（理论物理专业论文）关于对称lax矩阵的可积多体问题的研究.pdf

摘要 经典可积多体问题一直是数学和物理学领域中研究的热点，特别是近几年， 由于发现可积模型与超刑称规范理论之间存在密切联系，引起物理学家们的普遍 关注。例如，d o n a g i i f i w i t t e n 等人发现可积系统的谱曲线s h s e i b e r g - w i t t e n t 里论中 的s e i b e r g - w i t t e n 线相互等价，d i j k g r a a f 和v a f a 等人从正则矩阵积分的平面图中 找到了n = l 的超对称规范理论中手征场的超势的一些信息，同时n d o r e y 等人从 一些经典可积系统的哈密顿相流的稳定点找到v = 1 的超对称规范理论中手征场的 超势，而n d o r e y 平n t jh o l l o w o o d 等人证明了这两种方法给出的结果相同。然而， 目前为止，我们已知的与= 2 和= 1 的超对称规范理论存在重要联系的经典多 体力学系统主要有t o d a 模型、c a l o g e r o m o s e r 模型 n r u i j s e n a a r s s c h i l e i d e r 模型。 原始的t o d a 模型只考虑多体间存在近邻相互作用的情形，对于多体问存在更长 程相互作用的情形没有考虑。后来，侯伯宇和赵柳等人研究了考虑次近邻相互作用 的t o d a 场论。本文在此基础上将原始的t o d a 模型推广到多体间不仅存在近邻而且 存在更长程( 力程为) 相互作用的情形，得到一些新的精确可解多体系统。 本文第一章介绍可积系统的哈密顿方法。第二章我们在总结原) 台t o d a 晶格l a x 矩 阵的数学性质的基础上，在对称的l 矩阵中引入更多的非对角变量，将t o d a 晶格推广 至准长程( 力程为) 相互作用的情形，给出精确求解的办法。我们发现此时系统包 含_ 曲类物体，第一类物体的行为很象普通的t o d a 粒子，因为它们之间仅仅是指数形 式相互作用，而另一类物体则仅通过速度与第一类物体发生相互作用。特殊情况下， 当第一二类物体的速度全为零时，该系统变为两个标准的t o d a 力学系统。第三章，我 们在第一章矩阵计算的结果中增加l 矩阵零迹的条件，得到李代数a ，l t o d a 模型的 推广。由于注意到原始的r o d a 晶格模型对应于半单李代数山的d y n k i n 格点，而我们 的推广的j 工b d a 晶格则刘应半单李代数a ，的所有级数小于q 的那部分根格点，凶此， 我们将半单李代数目、g 、_ d ，的根系采用同样的方法构造r 矩阵 o l a x 列，得到研、 g 、d ，李代数的推广的t o d a 模型。并给出考虑近邻( q = 1 ) ，次近邻国= 2 ) 和三近 邻向：3 ) 相互作用利运动方程的具体形式、系统相应的哈密顿量以及正则关系。 我们发现半单李代数耳、g 、d ，上的t o d a 力学向含有非近邻相可作用的情形推广 l l 后，运动方程的具体表达形式不一样，但他们又具有共同的特点，即所得的结果仍 然是指数形式的相互作用。 关键词： l b d a 模型；l a x 矩阵；根系( 李代数) ；l a x , n ；可积多体系统 a b s tr a c t l l l c l a s s i c a li n t e g r a b l em a n y b o d ys y s t e mi s a l w a y so n eo ft h em o s ti n t e r e s t i n g f i e l di nm a t h e m a t i c a la n dp h y s i c s ，e s p e c i a l l yi nt h ep a s ts e v e r a l y e a r sw h e nt h e c l o s er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e s es y s t e m sa n ds u p e r s y m m e t r i eg a u g et h e o r i e sw a s r e v e a l e d f o re x a m p l e ，d o n a g ia n dw i t t e nf o u n dt h a tt h es p e c t r a lc u r v e so ft h e s e i n t e g r a b l em a n yb o d ys y s t e n sa r ei d e n t i f i e dw i t ht h es e i b e r g w i t t e nc u r v e so ft h e s e i b e r g w i t t e nt h e o r y m o r er e c e n t l y , d i j k g r a a fa n dv a f af o u n dt h ei n f o r m a t i o n a b o u tt h es u p e r p o t e n t i a l so ft h ec h i r a lf i e l d si n8 0 l n en = l s u s y g a u g et h e o r i e s f r o mt h ep l a n a rd i a g r a mo fc e r t a i nm a t r i xi n t e g r a l 。