（概率论与数理统计专业论文）可列非齐次马氏链泛函的强大数定律.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 强极限定理是概率论研究的中心问题之一，也是概率论其他分支 的重要基础，并在许多相关领域有着极为广阔的应用背景。马尔可夫 过程是一类重要的随机过程，它有着极为深厚的理论基础和广泛的应 用空间。其中，马尔可夫链的极限理论是马尔可夫过程研究的基本领 域之一。有关齐次马氏链的极限理论已有了相当成熟的结果，并形成 了完整的理论体系。近几十年来，人们对非齐次马氏链的极限定理和 遍历性展开了大量研究，并取得了许多成果，如杨卫国、刘文等对非 齐次马氏链的极限定理的研究。本文主要是对可列非齐次马氏链一元 函数及二元函数的强大数定律进行研究，所得结果推广了己知结论。 本论文主要分为五大部分。第一部分是绪论部分，介绍了本论文 的选题背景，本文中主要使用的方法，并对已有的工作做了扼要的介 绍。第二部分主要介绍了一些相关的理论基础知识，如马氏链的定义 及性质，条件期望的定义及性质，以及一些相关的定义与性质。第三 部分至第四部分为本论文的主要内容，第三章首先引进了可列非齐次 马氏链一元泛函的定义，将已知的结论作为引理给出，采用了截尾方 法，应用条件期望的性质及j e n s e n 不等式等相关知识建立了可列非齐 次马氏链泛函的强大数定律。第四章我们主要利用非齐次马氏链二元 函数的强大数定律及c e s a r o 平均收敛性来研究非齐次马氏链的 s h a n n o n - - m c m i l l a n 定理。第五章是结束语，对本课题做了一个简单 的总结。 江苏大学硕士学位论文 关键词：非齐次马氏链；a e 收敛；强大数定律；条件期望；c e s a r o 平均收敛性；周期强遍历；s h a n n o n m c m i l l a n b r e i m a n 定理 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h es t r o n gl i m i tt h e o r e m sf o rr a n d o mv a r i a b l e si so n eo ft h ec e n t r a lq u e s t i o nf o r s t u d y i n gp r o b a b i l i t ya n di t a l s oi st h ef o u n d a t i o no fo t h e rb r a n c h e so fp r o b a b i l i t y p r o b a b i l i t yh a sb e e nw i d e l yu s e di nm a n yr e l a t e dr e a l m s m a r k o vp r o c e s si sa n i m p o r t a n ts t o c h a s t i cp r o c e s s i th a sp r o f o u n dt h e o r e t i c a lf u n d a m e n ta n de x t e n s i v e a p p l i e da r e a t h el i m i tt h e o r yf o rm a r k o vc h a i n si so n eo ft h eb a s i ca r e a so nm a r k o v p r o c e s s e s r e s e a r c h f o rt h el i m i tt h e o r yf o rh o m o g e n o u sm a r k o vc h a i n s ，m a n yr e s u l t s h a v eb e e no b t a i n e d ，w h i c ha r em a t u r ee n o u g ht of o r mac o m p l e t et h e o r e t i c a ls y s t e m f o rt h el i m i tt h e o r yf o rn o n h o m o g e n o u sm a r k o vc