（理论物理专业论文）heisenberg+xx和xxx模型中量子纠缠和量子相变的研究.pdf

摘要 量子纠缠是量子信息中的重要资源，可以实现包括超密集编码、量子隐形传态等 在内的众多经典方法难以实现的量子信息处理方案，具有天然保密、超高速度、超大 容量的特点。针对量子纠缠的研究十分广泛，从最基本的纠缠的定义、纠缠的度量到 纠缠态的制备、操控等具体方案的实现等等。无论是对于量子信息的基本理论还是在 未来潜在的实际应用方面，量子纠缠的深入研究都将对其产生深远的影响。由于固体 系统的可扩展性和易集成性，所以在量子信息处理，特别是量子计算的物理实现中， 是进行大规模量子计算最有希望的物理系统。大量的文献表明，固体中的自旋链是实 现量子计算和量子通讯的物理系统之一。另外，对自旋链这类多体系统纠缠的研究有 助于解释和发现新的物理现象。 量子纠缠和量子相变都是理论物理研究的重要领域之一，计算量子纠缠的方法有 很多，像部分熵纠缠度，形成纠缠度，共生纠缠，n e g a t i v i t y 。本文研究了外磁场下 三量子比特h e i s e n b e r gx x 模型中的热纠缠和量子相变，以及两量子比特的 h e i s e n b e r gx x x 自旋系统的纠缠，主要内容包括下面两部分： 1 在h e i s e n b e r gx x 模型中，研究了均匀磁场中有杂质时三量子位自旋链的量 子相变和格点之间的热纠缠。结果表明，无论杂质参数怎样变化，量子相变总是存在， 且和量子纠缠之间有确定的对应关系。磁场和杂质对量子相变和格点问的热纠缠有重 要的影响，通过调节温度，杂质参数和磁场控制纠缠，可以使纠缠出现一个稳定的平 台区，在一定的温度下，调节磁场和杂质参数可以实现此体系的纠缠丌关。 2 研究了均匀磁场和非均匀磁场中h e i s e n b e r gx x x 模型的热纠缠性质及其调控， 分别对两个量子位施加不同的可控的外磁场，通过计算系统的共生纠缠度，讨论了均 匀磁场和非均匀磁场中h e i s e n b e r gx x x 模型的热纠缠情况，另外，还讨论了临界温度 与外加磁场b 和磁场不均匀度b 的关系，发现通过控制磁场不均匀度的大小能够提高 退纠缠的临界温度。 关键词：量子光学；热纠缠度；密度矩阵；h e i s e n b e r gx x 模型； h e i s e n b e r gx x x 模型；量子相变 碡 a b s t r a c t a sa ne s s e n t i a lq u a n t u mi n f o r m a t i o nr e s o u r c e ，q u a n t u me n t a n g l e m e n tc a n r e a l i z em a n yq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o t o c o l sw h i c ha r ed i f f i c u l tt ob er e a l i z e d b y c l a s s i c a lm e t h o d sa n dh a v et h ec h a r a c t e r i s t i c so fn a t u r a l s e c u r i t y ， u lt r a h i g hs p e e d ，l a r g e c a p a c i t y ，s u c ha s q u a n t u mc r y p t o g r a p h y ，q u a n t u m t e l e p o r t a t i o ne ta 1 t h ei n v e s t i g a t i o nc o n c e r n i n gq u a n t u me n t a n g l e m e n ti s w i d e f r o mi t sb a s i cd e f i n i t i o n sa n dm e a s u r e m e n tt ot h eg e n e r a t i o na n d m a n i p u l a ti o no fe n t a n g l e ds t a t e sa n ds oo n w h e t h e rf o rt h eb a s i ct h e o r yo f q u a n t u mi n f o r m a t i o no rp o t e n t i a lf u t u r ep r a c t i c a la p p li c a t i o n s ，q u a n t u m e n t a n g l e m e n t si n d e p t hs t u d yw i1 1h a v ef a r r e a c h