a tt h es a m et i m e ，n d o r e y f o u n dt h es u p e r p o t e n t i a lf r o mt h ee q u i l i b r i m np o s i t i o no fh a m i l t o n i a np h a s ef l o w o fac e r t a i nc l a s s i c a li n t e g r a b l es y s t e m w h i l e ，n d o r e ya n dt j h o l l o w o o df o u n d t h a tt h e s et w ov e r yd i f f e r e n tm e t h o d sg i v eb a s i c a l l yt h es a l t l er e s u l t h o w e v e r ，s o f a r ，t h ec l a s s i c a lm a n yb o d ys y s t e m sk n o w nt op l a yc e r t a i nr o l ei nt h es t u d i e si n b o t ht h en = 2a n dn = 1 g a u g et h e o r i e sa r er e s t r i c t e dw i t h i nt h ec l a s s i c a lt o d a c h a i n s ，t h ec a l o g e r o - m o s e rs y s t e m sa n dt h er u i j s e n a a r s s c h n e i d e rm o d e l i b d ao n l yc o n s i d e r e dt h en e a r e s tn e i g h b o ri n t e r a c t i o ni nt h et o d a c h a i n jb u t n o tt h ec h a i n sw i t hl o n g e rr a n g ec o u p l i n g sb o y uh o ua n dl i uc h a os t u d i e dt h e t o d af i e l dt h e o r yw h e r et h e yc o n s i d e r e dt h en e x tt on e i g h b o ri n t e r a c t i o n s i nt h i s p a p e r ，b a s e do nt h ea b o v ew o r k ，w ew i l lc o n s i d e rt h ec a s ew h e r et h e r ea r el o n g e r r a n g ei n t e r a c t i o n s ( t h ec o u p l i n gr a n g ei s 唧，a n do b t a i ns o i n en o v e ie x a c t l ys o l v a b l e m a n yb o d ys y s t e m s i nc h a p t e ro n e ，w eg i v eab r i e fi n t r o d u c t i o nt ot h eh a m i l t o n i a nm e t h o do fi n - t e g r a b l es y s t e m i nc h a p t e rt w o ，- 4 r ei n t r o d u c em o r eo f f - d i a g o n a lv a r i a b l e si nt h e s y m m e t t i cl a xm a t r i xo ft h et o d ac h a i nm o d e l ，a n dg e n e r a l i z et h et o d ac h a i n m o d e lt ot h ec a s eo fq u a s i l o n gr a n g ei n t e r a c t i o n s ( t h ec o u p l i n gr a n g ei s ，w e a l s op r o v ei t si n t e g r a b i l i t y ，a n dg i v et h em e t h o do fh o wt oo b t a i nt h ee