（计算数学专业论文）几类有限体积元及有限体积格式的数值分析.pdf

原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 j 盘进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 冗作出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：么；! 塞日期：之亚墅 i 三粤 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅：本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 ，勺容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：一至址导师签名，趣日 期：趟! 二臼哆j i s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n n u m e r i c a la n a i j y s i so fs o m ef i n i t e v o l u m ee l e m e n ta n df i n i t ev o l u m es c h e m e s y a n g m i n s c h o o lo m a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n2 5 0 l o ec h i n a a b s t r a c t f i n i t ev o l u m ee l e m e n t ( f v e ) a n df i n i t ev o l u m e ( f v ) m e t h o d sh a v eal o n gh i s t o r ya sac l a s s o fd i s c r e t i z a t i o nt o o l sf o rt h en u m e r i c ms i m u l a t i o no fv a r i o u st y p e so fc o n s e r v a t i o nl a w s t h e m e t h o d sh a v e b e e nw i d e l yu s e di ns e v e r a le n 舀n e e r i n gf i e l d s ，s u c ha s f l u i dm e c h a n i c s ，h e a ta n d m a s st r a n s f e ro rp e t r o l e u me n g i n e e r i n g i nt t l ee a r l y5 t e r a t u r e 【2 _ 6 】t h e ) w e r ei n v e s t i g a t e da st h e s o - c a l l e db o xs c h e m e s ，g e n e r a l i z e dd i f f e r e n c es c h e m e s ，a n di n t e g r a lf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d s ，a n d m o s to ft h er e s u l t sw e r e 舀v e ni nk e a rc a s ( 墨t h em e t h o d sa r eb a s e do na ”b a l a n c e ”a p p r o a c h ：a l o c a lb a l a n c ei sw r i t e no ne a c hd i s c r e t i z a t i o nc e l 】w h i c l li so f t e nc a l l e d ”c o n t r o lv o l u m e ”o r ”d u a l e l e m e n t ”；b yt h ed i v e r g e n c ef o r m u l a ，a di n t e g r a lf o r m u l a t i o no ft h ee q u a t i o no nt h ec o n t r o lv o l u m e i so b t m n e d ；t h e nt h ei n t e g r a lf o r m u l a t i o ni sd i s c r e t i z e dw i t hr e s p e c tt ot h ed i s c r e t eu n k n o w n s g e n e r a l l ys p e a k i n g f a n df vm e t h o d sa r en u m e r i c a lt e c h n i q u e st h a tl i es o m e w h e r eb e t w e e n f i n i t ee l e m e n ta n df i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d s ；t h e yh a v eaf l e x i b i l i t ys i m i l a rt ot h a to ff i n i t ee l e m e n t m e t h o d sf o rh a n d l i n gc o m p h c a t e ds o l u t i o nd o m a i ng e o m e t r i e ! sa n db o u n d a r yc o n d i t i o n s ；a n dt h e y h a v eas i m p l i c i t yf o ri m p l e m e n t a t i o nc o m p a r a b l et of i n i t ed i f i e r e n c em e t h o d s t h em n i nd i f f e r e n c eb e t w e e nt h ef v ea n df vm e t h o d si st h a tt h ef v em e t h o d su s et w o s p a c e s ：t h es o l u t i o ns p a c eo fp i e e e w i s ep o l y n o m i a lf u n c t i o n so v e rt h ep r i m a lp a r t i t i o na n dt h et e s t s p a c eo fp i e c e w i s ec o n s t a n tf u n c t i o n so v e rt h ed u a lp a r t i t i o n ，a n ds i m i l a ra st h ef i n i t ee l e m e n t m e t h o d st h ea i l k n o w n sa r ea p p r c d d m a t e db yag a l e r k i ne x p a n s i o n w h i l ei nt h ef vm e t h o d st h e d i s c r e t es c h e m e sa r eo b t a i n e dd i r e c t l yb yu s eo ft h ef i n i t