i n gi m p a c to nt h e m d u et o t h ee a s yi n t e g r a t i o na n ds c a l a b i l i t y ，s o l i ds t a t ea r et h ep r o m i s i n gc a n d i d a t e s f o rr e a l i z i n g q u a n t u mc o m p u t a t i o n i n q u a n t u m i n f o r m a t i o n p r o c e s s i n g e s p e c i a l l yi nt h ep h y s i c a lr e a l i z a t i o no fq u a n t u mc o m p u t i n g al a r g en u m b e r o fl i t e r a t u r e ss h o wt h a ts p i nc h a i ni so n eo ft h es y s t e m su s e df o rq u a n t u m c o m m u n i c a t i o na n dq u a n t u mc o m p u t a t i o n i ti sh e l p f u lt oe x p l a i na n dd i s c o v e r n e wp h y s i c a lp h e n o m e n at os t u d yt h ee n t a n g l e m e n to fm a n y b o d ys y s t e m s ，s u c h a ss p i nc h a i n q u a n t u me n t a n g le m e n ta n dq u a n t u mp h a s et r a n sitio n sa r ea lli m p o r t a n t a r e a so ft h e o r e t i c a lp h y s i c s ，a n dt h e r ea r em a n ym e t h o d so fc a l c u l a t i o no f q u a n t u me n t a n g l e m e n t ， s u c ha st h e p a r ti a le n t r o p yo fe n t a n g l e m e n ta n d e n t a n g l e m e n to ff o r m a t i o na n dc o n c u r r e n c ea n dn e g a t i v i t ya n ds oo n i nt h i s p a p e r ，w em a i n l yi n v e s t i g a t et h a tq u a n t u mp h a s et r a n s i t i o na n de n t a n g l e m e n t i nh e is e n b e r gx x s p i nc h a i nw i t hi m p u r i t ya n dt h e r m a le n t a n g l e m e n t i n 1 h e i s e n b e r gx x xm o d e lo ft w os p i n i 1p a r t i c l e su n d e re x t e r n a lm a g n e t i cf i e l d s t h em a i nr e s u l t so ft h i st h e s i sa r ea sf o l l o w s ： 1 w es t u d yt h eq u a n t u mp h a s et r a n s i t i o na n dt h ee f f e c to fi m p u r i t yo n t h et h e r m a le n t a n g l e m e n tb e t w e e na n yt w ol a t t i c e si nt h r e e 。