x a c ts o l u t i o n w es e et h a tt h es y s t e mc o n t a i n st w os e t so f p a r t i c l e s ，t h ef i r s tt y p eo fp a r t i c l e s b e h a v eq u i t el i k et h eu s u a lt o d a p a r t i c l e si nt h es e n s et h a tt h e yi n t e r a c to n l ye x p o - n e n t i a l l yw i t he a c ho t h e r ，w h i l et h es e n c o n ds e to fp a r t i c l e si n t e r a c tw i t ht h er e s t s o n l yt h r o u g hv e l o e i t i rc o u p l i n g s ap a r t i c u l a rc a s ea d s e sw h e nt h ev e l o c i t i e so fa l l t h ep a r t i c l e sf r o mt h es e c o n ds e ta r ez e r o i nt h i se a s et h es y s t e mb e c o m e st h eu n i o n o ft w oo r d i n a r yt o d am e c h a n i c s i nc h a p t e rt h r e e ，w ea d dat r a c e l e s sc o n d i t i o nt o t h el a xm a t r i xo fc h a p t e rt w o ，a n do b t a i nt h eg e n e r a l i z e dt o d am o d e lf o rt h el i e a l g e b r aa r w e a l s on o t i c et h a tt h et o d al a t t i c e sc o r r e s p o n dt ot h ed y n k i nl a t t i c e s o ft h es e m i s i m p l el i ea l g e b r aa r ，w h i l et h e g e n e r a l i z e dt o d a l a t t i c e sc o r r e s p o n dt o p a r to ft h er o o tl a t t i c e so ft h es e m i s i m p l el i ea l g e b r aa rt h e r e f o r e ，w ec o n s t r u c t t h erm a t r i xa n dl a x p a i rf o rs e m i s i m p l el i ea l g e b r a 研、g 、d ，i n t h es a m ew a y 8 8t h a to ft h es e m i s i m p l el i ea l g e b r aa r ，a n dg e tt h eg e n e r a l i z e dt o d am o d e lf o r t h es e m i s i m p l el i ea l g e b r a 毋、c r 、d ，w ea l s op r o v i d et h ee x p l i c i te q u a t i o n so f m o t i o n 、t h eh a m i l t o n i a na n dt h ec a n o n i c a lp o i s s i o nr e l a t i o n st ot h ee a s eo fq = l 、 q=2 a n dq = 3 ，w h e r eqi st h eo r d e ro ft h er o o t sw ef i n dt h a tt h ef o r m so f e q u a t i o n sc o r r e s p o n d i n gt ot h el i ea l g e b r a s 耳、o 、d r a r ed i f f e r e n tw h e nw ec o n s i d e rl o n gr a n g ei n t e r a c t i o n se x c e p tt h a tt h e yi n t e r a c te x p o n e n t i a l l yw i t he a c h o t h e r k e y w o r d s ：t o d am o d e l ；l a xm a t r i x ；r o o ts y s t e m ( l i ea l g e b r a ) ；l a x p a i r ；i n t e g r a b l em a n y - b o d ys y s t e m 独创性声明 本人郑重声明所呈交的掌位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人发表或拦写过的研究成果，也不包含为获得西北大学 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均己在论文中作丁明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名 签字同朗：年 月日 目录 己l 吉 丁l 口 自从牛顿发现万有引力以来，多体力学系统一直吸引着人们的注意。