（运筹学与控制论专业论文）分布参数系统的容许扰动性、可控性和鲁棒稳定性.pdf

y 丫7 7 5 7 1 分布参数系统的容许扰动性，可控性和鲁棒稳定性 运筹学与控制论专业 研究生蒋卫生 指导教师黄发伦 本文就如下三方面进行了研究t ( 1 ) 正则线性系统和非自治绝对正则线性系统的容许扰动性； ( 2 ) 具无界控翩算子的控制系统在一般b a n a c h 空间中的可控性及其无界 扰动； ( 3 ) 时滞项具无界算子的自治和非自治抽象微分方程的小时滞鲁棒稳定 性 全文分为5 章 在第一章，首先我们举出反例说明容许控制算子和容许观测算子的容许性 对一般的反馈扰动是不具遗传性的于是我们考虑正则线性系统在一般的容许 状态反馈下形成的闭环系统的正则性，并应用有关容许状态反馈的现有结果直 接她证明了这样的闭环系统也是正则线性系统现有的类似结果是在有界输出 反馈下得到的若该正则线性系统的馈通算子为零，则有界输出反馈就是一种 特殊的容许状态反馈最后，作为应用，我们将一个时滞系统转化为一个不具时 潍的正贝4 线性系统，并将正则线性系统的容许扰动性结果应用到对滞系统中 在第二章，我们考虑了非自治绝对正则线性系统在容许状态反馈下形成的 闭环系统的绝对正则性，并运用“时域。方法证明了这样的闭环系统也是非自 治绝对正划线性系统这是第一章中的结果在菲自治系统中的推广，屑对这里 的反馈比现有文献中的相应的反馈更加一般然后我们将这一结果应用到了非 自治对滞系统中 在第三章，我们首先得到了具无界控制算子的控制系统在一般b a n a c h 空 第i i 页四川大学博士学位论文 间中可控性的一个刻画，即可观测性不等式其次我们在自反b a n a c h 空间中 考虑了可控性的无界扰动问题，我们证明了当这种扰动满足定的条件时，可 控性对这种扰动是鲁棒的然后，我们在一般b a n a c h 空间中考虑了可观测性 的另一种无界扰动阍题当这个无界扰动算子与零算于在某种意义下酶距离充 分小时，可观测性对这种扰动是鲁棒的值得注意的是这章里的控制算子和 观测算子都是无界的，而现有的相关的结果都是在控制算子和观测算子有界的 情形下得到的因而我们的结果可应用到具边界控制和边界观测的偏微分方程 模型中为了克服控制算子和观浏算子的无界性带来的困难，我们也仅仅对它 们作了毖要的容许性的假设另外，两个控制系统( 或两个观测系统) 的可控 性映射( 或可观澍性映射) 的距离充分小时，它们的可控性( 或可观测佐) 就等 价，这一结果在我们的证明过程中发挥了关键性的作用 在第四章，我们得到了时滞项具无界算子的偏微分方程在驴相空间中小 时滞鲁棒稳定性的频域刻画，主要工具是基本算子族和算子值f o u r i e r 乘子理 论值得注意的是当时滞为0 时，这就是岛一半群指数稳定睦的刻画另外我 们还给出了一个小时滞鲁捧稳定性的充分条件该判别条件与时滞无关，因而 易于验证，同时又不用要求g 一半群的解析性和范数连续性，这是现有相关 结果的推广最后，我们给出了该充分条件在阻尼项具时滞的弹性系统的小时 滞鲁棒稳定性上的应用 在第五章，对于时滞项具无界算子的菲自治越物方程，我们应用纯分析的 方法证明了它是小时滞鲁棒稳定的比起现有的相关结果，我们所讨论的时滞 系统的时滞算子可以是无界的 关键词t适定线性系统，正则线性系统，非自治适定线性系统，非自治绝 对正则线性系统，容许扰动，可控性，可观测性，g b 半群，指数稳定性，小时 滞鲁捧稳定性，发展族，抛物系统 第谥页 a d m i s s i b l ep e r t u r b a t i o n ，c o n t r o l l a b i l i t ya n dr o b u s t s t a b i l i t yo fd i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m s g r a d u a t es t u d e n t ： j i a n gw e i s h e n gs u p e r v i s o r ：h u a n gf a l u n i nt h i st h e s i s ，w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gp r o b l e m s ： ( i ) t h ea d m i s s i b l ep e r t u r b a t i o nf o rr e g u l a rl i n e a rs y s t e m sa n da b s o l u t e ) 7 r e g u l a rl i o n a u t o n o l n o u ss y s t e m s ( i i ) t h ec o n t r o l