（概率论与数理统计专业论文）关于有删失数据模型的研究.pdf

摘要 这篇文章主要介绍确定删失数据下带有随机效应的半参数比例优比模型，即 一f d g i t s ( t i 墨j ，6 i ) ) = g ( t ) + 碍卢+ 6 f ；j = 1 ，2 ，- n 。；i = l ，2 ，n 其中墨，是协变量，g ( ) 是未知的严格增函数，卢是回归参数，如是不可观测的随机 效应，且6 。( o ，1 ) ，s ( | 墨j ，6 t ) 是给定j 岛和晚条件下的生存函数。 首先给出保证模型有意义的几个正则条件，然后通过推理说明模型中参数的极 大似然估计存在并给出寻找似然解的方法 其次说明我们对该模型中参数所建立的极大似然估计在大样本情况下是相合 的，渐近正态的。其次说明极限方差估求法 最后指出模型的优缺点 关键词：相关失败时间数据；比例风险模型；生存数据；半参数效应 a b s t r a c t i nt h i s 拽r t i c l ew es t u d yt h es e m i p 趣r a m e t i cp r o p o r t i o n a lo d d sm o d e lw i t hr a n d o m e 嚣e c t s 暖c o r 张l 舔醴，s p e c 撼e d c e n s o r e d 瓢i k r et i m e 瓿t 嚣，s p e c i 嚣疆l l y l o g n s ( t l 强j b i ) ) = g 0 ) 十硝卢+ 6 j = 1 ，一，m ； = 1 w h e r ex 赶i s 露】抛c t 。ro fe o v 瓣i 氇t e ，鸯1 8 氇s e to h 撼嫩蝴r e 擎e s s i o 赶p a r a m 醢e r 8 ，壤遗靠 8 e to fu n o b s e r v e dr a n d o me f f b c ta n df 0 1 l o w 8an o r m a ld i s t r i b u t i o nw i t hz e r om e a na n d c o v a r i a n c em a t r i xi s ( l x 巧，6 ；) i st l l es u r v i a lf u n c t 洒nc o n d i t i 。n a lo n 噩ja n d 氏 f i r s t ，1 w eo b t 氇l ns o i n er e g 毪l a r ye o n d 话o n s ，w h i c 王le n s u r et h a to t l rm o d e li sf 毫a s i b k t h e no u ri n f e r e n c ei m p l yt h a tt h em a x i m i z a t i o nc a nb er e a l i z e dv i an e w t o n - r a p h s o n a l g o 以如m s 。 s e e o n d ，t h ea r t i c l es l o w st h a t 。u re s t i m a t i o 鞋l sc 。n s i s t e n ta n da 8 y i n p t o i e a l l yn o r m a l a n ds l l o w st 1 i m i t i n gv a r i a n c e a tl a s 。t h er n e r i t sa n dw e a k n e s 8 e so ft h em o d e la r ed i s e u s s e d k e yw o r d s ： g o r r e l a c e df a i l u r e 蟠m ed a t a ；p r o p o r t i o n a lh a z a r d s ；s e m i p a r a h 地妇i ee 雒一 i e n ( v ：s u r v i a ld a t a i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：焦羞豇日 期：业上刃 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名：三幺豸盘指导教师签名：逝 日 期：d 翌翌2 刀日 期：2 翌壶：，。