h a i n s ，r e s e a r c h e r sh a v ed o n em u c h w o r ki nr e c e n ty e a r s ，s u c ha sy a n ga n dl i u sw o r ko nt h el i m i tt h e o r e m sf o r n o n h o m o g e n e o u sm a r k o vc h a i n s i nt h i sp a p e lw ew i l ls t u d yas t r o n gl a wo fl a r g e n u m b e r sf o ru n i v a r i a t ef u n c t i o n sa n db i v a r i a t ef u n c t i o n so fc o u n t a b l e n o n h o m o g e n e o u sm a r k o vc h a i n s t h er e s u l t sp r o m o t e ds o m ek n o w nc o n c l u s i o n s t h ea r t i c l ei n c l u d ef i v ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r , w ei n t r o d u c et h er e l a t i v e b a c k g r o u n do nt h i sp a p e r , t h em a i nm e t h o d su s e di nt h i sp a p e ra n dw h a tw i l lb e s t u d i e di nt h i sp a p e r ，t h e ng i v es o m es i m p l ee x p r e s s i o n so ft h ew o r kw h i c hh a v eb e e n d o n e i nt h es e c o n dc h a p t e r w ei n t r o d u c et h eb a s i ct h e o r yw h i c hn e e d st ou s ei nt h e s u b s e q u e n tc h a p t e r s ，f o re x a m p l e ，t h ed e f i n i t i o na n df u n c t i o n so fc o n d i t i o n a le x p e c t a n dm a r k o vc h a i n s f r o mt h et h i r dc h a p t e rt ot h ef o m lc h a p t e ri st h em a i np a r to ft h e p a p e g i nt h et h i r d c h a p t e r t h ed e f i n i t i o n o ft h ef u n c t i o n a lo fc o u n t a b l e n o n h o m o g e n e o u sm a r k o vc h a i n si sf i r s ti n t r o d u c e d t h e nb yg i v i n gt h ek n o w n c o n c l u s i o na st h el e m m a ，u s i n gt r u n c a t i o nm e t h o da n da p p l y i n gt h en a t u r eo ft h e c o n d i t i o n a le x p e c t i o na n dj e n s e ni n e q u a l i t y , w eo b t a i nac l a s so fs t r o n gl a w so fl a r g e n u m b e r sf o ru n i v a r i a t ef u n c t i o n so fc o u n t a b l en o