l a b i l i t ya n di t su n b o u n d e dp e r t u r b a t i o nf o ri n f i n i t ed i m e n s i o n a ll i n e a rs y s t e m sw i t hu n b o u n d e dc o n t r o lo p e r a t o ri nb a n a c hs p a c e s ( i i i ) t h er o b u s ts t a b i l i t yw i t hr e s p e c tt os m a l ld e l a y sf o ra t l t o n o l n o n sa n d n o n a u t o n o m o u sd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hu n b o u n d e dd e l a yo p e r a t o r t h i st h e s i si sd i v i d e di n t of i v ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ec o n s i d e rt h er e g u l a r i t yo ft h ec l o s e d l o o ps y s t e m so b t a i n e d f r o mar e g u l a rl i n e a rs y s t e mw i t ha na d m i s s i b l es t a t e - f e e d b a c ko p e r a t o r ，a n d p r o v et h a tt h ec l o s e d - l o o ps y s t e mi sa g a i nr e g u l a r a l s o ，w et r a n s f o r mas y s t e m w i t hd e l a yi nt h eo u t p u t ，a n da p p l yo u rp e r t u r b a t i o nr e s u l t st ot h ed e l a y s y s t e m i nc h a p t e r2 ，w ec o n s i d e rt h ec l o s e d l o o ps y s t e mo b t m n e df r o ma a b s o l u t e l y r e g u l a rn o n - a u t o n o m o u sl i n e a rs y s t e mw i t ha na d m i s s i b l es t a t e f e e d b a c k ，a n d o b t a i ni t sa b s o l u t er e g u l a r i t y t h e n w ea p p l yt h i sp e r t u r b a t i o nr e s t f l t st on o d 一 a u t o n o m o u sd e l a ys y s t e m s i nc h a p t e r3 ，w e ，f i r s t ，o b t a i nac h a r a c t e r i z a t i o n ( i e ，o b s e r v a b i l i t yi n e q u a l - i t y ) f o re x a c tc o n t r o l l a b i l i t yo ft h ec o n t r o ls y s t e mw i t hu n b o u n d e dc o n t r o lo p e r - a t o ri nn o n - r e f l e x i v eb a n a c hs p a c e s e c o n d i y lw ec o n s i d e rac l a s so fu n b o u n d e d p e r t u r b a t i o no fe x a c tc o n t r o l l a b i l i t yi nr e f l e x i v eb a n a c hs p a c e ，a n dp r o v e dt h a t t h ee o n t r o l l a b i l i t yi sr o b u s tw i t hr e s p e c tt ot h i sp e r t u r b a t i o n a l s