口 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 第一章引言 在我们所研究的数据中，有许多数据是来自同一组的相关个体，因此这些数据 是组内相关的目前处理这种组内相关性的一般方法是合并组内不可观测的随机效 应这在c o x 风险模型中被称为弱点( 盘a i l y ) n a - l t y 模型是一种混合效应模型，在这种模型中，随机效应对风险函数有多种 影响，现在这种模型已经用来分析相关的生存数据尽管随机效应可以服从多种分 布，但目前的文献多数研究的是g a m m a 分布的情形这时也称f r a i l t y 模型为g a m m a f r a i l y 模型。m “印蛐( 2 ) 和p n r n n e r 已经分别研究了没协变量和有协变量两种 情形下的g a m m af r a i l 时模型中参数的极大似然估计方法以及估计的大样本性质 若在f r a m y 模型中，同一组内每一个个体都受相同的随机效应影响，这时就称 他们服从的是共享的f r a i 时模型。现已有好几个学者把这种共享的模型应用到组内 相关性更复杂的情形比如p ws e n h 假定同一组内不同个体的随机效应是由不同 的随机影响相加得到的。再比如；p u m e ，假定每一组的随机效应由两个独立的 部分组成，一部分是组内的共同效应，一部分是个体效应并且还证明了这种情况 下参数的极大似然估计是有效的估计 然而对于独立的失败时间数据，最可取的比例风险模型是比例优比模型，自从 h 讹纠和口e m 。d 峨提出用比例优比模型分析生存数据后，很多文献都致力于摸 型中参数的估计方法( 参见文献m 8 1 ，m 口0 】，1 1 1 2 】) ，并且m p f 一扩”j 证口】了对于 带有右删失敦据和多个协变量的比例优比模型来醴半参数极大似然估汁是有效的估 计。 在文献【h ，1 5 i ， 1 6 1 还谈到了带随机效应的比例优比模型即 z 。雪2 s ( 粕， ) = g ( ) + x 玉p + z 0 6 ； 其中g ( ) 是严格的增函数，x ，五，是协变量，p 使未知的回归参数，b ，服从均值为 零，方差未知的正态分布。其中一篇文献【1 4 】谈到z 。；l 时，模型中参数的估计 方法，但它所给出的估计不是渐近有效的，并且要求删失是完全随机的且协变量之 间也是独立的。一篇文献 1 5 】考虑随机效应啦，j = 1 ， ，n ；，i = l ，n 在第。组内 u 。j = l 啦是多元正态的虽然这两篇文献都给出了参数的估计方法，但没给 出渐近结果和生存函数的估计问题在文献【1 6 】中给出该模型中参数的极大似然估 计，并且证明了极大似然估计是相合的渐近正态的估计 这些文献在研究带有随机效应的比例优比模型时数据都是随机删失的，但在一 这些文献在研究带有随机效应的比例优比模型时数据都是随机删失的，但在一 1 般情况下，测失机铡是未知的，或者测失数据的分带来知，这给检骏问题带寒了缀 大麻矮，为了逶成更广泛的液糟环境，本文主聚考虑当数据是确定删失时，帮有随 机效应的比例优比模型的参数估计方法和估计的性质 本文懿第一部分将详纲奔绍数强结糖翻模戮熊缀设祭转，第二部分淡绢模型中 参数的极大依然估计存在。：黪在第朗部分通避一个具体的铡子介缁嵇计值的算法。 在第三鄂分分绥极大戗然傣计戆犬撵本性质。最麓，在文章越第五秘分播懑摸型戆 优缺点以及使丽的范围 2 第篡誊模型孛参数的极大似然估计与大样本下估计的性质 1 模型介绍 缓设鸯n 缝榉本，鸯缀瀚个数胃浚不闻。筠，弱，j = l ，：矧i = l ；，n 分 别表示第j 组第j 个体的潜在生存时闽和d 1 缀协变量码与弱j 的回归荧系如模 壅瑟零。雄； f o g t s ( t j x j 岫，) m g ( t ) 十端p + 6 ，j = 1 ，i = l ，n 其中s ( ) 来鞠鹩严格增藤数，鼍f 楚盔维蛰交蹙，廖熬未籍酶圈秘参数，趣楚随辊 效应，它服从标准正态分礤。 溪察所褥的数据为( 嘞，巧，翰) ，j = l ，；i * l ，n ，其中k ，一m i n ( 置，r ) 。= ，( 正，茎r ) 、r 为实验结束的时间，它怒一个固定的常数。 下瓣给残几个正剿条件： ( g 1 ) 存往常数南满足j p 犯b r l j 、魄) 芝南8 ，s ， q ) 、所有的 办变量墨，有爨。并慧，妇果存在常数鹅慧g ，谴褥【1 ，燕奠e o 、 ，= l ，啦，则g o ， ( 伤) g ( z ) 的聪值g o ( ) 谯 0 r 】魑严格增函数，并且遣续可微。