n h o m o g e n e o u sm a r k o vc h a i n s i nt h e f o u r t hc h a p t e r , w ew i l ls t u d yt h es h a n n o n - m c m i l l a n - b r e i m a nt h e o r e mf o rc o u n t a b l e n o n h o m o g e n e o u sm a r k o vc h a i n sb ya p p l y i n gt h ec o n v e r g e n c ei nc e s a r os e n s ea n d t h es t r o n gl a w so fl a r g en u m b e r so ff u n c t i o n so ft w ov a r i a b l e sf o rc o u n t a b l e n o n h o m o g e n e o u sm a r k o vc h a i n s f i n a l l y , w ew i l lg i v et h es i m p l es u m u pa b o u tt h i s p a p e ri nt h el a s tc h a p t e r m 江苏大学硕士学位论文 k e yw o r d s ：n o n h o m o g e n e o u sm a r k o vc h a i n s ；a e c o n v e r g e n c e ；s t r o n gl a wo f l a r g en u m b e r s ；c o n d i t i o n a le x p e c t a t i o n ；c o n v e r g e n c eo fc e s a r o a v e r a g e s ；p e r i o d i cs t r o n g l ye r g o d i c ；s h a n n o n - m c m i l l a n - - b r e i m a n t h e o r e m i v 江苏大学硕士学位论丈 ( q ，f ，p ) 概率空间 缩写与符号说明 2 、f 口一代数 3 、w 样本点 4 、e x i f 卜一条件数学期望 5 、a s 一几乎必然地 6 、a e 一几乎处处 7 、彤力维欧氏空间 8 、讫随机变量x 的方差 9 、c o v ( x ，j ，1 随机变量彳与y 的协方差 1 0 、a ，i o 无穷多个a 发生， 4 l ，f d ) = n m 1 1 1 、p 一( e 时) i 1 2 朋_ d ( 吃) 一l i m 丢_ o 1 3 、以。q 以s ) + x 。阮k ) + c ，( 以酊) ，c 为某一正常数 1 4 、j 示性函数 3 9 独创性l 声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：卢卜翮 日期： 加。产膳月2 。日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 位保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本 学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密陬 学位论文作者签名：产小雨 如7 年7 2 月2 日 指导教师签名： 如。7 年7 2 月2 。日 勾训 江苏大学硕 士 学位论文 1 1 研究背景 第一章绪论 概率论起源于1 7 实际中叶人们对机会性游戏的数学规律的探讨。这个学科 的发展与数学史上一些伟大的名字相联系，如帕斯卡、费尔马、惠更斯、高斯、 拉普拉斯、詹姆斯、伯努利等。他们对这个学科的研究做出了重要的贡献。在 十八世纪以前，概率的对象主要限于赌搏和一些离散的有限数目集合的研究， 所用的数学方法主要是组合数学的方法。