硕士学位毕业论文-GM(1,1)模型的优化与一类强化缓冲算子的构造.doc

分 类 号： 密 级： 学校代码： 学 号： 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 GM(1,1)模型的优化与一类强化缓冲算子模型的优化与一类强化缓冲算子 的构造的构造 姓姓 名名 * 指指 导导 教教 师师 * 教授 培培 养养 单单 位位 数学与信息学院 学学 科科 专专 业业 应用数学 研研 究究 方方 向向 不确定信息系统的预测与决策 申请学位类别申请学位类别 理学硕士 论文提交日期论文提交日期 二一一年四月 论文答辩日期论文答辩日期 二一一年六月 二二一一年六月一一年六月 Optimization of GM (1, 1) and a Kind of Practical Strengthening Buffer Operator A Dissertation Submitted to the Graduate Faculty In Partial Fulfillment of the Requirement For the Degree of Master of Natural Science By Supervised by Professor Major in Applied Mathematics In Department of Mathematics and Information China West Normal University Nanchong, Sichuan Province, China Jun, 2011 目 录 I 目 录 摘 要.II ABSTRACT.IV 第第 1 1 章章 前言前言.1 1.1 本课题的目的、意义.1 1.2 论文的主要内容.2 第第 2 2 章章 灰建模及缓冲算子的基础理论灰建模及缓冲算子的基础理论.3 2.1 灰建模的基本原理.3 2.2 缓冲算子的基本理论.4 第第 3 3 章章 灰色灰色 GM(1,1)GM(1,1)模型及缓冲算子的研究模型及缓冲算子的研究.6 3.1 GM(1,1)模型的研究现状.6 3.2 缓冲算子的研究现状.8 第第 4 4 章章 GMGM（1 1，1 1）模型建模方法的改进）模型建模方法的改进.9 4.1 优化灰导数的等间距 GM(1,1).9 4.2 优化灰导数的非等间距 GM(1,1).13 第第 5 5 章章 一类新的缓冲算子的构造及缓冲算子新定理一类新的缓冲算子的构造及缓冲算子新定理.19 5.1 一类新的实用强化缓冲算子的构造.19 5.2 缓冲算子新定理.22 第第 6 6 章章 结论与展望结论与展望.25 6.1 全文总结.25 6.2 研究展望.26 参考文献.27 致 谢. 关于学位论文使用授权的声明. 关于学位论文原创性的声明. 在学期间的科研情况. 摘 要 II 摘 要 GM（1，1）模型是灰色系统预测理论的基础与核心1，它已被广泛应用于农 业、工业、气象、电力、经济、社会等领域。它将系统看成一个随时间变化而变 化的指数函数，不需要大量的时间序列数据就能够建立预测模型，其计算简单已 被普遍认同。但是一方面灰色系统理论还存在一些缺陷，其模型精度有待进一步 提高，很多学者已在提高精度方面做了很多研究3-7。另一方面，由于现实生活中 的数据往往因受到外界很多冲击因素的干扰而失真，为了排除扰动因素的作用， 刘思峰教授开创了对波动数据预测的新领域，他针对级比渐趋稳定的数据序列， 提出了用满足缓冲三公理的缓冲算子作用后进行建模预测的新思路，众多学者从 不同的背景出发，提出了各种缓冲算子，大大提高了灰色预测建模精度，从而大 大拓广了灰色系统理论的应用范围。文献41将缓冲算子的构造与函数结合起来， 为缓冲算子的构造开辟了新方向，文献49对缓冲算子公理进行了补充，并构造 了变权缓冲算子。 本选题在他们的工作的基础上，主要研究成果如下： （1）通过对不用一次累加而直接建模的等间距 GM(1,1)模型的灰色微分方程 中的灰导数进行优化，提出了用（其中） ， (0) ( )( )z tA xtC， (1)(0) (1)(0) ( ) ln() (1) xk A xk 代替原始灰色微分方程中的灰导数，同时用代替原始灰色微分方程中的背 (0)( ) xk 景值，得到新的灰色微分方程，从而获得新模型，经过 (1)( ) zkbkaxkz)()( )0( 严格理论验证该模型具有指数，系数，平移常数重合性。大量的数据模拟和模型 比较结果表明，优化后的模型提高了背景值的准确性以及灰预测模型的拟合精度 和预测精度，且该模型既适合于低增长指数序列建模，也适合于高增长指数序列 建模，同时也适合于非齐指数序列建模，可见新的建模方法大大提高了模型的模 拟精度与预测精度，同时扩大了模型的适用范围。 （2）基于完全沿用等间距一次累加的原始非等间距模型精度不尽人意，但 各种改进非等间距模型一次累加表达式复杂、计算繁琐这一基本事实，依据各种 非等间距预测表达式都具有数据预测序列是时序指标的齐次指数函数的共同特征， 提出不涉及非等间距的一次累加表达式，更无需其计算值，直接建立非等间距灰 色微分方程，同时优化其灰导数，用序列拟合误差平方和最小来寻求最佳初始条 件，获得了模拟预测精度较高的非等间距灰色预测模型。 （3）文献41将缓冲算子的构造与函数结合起来，为缓冲算子的构造开辟了 新方向，文献49对缓冲算子公理进行了补充，并构造了变权缓冲算子。本选题 摘 要 III 在他们的工作的基础上，构造了一类缓冲算子，整合了这些常用的缓冲算子，使 得常用缓冲算子更一般化了，也更加灵活了。 （4）在现有灰色系统缓冲算子公理体系下，本文得到了以下结果：设为一D 强化（或弱化）缓冲算子，为系统原始行为数据序列，其( (1), (2), ( )Xxxx n 缓冲序列为，均为单调函数，并具有相同的单调性，( (1) , (2) ,( ) )XDxd xdx n d, f g 且满足，其中( ( ( )( )g f x kx k1,2,kn 1111 ( (1), (2),( )XDxd xdx n d ,则无论为单调增长序列，单调衰减序列还是振荡序列， 1 ( ) ( ( ) x k dg f x k dX 均为强化（或弱化）缓冲算子。 1 D 关键词：关键词：灰色理论；GM（1，1）模型；模型的改进；缓冲算子 Abstract IV Abstract GM (1, 1) is the foundation and core of grey system prediction theory 1-2. And it has widely applied in numerous fields, such as agriculture, industry, meteorology, electric power, economy, society and so on. It regards a system as the exponential function which changes with the time variation, and does not need the massive time series data to establish the forecast model. The calculating simpleness for GM (1, 1) has been accepted by people. However, on the one hand, there are still some deficiencies in grey system theory, the accuracy of model need to be further improved. Many scholars have done a lot of research in improving the model accuracy 37. On the other hand, due to real-life data tend to be under a lot of the impact of external interference factors, in order to exclude the impact of disturbance factors, Professor Liu Sifeng created a new field in prediction of fluctuated data, he aimed at the data series whose grade radio is becoming more and more stable, and presented a new idea to model for prediction after using the buffer operator based on the 3 axioms ,many scholars started from different backgrounds, and proposed a variety of buffer operators, then greatly increased the accuracy of grey prediction model, thus significantly broadened the field of application of grey system theory. Literature 41 connected the structure of buffer operator with functions, and opened a new direction for the structure of buffer operator .Literature 49 was