另外g o ( 0 1 一一x 出；磐b ) + o ，g f j ( r ) o 没：条 誊魏、凸，岛缣涯了模型孛参数黪胃涎剩靛，在条馋q 孛国( o ) = 一。 是由s ( o 墨j ，瓠) = l 得到的。瓯( r ) 叫玉，6 t ) g 。在实际应用中 瓯( ，) 楚一个来籍载常数。条纷镪襞暖组内个垂錾数髫蠢限著虽剪鼗缀至少露瑟个个 体。 3 2 参数静簌夫毂然德诗 首先怒义；尉( t ) = e g ( 1 ) ，妫t ) me g 。“，所以隅( o ) 一o 下面根据蠛激写出参数 ( 风，凰) 的似然瀚数： 努芎二鼯缀鲤观鞭8 概率巍 妒( 强i ，盎；l ，。，酸n ，焱n 蠢萎l ，o 毫j 拦j k k 。，( 麓l t l ，l 镪i ，a 瓤， 墨l ， 薅嚣l 痞魄。 。t 。h 。厶，( 砭l ，m k n 。，讯i 蕊l ，t t ，托桃，6 ) ，( b ) d 6 d k l d k n 。 。厶( n 饕1 矗j ，( ，* ，f 粕一) d 玛) 曲 又遨为 f ，f 殇，姆 翰；秘蠢酶= 尹埯，垂畸 巍， 当妤ml 时有： 。( x 5 肚h ) p ( 玛，蕊捎一净p ( 码峨扣) q 蘧翥两 当辑。o 时有： 。x 嚣辟6 p ( 锄鼢净p ( 妒叫琊而赫两 所以( 娲，j 瑚的似然函数可以表示为： 察摩一焉等沪。t 暴尹渤滟 = 垂磨蒜筹辚p ，t 暴r m 仁， 其中，抖( 、) 袭示拦 t 秘导嚣数， = 去8 一等- 婺求( 两，娲 懿彀大稻然傣毒 ，麓是求蹙f 2 ，1 ) 式遮窝最大懿 参，嚣 莲。凌予鼗 鳃葸可黻遗淑稳使它在甜= l 麴强她有蠢定的穗嚣穰，羲它在珏m1 处的导数 值为十。，遣时似然函数的极大德不存在为了潞凫这种情况的出蹴，我们研以令 h 为右涟续的函数，并且群( ) 在订= l 时的均处愚跳跃的，这时似然函数可以 记舞： 姜n t 参，搿；= ：垂z 妻t i 戛i ；i ；i ! ；! ；：j i ；旆，盎“t 焉i ；i i ； i ；j l ! ，1 一盎u e 一譬e 络 ( 2 2 ) 这里尉 t ) 表示h ( t ) 在t 的跃度这时的参数空间为 眠日) ：p 0 ，灯( t ) 是【o ，r 】上右遴续的增函数，且( o ) = o ) 鑫予2 2 ) 懿第i 顼 五h 凳t i i ；i i ；：；毒，。 i i ：；j ；! ! ：；赫) 1 一”e 一譬拍 = 儿兀饕高等躲e 珥拍 矗兀芒t 纛等赫e 一譬 = 磊鼯；志辫南e 喾彩 五n 翟te x 5 口+ 5 e 一譬d 6 + o 。 所以参数( 口0 ，h o ) 的极大似然估计存在。 又因为，对于任意的溺数珏我织可以梅遗一个耨的除梯增蛹数，宅仅在 u l 戆强处有懿跃，且溱是嚣+ ( 强) = 群( 强) 显然姿巧一l 霹，蠢+ 岛 胃 所以，三n ( 口，爿+ ) 加( 芦，日) 。由此可见，使似然函数五n ( 声，日) 达到最大的 h 应怒一个阶梯函数。并飘如h ) = o 。，则l n ( 卢日) = o 所“求( 卢、h ) 的极大 似然估计可以通过极大化加( 肛，日) 在口o 和h 在。的跃度得到。 在这里我# l 可以用缆诗中最常见鲍牛镑! 方法来求参数的极大戗然估计。为了避 免跃疲的铬诗 矗为受餐，我们可戳餐霹数获发侮为参数。在第西部分我朗裾通过一 个舆体的例子给出估计值得具体算法 3 估计的火样本性质 终为一季 统诗憨爨，截然方法有其合理瞧，劳量缮爨了久钧翳试霹。然露就套 样本谢意却没有一个定理麓说嚷m l e 本身肖 么优良往。m 己e 豹优良幢主要体现 在大样本场合，在大样本理论中扮演了中心角色。下面的几个定理给出了模型中参 数极大似然估计的大样本性质。 定理2 3 1 在条 簪q 一魄下，菇一胁。o ，s u p 涎f 0 ，。ll 薅癣) 一硒( ) l _ oo m 在这爨| | tl 表示歇叠鬃诺蓬数。 分析：这个性质靛诞绢大概分为两步， ( 1 ) 证明赢在【0 ，r 上有上确界； ( 2 ) ( 赢，反) 的任意子列收敛到( 踟，z 珀) 5 证明第一步：为了证明皿；在【o ，r 】上有上确界可以采取反正法 因为赢是参数h 的极大似然估计，所以m ( 良，玩) 一h ( 卢，日) o ，即，h 首先来构造函数e 。，它一直收敛到凰。且若赢( r ) _ o 。，我们可以证明 n _ 1 m ( 反，成) 一m ( 卢0 ，赢) ) _ + 一o 。 下面构造函数豆。