q u b i th e i s e n b e r g x xc h a i ni nau n i f o r mm a g n e t i cf i e l d w es h o wt h a tt h eq u a n t u mp h a s et r a n s i t i o n a l w a y sa p p e a r sa n d h a sac o r r e s p o n d i n gr e l a t i o nt ot h eq u a n t u me n t a n g l e m e n t w h e ni m p u r i t yp a r a m e t e ri sa na r b i t r a r yc o n s t a n t t h ee x t e r n a lm a g n e t i cf i e l d a n di m p u r i t yp a r a m e t e r sh a v eag r e a te f f e c to nq u a n t u mp h a s et r a n s i t i o na n d q u a n t u me n t a n g l e m e n t b ym o d u l a t i n gt h et e m p e r a t u r e ，m a g n e t i cf i e l da n dt h e i m p u r i t yp a r a m e t e r s ，t h ee n t a n g l e m e n tb e t w e e na n yt w ol a t t i c e sc a ne x h i b i t i i 田 ap l a t f o r m - 1 i k eb e h a v i o r ，w h i c hc a nb eu s e dt or e a l i z ee n t a n g l e m e n ts w i t c h 2 t oi n v e s t i g a t et h et h e r m a le n t a n g l e m e n ta n di t sr e g u l a t i o ni nt h e p r e s e n c eo fu n i f o r mm a g n e t i cf i e l da n di n h o m o g e n e o u sf i e l di nh e i s e n b e r gx x x m o d e l ，w ee x e r tt w oc o n t r o l l a b l em a g n e t i cf i e l d so nc o u p l e dt w o q u b i ts y s t e m ， a n dc a l c u l a t et h ec o n c u r r e n c eo ft h es y s t e m ，a n dt h e nw eh a v eac o m p a r i s o n o fc o n c u r r e n c ei nt h e s et w oc o n d i t i o n s m o r e o v e r ，w eh a v ead i s c u s sa b o u tt h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ec r i t i c a lt e m p e r a t u r ea n de x t e r n a lm a g n e t i cf i e l d ， a n df i n d t h a tb y c o n t r o l l i n gt h ei n h o m o g e n e o u sm a g n e t i cf i e l db w ec a n e n h a n c et h ec ritic a lt e m p e r a t u r eo fd e a de n t a n g le m e n tg r e a tly k e yw o r d s ：q u a n t u mo p ti c s ，t h e r m a le n t a n g l e m e n t ，d e n s i t ym a t r i x ， h e i s e n b e r gx xm o d e l ，h e i s e n b e r gx x xm o d e l ，q u a n t u m p h a s et r a n s i t i o n 1 1 1 目录 中文摘要i 英文摘要 第一章前言1 1 1 量子纠缠简介1 1 2 两体纠缠的度量”2 1 2 1 部分熵纠缠度。2 1 2 2 形成纠缠度( e n t a n g l e m e n to f f o r m a t i o n ) 2 1 2 3 共生纠缠( c o n c u r r e n c e ) ”3 1 2 4 n e g a t i v i t y 。3 1 3 量子相变4 1 4 量子自旋模型及其研究现状4 1 4 1i s i n g 模型5 1 4 2x y 模型5 1 4 3 量子h e i s e n b e r g 模型5 1 5 本文的主要工作6 第二章含杂质h e i s e n b e r gx x 链中的相变与纠缠7 2 1 引。