supplemented for the buffer operator axioms, and constructed a variable weight buffer operator. In this paper, on the basis of their work, the work in this dissertation mainly consists of following parts: (1) This paper presents a new method to establish the direct model through optimizing the grey derivative, replacing the derivative by (0)( ) xk and the background value by, then (1)(0) (0) (1)(0) ( ) ( )ln()( ) (1) xk z txtC xk ，)( )1( kz (0)( ) xk we get. The new model has been proven strictly to have the property bkaxkz)()( )0( of exponent, coefficient and translation constants superposition. The results of data simulation and model comparison show that the improved model in this paper raises the accuracy of background value, the fitting precision and forecasting precision. Moreover, it is not only suitable for the low growth sequence, but also suitable for the high growth sequence. Whats more, it is suitable for the nonhomogeneous exponential sequence. The new method not only improves the simulation and prediction precision, but also extends the application scope of GM (1, 1) model. (2)Based on the truth that the accuracy of the original non-equidistance model Abstract V ,which completely adherence to 1-Ago of equidistance sequence ,is not satisfactory, but the 1-Ago expressions in the ways to improve the non-equidistance model are very complex and the calculation is very complicated, according to a variety of non- equidistance expressions have the common features that forecast sequence is the homogeneous exponential function about timing indicator, this paper proposes a method to establish gray differential equation of non-equidistant sequence directly, which does not involve the 1-Ago expressions of non-equidistance sequence , even without its calculated value, optimizing its gray derivative, with the sequence of squares and the smallest fitting error to find the best initial conditions, then we obtain a higher prediction accuracy of non-equidistant gray prediction model. (3) Literature 41 connected the structure of buffer operator with functions, and