由前面的讨论我们知道玩( ) = 饕l 饕1j ( 场st ) 日 ) m 硼腓t 斋羔舔姜栽篱e 专曲m ( 卢，h )儿儿k 1 面瓦f 再币丽“白面面i 可丽酉。“ a h k ” n 翟。i 豸暑芋莩菩笨。一譬如 n 翟- 看矗赫新面础如 丘志垂赢鬻鬻e 一旨曲 腓。赢筹蒜e 一等曲 腓。赢熹蔫砉蕞鬻e 专舶 腓。赢罴羝e 一等曲 h h h ，) 满足： 高= 瓤垂而芒鬟晒姜嵩鬻e 姒瞻丽蔫。1 定义 刚= 垂而群芸眄， 矿 2 舶 f 3 1 1 o ( 1 + k f ) ，m7sk f ) 岛“威酬2 善蒜拳嚣湍 f = l 。1 、4e j 。 构造疗。( t ) = 翟l 凳l j ( bst ) 商。 ) ，且直n t ) 满足 ” 一 日。 ) 所以 b 26 2 6 ) r 2 k ( ，卢0 ，凰，b ) e 一2d 6 ( r l k ( 风，h 0 ，6 ) e 2d 6 ) _ 1 ) j 6 ( 3 ，2 ) 6 风e r r ，儿 r l 。 赢( 匐= 鍪i 器t i 鼢s | ) 垒尘 1 厶置l ( 瑰，妫一) 趣，热，点如，婶e 一譬幽( 五韪女( 岛，l 如，6 ) e 一譬幽) 一1 ) 由g 渤8 n 硒g 8 n 亡e 赫定憨鲡遭 删霎城鲥嵩) 叶譬( l 冯t ) 嵩) = 1 ru 暖透里 6 2b 2 “( ) = e ( r l 女( 风凰，b ) 托女风，凰，b ) e2 曲( 以_ r l k ( 风凰，b ) e 2 d 旷， ：露谬；垒! 兰! 至三重夏至兰釜：薹量兰攀：兰竺i 。瑚 腓。丽熹e 一 = e t 鍪，嚣t 毫羔；? 鬻 n t ， 嚣t 蒜篙蒹蒜隙， 趔嚣丽赫蒜筹筹蛾 刊丽靠x 蒜等罴删嘲 e 一( 工蠢渤专躺l口一x l f 如舢) = g 卜蕊面i 孑丽l ；+ 面百毒丽。面著雨琢丽 p 1 5 玉芦。一 ” 划面赤j 研陬 所以 吧凳。警 趔冬，e 紫融 = e 郑一爨蒜唰嘲 靶舻俨一蔫暑警麓蛳 嚣曝t 蓉赢箸罴鲰i ； = 露“u 。碣( ) 勘 = 丑o ( m i n 瓴r ) ) 7 把( 3 。i ) 代入z 髓( 氖，鼠) 融( 反，赢) 一冬。1 0 9 以r 1 i ( 赢，成；加) e 一警d 6 ) 一e 墨l 凳，球k g 蕊l 磊嚣l 女磊，玩，螃# 酞( 强，& ，蠢。，6 ) e 一警舶 f 五r l k ( 磊，赢，8 一譬始) 一1 弱理把 3 2 ) 代入搬汹，童；) ，巍g 蜘m 妇一g a 耐e “定理皴道： o f l ) 我袋嵌藏率豢赛。 因此 n 1 ( 磊，露。) 一| n ( 岛，菇；) = d ( 1 ) + n 一1 鍪1l o g r n ( 反，赢，6 ) e 一譬d ” 一n 一1 l 饕l 埘l o g n 一1 ；：。五r ，( 赢，酗飓女( 辑，反，商。，6 ) e 譬幽 五盏l 女蜃。，反，罅e 一警潞) 一1 3 ，3 ) 又因为x 删裔界，所以3 m 埘满足o o 疗。b ) + e 【x 嚣瓯+ 6 1 e 一怕i 巩( g ) 十m 磁悖) 十e 一( x 鑫赢+ 酢e “ 露。( f ) 十a 誓j 瑟以，存在常数e 1 龟瀵是数下式予： r “( 良，赢，6 ) e 一譬d b s 五鼹。蒜器e 屯a = c t 鼯，面两条 3 t ) 丽瑾 8 锯 m 触 。蹴 l 叫 f l ，瓯 宅呈 一 一。罂- 器滞塾丽舞 江印 嚣3 ，4 ) 、3 国伐入3 ，3 ) 褥； n 一。 f n ( 磊，蠢i ) 一；n ( 岛，蠢。) ) o ( 1 ) 一n 一1 咎1 咎l ( 1 十玎) l o g ( 赢( ) + m ) 一”一1 鼍。饕。玎，。s n 一1 ；：- 罂。t 粉，； i i j i ：；黼 曼o ( 1 ) 一辟1 圣1 翟1 ( 1 + 蚶) l 。g 或，( 冯) + m ) 百1 薹，跺，蚓曦馁矗猷篱鬻 ( 3 6 ) 为了证哦如聚玩( r ) 叶。，则( 36 ) _ 一o 。，下馕i 我们分割 o ，r 】：规定s o = r ，由 条件g 1 和凸知存在s 】 o ，我们选择s 2 = “x a x ( o ，s ) ，其中s 是比# 1 小的最小值且满足 7 l ，n l 一 ) e l + “) f ( 墨l ，粕) ) 嚣 巧f f ，s 1 ) ) j = l ，= l 由条件岛知s 2 存在且s 。 5 l 靶 o 显滚悬 。，。