十八世纪，伯努利的著作大大引起了 人们对概率论在其他领域的应用的兴趣，例如，用于在观察判断中错误的估计， 预测人口组成的改变等，由此吸引了许多纯粹数学家的目光，他们纷纷将更多 的数学方法，如分析的方法和几何的方法，引进概率论；另一方面，由于统计 学的发展和十八世纪社会和知识氛围的改变，人们对于概率论应用于政治和社 会领域中的规律性研究的兴趣日趋浓烈，尤其在孔多塞等人的倡导下，概率论 应用于社会的热潮方兴未艾。 在概率论的发展史上，极限理论一直占有非常重要的位置。概率论是研究 大量随机现象的规律的，所谓“大量”，从数学角度来讲，就是当对随机现象的 观测次数趋向无穷时，它的“极限呈现出来的某种规律性。因此，强极限定 理在概率论中有着极其重要的地位。前苏联数学家k o l m o g o r o v 和格涅坚科曾说 过，“概率论的认识论的价值只有通过极限定理才能被揭示，没有极限定理就不 可能去理解概率论的基本概念的真正含义 。概率论的真正历史开始于 b e r n o u l l i j ( 假设的艺术，1 7 1 3 年) 的大数定律。从那时起概率论的研究 中心之一就是“极限 理论。所以对马氏链的极限性质的研究是一个比较传统 的课题，历年来一直成为诸多学者研究的热点。而强大数定律由于在理论与实 践中有着广泛的应用和重要意义，也一直是概率极限理论中研究的主要课题之 一o 2 0 世纪7 0 年代末，刘文教授在研究实数展开式的概率性质和马尔科夫链的 强大数定律时，提出了一种研究强极限定理的分析方法。该方法的要点是用区间 剖分法在概率空间( 0 ，i ) ，只力( 其中f 为 0 ，1 ) 中的l e b e s g u e 可测集的全体， 江苏大学硕士学位论文 p 为l e b e s g u e 测度) 中给出随机变量序列的一种实现。再构造一个依赖于一个参 数的单调函数，并应用l e b e s g u e 关于单调函数可微性的定理证明某些极限几乎必 然存在，然后通过纯分析运算来证明所需的结论。在其后的研究过程中，刘文教 授与杨卫国教授合作，将这种方法和母函数、矩母函数、条件矩母函数、l a p l a c e 变换等工具，以及测度的网微分法和鞅方法结合起来，扩大了方法的应用范围， 在此基础上得到了一种新的研究概率论强极限定理方法，其要点是通过构造含参 数的似然比或鞅，利用似然比几乎处处收敛或鞅收敛定理来证明某些极限几乎处 处存在。利用该方法，杨卫国、刘文对任意随机变量序列的局部强极限定理、非 齐次马氏链强大数定律、m a r k o v 随机场的强大数定律及信息论中的熵定理进行了 深入的研究( 文献 1 一 5 ) ，并通过引进似然比作为随机变量序列相对于不同 测度的差异的一种度量，建立了一类新型定理一强偏差定理( 也称为小偏差定 理) 。将概率论中的极限定理推广到用不等式表示的情形，开拓了极限定理研究 的新领域。 刘文教授和杨卫国教授利用纯分析方法在极限理论的研究方面做了大量的 工作，得到了一些广泛而深刻的结果，详见 6 卜 7 。杨卫国教授及其合作者一 直继续马氏链强极限理论方面的研究，同样也取得了丰硕的成果。本文在杨卫 国教授研究马氏链的强极限定理的基础上继续这方面的研究。希望这些研究结 果能够使马尔可夫链本身的性质更加完备，从而能够更好地为经济，金融，计 算机等领域服务。 1 2 研究现状与发展趋势 在概率论的极限理论发展的历史过程中，十九世纪二十年代以前，中心极限 定理是概率论研究的中心课题。十九世纪中叶，切比雪夫的古典工作为概率论发 展开创了新纪元。 在二十世纪2 0 年代至6 0 年代，以k o l m o g o r o v 、l e o v e 、c h u n g 等为代表的一批 概率论学者对独立随机变量序列的强收敛性和强大数定律进行了细致研究，借助 于截尾法、对称法、中心化法等手段，得到了较为完善的结论。之后，各种混合 随机变量序列的极限理论又有了很大发展。其中我国学者，诸如陈希孺、林正炎、 苏淳等做了大量工作。期间，由美国概率论学者d o o b 于1 9 5 3 年详细介绍了其对鞅 2 江苏大学硕士学位论文 论的研究后，由于鞅论在理论与应用上的广阔前景，使得近几十年鞅理论得到了 突飞猛进的发展。 马尔科夫过程是随机过程中历史最悠久且充满活力的一类随机过程，也是一 种十分重要的随机过程。自1 9 0 7 年苏联数学家a a m a p k o b 引出马尔科夫链概 念，并开始进行研究以来，经过世界各国几代数学家的相继努力，其中特别是 d o o b 、钟开莱、王梓坤等著名学者的代表性工作与卓越贡献，使得马尔科夫链目 前己成为内容十分丰富理论上比较完整的数学分支，呈现出一派根深叶茂生机勃 发的景象。