o ，w ec o i l s i d e ra n o t h e rc l a s so fu n b o u n d e dp e r t u r b a t i o no fo b s e r v a b i l l t y ，a n dp r o v et h a t t h eo b s e r v a b i l i t yi sr o b u s tw i t hr e s p e c tt ot h i sp e r t u r b a t i o nw h e nt h ed i s t a n c e 第i v 页 四川大学博士学位论文 b e t w e e nt h ep e r t u r b a t i o no p e r a t o ra n dt h ez e r oo p e r a t o ri ss m m le n o u g h 。 i nc h a p t e r4 ，w eo b t a i nf r e q u e n c y d o m a i nc h a r a c t e r i z a t i o nf o rr o b u s t n e s s w i t hr e s p e c tt os m a l ld e t a y sf o re x p o n e n t i a ls t a h i l i t yo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a - t i o n sw i t hu n b o u n d e dd e l a yo p e r a t o ri n 口一p h a b es p a c e f o rt h i sp u r p o s e ，t h e f u n d a m e n t a lo p e r a t o rf a m i l ya n dt h eo p e r a t o r v a l u e df o u r i e rm u l t i p l i e r st h e o r y a r ea p p l i e d 】ti sw o r t h yt ob en o t e dt h a ti ti sa l s ot h ef r e q u e n c y - d o m a i nc h a r a e t e r i z a t i o nf o re x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fg s e m i g r o u pw h e nt h ed e l a yi sz e r o f u r t h e r m o r e ，w eo b t a i nas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h er o b u s t n e s s t h ec o n d i t i o n i si n d e p e n d e n to ft h ed e l a y , s oi ti se a s yt ob ev e r i f i e d a tl a s t ，w ea p p l yt h e t h es u m c i e n tc o n d i t i o nt ot h ep r o b l e mo fr o b u s t l ye x p o n e n t i a ls t a b i l i t yw i t h r e s p e c tt os m a l ld e l a y so fad a m p i n ge l a s t i cs y s t e m sw i t hd e l a y i nc h a p t e r5 ，w eo b t a i nt h er o b u s t n e s sw i t hr e s p e c tt os m a l ld e l a y sf o r e x p o n e n t i a ls t a b i l j t yo fn o n - a u t o n o m o u sp a r a b o l i ce q u a t i o nw i t hu n b o u n d e d d e l a yo p e r a t o r k e yw o r d s ：w e l l - p o s e dl i n e a rs y s t e m ，r e g u l a rl i n e a rs y s t e m ，n o n a n t o n o m o u sw e l l p o s e dl i n e a rs y s t e m 