； ，n t l “ ；e ( 1 + ”) j ( 强= s o ) e 臼f ( k ，沁l ，s 0 ) ) 。 ，= t ，= l 和 n n l ( 1 一) 露 ( 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。7 ) 式第一项发敬到一。第二顼由于s ：选撵为负的，出 知f p = l 。，) 第三褒不霹 麓发鼗蘩+ 。，最露矮毒赛，嚣藏( 3 7 式发敲蜀 一。g 。因此赢。( r ) 依概率有上确界因此存在收敛盼子列仍记为赢在f 0 ，r ) 逐点收 敛到单调函数尉+ 。又因为反属于紧集，因此存在子列良_ 矿， 第二步。涯麓筘+ = 岛，嚣( t ) = 弱国 定义： 础属耻逊锶拦篙乎 l o 宙( 3 - 1 ) 、( 3 。2 ) 鳎舔( 印关于塌t ( ) 绝辩连续盈 龆，2 z 安糍躐 对上式两边取极限得尉4 关于玛( t ) 绝对连续且；舞一致收敛到3 芸器 另外 。兰n 一1 l ”( 反，西。) 一z n ( 风，瘩；) ) = n 一1 鍪，l 。g 厶r l 。( 赢，反j 6 ) e 譬d 吣一n t 娶，l 。g r l i ( 岛，赢，6 ) 。一譬d 6 盯1 坠t 器t 锄l o g 粼 ( 3 ，8 ) 当n 趋近于无穷大时，由大数定理知； 。s 嚣 l 。g ( f 撬静，嚣8 渤e 一譬翁盘嚣“强) 粕) f 显l 岛，蕊，6 ) e 一譬豳卷蕊( 强) 岛j 一1 ) o0 1 1 jb “ 由并强。政一e 锻e r 稳怠翘： 煎日) uf 甄( 矿日- 湖。一譬舶：亟瑞( ) 舢f 凰( 廓，6 ) 。一譬幽 h j 0 一 j0 即 ： i iiji；糠e一譬“。=。(jiiij；：；j；：虢e一譬“。cs。， 固定k 满足1 5 啦，在( 3 9 ) 中，对j i 、，。，一l ，k ，一o 若7 。，= ( 1 ， 用r 代蛰场：若q l rn ；：。+ ( o ) e x + = jf l ；：， 日翩) e x j 胁6 对从。到r 积分缮： 噼州 意雾蒜p 一丽南可 c 一誊m n 驯焉蓦瓮，丽赤而) l _ 玉咤嘲 由于 j 一+ l ，嘞 是任意的，对 3 1 0 ) 关于a m j = 十1 ：7 h 所有可熊 求和褥到： z 垂；嚣4e 。，e x ；口+ 6 ，e 一譬。s = z 垂t z 毛t 。，e x i 口。+ 6 ；e 一譬“。 禹既 e 譬，x 和日+ ( o ) ：e e ；= tx 5 氏矾( o ) 所以 砑芦。+ l o g + ( o ) = x 舌踟十l o g 凰( o ) ( 3 ，1 l 1 l 由岛知+ ( o ) o ，由于( 1 ，) 可以是( 1 ，竹t ) 的任意子集，因此豳( 3 n ) 可 得 x 蚕筘4 十l 。g 嚣8 o = 翼否热专l 。g 瑶( 国 酃 【t 翻r 挈二著球卜 由祭件岛知卢。= 岛且口( o ) = 珥( o ) 。为了证日= 在( 3 ，g ) 中，让：l = l 并对瓢l 从o 到y 拣分对予j 。2 ，啦，如聚甜一o ，用，代替均；如聚”= i ， 对强扶。翻，积分，然簧对杰好，j = 2 ，瑰 求襄撂： z j ；翳) e 一譬a 。= z ( j i 糕) e 一譬a 。 鑫予诧式关于野+ ( ) 、王如( # 擎谖，艨黻驴# ) = l 如( ；，因憩，l l 赢一岛_ o ，l l 盛；” 一 甄) ) | | _ o 患理2 ，3 1 描述了似然估计的楣合性，一照有了相合性这一性质，就可以根据 醒黼p 姆_ 莘罄p “n e r 滋臻澈造缝黪瑟爨来获褥参熬摄大稼然信许熬添速没。莲迁暖滚 近性以前我们先来看这样一个引理 孽l 理2 3 。2设岛是得分溺数，s 蠹渐避褥分函数，参数妒的冀缀为妒o ，极大 似然估计蘧为多，盈：妒_ f o o f 玛) ，s ： 妒一妒。：妒眵j _ 搦) 若 ( 1 ) n 。2 ( 品( 咖) 一s ( 妒o ) ) 等u “蹙严( 岛) 上的嵩斯过稷。 ( 2 ) s ( 驴) s ( 妒。) 祟雪( 妒o ) ( 乒一妒o ) + o ，( n 1 2 v l 驴一妒o i i ) 雪( 妒o ) 是s 在妒。的导数 ( 3 ) s 啪连续可邀 4 ) l l ( 一s ) 喾一s ；一s ) 妒o l l = 秭( 摊1 ，2 v l 一￥| 1 ) 则n 1 ，。( 眵一妒o ) = 雪( 妒o ) 一1 甜， 出这个引理下嚣就给出估计渐近性的话明。 