言7 2 2 理论模型和数值计算7 2 3 结果与理论分析1 1 2 3 1 量子相变11 2 3 2 正常格点间的纠缠1 2 2 3 3 杂质格点问的纠缠1 5 2 4 结论18 第三章外磁场下x x x 模型热纠缠性质及其调控研究”1 9 3 1 理论模型1 9 3 2 数值计算与理论分析2 0 3 2 1 均匀磁场和非均匀强磁场中的纠缠2 0 3 2 2 磁场b 固定，纠缠度随磁场的不均匀度b 和温度的变化”2 1 3 2 3 温度和磁场b 恒定，纠缠度随磁场不均匀度b 的变化2 2 3 2 4 临界温度与b 和b 的关系2 2 3 3 结论2 3 参考文献2 4 硕士研究生期间发表或完成的论文一2 9 致谢3 0 v 曲阜师范大学硕士学位论文 第一章前言 1 1 量子纠缠简介 在多体量子系统中量子纠缠f 1 1 是一种奇妙现象，这是因为我们对其中的一个子系统的 测量与其他子系统的测量参数有关，并且各个子系统状态的直积念不能描述复合系统的状 态，即各个子系统之问存在一种微妙的且不会因为两纠缠体系的空间分离而消失的关联。 因此可以说量子力学的叠加原理是量子纠缠的本质来源。根据这个原理，某一个力学量的 不同本征态的线性叠加可以构成个态，一个量子系统可以处在这个态上，这样会出现： 一个粒子可能在同一时刻以一定的几率出现在空间上的不同位置，一个粒子的自旋也可能 在同一时刻指向两个截然相反的方向。量子力学的创始人e i n s t e n 、p o d o s c k y 、r o s e n 、 s c h r g d i n g e r 于1 9 3 5 年提出e p r 佯谬和s c h r 6 d i n g e r 猫态佯谬【2 j ，于是产生了纠缠这一概念。 早期量子纠缠念表现出量子的非局域性，且对其研究大多停留在哲学层次上，1 9 6 4 年b e l l 提出著名的b e l l 不等式【3 1 ，在实验上验证了量子纠缠态的非局域性，因此，b e l l 不等式也 成为第一个在实验上对量子纠缠态可操作的数学判别准则。近年来，量子信息论逐渐发展 起来，且提出了量子计算机，在量子计算、量子通信和量子信息处理中，量子纠缠己作为 一种重要的资源应用其中，是实现量子密码术【4 】、量子隐形传态f 卯、量子远程计算【”】和量 子密钥分配邛驯的关键因素。 无论是对量子信息的基本理论还是对未来潜在的实际应用，量子纠缠的深入研究都将 对其产生深远的影响。对纠缠态早期的研究局限于处于绝对零度的体系，在真实的物理系 统中要想实现纠缠态是很难的。近年来，为了实现量子信息技术的实用化，越来越多的研 究致力于热平衡状态下系统的纠缠特性，尤其各种自旋链模型的研究越来越多。对于二粒 子体系和三粒子体系的自旋纠缠态及纠缠度的研究理论体系己经比较完善。系统处在正则 系综的热平衡状态下，它的状态用吉布斯密度算符表示：p = e x p 一h k t z ，其中 z ：t r e x p 一h k r 】是配分函数，k 是玻尔兹曼常数，h 是系统的哈密顿量，t 代表温度。这 就把量子信息理论和凝聚态物质理论联系起来了。 目前，学术界对有关量子纠缠基础理论中两体纠缠问题的描述为：可以通过选取适当 的表象以s c h m i d t 分解的形式1 1 0 1 表示任意两体纯态，两体纯态的纠缠度就是部分熵纠缠度， 对这些结论很多文献 i 1 , 1 2 】都做了详细的论述。目前，关于三体系统的描述方式主要有：( 1 ) 、 三比特系统中的任意一个量子态可以用含5 个实参数的标准形式来描述，并且三比特系统 可以用五个正交直积态的叠加【1 3 j 和正交直积态的个数进行分类；( 2 ) 、在任意一组标准正交 基下将三比特系统的任意态展开，展开系数可以构造些在局域幺正变换下不变的多项式 函数【1 4 】；( 3 ) 、三比特系统纯态有六种基本形式f 1 5 】，而纠缠只有l 形) 态和l g h z ) 态两种基本 形式。文献【1 6 1 中作者讨论了三体纯态可用s c h m i d t 分解的形式表达，并指出了疗体纯态可 s c h m i d t 分解的条件。四比特系统纯态的纠缠度量有九种基本形式【1 7 1 。多体系统纯态的纠 缠度量问题还在进步的研究和完善中。 曲阜师范大学硕士学位论文 从不同的角度可以把纯态和混合态之间的关系分为两种：第一，从约化的角度讲，n 体 纠缠纯态的玎一k 体约化密度矩阵一般是混合态；第二，从定义上讲，混合态是由个不 同的态矢量描写的子系统构成，当= l 时就是纯态，因此纯态是混合态的特例。通过纯念 和混合态的这种关系，研究混合念理论的就会有助于我们对纯态纠缠的认识。由于混合态 纠缠的某些特点 1 8 - 1 9 1 ，混合纠缠的研究要比纯态纠缠复杂的多，所以要获得混合纠缠度量 的解析表达式很难。 