实际生活中所遇到的马尔可夫随机系统的转移概率矩阵常常是随时间 而异的，为了更加如实地描述客观现象，获得更逼真的结果，必然导致对非齐次 情形的研究，这就增加了研究对象的复杂程度与解决问题的难度，因此与齐次马 氏链所取得的深刻成果相比，显得相当不足，所以非齐次马氏链至今仍是有待深 入研究的重要课题。 有关齐次马氏链的研究已经形成了较完整的理论体系，关于非齐次马氏链的 研究，人们一直在陆续进行。关于非齐次马氏链的强大数定律己有不少研究。如 朱成熹、刘国欣等人研究了可列非齐次马氏链一元函数的强大数定律 8 卜 9 ； 九十年代初，刘文、杨卫国研究了可列非齐次马氏链状态和状态序偶出现频率的 强大数定律 1 0 ；关于非齐次马氏链的强遍历性和c e s a r o 强遍历性已有不少研究 1 1 - 1 2 ；刘文、杨卫国还研究了有限马氏链的相对熵密度和随机条件熵的一 类极限定理；之后他们又研究了有限非齐次马氏链的渐进均分割性。近几年来， 刘文、杨卫国将分析方法巧妙地引入到树上马氏链场极限定理的研究，得出齐次 树图上马氏链场具有a e 收敛意义的强大数定律和s h a n n o n - m c m i l l a n 定理 1 3 卜 1 5 。此外，隐马尔可夫模型的强大数定律也已有不少研究，如杨卫国、 吴小太研究了有限状态下隐非齐次马氏链的强大数定律。在随机环境中，人们也 研究了马氏链的强大数定律，如李炜、郭先平研究了随机环境中马氏链的强大数 定律；郭明乐也研究了随机环境中马氏链的强大数定律等。以上这些研究所用方 法不同，结果各异。 在一定意义下，基于其它更多具体模型的分析，依据稳定性给模型分类是 首要的最基本操作，且马氏链理论适用于几乎所有领域，因此对马氏链稳定性 的研究也尤为重要。同时，初始分布和转移概率矩阵列决定了非齐次马氏链， 3 江苏大学硕士学位论文 而初始分布是千变万化不可控制的，所以研究马氏链的稳定性，即研究转移概 率矩阵的各种收敛性，亦即马氏链的各种遍历性是极其重要的。d i s a a c s o n ， r m a d s e n 等人在二十世纪七十年代提出的马氏链的弱遍历性、强遍历性、c e s a r o 平均收敛( 又称c 一强遍历) 就是转移矩阵列以各种形式收敛。因此，对马氏链 的极限性质及遍历性的研究一直以来成为各学者争先研究的主要对象。 1 3 本课题主要解决的问题 本文主要研究可列非齐次马氏链一元函数及二元函数的强大数定律。在本 文的第三章中，我们在文献【1 】的基础上，进一步弱化了条件得到一类不同于通 常强大数定律的强极限定理，其中条件期望e ( 以( 以l 以q ) ) 取代了通常强大数 定理中的e ( z ( 瓦) ) 。本章的结果包含了独立随机变量序列的一些经典的强大 数定律。在本文的第四章中，我们主要利用非齐次马氏链二元函数的强大数定 律及c e s a r o 平均收敛性来研究非齐次马氏链的s h a n n o n - - m c m i l l a n 定理，推广 了文献2 1 的主要结果。 本文主要利用了一些已知的引理，如b o r e l c a n t e l l i 引理等；条件期望的 某些性质，如j e n s e n 不等式等；其次利用了已有文献中马氏链的相关性质及结 论等知识来进行证明。 本论文主要分为五大部分。第一部分是绪论部分，介绍了本论文的选题背 景，本文中主要使用的方法，并对已有的工作做了扼要的介绍。第二部分主要 介绍了一些相关的理论基础知识，如马氏链的定义及性质，条件期望的定义及 性质，以及一些相关的定义与性质。第三部分至第四部分为本论文的主要内容， 第三章首先引进了可列非齐次马氏链一元泛函的定义，将已知的结论作为引理 给出，采用了截尾方法，应用条件期望的性质及j e n s e n 不等式等相关知识建立 了可列非齐次马氏链泛函的强大数定律。第四章我们主要利用非齐次马氏链二 元函数的强大数定律及c e s a r o 平均收敛性来研究非齐次马氏链的 s h a n n o n - - - m c m i l l a n 定理。第五章是结束语，对本课题做了一个简单的总结。 