以判断出矩阵的收敛性了如果矩阵收 敛，则可以利用定理3 2 7 求出其极限事实上，利用格矩阵的收敛指数不大 于m 一1 ) 2 + 1 可以更有效地求出极限来( 定理的证明在后面) 我们有 扩= 1 i m 小，v m ( t l 1 ) 2 + l 因此，只要选择m 使2 仇一1 ) 2 + 1 ，就有 ”= l j m k + 般地，最多只需作m = 气警】+ 1 次格矩阵的乘法就可以了 另外，一种比较简单的算法是：首先找出所有非零并既约元，写出其并既 约元对应的矩阵 一、画出a 的并既约元的有向伴随图 二、找出每个顶点的所有初级回路并确定其回路指数 做完第二步后，可以判断矩阵的收敛性了 例3 2 1 考虑格工= 0 ，6 ，c ，d ，1 ，它的哈斯图如图2 1 ： 易见二为分配格，= d ，6 ，毋 现令 a = bdb c0d d1n 2 4 第3 章格矩阵幂序列的幂敛指数与计算 那么 厶= ：给么。：髫 0l 0 lo1 1 11 a = 图3 2 ( c i o1o1 l oo1 i | 1loj 它们的图形如图3 2 ( 至( c ) ，很容易看出它们的每个回路顶点都最大公 约都是1 ，所以乃= 1 现在我们从回路容量指标来看该例 掣= c61 1dc cdd 印= 1dc c11 1d1 由b = a v v 印有6 l l = 场= 6 3 3 = 1 ，即啦= 1 ， = 1 ，2 ，3 因为啦=v 砑 丹4 i t p e j 所以易= 口，6 ，d - 2 5 = 如 1j l o 0 o 0 1 1 l 0 北京工业大学理学硕士学位论文 国对 ( a 当乃= 口时，匙= 图3 3 ( c ) d ( 地) = 1 ，t = 1 ，2 ，3 当功= 6 ，d 时，同理可得d 慨) = l ， = 1 ，2 ，3 图形如图3 3 ( d ) 一( c ) 所 示 定理3 2 8 设a 为任意n n 格矩阵，只为其周期指数令m 是使 4 一收敛的最小正整数则p = m 证明t 由尸 为a 的周期指数，由定义，存在正整数k 使 a 户 ：a o 讹 k 2 6 一 ， 1 1 1 1 1 1 工1 第3 章 格矩阵幂序列的幂敛指数与计算 特别有 ( a ) - = 地= a ( i + 1 ) p = ( a ) 1v 七j f 即a p 收敛故仇段 另一方面，由月，收敛，由定义，存在正整数耳使 ( a “) = a 梳= ( a ”) + 1 = a ( 1 ) t ，iv k 2 耳 有 a “= 慨删 故m 职 最后，我们有j _ = m 定理证毕 定理3 2 9 设a 为任意n n 格矩阵，j ， 为a 的周期指数，函，1 s i 札， 为a 的回路指数，则 只= f 册【d l i 一，训 其中z m 【d l ，引表示d 1 ，厶的最小公倍数 下面是计算“的例子 例3 2 2 考虑格l = t 0 ，口，6 ，c d ，1 ，它的哈斯图如图3 1 ，已知 a = 010 o 0 0 0 0c0 0 0 0 0o106 0 o 0 0do 0 od0 oc c0 o 00 o 求“ 解。易见l 为分配格，= n ，6 ，以，g ( a ) 如图3 1 所示 一2 7 北京工业大学理学硕士学位论文 通过仇初级回路有二l ，如 口l ，的回路容量指标为口l = ( l 1 ) v w ( 如) = c 0 1 = a 2 = 衄= v 功，岛口l ，乃l ，扔= n ，6 锄= d 啦= 舶= d d l = d 2 = d 6 = f c m 【6 ，4 】= 1 2 同理d 3 = 1 2 ，d t = d 5 = 6 因此 ： = z c m 【1 2 ，1 2 ，1 2 ，6 ，6 ，1 2 】= 1 2 推论3 2 1 设工为分配格，a p “，= p l ，为 的 非零并既约元集合，则 p 2 。绥 同模糊矩阵相比，般分配格上的矩阵的周期指数计算要复杂的多，我们 通过具体的例子说明其计算过程，同模糊矩阵计算一样，也通过图论的方法来 完成 例3 2 3l