然而， 由于物体之间相互作用的复杂性，只有两体相互作用问题研究得比较清楚，能够 求出其精确解，对于多体相互作用一般无法精确求解。早在2 0 世纪7 0 年代，t o d a 提 出了考虑多体间仅存在近邻相互作用的经典t o d a 晶格模型f 1 1 ，并证明了系统的可 积性2 ，3 1 ，接着c m o g e r o 和m o s e r y 研究了具有长程关联相互作用的c a l o g e r o m o s e r ( c m ) 模型f 4 1 ，后来r u u s e n a a r s 和s c h n e i d e r 研究了c m 模型的相对论推广，即著名 的r u i j s e n a a r s s c h n e i d e r ( r s ) 模型f 5 7 】。这些模型已渗透于从固体物理学 8 ，9 至l j 物 理学的各个分支和其他学科。例如，共形场论 1 0 一1 4 】、量子霍尔效应 1 5 1 7 】、电线的 传输特性 1 8 和孤立子f 5 ，1 9 2 3 等。近几年，由于发现这些可积模型与超对称规范 理论之间存在联系，引起物理学家的普遍关注。例如，椭圆的c a l o g e r o m o s e r 模型与 超对称y a n g - m i l l s 规范理论有紧密的关系f 2 4 2 6 1 。d o n a g i h w i t t e n 等人发现可积多 体力学系统和= 2 的超对称规范理论之间存在着重要的关系2 7 ，3 3 1 a 具体地说， 我们知道经典可积多体系统的特征是用它们相应的l a x 矩阵来表示的，而这些l a x 矩 阵的谱曲线和s e i b e r g w i t t e n 理论中的s e i b e r g - w i t t e n i 主自线相互等价，而n = 2 的超 对称规范理论的模空间参数及超势的全部信息都包含在由s e i b e r g - w i t t e n 曲线所定 义的方程中。最近，d i j k g r a a 拜n v a f a 等人在用非微扰论方法研究超对称规范理论 的模空间结构方面取得重要进展3 4 。38 1 ，他们从一些正则矩阵积分的平面图中找到 了n = 1 的超对称规范理论中手征场的超势的一些信息，同时nd o r e y 等人从一些 经典可积系统的哈密顿相流的稳定点找到= 1 的超对称规范理论中手征场的超势 的一些信。n , 3 9 4 2 1 ，n n ，d o r e y $ 1 l tjh o l l o w o o d 等人证明了这两种方法给出的结果 相同4 3 1 。然而，到目前为止，我们已知的与n = 2 1 f 1 n = l 的超对称规范理论存在 重要联系的经典多体力学系统主要有t o d g 模型、c a l o g e r o m o s e r 模型 1 1 r u i j s e n a a r s s c h n e i d e r 模型。因此，进一步研究已知的超对称规范理论是否与其它的多体系统存 在联系，是否存在其它的超对称规范理论与经典的多体力学系统对应的问题是很有 价值的。 本文我们主要对t o d a 模型1 3 ，4 4 4 9 1 进一步研究。t o d a 提出的原始模型是一个 目录2 只考虑近邻相互作用的一维质点系统，这些质点问的相互作用是非线性指数形式的 相互作用，对丁：质点问存在更长程相互作用的情形没有考虑。后来，侯伯宇和赵柳等 人研究了考虑次近邻相互作用的t o d a 场论5 0 5 6 1 。本文在此基础上将原始的l b d a 模 型推“到多体间不仅存在近邻、次近邻、而且存在更长程( 力程为) 相互作用的 情形，并得到一些新的精确可解多体系统。 本文第二章，我们在总结原始t o d a 品格l a x 矩阵的数学性质的基础上，在对称 的l 矩阵中引入更多的非对角变量，将t o d a 晶格推广至准长程( 力程为吲) 相互作 用的情形，给出精确求解的办法。我们首先给出考虑存在近邻、次近邻相互作用( 即 任意给定的5 对角对称l a x 矩阵) 时系统的运动方程及其l i o u v i l l e 可积性。然后推出 考虑准长程( 力程为吲) 相互作用( 即任意p ( p 2 n 1 ) 剥角对称l a x 矩阵) 时系 统的运动方程及其l i o u v i l l e 可积性。