目前，混合态纠缠的度量和操作是研究的主要内容，得到公认的两体混合纠缠的度量 方法主要有：部分熵纠缠度( t h ep a r t i a le n t r o p yo f e n t a n g l e m e n t ) ，形成纠缠度( e n t a n g l e m e n t o f f o r m a t i o n ) 、共生纠缠( c o n c u r r e n c e ) ，n e g a t i v i t y 等。下面我们分别介绍一下两体纠缠 度量常用的几种方法。 1 2 两体纠缠的度量 1 2 1 部分熵纠缠度( t h ep a r t i a le n t r o p yo fe n t a n g l e m e n t ) 以两体纯态爿占为例，部分熵纠缠度定义为 乞( i 占) ) = s ( 成) = s ( 虏) ( 1 1 ) 其中s ( p a ) 为成的v o nn e u m a n n 熵 s ( p a ) = 前( 成l n , o a ) ( 1 2 ) 而成为a 体系的约化密度矩阵 成= 巩( i 吵) 爿口缈1 ) ( 1 3 ) 对于形如l ) 彳oj 甲) 占的直积纯态，有乓= o ，对于两个q u b i t s 的最大纠缠b e l l 基，有 e 。= l n2 。为了研究的方便，一般将v o nn e u m a n n 熵定义中的底数取为2 ，这样b e l l 基的纠 缠度就归为1 。 对于两体混态，我们还可以得到部分熵纠缠的推广式相对信息熵e ，其定义为 局( n 曰) = i 1 s ( 成) + s ( 伟) 一s ( n 矗) ( 1 4 ) 但相对信息熵包含了经典的信息关联，在l o c c 下可能增力【1 t 2 0 l ，因此它不是一个理想 的纠缠度量。 1 2 2 形成纠缠度( e n t a n g l e m e n to ff o r m a t i o n ) 对两体纠缠念的密度矩阵仍8 ，形成纠缠度1 2 1 1e ( n 8 ) 的定义为： 戽( 成8 ) = m i ) p 圳蜊 ( 1 5 ) 其中 引) 是n b 的所有可能的分解方式，即成口= 只i 彬) ( 彬i ，而e ，( i 彬) ) 为i ) 的部 一一_ 一一 曲阜师范大学硕士学位论文 分纠缠度，式中对n b 的所有可能的分解方式求极小值，i ) 为任意的不一定相互正交的 两体归一纯态。形成纠缠度有如下的性质 ( a ) 当且仅当n 丹为可分离态时，廓( 成b ) = 0 。 ( b ) 对于纯念，形成纠缠度- 与v o nn e u m a n n 熵相等，这个由定义很容易知道。 一般情况下，想要计算出混念的形成纠缠度是比较困难的，但是对于空间都是2 维的 两能级体系a 和b ，形成纠缠度有明确的解析式，此时汜 万= 几8 ( o ) 戌厅( 彩圆彭) ( 1 6 ) 盯? 是p a u l i 矩阵中沿少方向的矩阵，毒表示取复共轭。设其根为智，且a 五以五0 ， 按递减顺序排列，即 万i p ) = 智i p ) ( 1 7 ) 记 c ( 成疗) = m a x 0 ，丑- 4 一乃一五 ( 1 8 ) 可以证明【2 2 】n b 的形成纠缠度可以表示为 沪h1 + x 1 - c 巫2 ( p a 占) 2 ( 1 9 1 其中s h 猢o n 熵函数日( p ) = 一p l 0 9 2p 一( 1 一p ) l 0 9 2 ( 1 一p ) 。容易知道廓是c ( 成厅) 的单调函 数，即廓( 届) = e ，( 见) ，当且仅当c ( n ) = c ( 仍) 。 酣2 3 共生纠缠( c o n c u r r e n c e ) ， c o n c u r r e n c e ：2 3 1 是w o o t t e r s 等在1 9 9 8 年提出的两比特的纠缠度量。热平衡时态的密度 矩阵 以丁) = z - l e x p ( - h i x p t ) ， ( 1 1 0 ) 式中z = t r e x p ( - h k t ) 为配分函数，是b o l t z m a l l 常数，c o n c u r r e n c e 定义为 c ( n b ) = m a x 0 ，五- 4 一以一以 ， ( 1 1 1 ) 其中2 , ( i = 1 - - 4 ) 为密度算子万= 乃口( 圆仃多) 曰( q 彩) ( a - 4 如五o ) 的本征 值的平方根，盯? 是p a u l i 矩阵中沿y 方向的矩阵，拳表示取复共轭。c ( b 曰) 的变化范围在o , 1 之间，c ( n 口) = 0 ，表示分离态，c ( 成口) = 1 ，表示最大纠缠态，0 c ( 成口) 0 和 ：( j s ；s ：+ k s t s ；+ g s ；) ( 1 1 6 ) oj， j ( ，) 其中六尺、三分别代表x 、y 、z 2 y 向最近邻自旋对的耦合常数。