opened a new direction for the structure of buffer operator .Literature 49 was supplemented for the buffer operator axioms, and constructed a variable weight buffer operator. This paper, on the basis of their work, constructs a class of buffer operator to integrate these common buffer operators, and make the buffer operator is more general and commonly used, and also more flexible. (4)Based on the present theories of buffer operators in grey system, the following results are obtained in this paper: Assume that is a Strengthening (or weakening) D Buffer Operator, is a sequence of raw data, ( (1), (2), ( )Xxxx n is a buffer sequence, are all monotonously functions, ( (1) , (2) ,( ) )XDxd xdx n d, f g and have the same monotonicity,satisfying ，( ( ( )( )g f x kx k1,2,kn ，, then whenever is a 1111 ( (1), (2),( )XDxd xdx n d 1 ( ) ( ( ) x k dg f x k dX monotonously increasing sequence, a monotonously decreasing sequence, or a vibration sequence, is a strengthening(or weakening) operator. 1 D Key words: grey system theory; GM (1, 1); improvement of model; buffer operators 第 1 章 前言 1 第 1 章 前言 1.1 本课题的目的、意义 由于元素信息不完全，结构信息不完全，边界信息不完全，运行行为信息不 完全等造成的信息部不完全构成了我们“灰”的基本含义。在人们的社会经济活 动、科研活动以及日常生活中经常会遇到信息不完全的情况，随着科学技术的高 速发展，如何更有效地提高筛选和处理信息的能力，已引起人们的高度重视。在 对系统行为的研究过程中，由于内在、外在因素的扰动的存在和人们认识事物水 平的局限，使得人们所得到的信息以及对许多事物或系统的认识是不完全的，往 往带有某种不确定性。随着现代科学技术的不断发展和人类社会的进步，人们对 不确定性系统的研究也日益深入，出现了一大批从不同角度、不同侧面描述和处 理各类不确定性信息的理论、方法和成果，如模糊数学、灰色系统理论、粗糙集 理论、未确知数学等。在自然界和社会科学领域，不确定性问题普遍存在。针对 “随机不确定”现象，及服从某种典型分布的对象，可以用概率统计去解决；而 对于“认知不确定”问题，及内涵明确，外延不明确的对象，可以用模糊数学去 研究。然而，对于另外一类不确定性问题，即少数据、小样本、贫信息的不确定 性问题，概率统计、模糊数学就难以解决，灰色系统理论正好解决了这类难题， 它的研究对象就是“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本” 、 “ 少数据” 、 “贫信息”不确定性系统。灰色系统理论通过对“部分” 已知信息的生成和开 发来提取有用的信息，并实现对人类现实世界和事物发展趋势的确切描述和认识 1。 1982 年，我国学者邓聚龙教授的两篇开创性论文“灰色系统的控制问题”和 “灰色控制系统”的公开发表，标志着灰色系统理论这一新兴横断学科的问世。 这一新理论收到国内外学术界和广大实际工作者的积极关注，许多学者开始以极 大的热情开展理论探索及其在不同领域的应用研究工作。该理论在众多科学领域 中得到许多成功的应用，赢得了国际学术界的肯定和关注。世界上有 100 多所大 学，国内外有很多出版机构，国际权威行检索机构，许多重要国际会议等都对灰 色系统理论给予了肯定，并对世界系统科学界同行进一步了解灰色系统理论起到 了积极作用。 经过近 30 年的发展，灰色系统理论已形成了以“灰”为研究对象，在“差 异信息原理” 、 “解的非唯一性原理” 、 “最少信息原理” 、 “认知根据原理” 、 “新信 息优先原理” 、 “灰性不灭原理”的基础之上，建立起了一门新兴许可的结构体系。 