7n o n a u t o l l o m o u sa b s o l u t er e g u l a rl i n e a r s y s t e m ，a d m i s s i b l ep e r t u r b a t i o n ，c o n t r o l l a b i f i t y , o b s e r v a b i l i t y c os e m i g r o u p ， e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y , s m a l ld e l a y , r o b u s ts t a b i l i t y , e v o l u t i o nf a m i l y , p a r a b o l i c s y s t e m 绪论 在现代控制理论中，许多工程控制系统，例如，弹性振动系统的控制、温度 场的控制、核反应堆的控制等系统都是以偏微分方程、偏微分一积分方程、泛 函微分方程等来描述其运动规律这一类的控箭系统是具无穷自由度的系统， 即无穷维线性系统，也称分布参数系统分布参数系统在过去的几十年里被广 泛地研究，特别是半群理论的发展( 见【2 8 ，3 0 ，4 6 ，6 8 】) ，为研究该类系统提供了 一个强有力的工具分布参数系统可以通过三种通常的抽象形式来描述一种 是。时域”描述方式，即通过该系统的输入输出函数来进行描述( 本文第二章 将采用这种描述方式) 一种是“频域“描述方式，即通过该系统的传递函数来 进行描述，还有一种就是“状态空间”描述( 我们主要采用这种描述方式) ，即 用下面的形式描述t i 圣( t ) = a x ( t ) + b u ( t ) ，t 0 ，z ( o ) = x o，。，、 1 ( f ) = 阮( ) 十d ( t ) ， u 其中a 在状态空间x 上生成g 一半群，丑，e 乃分别是控铜算子，观测算子 和馈通算子，b ，g 可以是无界的。状态空间“描述也可以是时变的情形 具边界( 或点) 控制和观测的偏微分方程或一些时滞微分方程在转化为抽 象形式( 0 0 1 ) 时，控制算子日和观测算子g 往往是无界的这种无界性会 导致( 0 0 1 ) 中的第一个式子的可解性和第二个式子的适定性存在问题为了 克服这些困难，一些抽象线性系统被引入，例如p r i t c h a r d 和s a t a m o n 引入 的p r i t c h a r d - s a l a m o n 系统【6 9 ，7 0 l ，s a l a m o n 引入的适定线性系统 7 3 ，7 4 】和 w e i s s 引入的正则线性系统【9 0 ，9 1 ，9 2 这些抽象系统以及它们的应用是目前 极为活跃的一个研究领域近年来，w 幽s ，s t a t f a n s ，c u r t a i n ，z w a r t ， r e b a r b e r ，t u c s n a k ，f l h u a n g ，b z g n o ，h a d d 等在这方面做了大量 的工作( 1 1 8 ，1 9 ，2 0 ，3 3 ，3 5 ，3 8 ，3 9 ，6 4 ，8 1 ，8 2 ，8 3 ，8 4 ，8 5 ，8 6 ，9 3 ，9 4 ，9 5 ，9 6 ，9 7 ，1 0 6 ，l o 7 3 ) 其中可稳定性和可最优化( 含二次最优控制) 8 l ，8 3 ，9 4 又是最为引人注目的问 题之一这都涉及到反馈的问题，其中反馈又包含状态反馈，输出反馈和动态 输出反馈在考虑反馈后形成的闭环系统的稳定性时，该闭环系统的正则性也 第v i i i 页 四川大学博士学位论文 是值得考虑的。我们在第一、第二章将分别讨论正则线性系统和非自治绝对正 则线性系统在容许状态反馈下形成的闭环系统的正则性另一方面，在任何反 馈中都存在时滞，我们也将在本文里讨论闭环系统的指数稳定性对小时滞的灵 敏性，目p j , 时滞鲁棒稳定性( 见第四章和第五章) 另外，我们也分舞g 研究了 ( 0 0 1 ) 中相应的控制系统( a ，b ) 和观测系统( a ，g ) 的可控性和可观测性，及 其对无界扰动的鲁棒性( 见第三章) 当( 0 0 1 ) 是p r i t c h a r d s a l a m o n 系统，其在反馈下形成的闭环系统有着很 好的正则性，见【2 3 ，5 6 1 对于适定线性系统和正则线性系统，w e i s s 和s t a f f a n s 在这方面也做了许多工作，其中s t a f f a n s 8 1 ，8 3 1 考虑了适定线性系统在动态 输出反馈下形成的闭环系统的适定性w e i s s 9 3 研究了正则线性系统在有界输 出反馈下形成的闭环系统的正则性。