根据耦合常数的不同， h e i s e n b e r g 模型可以分为各向同性和各向异性两种情况：j = k = l 时，对应于各向同性 曲阜师范大学硕士学位论丈 h e i s e n b e r g 模型，也称为x x x 模型；当，= k 时，对应于x x z 模型；当，k 三时， 对应于x y z 模型；x x z 模型和x y z 模型统称为各向异性h e i s e n b e r g 模型。在自然界中，各 向异性的h e i s e n b e r g 模型广泛存在，但各向同一h ! 的h e i s e n b e r g 模型几乎不存在，因此，各向 异性的h e i s e n b e r g 模型在科学研究中更有实际价值。 1 5 本文的主要工作 首先在第二章研究了均匀磁场中有杂质时三量子位h e i s e n b e r gx x 链的量子相变和格 点之问的热纠缠。结果表明，无论杂质参数怎样变化，量子相变总是存在，且和量子纠缠 之间有确定的对应关系。磁场和杂质对量子相变和格点间的热纠缠有重要的影响，通过调 节温度，杂质参数和磁场控制纠缠，可以使纠缠出现一个稳定的平台区，利用这个性质， 在一定的温度下，调节磁场和杂质参数可以实现此体系的纠缠开关。其次在第三章研究了 外磁场下x x x 模型热纠缠性质及其调控，分别对两个量子位施加不同的可控的外磁场，通 过计算系统的共生纠缠度，讨论了均匀磁场和非均匀磁场中海森堡x x x 模型中的热纠缠情 况，另外，还讨论了临界温度与b 和b 的关系，发现通过控制磁场的不均匀度的大小能够 提高退纠缠的临界温度。 6 曲阜师范大学硕士学位论丈 第二章含杂质h e i s e n b e r gx x 链中的相变与纠 缠 2 1 引言 违背贝尔不等式的实验结果证实量子力学是非定域的理论，而量子纠缠就体现了 量子态的非定域性，是量子力学里的重要概念，同时也作为一种不可或缺的资源在量子计 算和量子信息h 5 1 中有着广泛的应用。纠缠在很多物理环境中已经可以实现，其中一个 典型的例子就是自旋链中的纠缠。自旋链不仅在固体物理中可以描述比特间的相互作用， 在其他体系如量子点【4 6 】，电子自旋【4 7 1 ，光品格【4 8 1 中也可以描述比特问的相互作用。由于自 旋链具有丰富的纠缠特性，人们已经研究了各种相互作用的自旋链模型，比i s i n g 模型h 啪川， 各种h e i s e n b e r gx x 模型1 5 2 - 5 6 1 ，x y 模型1 5 7 5 9 1 ，x y z 模型1 6 0 1 有杂质时的对热纠缠6 m 6 1 等，已为量子自旋系统研究纠缠提供了非常优越的理论框架，其中自旋链的海森堡模型己 被用于基于量子点的计算研究中1 6 5 1 。杂质在一维量子系统中起着非常重要的作用，即使是 很小的缺陷也会使整个系统的性质发生很大的变化，因此研究含有杂质系统的纠缠是很有 意义的。在文献 6 6 】和 6 7 】中指出可以通过引入杂质来控制纠缠。量子相变是由于基念结构 的变化引起的，发生在绝对零度并且是由量子涨落驱动的。在多体系统中，纠缠和量子相 变有许多共同的性质【6 8 - 7 5 1 。对于三体的h e i s e n b e r gx x 链，以往的研究仅限于任意两个格 点之间的纠缠或者是有外加磁场时格点间的纠缠，对于有杂质时格点间的纠缠研究的很 少。文献f 6 3 虽然研究了有杂质存在时三体的h e i s e n b e r gx x 链中格点间的纠缠情况，但是 只讨论了杂质对正常格点之间以及杂质格点与正常格点之间的热纠缠的影响，而并未研究 外加磁场的影响。 由于外加磁场对纠缠的影响是非常大的，本文将研究在周期边界条件下，有杂质的三 体h e i s e n b e r gx x 链在外加磁场中的相变和热纠缠性质及其对纠缠的调控。为了与以前的 研究相比较，突出杂质和外加磁场对纠缠的影响，我们分别讨论正常格点问的纠缠和杂质 格点与正常格点间的纠缠两种情况。在研究时我们固定杂质参数z 或外加磁场b 中的其中 一个参数，研究热纠缠随杂质参数z 或外加磁场b 的变化。研究表明，调节温度，杂质参 数和磁场，纠缠出现一个平台区，利用这个性质，在一定的温度下，可以利用磁场和杂质 参数做纠缠开关。 2 2 理论模型和数值计算 本文研究均匀磁场中三量子位h e i s e n b e r gx x 链中杂质对纠缠的影响，我们采用 c o n c 唧n c e 【7 6 】的概念来度量纠缠度的大小。我们用p ，代表两体系统的密度矩阵，对应的 c o n c u r r e n c e 定义为 4 c = m a x 0 ，2 m a x ( 五i ) 一乃 ( 2 1 。一 曲阜师范大学硕士学位论丈 其中五( f = 1 4 ) 是算符 r 。