得出此时系统中包含两类物体，第类物体的 行为很象普通的t o d a 粒子，它们之间仅仅是指数形式相互作用，而另一类物体则 仅通过速度与第一类物体发生相互作用。特殊情况下，当第二类物体的速度全为零 时，该系统变为两个标准的t o d a 力学系统，这两个i b d a 力学系统中粒子的坐标分别 用奇数、偶数表示。第三章，我们在第二章矩阵计算的结果中增加l 矩阵零迹的条 件，得到李代数a 上t o d a 模型的推广。由于注意到原始的t o d a 晶格模型对应于半 单李代数a 的d y n k i n 格点，而我们的推广的2 b d a 晶格则对应半单李代数4 ，的所有 级数小于q 的那部分根格点，因此，我们将半单李代数b 。口、d ，的根系采用司样的 方法构造r 矩阵 g l a x 对，得到日。g 、d ，李代数的推广的t o d a s g 型。并给出考虑近 邻( g ：1 ) ，次j 丘令g ( q = 2 ) 和三近邻( q = 3 ) 相互作用时运动方程的具体形式、系统相 应的哈密顿量以及正则关系。经过计算我们发现半单李代数日、o 、b 上的t o d a 力 学系统向含有非近邻相互作用的情形推广后，运动方程的具体表达形式不一样，但 他们又具有共同的特点，即所得的结果仍然是指数形式的相互作用。 第一章可积系统的哈密顿方法评述 1 1 l i o u v i l l e 可积性 我们主要研究多体相互作用系统在l i o u v i l l e 意义上的可积性。l i o u v i l l e 可积性 是说：对于一个系统，如果能够找到与其自由度数目一样多的运动积分，则此系统 可积，可以精确地求得其运动方程的解析解。这就意味着该系统存在7 1 个函数独立 的、p o i s s o i l 对易的守恒量。因此，可以保证存在一个正则变换： ( p i ，q i ) 一( 。 ( 这就是著名的作用一角变量理论) 使系统的运动方程线性化。也就是说，如果给定 哈密顿系统日( p 。，吼) ，i = 1 ，2 ，n ，运动方程为： 萨协，耻一筹 晓= h ) = 雨o h 用，i ：l ，2 ，n 来表示n 个函数独立的、p o i s s o n 对易的守恒量，显然，系统的哈密 顿是这些守恒量的线性组合。如果我们能够找到一个正则变换( 巩，q i ) 一( k t ，吼) ，( 这 里，口j - 以把( 作用变量) 看作新的动量n ，而巩( 角变量) 是p 。的正则共轭变量，可 以看作新的坐标。) 使新的哈密顿量仅仅依赖于作用变量鼽，即日= h ( p i ) ，那么， 这个系统就是完全可积的动力学系统，并由下面的方程决定： a = p 。，日( 乃) ) = 0 ( 1 1 ) 自。= 或，h ( p j ) ) = k ( p a ( 12 ) ( 11 ) 式说明仇是守恒的。那么，对于给定的a ，角变量方程( 1 2 ) 的形式为 自。= = c o n s t ( 1 3 ) ( 1 3 ) 式可以积分给出 0 。= a t + 口。 ：是积分常数，可以通过初始条件求得。这样，原则上，系统的演化可以用作用一角 变量( 肌，口；) 完全地求得。 第一章可积系统的哈密顿方法评述 1 2 l a x p a i r 表示 4 我们知道l a xp a i r 是当前广泛使用的用以构造动力学系统运动方程，证明系统 具有l i o u v i l l e 可积性及寻找动力学量可积完备集的有效工具。所$ 目l a xp a i r 是取值 在李代数量，定义在系统的相空间上的两个函数l 、m ，它们满足一个演化方程l = 【m ，纠，其中f ，1 是定义在9 上的李括号，系统的哈密顿运动方程则l a xp a i r 的演化 方程给出。构造l a x p a i r 需要用n r 矩阵，因此，我们首先要了解r 矩阵的结构以及r 矩 阵和l “p a i r 之间的关系。 设x 。是李代数学的基底，9 r 是g 的矢量空间，鲚是9 的对偶空间。由于在李代 数g 中存在不退化的不变标量积，因此可以引进泊松括号： ，( x ) ，( y ) ) = ，( ，y 矗) 其中x ，y 9 ，是g 上的线性函数 【x ，y k = f r x ，y 】+ ( x ，r y 是李括号，l a x 矩阵l 可以写为： l 。是胁、吼的函数。 采用标准记号 l 一l 一 ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( t 6 ) 三l = l 。1 = l “( 耳 1 ) i 上 l 2 = 1 l = l ”( 1 耳) ( 1 7 ) p 如果取，( x ) = l 1 ，( y ) = l 2 , 则工矩阵中任意两个矩阵元之间的泊松括号为 上式中r ，。与r 的关系为 l 1 ，l 2 ) = 【r 】2 ，l 1 + l 2 r ( x ) = r “。( x ，：x ) ( 18 ) ( 1 9 ) 第一章可积系统的哈密顿方法评述 r l 。