具体说，设( 0 0 1 ) 是正贝口线性系统( 具体定 义见本文1 2 ) ，有界算子k 隅u ) 是( 0 0 1 ) 的容许反馈算子，刚( 0 0 1 ) 在反馈“( ) = k y ( t ) + 钉( t ) ( ( t ) 是一新的控制输入) 下形成的闭环系统是正则 线性系统当且仅当j k d 可逆当馈通算子d = 0 时，则( 0 0 1 ) 在容许反馈下 形成的闭环系统定是正则的，且相应的闭环系统是= ( a k ，b k ，c k ) ，其 中a g = a q - b k c a ，b y , = b ，瓯= c a ，这里瓯是g 的a 一扩张( 见1 2 ) 这榴当予采用了与输出算予e 相关的容许状态反馈珏( ) = k c z ( t ) q - 秽( ) 若不采用w b i s s 引入的这类容许反馈，而是采用一般的容许状态反馈，即令 钍( ) = f x ( t ) + v ( t ) ，得到的闭环系统e p = ( a f ，b ，c f ) 是否是正则线性系 统，其中a f = a 十引，f c ( d ( a ) ，c 厂) 是容许输出算予? 这个问题目前 还未有人作过研究而这种一般的容许状态反馈在进一步研究无穷维线性系统 的二次最优控制和三k 控制等问题上能发挥重要作用，我们在第一章的主要贡 献就是， 证明了正则线性系统似，且，g ) 在容许状态反馈t ( t ) = f x ( t ) + v ( t ) 下形 成的闭环系统也是正则线性系统另夕卜，作为这一结果的应用，我们首先将时 滞系统( 1 5 ，1 ) 转化为一个不含时滞的正则线性系统，然后应用这一容许状态 扰动性的结果，证明了时滞系统( 1 5 8 ) 也可以转化为一个不含时滞的正则线 性系统 第政页 若令f = k c ，当k 是w e i s s 引入的那类容许反馈算子时，f 就一定 是容许状态反馈算子于是我们的结果包含了已有的相关结果对于时滞系统 ( 1 5 1 ) ，在【5 6 】的6 1 中，当状态空间，输入空问和输出空间都是有限维的 时，k e u l e n 将其转化为一个p r i t c h a r d - s a l a m o n 系统我们的讨论是在无穷维 空间下进行的，且控制算子是无界的 非自治适定线性系统和非自治( 绝对) 正则线性系统由s c h n a u b e l t 7 5 引 入首先，s c h n a u b e l t 通过个发展族，一个输入映射，一个输出映射和一个 输入输出映射定义了非自治适定线性系统和非鑫治( 绝对) 正则线性系统( 具体 的定义见2 2 ) 同时用容许控制算子和容许观测算子来表示输入映射和输出 映射( 前者是在逼近的意义下表示的，这与自治的情形有所区别) ，这在本质上 是与自治的情形( f 7 3 ，9 2 ) 一样的值碍注意的是，对于一般的非自治( 绝对) 正 则线性系统，不一定能用状态空间的形式进行描述，因为相应的输入映射不一 定像自治情形样可以通过一个容许输入算子来表示非自治( 绝对) 正则线性 系统也不能用。频域”形式来描述，于是我们像 7 5 中一样也采用“时域”形式 来描述非自治( 绝对) 正尉线性系统，因此，该系统的输入输出映射将在我们的 研究中发挥关键作用在 7 5 中，s c h n a u b d t 证明了非自治绝对正则线性系统 在容许反馈下形成的闭环系统也是非自治绝对正则线性系统这将f 9 3 1 中的容 许扰动结果推广到了非自治的情形具体说，设e = ( u ( ，) ，中，皿，) 是一个非 自治绝对正则线性系统。这里u ( - ，- ) ，西，分别是发展族，输入映射，输出映 射和输入输出映射，并设相应的容许观测算子为c ( ) ，即= a ( ) u ( ，8 ) ，这 是由的观测系统( u ( ，) ，皿) 唯一确定的另外设( ) l 。( o ，c o ；c ( y ，u ) ) 是的容许反馈算子( 见定义2 2 8 ) ，则在该容许反馈下形成的闭环系统 也是非自治绝对正尉线性系统这相当于采用的是容许状态反馈算子( ) e ( - ) 来进行反馈，因为在该容许反馈( 相应的容许反馈算于是( - ) ) 下形成的闭 环系统与它在容许状态反馈( 相应的容许状态反馈算子是( ) g ( - ) ) 下形成的 闭环系统是一样的我们将采用一般的容许状态反馈来讨论相应的闭环系统的 正则性在第二章，我们的主要贡献是： 设f ( - ) 是非自治绝对正则线性系统的容许状态反馈算子( 见定义2 3 1 ) ， 第x 页 匹i 川大学博士学位论文 我f ，证明了在该容许状态反馈下形成的闭环系统也是非自治绝对正则线性 系统另外我们还研究了时变时滞系统( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) ，并将其转化为不含 