4 江苏大学硕士学位论文 第二章基本理论与概念 2 1马氏链的定义 马尔科夫链是一种特殊的随机过程，最初由苏联数学家a a m a r k o v b 所研究， 它的直观背景如下： 设想有一个随机运动的体系( 例如运动着的质点等) ，它可能处的状态( 或 位置) 记为氏，墨，最，总数共有可列多个或有穷个，这体系只可能在时刻 f = 1 ，2 ，以，上改变它的状态。随着的运动过程，定义一列随机变量 j 。，聆= 0 ，1 , 2 ，其中 x 。= 后，如在，= 刀时，位于& 一般地， x 。，以o ) 未必是相互独立的。 实际中常常碰到具有下列性质的运动体系，如果已知它在f = 刀时的状态， 则关于它在刀时以前所处的状态的补充知识，对预言在，z 时以后所处的状态不 起任何作用。或者说，在已知“现在 的条件下，“将来”与“过去”是独立的。 这种性质，就是直观意义上的“马尔可夫性 ( 简称“马氏性”) ，或称“无后 效性 。具有这种特性的随机过程称为马尔可夫过程，简称马氏过程。 荷花池中的一只青蛙的跳跃是马尔可夫过程的一个形象化例子。青蛙按照它 瞬间跳起的念头从一片荷叶上跳跃到另一片荷叶上。如果青蛙是没有记忆的，人 们自然可以假定，当已知青蛙在某时刻所处的位置时，它下一步跳往何处与它此 前走过的路径无关。如果将荷叶编号( 例如编号为自然数1 ，2 ，3 ) ，并用戤表 示青蛙在初始时刻所处的荷叶的号码，用五，x ：，分别表示青蛙经过第一次， 第二次，跳跃后所处的荷叶的号码，那么，随机序列 瓦，刀o ) 就是一个马 尔可夫过程。 下面我们将介绍马尔科夫链的定义： 相对于一随机试验，设q 是所有样本点 缈) 构成的样本空间，f 是q 上的 5 江苏大学硕士学位论文 所有随机事件构成的事件集合称为盯一代数，p 是定义在f 上的概率测度即概 率。称定义在概率空间( q ，f ，p ) 上的随机变量族石= 弘。( 缈) ，t n 为一随机过 程，其中z 为一参数集。若z 是一个含有可列多个元素的无限集，例如 弘。( 叻，n = o 工 称为离散参数的随机过程或随机序列。若z 是不可列无限集， 例如 置( 叻，t 0 ) 称为连续参数的随机过程。一个随机过程所有可能取值的集 合称为该过程的状态空间，记作s ，如果s 是可列集或有限集，则称此过程为 链。可将随机过程看作是两个变量的函数五( 缈) = x ( f ，缈) ，r t ，缈q ，对固 定的哆置( 缈) 是定义在z 上的，的函数，称为该过程的一个样本，对固定的 f ，x ，( 缈) 是一个随机变量，常简记为置，若将参数f 看作为时间，那么x ，就表 示随机系统在时刻f 所处的状态。 在这些知识的基础上，我们给出马氏链的定义。 定义2 1 1 ( 见文 1 6 ip 2 ) 设x = x 。，n = 0 工，是定义在概率空间 ( q ，f ，p ) 上离散参数的随机过程，其状态空间s 为可列集或有限集，如果x 具有 由下式定义的马尔科夫性：即对任意的非负整数，及任意的状态 i o ，i l ，f 。+ 1 s ，只要e ( x o = i o , x 1 = ，x 。= 屯) 0 ，总有 e ( x 。+ l = “i x 。= i o ，五= ，盖乙= 屯) = p ( j 乙h = 屯“j j 0 = 屯) ( 2 1 1 ) 成立，则称x 为离散参数的马尔科夫链。若s 为可列集或有限集，则称x 分别 依次为离散参数的马尔科夫链和有限马尔科夫链。式( 2 1 1 ) 的直观意义可解释 为：已知随机系统在现时刻玎处于状态，即事件“以= 乇”已发生的条件 之下，在将来n + l 时刻处于状态h 的事件“x 。“= h ”与在过去 0 ，1 ，n - 1 等时刻的经历即事件“x o = i o ，x 1 = ，x 。- 1 = d ”是条件独立的。 等式( 2 1 1 ) 仅仅是用来定义马尔科夫性的一种形式，下面我们将给出马尔 科夫性的其他等价性质( 见文 1 6 p 2 - 6 ) ： 设x = x 。，n = 0 工- ，是定义在概率空间( q ，p ) 上的随机序列，x 的状态 6 江苏大学硕士学位论文 空间s 是司歹0 集或有限集，则f 列陈述互相等价： ( i ) 彳是离散参数的马氏链，即式( 2 1 1 ) 成立。 ( ii ) 对任何j 下整数门，任何非负整数列：0 t 。 o ，下面不再一一声明。 ( i i i ) 对任何正整数胛及任何i d ，he s ，恒有 尸( 爿0 = i d ，墨= ，- 乙h = h ) = 尸( = 乇) 尸( 五= ix o = g o ) 尸( k + 。= 0 。l 以= 厶) ( 2 1 3 ) ( i v ) 对任何正整数，2 ，任何非负整数列：0 t 。 t 。h 以及任何f 。， i 。+ 1 s ，恒有 尸( 纸= o ，五= ，= ，h = “) = 尸( 五= i d ) j p ( = i 气= f o ) 尸( _ = + l i = ) = y 。西e ( x o2 i ) p ( x t o = f o l x o2 f ) p ( _ 2 训二) ( 2 1 4 ) ( v ) 对任何正整数疗、m ，任何非负整数列0 t o t n f 。+ 1 t 。+ 。以 及任何i 。，i 。，i 。h ，i n + 。s ，恒有 p ( k h = + 1 ，一，k = i i + 。i = o ，= ，= i l ) = 尸( h = o ，k = l = ) ( 2 1 5 ) ( v i ) 对任何正整数聆、m ，任何非负整数列0 t 。 t 。+ 1 f 肘。以 及任何毛，i 1 ，i 。，i 。“，i 。+ 。s ，恒有 尸( k = o ，d = 巾t 娃= 小，。= + 州i = ) = 尸( 气= i o ，一= 乇一。 五= 乇) p ( 。= 乇+ ，k = + 。l = ) ( 2 1 6 ) ( v i i ) 对任何正整数门、m ，任何非负整数列0 t o t 。 t 。+ l 0 ) 是一马尔科夫链，且b j h = p ， 9 江苏大学硕士学位论文 b _ 1 = q ，段= ，其余岛= 0 。 ( i i ) 带吸收壁的随机游动设( i ) 中的随机游动限制在e = o ，1 ，2 ，6 ) 内， 当质点移动到状态0 或6 后就永远停留在该位置，即= 1 ，= 1 ，其余 岛( 1 f ，j 6 1 ) 同( i ) 。这时序列 x 。，n o ) 称为带两个吸收壁。和6 的随机游 动，它是一有限状态马尔科夫链。 ( i i i ) 带射壁的随机游动如( i i ) 中的质点到达0 或6 后，下一次移动必返 回到1 或6 1 ，即p o 。= 1 ，p b 声- l = 1 ，j = o ( 1 ) ，岛，- o ( j * b - 1 ) ，其余同 ( i ) 。称此 x 。，n o ) 为带反射壁。和6 的随机游动，它也是一马尔科夫链。 ( i v ) 艾伦费斯特( e h r e n f e s t ) 模型这是一个著名的粒子通过薄膜进行 扩散过程的数学模型，即一质点在状态空间e = 一a , - - t l + 1 , ，- 1 , 0 ，1 ，2 ，口) 中 作随机游动，且带有两个反射壁口和一a ，其一步转移概率是 a ，q = 三( 1 + 孝) ，a 。h = 三( 1 1 , - a + 1 i a - l 见，。- l = 1 p 一。，一。+ 1 = 1 a ，= 0 ，其他 由上可看出，当质点位置f o ，即在原点左边时，a j d 寺，此时质 11 点下一步向右移动比向左移动的概率大，且与离原点的距离成正比；反之亦然。 当质点在原点时，向左与向右的概率相等。这样的随机游动可作如下两种物理 解释。 ( 1 ) 考虑一容器内有2 口个粒子作随机游动。设想一个薄膜( 界面) 将容器分为 相等的左右两部分a 和曰。如用x 。表示，z 时刻b 内的粒子数与a 内的粒子数之 差，并假定每次移动只有两种可能，一粒子从左到右或一粒子从右到左( 即同一 时刻有两个或两个以上粒子移动的概率为0 ，当址- - ) 0 时作这种假设是合理 的) ，则 x 。，n o ) 可用上述模型来描述。 ( 2 ) 设一粒子受一“弹簧力作用，在直线上作随机游动，当粒子偏离原点 1 0 江苏大学硕士学位论文 时，受到一附加的与偏离距离成正比且指向原点的力的作用，从而使向原点移 动的概率增大。用x 。表示粒子在时刻聆的位置，则同样可用上述模型来描述。 定义2 1 3 ( 见文 5 p 4 9 ) 设x = 。