= ”摊 墨 根据泊松括号的反剥称性知： ”= 一r ” 又根据泊松括号的雅可比恒等式知道r 1 2 满足经典y a n g b a x t e r 方程 m ，舶】+ 7 1 2 ，7 2 3 + r 1 3 ，r 2 3 】_ 0 则满足上述要求的r 的一般表达式为： 5 ( 1 ，1 0 ) ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) r = 一日 马 1 5 + f 万丁二生弋( 玩 e 一。一e 。圆b ) (113)e 。；急m ( 既，a ) ”一一一“ ” 月的一个允许的解是： r ( h ) c “ r ( 9 士芦) c9 士口 卜面我们将根据t o d a 晶格模型对应的l a x 矩阵的特点，定义任意p s2 n 1 ) 对角对称矩阵对应创j l a xp a i r 及其力学系统，并用两个定理给出该力学系统的唯 一解。 定义l 是任意条形凡礼对称矩阵f l 的非零矩阵元被限制在几个主对角线上，也 可以是没有零元的一般对称矩阵) ，m 是一个反对称矩阵，其h - - 角部分与l 的上三 角部分一样，即 彳= l o l o ( 11 4 ) 其中l ，o 为l 矩阵的一h z 角部分，l o 为_ l 矩阵的下三角部分，则系统所满足的l a x 方 程： 上= m ，l 】 ( 11 5 ) 我们称这样的系统为对称矩阵力学系统，它描述了对称矩阵l 的时间演化规律。 当然，我们也可以用上述李代数的理论对该力学系统进行描述。由于在李代 数g 中存在不退化的k i l l i n g 型，因此可以在9 r 的对偶空间毋壳上引进泊松结构： ，g ( o ) = “( 名，由。 月) ( 1 1 6 ) 第一章可积系统的哈密顿方法评述 6 其中，g c 。( 毋+ ) ，q 9 + ( 1 1 6 ) 的线性化形式就是( 14 ) 在李代数g 的所有函数中，有一类叫做伴随不变的特殊函数子集 日) ，它的定义 为： + ，【( ) x ，y 】) = o ，v x ，y 9( 1 1 7 ) 相应于片的矢量场。 根据矩阵的分解定理：对任意一个矩阵x 存在唯一的分解 x = x 。+ x 其中x + 是一个反对称矩阵，而x 一是一个严格上三角矩阵( 即主对角元全为零) 。 引进7 0 算符： 冗x = j ( 墨一x 一) ( 11 8 ) 李代数g 的矢量空问为鲰，在其上定义李括号： x ，y 】r = 冗五卅+ x ，冗明 ( 1 1 9 ) 相应的李群为 g n = k n 其中k 是正交子群，j 是上三角矩阵子群。 则 【x ，y k = 【噩，k 一 x 一，l ( 1 2 0 ) 设日是伴随不变的，则 g ( x ) ； h ，g ) ( x ) = ( x ， ( ) x + ，( ) 。+ 。) = ( x ， 7 已( v h ) x + ，( ) x 】+ 【( v k ) x + ，7 z ( ) x + 】) ( 1 2 1 ) 因为日是伴随不变的，所以上式等号右边第二项为零，将7 z 算符的定义代入，可得， g ) = ( x ， i ( ( ) x i ) + ，( ) x 一 j 1 ( ( ) x 九，( ) x + ) 又按分解定理 ；( ( ) 。) 一= j 1 ( ) 。一( ( ) 。) + ) 第一章可积系统的哈密顿方法评述 经计算最终得到 v h g ) = ( x ， ( ( ) x 。) + ，( ) 。+ ) 特殊情况下，如果我们取g f x ) j o x 本身，可得： x = ( ( ) 。+ ) + ，x 若进一步假设 日= 孰x 2 ) 则 ( ) x = x 因此，由矢量场所产生的x 的流为： x = 耳，x j 7 ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) 与开始的l a x 力学系统相比，可以看出l a x 系统本身实际上是一个含有在g ；上定义 的泊松括号的泊松系统。 下面两个定理给出了上述对称矩阵力学系统的唯一解。 定理1 ： h k ( l ) 一圭打( l ) ，( z ) ( 1 2 6 ) 是对称矩阵力学系统的运动积分，即系统的守恒量。 定j 里2 ：初始条件为l ( 0 ) = l o 的l a x 系统的唯一解为： 其中n ( t ) 是存矩阵分解 e “o = a ( t ) n ( t )( 1 2 8 ) 中的正交矩阵因子，n ( t ) 是上三角矩阵( 含有非零主对角元) 。 这两个定理的证明都比较简单，这里我们着重对定理2 进行证明。根据分解定 理，将l 。分解为 工o = l o 一+ 工。一 第一章可积系统的哈密顿方法评述 8 其中，l o + 是一个反对称矩阵，是一个上三角矩阵，则在李代数9 r 生成的李群 上： e 。l o = e t ( o + + l o ) = c t l o 十e l 。 ( 1 2 9 ) 由( 12 8 ) 和( 1 2 9 ) 可知 n ( t ) = e 儿。一( 1 3 0 ) a ( t ) = e “”( 1 3 1 ) 根据( 12 7 ) $ n ( 13 1 ) 可得： l ( 0 ) = n ( 0 ) _ 1 l o a ( 0 ) = l o 满足所给出的初始条件。 