意遴2 3 2 在条件q 一岛下，在度量变鬻霞如”【o ，r l 上，n 1 2 ( ( 藤一露) ，麓) 甄( ) ) r 弱收敛到均值为零的磁撩分布其中p 【o ，r 】是由焱【o ，t 】有界的所有函数缎 成熟京闽，并把藏数定义为上磷器。 滋鹄南霉| 纛籍要涯骥定璁2 ，3 。2 廷鼹谈鹾它滤是弓| 瑾孛戆毽个焱份+ 考虑集 合盯一 ( l ， 2 ) ： l j 护t ，b ( ) 是【o ，r j 上的函数； 1 f 墨l ，i 幻曼1 ) 其中i i 2 ( ) 表示抛( + ) 在【o ，r 上的全变夔， 1 2 首先定义映射晶： ( 职且) ，( p ，日) 属于( 岛，甄) 的邻域卜 f 。) ，即 最潺嚣) 隗，矗2 】n q 警够+ 盎l ，置固+ f 2 磊2 ( s ) 蹬固b g 岛l 【吲+ 蠢船【蚓 其中且铆p = l ，2 ，是置“- 靼星”鸭r 】上的线性函数： a m l l l = 一1 冀t 置；( 芦，日，6 ) e 鍪x 吾 i j 去：；：；i 雨一1 】e 一譬d 6 ( r t ( 芦，口，6 ) e 学一l d 6 ) 矗勰2 町1 鍪t 擘t 岛? ：( 强1 + 岛) 萨喇接鼢五悉菩篆赫e 墨弱 ( 五r 1 。( 夙日，6 ) e 一譬如) 一1 事蜜上，若篇妇与 2 】分溺表示肇独一缀关于声盼得分踊数和露澄目( t ) + 。厝h 。( s ) d 盯( s ) 的得分函数，r 代表个独立组的缀验测度，那么 a n t h ，】_ r 旧吼a 。2 = r i 碍吲 弼理定义极隈映掰s ：( 声，拦 斗p ( 目) ，郢s 谬，嚣) 陋l ，a 2 j = 叠l 汝l 】+ 鱼洚。】在这鏊 p p = 1 ，2 线性函数是a 。的期撩，显然 岛( 反；，豇。) = o ，s ( 岛，毗) = o 穗中心裰限定理辩一，2 & 涵甄) s ( 硒，蕊) ) 在f * ( 口) 上弱收敛劐一个离矫过後。 叉d 】s ( 卢h ) 的光滑性知赞雷歇可微分成立，即 s ( 麒。一疗，- ) s ( 卢o o ) = 鸢( 鼠一凤，矗。一日o ) 十唧( n 一1 2 v | | 卢。一踟i f + s u pl 疗。( ) 一o ( ) ) ”归r 1 并且把s ( 声，盯j 在( f i o ，塌) 处的静数记为a ，所以 矗： 芦一国嚣一函) ：( 反嚣灞予( 岛，点岛) 懿邻城 _ l 。妊j 根据m w p h y 证明渐近条件的思路可证 s u p ( 。， 。) i ( 又一s ) ( 风，舔j 陋l ， 2 j 溉一s ) 溉，矾) 陋i ， 2 】i = 唧( n 1 7 2v ! | 反一疡+ s u p g 辩， 敷( 们一峨( ) 1 ) 下面证明a 是连续可逆的映射 壶予a 将拶一岛，黠一硒) 映到皇上懿有爨避数经避葵翔 a ( 芦凤，科一丑j ) 【 l ， 2 】：( p 一风) ? 0 1 ( l ，a 2 ) + 】厂q 2 ( l ， 2 ) d ( 日一脚j ) j o 在这里 q l l ，矗2 ) = 曰l + ? 是2 ( 坊d l ( 彩旗 1 3 p r q 2 是l ，磊2 ) = 磊矗2 + 7 磊2 挈魏( 登) 露6 3 热2 f 筝 j 0 矮串器t ，魏楚常数离量，o l ( 珐势2 知) 关予冀实辚度是连续胃微分的，虽b o 圜晚0 ( l ， 2 ) = ( q l ( 髓， 2 ) ，q 2 ( 1 ， 2 ) 严是詹到封上的映射所阻要诫 是可逆 的灵需诞q ( i ，矗2 ) 楚一个一一映射。所蕊如采q ( i ，h 2 ) = 0 郡么对任意一个属于 湎，蕊) 邻域的( 卢，尉) 都宥 a ( 筘一熊，拄一娲) 降l ，汔2 】= o 特剐的我们可淤选取卢= 蕊+ 曲i ，嚣( 掣) 一编( p ) + 眉矗2 蕊冀中8 罴一个任 意小的常数+ 由a 的定义知： o 嚣矗芦一岛，嚣一嚣。) 洚l ，盎2 】= s 2 ( 治凄l 】+ 抒瞬2 1 ) 2 斟脱 妇m l 】+ 垴( 2 卜0 所以 饕l 弗强：岛，娲- 妨f 砑6 t 一1 + 瓦瓦赫 孚幽 + 嚣t 五( 岛蕊硪酗磁猢一嚆东妻趣絮掣芦譬配唧。1 2 在这里风t ( 声，日，b ) = 只l 。( 鼠，6 ) n 鐾l 弼( ) u 为了诞明 l = o 、“2 = o 在( 3 1 2 ) 中先溺定等d ，对任一个固定的靠，l 曼sz h ， 当m ：时，令。= 1 ，m 。