= p u ；圆o j 、) 成虹 圆仃j 、 ( 2 2 ) 按降序排列的本征值的算数平方根，毛中的下标表示格点i ，盯；是泡利算符，成代 表岛的复共轭。即使r ，不一定是厄密的，它的本征值都是非负的。c 的取值为。到1 之间， c = 0 时表示没有纠缠，c = 1 对应于最大纠缠，0 c o 对 应反铁磁情形， o 的情况) ，可以得出( 2 5 ) 式中各本征值随参数纠j 的变化，如图( 2 1 ) 所示。从图中可 以看出随着参数驯j 的变化，基态本征值出现交叉现象，系统的基态也随之变化，即在该 点出现量子相变：当o 1 时，随着参数酬的增大， 基态依次为i 甲，) _ i 甲。) 专i 甲。) 专l 甲。) 。由此看出，量子相变的出现，使基态在非纠缠态 与纠缠态之间转换，我们可以得到量子相变和量子纠缠之间的对应关系。另外还发现在 0 1 时，除了酬j = 0 的相变点，另外两个相变 点随着参数i 酬j l 的增大而远离原点，如图( d ) 所示，因此，我们可以通过控制参数纠改 变相变点的位置。 b ，j ( c ) 图2 1 本征值随参数b i j 的变化。 2 3 2 正常格点间的纠缠 由( 2 9 ) ( 2 1 6 ) 式可以看出c o n c u r r e n c e 与，b ，t 的值有关，下面我们分别进行 讨论。 1 2 =一一uoa一 o了赢，、coao 甜 b )l d l 50 m ) 0 8 a 5 ( o - o15o02 - m，一再一、c口一o 510，50o j仉酊 5o1510之 ni母cm矗面 2 = 厶 d i i 廖 co o) 0 胪 b5o i i a 曲阜师范大学硕士学位论文 n 刁 f f jrijjj ，fr fr 。tfjf - l j lil l il l h ，h ： 翔 1il 隧 l 、 霸， 榍 、 _ ll i frji i ll f ，jji ，fi i ， l i 、l ， 0 5 0 4 u 垂0 3 l 君0 2 c 吕0 1 0 0 0 5 詈o 4 c 罢0 3 3 昱0 2 口 u 0 1 0 0 0 2 五 b ( a ) 图2 2j = - 1 时，c o n c u r r e n c e 随b ，以的变化。 【a 】 - 。 l - i 4 02 002 04 0 b - 6 0 - 4 0 - 2002 04 06 0 j 0 5 0 4 u 墨o 3 b 己0 2 c 吕o 1 0 0 02 j l ( b ) ( a ) t = 0 1 ， ( b ) t = 0 5 。 0 5 0 4 u 垂o 3 l 亘o 2 l o u 0 1 0 0 4 0 - 2 0 02 04 0 日 6 0 4 0 2 002 04 06 0 j 图2 3 j = 一l 时，以( 或b ) 取一定值时，c o n c u r r e n c e 随b ( 或z ) 的变化。( a ) ( c ) t = 0 1 ( b ) ( d ) t = 2 。 1 d l 区域，当温度定时，对于给定的材料，即杂质参数固定不变，c o n c u r r e n c e 会随 着磁场的增大由0 ( 或十分接近于o ) 迅速增大到某一固定的值，并且在一定的磁场范围 1 3 曲阜师范大学硕士学位论丈 内保持这个值不变，即出现一个平台区，随着磁场的继续增大，c o n c u r r e n c e 会迅速变为0 。 利用这一性质，我们可以通过调节磁场控制c o n c u r r e n c e ，做纠缠开关。图2 3 ( a ) 和( b ) 给出了一定温度下不同的杂质参数对应的纠缠开关的宽度。可以看出不管温度高低，k i 越 大，开关的宽度越大，并且还可以看出温度越高，只有在l 以i 比较大时才能得到比较理想 的开关，如图2 3 ( b ) 所示。 从图2 2 还可以看出利用杂质参数也可以做纠缠开关。图2 3 ( c ) ( d ) 给出了一定温 度下不同磁场的纠缠开关，可以看出杂质参数做成的纠缠丌关与磁场做成的开关是不同 的。前者可以实现纠缠从零到某一固定值的转换，后者可以实现纠缠从无到有再到无的转 换。由于杂质参数连续改变的实现有很大的难度，相对来说控制外加磁场的连续改变比较 容易实现，所以如图2 3 ( a ) ( b ) 所示的外加磁场做成的纠缠开关易实现。 2 j 0 ( 反铁磁区) 为了研究的需要，我们令，= 1 。图2 4 给出了一定温度下，c o n c u r r e n c e 随b ，以的变 化，从图中可以看出，变化情况和铁磁区情况差不多，利用磁场和杂质参数同样可以做 纠缠开关。如图2 5 和图2 6 所示。 1 0 c0 0 ( a ) 0 无 b b ( b ) 图2 4j = 1 时，c o n c u r r e n c e 随b ，以的变化。