它的主要内容包括以灰色代数系统、灰色方程、灰色矩阵等为基础的理论体系， 以灰色关联空间为依托的分析体系，以灰色序列生成为基础的方法体系，以灰色 模型（GM）为核心的模型体系，以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制和 第 1 章 前言 2 优化为主体的技术体系 1-2。 灰色模型作为灰色系统理论的模型体系的核心，已被广泛应用于农业、工业、 气象、电力、经济、社会等领域，并获得了较为合理的研究结论，掌握了事物发 展变化的规律，并为我们预测事物的发展趋势提供了理论依据。GM（1，1）模型 是灰色模型的基础与核心，将系统看成一个随时间变化而变化的指数函数，不需 要大量的时间序列数据就能够建立预测模型，其计算简单已被普遍认同。但是灰 色系统理论还存在一些缺陷，其模型精度有待进一步提高。另外由于现实生活中 的数据往往因受到外界很多冲击因素的干扰而失真，为了排除扰动因素的作用， 刘思峰教授开创了对波动数据预测的新领域，他提出了用满足缓冲三公理的缓冲 算子作用后进行建模预测的新思路。灰色预测模型的应用范围日趋广泛，也成为 了我们研究贫信息的不确定系统的重要方法，因而对灰色预测模型及缓冲算子的 研究具有较为重要的学术意义和较为广泛的应用价值。 1.2 论文的主要内容 本文共分六章。第一章是前言，介绍了灰色系统的发展状况和研究动态；第 二章介绍了灰建模的基本原理和缓冲算子的基本理论；第三章介绍了灰色 GM（1，1）模型的研究现状及缓冲算子的研究现状；第四章通过对原始 GM（1，1）模型的研究和分析，分别对等间距和非等间距的 GM(1,1)模型作出了 改进和优化；第五章通过对现有缓冲算子的分析，构造了一类新的实用强化缓冲 算子，并得出了缓冲算子的新定理；最后一章结论主要对前五章的研究成果加以 总结，并对未来的研究提出了展望。 第 2 章 灰色建模及缓冲算子的基础理论 3 第 2 章 灰建模及缓冲算子的基础理论 2.1 灰建模的建模机理 研究一个系统，一般应先建立系统的数学模型，进而对系统的整体功能、 协调功能以及系统各个因素之间的关联关系、因果关系、动态关系进行具体的 量化研究。灰预测数据有以下内涵特点：序列性、少数据性、全新息性、时间 传递性和灰因白果律。 2.1.1 等间距 GM(1,1)模型的建模机理 先介绍两种灰序列生成算子： 累加生成是使灰色过程由灰变白的一种方法，它在灰色系统理论中占有极 其重要的地位。 累减生成是在获取增量信息时常用的生成，累减生成对累加生成起还原作 用。累减生成与累加生成是一对互逆的序列算子。 设为原始数据序列，则 00000 X1 ,2 ,3,xxxxn 称为的一次累加生成算子（记为 1-AGO） ； 00 1 k i xkxk 1 d (0) X 称为的一次累减生成算子（记为 1-IAGO） 000 1xkxkxk 2 d (0) X GM(1,1)的灰微分方程模型的基本形式为，其中 (0)( ) ( )xkazkb （1） 为灰导数，为发展系数，为白化背景值（ (0)( ) xka( )zk （1） ） ，为灰作用量。若为参数列，且 1 ( )( )(1)zkxkxk （1）（1）（1） （） 2 b( , )Taa b ，则GM(1,1)模型的最小二乘 (0) (0) (0) (2) (3) ( ) x x Y xn (1) (1) (1) (2)1 (3)1 ( )1 z z B zn (0)( ) ( )xkazkb （1） 估计参数列满足. 1 () TT aB BB Y 2.1.2 非等间距 GM(1,1)模型的建模机理 定义定义11 设序列，若间距 0 X n kxkxkxkx 0 3 0 2 0 1 0 , ，则称是非等间距序列。constkkk iii 1 ）（0 X 令为非等间距序列， 0 x 00000 123 , n xxkxkxkxk， ，则非等间距 GM(1,1)定义型为 1 ,2,3, iii kkkconst in 第 2 章 灰建模及缓冲算子的基础理论 4 ，其中， (1) (1) ( ) ( ) i i i xk azkb k (1)(1)(1)(0) 1 ( )( )()( ) iiii xkxkxkxk (1)(0)(1)(1)(1) 1 1 ( )(),( )0.5( )() i imiii m xkxkzkxkxk 2.2 缓冲算子的基础理论缓冲算子的基础理论 定义定义 12 设为系统行为数据序列，若( (1), (2), ( )Xxxx n 若，则称为单调增长序列；1,2,1kn ( )(1)x kx kX 若，则称为单调衰减序列；1,2,1kn ( )(1)x kx kX 若，有，则称为 ,1,2,1k kn( )(1)x kx k ( )(1)x kx kX 振荡序列。