时游的非自治绝对正则线性系统 在我们得到的结果里，若令f ( ) 一( - ) e ( ) ，则当( ) 是的容许反馈 算子时，f ( ) 就是的容许状态反馈算子从而，我们的结果包含了f 7 5 中 的结果另外我们将( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 转化为不含时滞的非自治绝对正则线性 系统的方法是简单明了的，即首先确定一个相空间，然后定义该相空间中的一 个算子a ( t ) ，t 0 ，使得能把时滞隐含在a ( t ) 中再定义相应的控制算子和观 测算子最后再证明它们构成了一个非自治绝对正则线性系统 对于( 0 0 1 ) 中相应l 捌空制系统( a ，b ) ，它在自反b a n a c h 空闺中的可控 性得到了广泛的研究【2 2 ，1 0 9 ，1 0 4 1 在这些文献里，精确可控性的等价刻画被 得到，即可观测性不等式特别地，在【1 0 4 中，作者假设a 生成c 一半群，而 不是g 一半群最近，( a ，b ) 在一般b a n a c h 空间中的精确可控性的等价刻 画( 即可观测性不等式) 也被获得，可见【1 2 ，5 9 ，8 7 ，n o 等文献在这种情形下， p ( t ) ) t o 的对偶半群不一定是强连续的为了克服这带来的困难，往往要对状 态空问x 和输入空间u 作某些假设，例如假设它们具r a d o n n i k o d y m 性 质，不一例外，这些刻画都是在控制算子b 有界的情形下获得的而实际偏微 分方程模型中，当控制旅加在边界或某些点上时，将会产生无界的控制算予因 此，当b 无界时，( a 启) 的可控性问题是值得研究的另外，b ) 的可控性 的无界扰动问题也受到许多关注例如在f l o ，5 9 j 中，作者考虑了( a ，b ( t ) ) ， 这里- b ( ) 五慧( o ，o o ；厶( 配x ) ) ，的无界扰动问题，即( a + p 日( t ) ) 对怎样 的算子p 也如( a ，b ( t ) ) 一样是精确可控的? 他们都对p 作如下假设； ( h )p 是x 上的闭的线性算子，d ( a ) d ( p ) ，且存在局部p 一可积 函数k ( t ) 0 使得 i i p t ( t ) x l l k ( t ) l l 。 i ，d ) ， 其中1 p 0 按算子范数连续。且 b ( x ) ，则当吐( 站= a “( z ) + b 钍( 亡一r ( f ) ) 中的时变时滞充分小时，该时滞对它 的指数稳定性不产生影响此后，该问题被广泛研究( 例如； 6 0 ，6 3 ，6 5 ，6 6 ，7 2 】) 当时滞项中的算子b 无界时，l i u 6 3 】对a 在b a n a c h 空间x 生成解析半群， 第x i i 页 四川大学博士学位论文 口是( 一a ) a 有界的( 0 o 1 ) 的情形，在相空间g ( 一r ，o 】，d ( 口) ) 中给出了 系统( 0 0 2 ) 的小时滞鲁棒稳定性最近，b d t k a i 等 7 , 8 ，9 】在工p 相空间中给出 了类似于f 6 3 中的结果但b d t k a i 等的工作与我# 所谓的，、对滞鲁棒稳定性还 不完全一样具体说，设a 生成解析半群b 是( 一a 户有界的( o q 1 ) ， 设1 0 和u ， 0 使得 l l 互( ) j j c f 品1 尬e 一“”，t 0 然而，并不知道a 0 和u ， 0 是否与r f 0 ，r d 】无关而我们所说的小时 滞鲁棒稳定性是要求且露 0 和c a ) r 0 与r 【0 ，r 0 】无关的。在第四章，我们 的主要贡献是： 设口满足假设( ) ，即b v ( a ) 我f 首先用半群方法证明了时滞系统 ( 0 0 2 ) 的适定性值得注意的是我们对( 0 0 ，2 ) 的解半群给出了一个致指数 有界性的估计再通过解半群，引入基本算子族，并由基本算子族给出了小时 滞鲁棒稳定性的几个等价条件再应用算子值f o m i e r 乘子理论，特别是岛一 半群在b a n a c h 空间上指数稳定的频域刻画，获得了( 0 0 2 ) 小时滞鲁棒稳定性 的频域刻画。另外，由这一结果，我们得到了( 0 0 2 ) 小时滞鲁棒稳定性的一个 易于验证的充分条件，并将其应用到阻尼具时滞的弹性系统中 在我们得蓟的频域刻画中，若令时滞为零，则就是相应的6 o 半群的指数 稳定性的频域刻画。另外我们得到的充分条件中，并不要求a 生成的岛一半 群( ，( t ) ) 锄解析，也不要求按算子范数连续，只需b t ( t ) 按算子范数连续即 可。 对于如下非自治系统的小时滞鲁棒稳定性： 吐( 。) = a ( 。) 