根据分解定理： l ( t ) = l ( t ) + + l ( ) 一( 1 , 3 2 ) 根据定义( 1 1 4 ) 、( 1 2 7 ) $ f l ( 1 3 2 ) n 司- 得： m ( t ) = l ( 矿。一l ( t ) 。 = 一l ( t ) + = 一a ( t ) l o + a ( t )( 1 3 3 ) 所以可以求得： f m ( t ) ，l ( t ) 】= - l ( t ) + ，l ( t ) = 一o ( t ) 一1 l o + a ( t ) ( t ) l o 。( ) + n ( t ) l o o ( ) o ( t ) l o + o ( t ) = 一n ( t ) l o + l o o ( t ) + a ( t ) 一l o l o + n ( t ) ( 1 3 4 ) 由( 1 2 7 ) 可得： 加) = 掣圳- - 1 l o 掣 将 掣l o + a 霄d 一l o + a - 1 ：l o + a = 埘。k 代入得： ( t ) = 一l o + n ( t ) 一1 l o 。( ) + n ( t ) 1 l o l o + o ( t ) = 一n 0 ) 一1l o + l o n ( t ) + n ( t ) 一1l o 正o + 。0 ) ( 1 3 5 ) 所以m ( 13 4 ) 和( 1 3 5 ) - i j 得：上( t ) = m ( t ) ，l ( t ) 定理2 得证。 第二章对称矩阵推广自g t o d a 模型 在这一章，我们主要用l a x 可积性的方法对t o d a 模型进行推广，得出推广的t o d a 力学系统，并讨论了系统的l i o u v i l l e 可积性。这里我们研究的是非周期、有限t o d a 链 的情形，在原始的t o d a 模型所对应的l a x 矩阵l 中引入更多的非对角变量，根据上一 章的定理得出考虑近邻、次近邻相互作用( 即5 对角对称l a x j g 阵) 时系统的运动方 程及其l i o u v i l l e 可积性，在此基础上用同样的方法推导出考虑更长程相互作用( 即任 意p ( p 2 n 1 ) 对角对称l a x 矩阵) 时系统的运动方程及其l i o u v i l l e 可积性。得到任 意p ( p 2 n 1 ) 对角对称l a x 矩阵对应的推广的t o d a 模型。该模型描述了一个新的 多体力学系统，在这个系统中物体之间的相互作用分为两类，一类和普通的t o d a 粒 子问的相互作用非常相似，即它们之间仅仅是指数形式相互作用，而另一类物体仅 通过速度与第一类物体发生相互作用。 下面我们考虑存在近邻、次近邻相互作用( 即任意给定的5 对角对称矩阵) 时系 统的运动方程及其l i o u v i l l e 可积性。 给定5 对角对称矩阵： l = p 18 1 ) a 1 2 ) a l “p 。n 1 1 ) 。 o 2 ) n 1 1 )p 3n 5 1 o 孑 n 孑。 p 4n 5 1 a 2 n 理4。罂。 n 翌。 按照定义( 1 1 4 ) 系统的l a xp a i r 中的m l ” 较方程两边系数，经计算得到如下运动方程： p n2 o 艘2 n 罂2 l 0 n 罂： p n1 n 罂。 n 罂。 。罂l p n ( 2 1 ) 根据l “方程l = 【m ，l 】比 a = 2 2 ) 2 + ( 。孵一( n 鼢一( n 缈) 近邻相互作用运动方程为： a ”一2 ( 。 * n 一。：2 ) 1 n ! ) + n 1 1 ( 肌+ ，一鼽) = n 趴n + 。一p 。) 9 ( 22 ) ( 23 ) ( 2 4 ) 第二章对称矩阵推广的乃d 骥型 其中：p i = 0 ( i n ) ，n ：1 = 0 ( i n 一1 ) ，0 1 2 = 0 0 礼一2 ) 从n ：2 的演化方程( 2 4 ) 我们可以看出n ：2 是可以积分的。若定义 p i = 吼 重新参数化n ：”，则可得到次近邻相互作用 0 1 2 ) = e x p ( 吼+ 2 一俄) 同时参数化近邻相互作用n ! ”，使 o ：1 = u ：1 ) e x p ( 吼+ 1 一吼) 1 0 ( 25 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 其中u ：1 为参数，将( 2 5 ) 一( 2 7 ) 代入( 2 3 ) 计算可得次近邻相互作用参数1 的运动方 程： 。f 1 ) = 。似桫一一”出e 2 ( p 1 ) ) 为了将每一个基本变量用粒子的位置来表示，我们进一步假设 ” 1 ) = 这样，经过计算我们最终得到用新的变量表达的运动方程 m= = ( 2 8 ) ( 2 9 ) e 2 ”2 l ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 由此可以看出此时系统中包含两类坐标分别为 吼) 和 z ：) 的物体，第一类物体 的行为很象普通的t o d a 粒子，因为它们之间仅仅是指数形式相互作用，而另+ 类物 体则仅通过速度与第一类物体发生相互作用。