令，称max( )1,2,Mx k knmax( )1,2,mx k kn 为序列的振幅。MmX 定义定义 22 设为系统行为数据序列，为作用于的( (1), (2), ( )Xxxx nDX 算子，经过作用后记为，称为序列算子，称XD( (1) , (2) , ( ) )XDxd xdx n dD 为一阶算子作用序列。XD 序列算子作用可以多次进行。相应地，若都为序列算子，称 123 ,D D D 为二阶算子作用序列，等等。 12 D D 公理公理 12 （不动点公理）设为系统行为数据序列，为序列算子，则XD 满足。D( )( )x n dx n 公理公理 22（信息充分利用公理）系统行为数据序列中的每一个数据，X( )x k 都应充分参与算子作用的全过程。1,2,kn 公理公理 32（解析化、规范化公理）任意的，都可以由一( )x k d1,2,kn 个统一的初等解析式表达。(1), (2), ( )xxx n 公理公理 449 （单调性不变公理）设经序列算子作用后所得数据序列为XD ，则序列与序列的单调性必须保持一致。( (1) , (2) , ( ) )XDxd xdx n dXDX 定义定义 3 满足以上四公理的序列算子称为缓冲算子，一阶、二阶、三阶 缓冲算子作用序列称为一阶、二阶、三阶缓冲序列。 定义定义 42 设为系统行为数据序列，为缓冲算子，若满足下列两个条件，XD 则称缓冲算子为强化缓冲算子。D 当为单调增长（单调衰减）序列时，缓冲序列比系统行为数据序XXD 列的增长率（衰减率）加快；X 当为振荡序列时，缓冲序列比系统行为数据序列的振幅大。XXDX 定理定理 12 设为系统行为数据序列，缓冲序列记为( (1), (2), ( )Xxxx n ，那么( (1) , (2) ,( ) )XDxd xdx n d 当为单调增长序列时，为强化缓冲算子，XD( )( )x k dx k ；1,2,kn 第 2 章 灰建模及缓冲算子的基础理论 5 当为单调衰减序列时，为强化缓冲算子，XD( )( )x k dx k ；1,2,kn 当为振荡序列时，为强化缓冲算子则，XD 11 max( )max( ) k nk n x k dx k 。 1 min( ) k n x k d 1 min( ) k n x k 从上述定理可以看出，单调增长序列在强化算子作用下，数据萎缩；单调 衰减序列在强化缓冲算子作用下，数据膨胀。 第 3 章 灰色 GM(1,1)模型及缓冲算子的研究 6 第 3 章 灰色 GM(1,1)模型及缓冲算子的研究 3.1 GM(1,1)模型的研究现状 3.1.1 等间距 GM(1,1)模型的研究现状 邓聚龙教授最先提出 GM(1,1)的灰微分方程模型的基本形式为 ，其中为灰导数，为发展系数，为白化背景 (0)( ) ( )xkazkb （1）(0)( ) xka( )zk （1） 值（） ，为灰作用量。若为参数列，且 1 ( )( )(1)zkxkxk （1）（1）（1） （） 2 b( , )Taa b ，则GM(1,1)模型的最小二乘 (0) (0) (0) (2) (3) ( ) x x Y xn (1) (1) (1) (2)1 (3)1 ( )1 z z B zn (0)( ) ( )xkazkb （1） 估计参数列满足.经过众多学者的分析和研究，GM(1,1)建模步骤 1 () TT aB BB Y 中存在以下几个问题： 第一，利用灰色微分方程求发展系数 a,灰作用量 b 时，最小二乘法指标函 数不一定最合理，不一定是最优的方法，可以寻求更合理的方法来处理参数列 。( , )Taa b 第二，利用白化微分方程求含 a,b 的响应式，灰色、白化微分方程本来不 统一。 第三 : 利用初始条件求响应式中的待定系数，时间 (1)(1)(0) (1)(1)(1)xxx 操之过急, 选择单一。 第四：灰色微分方程中导函数、原函数是近似,可以通过数学方法使得方程 中的原函数与导函数更匹配。 根据以上几个问题，很多学者做了研究，改进 GM(1,1)模型的建模方法主 要有以下几种：(1)求参数列的方法；(2)改白化微分方程、改灰色微分方程、 同时改白化和灰色微分方程、去白化微分方程，通过这些方法来实现灰色、白 化微分方程的统一；(3) 对模型的初始条件进行改进; （4）对背景值的改进， 优化灰导数，或同时优化这两者，使得方程中的原函数与导函数更匹配。 陈友军等人分析了最小二乘法指标函数的不一定合理性，并提出了用关联 度最大作指标函数来求参数列 a，b。对微分方程的改进上也有很多学者作了研 究，这里主要介绍下(3)，(4)两种改进途径的研究现状。 