，月= o 工) 是状态空间为s 、一步转 移概率矩阵为 岛 的齐次马氏链，如果有一m x 率( e 6 - + ，i s ) 满足 万j = z i p ，j s ( 2 1 1 5 ) 则称k ，i s ) 是x 的一个平稳分布。 2 2 条件期望 本小节所涉及的问题都将在固定的完备的概率空间( q ，f ，p ) 上进行讨论。 定义2 2 1 ( 见文 4 p 1 4 5 ) 设b 为f 的子仃域，x 为( 准) 可积随机变 量，y 为满足下列条件的随机变量： ( i ) y 为b 可测的； ( i i ) 对任意一个b b ，都有iy d p = ix d p 、7 矗毒 则称y ) 9x 关于b 的条件期望，记为y = e x lb 】。特别地，当b = 盯) 时，也 称y 为x 关于y 的条件期望，i e 为e xi v 】。 注2 2 1 ：由于 x 是盯) 可测的，故存在厂，使e 【x ly 】= 厂( y ) ， 称厂( 口) 为x 在条件y = a 下的条件期望。 注2 2 2 ：由于y 是b 可测的，bcf ，那么y 也是f 可测的，所以y 是随 机变量。 则： 以下提到的仃域b ，b ，b ：等都是指f 的子盯域。 性质2 2 1 ( 见文 4 p 1 4 6 ) ( i ) 若x ，y 为可积随机变量，a ，为任意常数， e 【硝+ ib 】= 砸【xi b 】+ 肚【y ib 】 ( i i ) e 1 lb 】= 1 1 1 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 江苏大学硕士学位论文 ( i i i ) 对可积的随机变量x ，y ，若x y ，则： e x i b 】e y i b 】 特别地，当x o 时，则e 陋i b 】o ( i v ) l e x l b - e xl b ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 性质2 2 2 ( 见文 4 p 1 4 7 ) 设y 为可积随机变量， t ，力1 ) 为随机变量 序列，则： ( i ) ( 条件期望的l e v i 引理) 若y x 。l x ，则： l i m e x ib = e x ib 】 若y x 。4 , x ，则( 2 2 5 ) 式也成立。 ( i i ) ( 条件期望的f a t o u 引理) 若x 。y ，则： 若x 。y ，则 elli蝉x。b 1 ) ，设p 是另一随机矩阵，并且设p 是是强遍历的，如果 峄泌丢喜一p | i = 0 则 妒骝捌少肿引一q | l ：0 引理2 3 5 ( 见文 1 9 ) 设 以，n o ) 是定义在状态空间s 上的非齐次马氏 链，其转移矩阵列为 乞，刀1 ) ，设 q ，胛1 是另一非齐次马氏链的转移矩阵 列，并且 q ，z 1 ) 关于常数随机矩阵q 是强遍历的，即对任何正整数所有 熙渺咖蜘一q 0 = o拜+ 如集 1 7 江苏大学硕士学位论文 熙寺到n 最一o k i | = 0 则 只，刀1 ) 是关于常数随机矩阵q 绝对平均强遍历的，即对任何正整数m ，有 1 i m - 1 尸( m 一“) 一q i i = 。 1 8 江 苏大学硕士学位论文 第三章可列非齐次马氏链泛函的强大数定律 3 1 引言 关于齐次马氏链的理论已有丰富的结果。文献 2 0 1 第一部分系统的研究了齐 次马氏链的强大数定律、中心极限定理及重对数律。关于非齐次马氏链的强大 数定律已有不少的研究。如刘文、杨卫国研究了s h a n n o n m c m i l l a n 定理的推广 及非齐次马氏链的一些极限性质 2 1 2 5 ，研究了非齐次马氏信源的渐进均匀分 割性 2 6 1 ，以及非齐次马氏链的一些极限定理 2 7 - 2 9 ，取得了许多成果。在文献 【i r i j 文教授以及刘国欣教授利用钟开莱 3 0 1 关于独立随机变量序列强大数定 律的条件，应用分析方法，研究了可列非齐次马氏链泛函的一类强大数定律。 本章的主要目的是要继续研究可列非齐次马氏链一元泛函的强大数定律。 本文在文献【1 1 的基础上，进一步弱化了条件得到一类不同于通常强大数定律的 强极限定理，其中条件期望e ( z ( 以l 鼍q ) ) 取代了通常强大数定理中的 e ( z ( k ) ) 。本文的结果包含了独立随机变量序列的一些经典的强大数定律。 本文首先引进了可列