特殊情况下，当第二类物体的速度全 为零时，该系统变为两个标准的t o d a 力学系统，这两个t o d a 力学系统中粒子的坐标 分别用奇数、偶数表示。 下面，我们采用同样的方法推出考虑更长程相互作用( 即任意p ( ps2 n 一1 ) 对 角对称矩阵) 时系统的运动方程及其l i o u v i l l e 可积性。 目q 矿 2 ，l、j _ ( 一 r q m 酽 一 2 “ d 啦 ”一 留 0 一 + 叫 0 + q h 矿 “ ，1 枣 科； r1 r1 2 2 第二章对称矩阵推广的叻d 骥型 l 取系统的l a x 矩阵 p 1 n 1 n i 2 1 o 3 ) o p n ( 】 p 2 0 1 1 n 字 o 字 o i 2 。1 1 p 3 n f o 孑 n ( 3 o 乎 o p 4 n l ” n 怂n 罂， 毋。1 。 o 罂7 o 字o 乎_ 1 ) o 。 n p o r + n 乎 n 5 2 )。p 血5 1 )n 乎 n 罂。n 坐 。璺。o 裟 a z ) 。n 罂 。坦 。篙翌， 1 1 o ；。) n 字。o 妒 。乎_ 1 )n 字1 o r _ - n 乎o r a 。( q 1 - 1 q ) 一1 5 p n - 4n 罂4 口 5o 坦4p n _ 3o 罂3 5n 罂4o p n _ 2 5n 罂4o 婴3o 罂2 n 罂；n 罂。n 婴。 0 2 4 n 婴。 n 罂。 p n 一1 o 罂1 同样，按照定义( 1 1 4 ) 系统的l a xp a i r 中的m = l ”一l “。 若记l 矩阵中各次对角线离主对角线的距离为q ，并将q 称为次对角线上相应元 素的高度，贝, j a l l ) 的高度为g = 1 ，。5 2 的高度为口= 2 ，n ：“的高度为g = h 。由 丁是nxn 矩阵，所以口的最大取值为g = n 一1 ，从而可知礼、p 、口间满足关系： p 2 n 一1 ，2 q + 1 = p 对于上面给出的l a xp a i rl 、m ，根据l a x 方程( 11 5 ) ，比较方程两边系数，经 计算可得如下运动方程： 其中i 的范闱为1 i n 。 ( 2 1 2 ) o 墨) n 怂) ( 2 1 3 ) 其中i 的取值范围为1 茎i 曼n h ， 的取值范围为l h g 一1 。 = n 般p m n ) 其中 的取值范围为1 i n g 。则由( 25 ) 祠i ( 21 2 ) 可得 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 理。 n 矬。 。翌。 n 罂， p ” 撑毋毋蹬挑 。 曲 中缸 o r【 。m 2 | | p 砷“ no m 旧 2 p 。协 2 一一 一吼 第二章对称矩阵推广的t o d a 模型 其中i 的范围为l 茎i n 。 由( 25 ) 和( 2 1 3 ) 可得： 口- - h i ，= a 扎也) + 2 ( 。p 越臻 k = 1 1 2 其中i 的取值范围为1 兰i n h ， 的取值范围为l hsq 一1 。 由( 2 5 ) 和( 2 1 4 ) 可得： a ：9 = n 5 9 ( 讯+ 。一血) 其中i 的取值范罔为1 i 礼一q 。 由( 21 7 ) a ：9 的演化方程我们可以看出n 是可以积分的，因此积分得： a ! q ) = e ( 嘶+ 口一口t ) 我们可以同样地重新参数化o l “( 1s i n h1 hsg 一1 肢得 口：m = e ( q t + h - 引以“ 其中 ! “是参数，其运动方程为： o “) l is 死一h 1shs g 一1 为了将每一个基本变量用粒子的位置来表示，我们进一步假设 u ：m 一圣5 “】 这样，经过计算我们最终得到用新的变量 吼) 和 。：“) 表达的运动方程 仉= ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) “一。) 1 i n ( 2 2 1 ) q - h 岔= 2 ( 圣e 一一川一i 黔i 冀e 2 ( q i - q i - t , ) ) k = 1 1 i 茎n h ，1 hsq l( 2 2 2 ) 由此可以看出此时系统中同样包含两类物体，坐标分别为地，和 o 对应各级正根，l o 对应各级负根。 当g = 1 时， 驴o = a l “= a 一 当q = 2 时， l ”= a + 尻l o = a 一+ 口一 当g = 3 时， l 划= a + + 口+ + 0l o = a 一+ b 一+ 6 - d 对应零根，a + 、a 一分别对应正、负素根，b 上、b 一分别对应正、负二级根，c 、 c ，- 分别对应正、负三级根。 第三章日，g 、d ，类乃d 嫩型的推广 计算过程中我们要用到雅克比恒等式，即对x 、y 、z 毋，有 1 5 x ，y 】，z 】+ i f , z x + z ，x 】，y 】= 0( 3 4 ) 5 f 1 1 k i l l i n g 型的不变性，即对x 、y 、z 9 ，有：