第 3 章 灰色 GM(1,1)模型及缓冲算子的研究 7 (1)初始条件的改进 通过对模型产生误差的原因分析，有学者认为将作为初始条件是不合 (1)(1) x 理的，并有不少学者在这方面做了很多研究工作，对模型的初始条件的改进方 法主要有以下两类：根据灰色理论的新信息优先原理，将最后一项即最新的 数据作为灰色微分模型的初始条件24，在此基础上，另有学者提出了以 (1)( ) xn 任一项数据作为初始条件（即将 m 从 1 到 n 取值，对每一 (1)( ) 1,2,xmmn 个值用 GM（1，1）模型进行一次预测，找出平均相对误差最小（或在其他评价 标准下）的模型对应的 m，令 m 对应的为初始条件）26，根据最小二 (1)( ) xm 乘法理论，有学者提出用模拟（预测）值与原始数据的误差平方和最小来确定 初始条件，通过对模型的初始条件的改进，大大地降低了预测误差。 (2)对背景值的改进 经过不少学者的研究分析，原始灰色 GM（1，1）模型中背景值与灰导数不 完全匹配，背景值的构造是产生误差的主要原因，因此，不少学者对模型的背 景值的改进进行了研究，主要有以下改进方法：运用指数平滑法将原背景值 优化为： 18-26，罗 )( )1( kz (1)(1)(1) ( )( )(1)(1)1,2,1Zkxkxkkn 党等人做了更进一步的改进，对一阶线性微分方程两边进行积分，将原背景值 优化为：= 3。通过对模型背景 )( )1( kz)( )1( kz ) 1(ln)(ln ) 1()( )1()1( )1()1( kxkx kxkx 2,3,kn 值的改进，使得新模型不仅适用于低增长序列同时适用于高增长序列，而且模 拟精度也大大提高了。 (3)对灰导数的改进 GM（1，1）模型的灰微分方程的基本形式是，,.3 , 2)()( )1()0( kbkazkx 是邓聚龙教授在白化微分方程的基础上，将离散点列在点bax dt dx )1( )1( )1( xk 的导数用差分形式来处理（即：） ，将背景)() 1()( )0()1()1( )1( kxkxkx dt dx kt 值用来代替而得到的。然而，这样的近似处理，使得 GM（1，1）)( )1( kx)( )1( kz 模型的模拟误差较大，因此，很多学者对灰导数进行了研究和优化： 文献5 不用一次累加而直接建模，并提出了以向前差商和向后差商的优 化加权平均值作为灰导数白化值建立 GM (1, 1) 的方法，并证明了该法具有线 性变换一致性。 3.1.2 非等间距 GM(1,1)模型的研究现状 第 3 章 灰色 GM(1,1)模型及缓冲算子的研究 8 GM (1 ,1) 模型模拟和预测精度主要取决于参数a 和b ,而参数a 和b 的值又 依赖于背景值的构造,因此,背景值成为直接影响GM(1 ,1) 模型模拟和预测精度 的关键，而一次累加的定义直接影响背景值的构造。学者对非等间距GM (1 ,1) 模型的研究主要是对序列一次累加的定义的改进： （1）在文献38中累加定义给出，实际上这里的 10 1 i ijj j xkxkk 可以理解为是将非等间距插值（以便利用等间距思路来处理非等间距问 1 i xk 题） ，但它在插值的时候没有考虑值的逐渐变化，而是采用了值的突变，这样就 给模型带来了一定的误差，也在一定程度上影响了灰色系统理论的应用。 （2）文献38中的可以理解为是将非等间距插值（以便利用等间距 1 i xk 思路来处理非等间距问题） ，但由于它在插值的时候没有考虑值的逐渐变化，而 是采用了值的突变，这样就给模型带来了一定的误差，也在一定程度上影响了 灰色系统理论的应用，文献27通过考虑值的逐渐变化来给出新的累加定义： (0)(0) 1001 1 11 1 ()() j k jj l j i ij j xkxk xkkxkl k x （3）当原始数据经过一次累加后，如果还不接近指数形式，我们应当进行 数据处理，使其接近指数形式，这样才可能得到好的模拟效果，又因为我们用 指数形式进行模拟，文献28提出用对原始数据进行插值，得到了新 0 i d t i xtc e 的一次累加定义 1110 11 21 j jj k i dkl ij jl xkxkce 3.2 缓冲算子的研究现状 由于现实生活中的数据往往因受到外界很多冲击因素的干扰而失真，为了 排除扰动因素的作用，刘思峰教授开创了对波动数据预测的新领域，他针对级 比渐趋稳定的数据序列，提出了用满足缓冲三公理的缓冲算子作用后进行建模 预测的新思路，众多学者从不同的背景出发，提出了各种缓冲算子，大大提高 了灰色预测建模精度，从而大大拓广了灰色系统理论的应用范围。文献43将 缓冲算子的构造与函数结合起来，为缓冲算子的构造开辟了新方向，文献49 对缓冲算子公理进行了补充，并构造了变权缓冲算子。本文在他们的工作的基 础上，构造了一类缓冲算子，整合了这些常用的缓冲算子，使得常用缓冲算子 更一般化了，也更加灵活了。 第 4 章 GM(1,1)模型建模方法的改进 9 第 4 章 GM（1，1）模型建模方法的改进 在本章里，作者对 GM(1,1)模型进行了深入研究，根据 GM（1，1）模型的 原理，找出影响模型精度及其适应性的关键因素，并对其进行优化，提高了模 型的精度，扩大了模型的适用范围