儿( 。) + 口( 。) ( 。一r ( 。) ) ， 三5 o ， ( oo 3 ) l 珏( s ) = u o ，“s ( = ， 其中( a ( ) ，d ( a ( t ) ) ) 在b a n a c h 空间x 上生成指数有界发展族( u ( t ，s ) ) 帆，o ， b ( t ) 是x 上的一族线性算子( 可能无界) ，( ) 是历史函数，也得到了一些关 注3 7 斛在f 3 1 1 中，譬者利【j 罩发展半群的谱理论，研究了非自治时滞发展方 程的鲁终稳定i 生月题，将z j 对于曩的非自治系统，h 口一f ) i ib m 一( 1 宅闯x i ：生成一书正发暖旗且：，j 、口r 一”j 一量! ( i 。0 x jc ，：一i ! j ，则【o0 ：；是 小时滞鲁捧稳定的。这是对1 叫中的结果的推广，在扫5 中作者证明了正半群 的稳定性不受时滞的影响。弓外，在i 3 4 j 中，作者在甘( ) q hx ：、c 。；，y 1 】 且 b l j 。= s 1 】j ，j i 口 f 州t 、粥的情况下，给出了c o o ，3 j 小时滞鲁搓稳定隆的 个充分条件，即， f i ；j m i 。! 。】对l s ，0 0 ， 可( t ) = c x ( t 1 ) ，( 1 1 2 ) lz ( o ) ：= z ，口( 日) = ，( a ) ，0e - - 1 ，o 】， 其中a 在b a n a c h 空间爿中生成岛一半群( t ( t ) ) t o ，b c ( 以x 一1 ) 对 ( t ) t o 是容许控册算子，c c ( x ， ，) 是有界的观泐算子然后再通过正则 线性系统的容许状态扰动结果，我们证明了如下时滞系统也能转化为一个正则 第3 页 线性系统 毒 ) = 4 z h ) 十b f x ( t 一1 ) + b u ( t ) ，t 0 ， 驴( 站= g 。尊! ) ， ( 1 1 3 ) x ( o ) = z ，z ( 口) = ，( 口) ，口 _ 1 ，o ， 其中f e ( x ，u ) 且f f f ( x ，充分，j 、我们采用了( 5 6 2 中所使用的方法 在 5 6 第六章中，当x ，( ，y 都是有限维空间时，作者将( 1 1 2 ) 转化为一个 p r i t c h a r d s a l a m o n 系统最近，h a d d 等人f 3 6 ，3 8 ，3 9 】研究了如下非倦一般的 时滞系统： i 虫( t ) = a x ( t ) + 五既+ z 丸t ，t 0 ， y ( t ) = c x t + d u t ，( 1 ，1 4 ) iz ( o ) = x ，茁( p ) = ，( p ) ，让( p ) = = g ( p ) ，口卜l ，o ， 其中a 生成岛半群，l ( 1 ，( 一1 ，o 】，x ) ，x ) ，b c ( 彤1 ，( 【_ 1 ，o 】，u ) ，x ) ， c c ( w ，1 、9 ( 【1 ，o 】，x ) ，y ) ，d c ( 1 舻( f l ，0 ，u ) ，r ) ，t “( ) = 钍0 + ) ，他们 在对b ，l ，g ，d 如以非常复杂、严格的约束条件后，将( 1 1 4 ) 转化为一个正则 线性系统而在( 1 1 2 ) 和( 1 1 3 ) 中，丑是无界的且仅仅对它施加了必要的容 许性假设，另外我们的证明过程也简单明了。 本章的安排如下t 在第二节，我们介绍了正则线性系统的概念和相关性质， 这主要取材于 9 2 ，9 3 】在第三节，我们给出了个二阶双曲控制系统的例子来 说明控秘算子和观澍算子的容许位不具遗传性，即设b ，g 对仃( f ) ) 伽是容许 的，但对( 砰( ) ) t o 是不容许的，这里( t f ( t ) ) t o 的生成是a + b f ，f 是对 ( r ( ) ) t o 静容许观漓算子在第四节。我栉 证明了一个正则线性系统在容许状 态反馈下形成的闭环系统也是正则的在最后一节，我们将一个具输出时滞的 时滞系统转化为一个正则线性系统，同时通过正则线性系统在容许状态反馈下 的扰动结果，说明了一个其状态时滞和输出时滞的时滞系统也能转化为一个正 则线性系统 第4 页 1 2 正贝l i 线性系统 四川大学博士学位论文 适定线性系统( 也称抽象线性系统潜先由s m a m o n f 7 3 ，7 47 和w e i s s 9 0 ，9 1 ，9 2 引入w e i s s 还同时引入了该系统的一个子类，即所谓的正则线性系统这一 节我们介绍适定线性系统和正则线性系统的定义和相关性质。 