( a ) t = 0 1 ，( b ) t = 0 5 。 o1 02 03 04 002 0 ( a ) b ( b ) b 图2 5j = 1 ，j i 取一定值时，c o n c u r r e n c e 随b 的变化。( a ) t = 0 1 ( b ) t = 2 。 1 4 ：；拍加弘筋幻佰佃 5 4 3 2 1 0 o o o o o o ouc18c西 曲阜师范大学硕士学位论文 ( a )( b ) 图2 6j = 1 时，b 取不同的值，c o n c u r r e n c e 随以的变化。( a ) t = o 1 ，( b ) t = 2 。 另外，从图2 2 ( a ) 和图2 4 ( a ) 我们还可以看出，无论是铁磁体( j 0 ) ，控制温度我们都可以得到最大纠缠，即当温度r j 0 ，以- - 0 ，b j 0 时 c o n c u r r e n c e 的值达到1 。文献【1 8 】中控制温度( t 专o ，以一0 ) 也能实现最大纠缠，但是 随着l 的增大，c o n c u r r e n c e 最终为0 ，而当加入磁场后，随着l 的增大，c o n c u r r e n c e 最终达到一个稳定的值，如图2 2 和图2 4 所示。 2 3 3 杂质格点与正常格点问的纠缠 1 j 0 ( 反铁磁区) c ( a ) 0 5 j l bb 5 ( b ) 0 5 五 图2 1 0d = 1 时，c o n c u r r e n c e 随b ， 1 1 的变化。( a ) t = 0 1 ， ( b ) t = 0 5 。 ( a ) o u c o 了 u c o u ( b ) 图2 1 1d = 1 ，以取一定值时，c o n c u r r e n c e 随b 的变化。( a ) t = 0 1 ，( b ) t = 2 。 o 8 0 7 0 6 s0 5 t - 竺0 4 ： 0 5 u 0 2 o 1 0 0 6 04 02 0o 2 0 4 06 0 j ， ( a ) 图2 1 2 ，= 1 时，b 取不同的值，c o n c u r r e n c e 随z 的变化。( a ) t = 0 1 ( b ) t = 2 。 图2 1 0 给出了不同温度下j = 1 时，c o n c u r r e n c e 随b ，z 的变化。由图2 1 0 可以看出 c o n c u r r e n c e 随b ，以的变化情况和在铁磁区的变化情况类似。图2 1 1 给出了一定温度下以取 一定值c o n c u r r e n c e 随b 的变化，可以看出在b = 0 附近c o n c u r r e n c e 有突变( 和铁磁体情 况类似) ，并且温度越低，突变越快，这时不能再利用b 做纠缠开关。但是利用杂质参数z 可以做纠缠开关，使系统在纠缠与非纠缠之间转换，如图2 1 2 所示。 ouc口-jucou 8 7 6 5 4 3 2 1 0 o o o 0 o o o o o 8c譬n3su o 604o2 o o2舢 吣，、 o6 曲阜师范大学硕士学位论文 2 4 结论 由以上讨论可知，三比特的h e i s e n b e r gx x 模型也存在量子相变，并且量子相变与量 子纠缠之间有一定的关系，还可以通过控制参数改变相变点。无论是正常格点问的纠缠还 是杂质格点与正常格点问的纠缠，随着温度的升高系统的纠缠度反而降低。这是因为热起 伏会随着温度的升高而变大，并且系统为纠缠态和非纠缠态的混合态，非纠缠态所占的比 例随着温度的升高而增大，从而系统的纠缠度降低。杂质和纠缠的存在，使正常格点之间 的c o n c u r r e n c e 最终达到一个稳定的值0 5 ，使杂质与正常格点间的c o n c u r r e n c e 达到稳定 的值0 7 。在温度t 很小时，对于正常格点，无论是在铁磁区( j 0 ) ，根据c o n c u r r e n c e 随b 和以的变化特性，磁场b 和杂质参数z 都可以用来做纠 缠开关。对于杂质格点来说，杂质参数以同样可以用柬做纠缠丌关，磁场不能再被用柬做 纠缠开关，原因是当b 一0 时，无论是在铁磁区( ， 0 ) ， c o n c u r r e n c e 在b = 0 附近有突变，且温度越高，突变越缓慢。 1 8 曲阜师范大学硕士学位论文 第三章外磁场下h e i s e nb e r gx x x 模型的热纠缠 性质及其调控研究 在第二章中我们研究了含杂质h e i s e n b e r gx x 链中的纠缠情况，用到的计算纠缠的方 法是c o n c u r r e n c e ，本章采用相同的计算纠缠的方法，研究外磁场下h e i s e n b e r gx x x 模型 的热纠缠性质及其调控。 3 1 理论模型 我们考虑两量子位的情况，且对每个量子位施