= o 当m m 时，若。= o ，则k 。一r ；若矗i 。= l ，对甄。从。到r 秘分 所以当j 时 r “( 扇，凰，皑否危1 ( 一1 十丽煮) = 爿写 ，n 蝉瞒( 啪蹁n 蝴丽赢而磊) 卜舢m ( 崇誊鬟誉杀灿 当j 惫辩 蹦风，坻，6 ) x 5 姒一1 + 丽意括丽 。碍 tn 噼弼e 瑶两釉n 蝴删面赢丽五r 蕊mx ( 景喜篙) 氐m ( 蒿蜷r 如( 岽臻产， 氍埘 凰“风魄啪珈( 喝卜嵩漂澍 勘t 疆哗懿o ) 菇舶舢h 而孑摭再p 越w 崇券警萼蒜净“ ( 3 竭 砥慨，矾，6 ) 协巧k ( ) _ 嚣舞券) = h 哗琊瓣爿纛如船。订枷睁m 而i 蠢而丽) 卜 ( 意端产一仆鬲如) 豢筹赫p 趣埘意芝黼堋。一慧警攀婶) f ， ( 3 1 6 ) 由 ，t 十1 ，m ) 的任意佳，我 j 对( 3 1 3 ) ，( 3 1 4 ) ，( 3 l 珐( 3 ，1 6 ) 荧于 i ；，i 所有可能相加得： r t tc 廓，凰，a ，蚜n c ，十五夏i 蒜，= 矗i n m s 自骂“e x 曼如+ 呵z ；：； r t zt展，娲，妨t玎n。e酶，一塑i；三薏帮，=：i)nm女蜀(o扣x矗南+吁z；：j 放( 31 2 ) 式可变为 妻z x 私t ，骧 瑞e 豫踟帕弦善曲+ 妻小。 p l ，n ，= l “” 所以 出j = l ，2 ，- 的任意性可知 礴， 1 十垃( o ) = o j = l ，2 ，“ 蟊器 嘲= 。 绿上及条件e 2 可知 2 ( o ) = l = 0 在( 3 1 2 ) 式令一o ，j 一2 ，m ；妇= 1 ，j = l ，- - - n l 可得 0 = 拍 吐o 0 + 靶 t x eo 弼 一 0 黼 0 2 h盎h t 啦 x 。脚 吲一。小蚴，x z 罐筹筹幽 c z 罨筹藉删_q 五1 舔函i 习蓊两r 删 令g ( ) 三昭 2 ( t ) d ( t ) 且 蒜嘞z 罐筹鬻酬上罐筹裂删= 。 显然g 一0 ，所以 2 ( 们一o 。因j 鼹：是一个一一映射，s 洒，硒) 可逆，所以定理成 立。证毕。 由f i s h e r 信息原理我们知道，在定理2 3 2 中协方差阵可以用观测信息阵的邀 采估计。特别的对任意常量 l 靼任意有界麟数 2 ， f 西。+ 菇是2 ( ) d 苏 ) 的 渐近方差等价于碍良+ ，：。 2 ( ) 岛( ) 的渐近方差。因此可以用 i 蝣1 。采 传跨砰盆。+ 菇虹2 t ) d ( 幻的方差。k 包食1 积姆= l 融的幻( ) 厶怒 。 骞，矗) 关于卢和灯在；，= l 处跃度的海赛阵。下面给出这种近似值的鼹体表达形式。 定理2 ，3 3 令矿( 五l ，如2 ) 是建钒变量n g 反一函) + 嚣 2 国d ( 文0 ) 一蕊( ) ) 的渐近协方差，在条件g t 晚下，n 螺靠1 k 在( h l ，沁) 空间上一致收敛到v ( f ) 。 这个镑象p r n e r 在1 9 9 8 年已经在稳必是a i l t y 模墼孛绘出了攮疆，并且毽戆证 明过程不涉及模礅的结构。所以遗个结果对广义的t r a n s f o r m a t i o x 模型来说是仍然 成立皎。邃望甭再绘凄其钵敬涯骥避程。 定理2 33 说明当观测到的数据不是太多时，可以通过求观测信息阵的逆来计 算方差或掺方羞。 4 。参数掇大戳然毽计值的算法 这部分我们将通过一个具体的例子给如模型中参数极大似然馁计值的具体努 法。在这飘我们利用西组数据来说明我们的计算方法在这西组观测对象中每一缀 有嚣个样本，它们潜在失败时间符合模型； 一l o g “ s ( # i x 玎，6 。) ) = g ( t ) + j 芦+ 6 l j = 1 ，2 ，i = 1 ，2 ，3 ，4 其中x j 魑一维协变量，6 i 一( o ，1 ) ，g ( t ) 是未知严格增函数实验截脏时间为 7 = o ，5 ，戏测褥到数据( 均，嵇，越j ) ， 1 6 游在试验截止之前观测到失败时间，则灯= 1 ，一码；若程试验截止时遄 没有观测到失败时闻，则妇= o ，均= r = o 。5 。 我 j 褥蘩酶数据、( 强，a 嵇，确) j = l ，2 = l ，4 建下表掰示 组数( )m lt l 置lm 21 2x ：2 1o 3 6lo 9 20 5oo 7 7 2 g 58o 。2 l 0 。so0 8 6 30 2 5l0 3 1o 5oo 8 40 5o0 60 500 6 5 扶表申豹数爨我稳繁遂在这些溪瀵对象枣，我嚣玟鼹溅裂2 令失败霹阉，其余6 个 都没观测到。