设x ，和y 是h i l b e r t 空闯，( a ，口( a ) ) 在x 上生成g 一半群 ( t ( t ) h o 显然d ( a ) 在a 的图像范数下是h i l b e r t 空间，记为蜀x 在范 数忙忆1 ：= f ( a a ) q x l | 下的完备化空间也是h i l b e r t 空间，记为x ，这 里a p ( a ) 对任意的a p ( 4 ) 的预解集) ，肛怕在x 上是等价的于 是空间j l l 与a 的选择无关易知足，同构于( d ( a ) ) 且 x l 。_ x x 1 其中符号”一”表示连续稠嵌入另外( ? ) 剑在x 一。上的扩张依然是c o 一 半群，用同样的符号表示该扩张半群的无穷小生成是a 的扩张，且其定义域 为x 设就，移三( o ，o z ；u ) 。定义世和v 的，- 一毗连( 7 - 一c o n c a t e n a t i o n ) 如下： c 7 - m 卜雠， 0 t t 现在引入适定线性系统的定义 定义1 2 1 状态空问x ，输入空间u 以及输出空间y 上的一个四元组：= ( z 圣，识叶被称为适定线性系统，若 t ：= ( t ( t ) ) t o 是x 上的岛一半群； 一砂垂：= ( 包) 创是一族从l 2 ( o ，o o ；u ) 到x 的有界线性算子使得 西蚪，( 乜钉) = t ( t ) 中，札十中删 r 1 2 正则线性系统 第5 页 对任意“，”l 2 ( o ，o 。：u ) 和t ，7 _ 2o 成立； 亿z j ：= ( m 。) 眨。是一族从x 到玩，( o o c ；y ) 的有界线性算子使得 田z = 皿z m 丁( r ) z 对任意。x 和7 _ o 成立； 一彬，：= ( 五) t o 是从l 2 ( o ，。o ：u ) 到l 乇。( o o c ；y ) 的连续线性算子使 得对任意“，v l 2 ( 0 ，o c ；u ) ，有 ，( v j = a ( 皿圣，钍+ ，”) 丁丁 算子西t ，屯t 和五分别称为输入映射、输出映射和输入输出映射通过表示 定理( 【9 3 中定理3 9 ) ，由定义1 2 1 中的( i ) 和( i i ) 可知存在唯一的线性算 子b ( e 噩) ( 称为控镪f 算子) 使得 r t 西t = 圣 ) “一ft 0 一a ) b u ( a ) d a ( 1 2 1 ) ju 对任意珏l 2 ( o ，o 。；u ) 和t 0 成立一般来说上述积分是在x 一1 中进行的 我们称b c ( 瓯x 一1 ) 对( t ( t ) ) 础是容许的，若对某个t 0 ( 从而对任意的 t 0 ) 上述积分的值在并中。该容许性的定义是重要的，因为这等价于下述 微分方程的可解性 圣( t ) = a x ( t ) + b 锰0 ) ，。( o ) = 嚣( 1 2 2 ) 具体地说，若b 是容许的。则对任意的zex 和札l 乙( o ，o c ；u ) ，如下定 义的x 值函数 z ( o ) = t ( t ) 茁+ 圣0 ) 钆( 1 2 3 ) 在x 中是连续的，在x 一1 中是( 1 2 2 ) 的强解( 详见f 9 3 j 中定理3 9 ) ( 1 ，2 3 ) 式 定义的匿数z ( - ) 称为状态轨道( s t a t et r a j e c t o r y ) 。s a l a m o n 7 3 】和w e i s s 9 1 】 也证明了存在难一线性算子c ( x 1 ，y ) 使得对任意。d ( a ) 和e 0 有 ( 皿。z ) ) = g t ) z ，( 1 2 4 ) 第6 页四川大学博士学位论文 这里母o 。z ：= 母( ) z ( x ，珑。( o ，。；y ) ) ( 在每一个有限区间f o 。叫上) ，其被 称为扩张输出映射我们称c 对旧( ) ) 垃。是容许的，若对某个t ( 从而对任意 t 0 j 存在常数7 = 7 ( t ) 使得对所有z d ( a ) 下式成立： f _ 1 c t ( 口) 茁1 1 2 d a 1 2 ， ( 1 2 5 ) ( 1 2 4 ) 所表示的扩张输出映射仅仅是在。d ( a ) 的情形下给出w e i s s 通 过引入c 的一个a 一扩张。证明了( 1 。2 ，4 ) 对任意z 义有意义。瓯定义 如下， c z ：2 l 。i r a 。c a r ( a ，a ) x ， 其中d ( c a ) ：= z x ；极限熙c a r ( a ，4 ) 蒋在) ，这里r ( a ，4 ) 表示a 的 弱解式口( c a ) 在赋予范数 i l f i d f c k ) ：= j | 。f j + s u pl i c a r ( a ，a ) z ij y n 后是一b a n a c h 空间，其中x o p ( a ) 固定进步，可以得到 x 1t - d ( c _ ) - 一x