自前面的分析朔使似然函数达最大的h ( t ) 应为； 其中日 ) 为。，= l 时h 在场处的歇度。由数据知 日( ) = ，( 职l ) 日 m + j ( 殇ls ) 好 蚝1 ) 所以要求( 卢，) 的极大似然估计就等价于求暇日( h 1 ) ，圩 y 3 t ) 的极大似然估计。 为了避免跃度为负值，可以把对数跃度作为参数，即求( 卢，l n 日 h 1 ) ，l n h b 1 ) 檄 大似然 古诗 下面根据观测数据写出( 芦，鄹的似然函数； -t(卢)=。s：i；!；：；鬻；二-i；蒜e一譬。 f一( 02 l 声+ 婶一( 08 6 声士酢 萨 “锯五万瓶丽再丽。i 碱丽耳丽。列6 扎s z 篙糟黥x 赢淼e 善舶 ，p 一( 68 蓐+ 6 )# 一 0 8 毋十衅矿 唱以再湎而可狐丽。万丽硒再丽8 列6 第一步；酋先写出似然函数关于参数( 芦，l n 日 h l ，l n 日 硷1 ) ) 的一阶偏露和 联然丞数美予参数懿海赛辫。 第二步；由于一阶偏静与海赛阵的簿一个元素都照关于随机效应b 的积分和的 形式。为了方便计算我们首先产生( o ，1 ) 的随机数在给定初值( p o ，l n 矾( h ，) ，l n ) ) 豹愤嚣下，零j 耀m 。n t e g 黼l 。豹方法去求海赛薛与一除镳导数。 j 玩 r i h 一 场 f 。叵 。拭 | | h 第三疹；利用n e w t o n _ r a p h 8 0 n 的方法爿乏出第一步遗代俊 第疆步；幂j 掰第三步算凄鹩参数缀岛筹二莎产垒瓣隧帮 数诗簿镳弹羧与海赛 臻。然惹铡翅n 黼o m r 姆h 8 。n 方法遥代，激怒类拣求溅参数绩诗德。 槛这爨我们给改韧值势一o 7 ，o o ，一l 。1 ) 经趱2 0 次迭代褥至h 舔计俊必： z 札露 甄1 ) * 一o 。6 9 9 ，筘= 1 0 8 ， 褥嚣 毪l = 一1 3 9 鄹 打 h l 一0 4 9 7 ，霹一1 0 8 ，爿 携l 一o 2 5 0 5 + 讨论 在遗篇文辫中，我们主簧研究利厢带有随机效应的比例优此模型来分析相关 失黢孵阚觳据。羚疑得胬了鬻露随辘毅纛镌鲍攒德沌搂登游辐合懿渐邋歪态翡傣 诗。这对照建广泛豹g 一搦a 蠡a i l 锯摸搿采淡是繇豢毒鹅熬。虽然遮释摸型褒文黻 【i 4 j ， 1 5 j 。 1 锚申暖缀被研究避， 置是他们所分析的数据都感随机删必数据，出于猩 实陬应弼申馘受税潮是未翔鼹，或者潮失数据浆分带来蠲，这给检验闻麓带寒了穰 丈瀚不便。在邃麓文章审我秘野分板秘数据1 赔凑怒罄j 失数据，这键检验阕题大大麓 便，搜褥模型熬磁耀巧壤凌楚翅广泛势黩程遮黧我织爨绘出静黪滚魁娩 申经常 用到的最藻本的算法一e w t o 一r 印h s 方法，由于对随机效应的积分比较困难， 在这鐾我嬲耧藤剪一耙一国，l 。的方浚寒求稷分减小了计簿懿难发。德蹩绘& 懿数 缀汁算不貔保滋怒整俸上盼歉大嬗。送是掇大毅然待诗缀鬻出理的问题。这时我嬲 可以多给几个柳值进行计算，以保证计算缩果的可信度，经计算发现不同初缎的汁 箨络聚鼹嚣常接避懿， 对方麓的楼诗，我 1 l 露殴殴瓣定骥2 ，3 。3 瓣鼹溺穰慧簿囊凌求逡。鼹楚当璐濒戮 熬失败时阍数据麓个数魄较多对，观测信惑薄弱邋燕不稳定的。粥羚，当试验鳞袋 瀚时间r 很大时，可能磁失的数据比较少，这辩w 驻鼯致钕然方糕的躲不存程。 本文方法酾性质莛綦予隧撬效瘦茛麸镞态分带绘逡寒熬，毽邋释假定在一黪簌 鼯澎囊申霹鼹不瀵足。筑髑霹戳把随橇效藏艇骧获懿分帮遽一条传黢燕，这辩足嚣 要求髓执效应的均馑为零。这耐我们可以用裁鼹级数展开媳方法采近似随机效应的 密度 羔8 参考文献 m u r p h y ，a s ，a s y m p t o t i ct h e o r yf o rt h eh a i l t ym o d e l t h ea n n 鼽1 80 f8 t a t i s t i c s 1 9 鳎 醚娃l p 甄a s 。g 。n 8 l s t 艇c y 遗鑫p r o p 韶t i 。鞑挂lh 馘越出m 。d e 圭i n c 钟o 辖t i 鞋g 毪r a 鞋一 d o m e + t h ea 魏觳a 酶o s t 戢囊t i s 王鹳莲 e r i k p a r i l e ra s y m p t o t i ct h e o r yf o rt h ec o r 聪l a