ed i f f e r e n c ea p p r o a c ht oa p p r o x i m a t et h e b a l a n c ee q u a t i o no ne a c hc o n t r o lv o l u m e t h ep o p u l a r i t yo ft h i sc l a s so fm e t h o d ss t e m sf r o mt h e i rs t r u c t u r a ls i m p l i c i t ya n dt h ep r e s e n c e o fi o c a lc o n s e r v a t i o np r o p e r t i e so ft h en u m e r i c a lf l u x e s t h es e c o n df e a t u r em a k e st h em e t h o d s q u i t ea t t r a c t i v ew h e nm o d e l l i n gt h ep r o b l e m sf o rw h i c ht h ef l u xi so fi m p o r t a n c e ，s u c ha si nf l u i d m e c h a n i c s ，s e m i c o n d u c t o rd e v i c es i m u l a t i o n lh e a ta n dm a s st r a n s f e r h o w e v e r ，t h em e t h o d s a l s oh a v es o m es e r i o u sf l a w s ：1 e s s e n t i a l l yt h es p a t i a lc o n v e r g e n c er a * 。e so fa l lc u r r e n tf v ea n d f vs c h e m e sa el o w ，o n l yf i r s to r d e ri ng e n e r a l ；2 f o rt h ef v em e t h o d s s i n c et h es o l u t i o ns p a c e a n dt h et e s ts p a c ea r ed i 髓r e n t t h et o e 伍c i e n tm a t r i c e so ft h ed i s c r e t es c h e m e sa r eu s u a l l yn o t s y m m e t r i ce v e nf o rt h ep r o b l e m sw i t hc o n s t a n tc o e f f i c i e n t si nm u l t i d i m e n s i o n a l ，w h i c hb r i n g sm u c h d i f f i c u l t i e st oa n a l y z eo rc o m p u t et h e m i nf a c t ，m a n ye f f i c i e n tm e t h o d su s e di ne n g i n e e r i n gf i e l d s ， e g ，t h ec o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o d ，r e l yo nt h es y m m e t r yo ft h ec o e f f i c i e n tm a t r i x t h e r ea r et w om a i nw a y st 。o b t a i nt h eh i g ha c c u r a c ys c h e m e s 1 o n ew a yi st ou s eu n i f o r m o rs y m m e t r i cm e s h e s f v es x ：h e m e sf o re l l i p t i ca n di n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so ns y m m e t r i c s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n m e s h e sw i t hs e c o n do r d e rs p a t i a lc o n v e r g e n c ei n 日l - n o r mh a v eb e e nc o n s i d e r e db yc a l e w i n ga n d e t ci n 【8 ，9 1 f vs c h e m e so nt r i a n g u l a rm e s h e sw e r ec o n s t r u c t e db yv a s s i l e v s k i ，p e t r o v aa n dl a z a r o v 1 0 】t h ee r r o re s t i m a t e so b t a i n e di n 1 0 1a r ei nad i s c r e t eh i _ n o r ma n df o ru n i f o r mt r i a n g u l a t i o n s i n c l u d es u p e r c o n v e r g e n c er a t e s ，n a m e l y , o ( h 2 ) f vd i s c r e t i z a t i o n so nt e n s o r p r o d u c tn o n u n i f o r m m e s h e sh a v eb e e ns h o w nb yw e i s e ra n dw h e e l e r 【11 】a n ds u p e r c o n v e r g e n c ee r r o re s t i m a t e sw e r e d e r i v e d s o m eu p w i n df vs c h e m e so ns q u a r ec e l k i n c l u d i n gm o d i f i e du p w i n ds c h e m ea n d1 1 i n s s c h e m e ，h a v eb e e np r e s e n t e db yl a z a r o v ，m i s h e va n dv a s s i l e v s k i 1 2 t h ee r r o re s t i m a t e si na d i s c r e t eh 1 一n o r mo fo r d e ro ( h m - - 1 ) ，3 2sm 3w e r ed e r i v e dt h e r e b u tt h i sw a yn e e d ss p e c i a l r e g u l a rm e s h e sa n di so n l ye f f i c i e n tt os o l v es i m p l ec & s e s i t sa p p l i c a t i o ni si n e v i t a b l yr e s t r i c t e d i np r a c t i c e 2 f o rf v em e t h o d s a n o t h e rw a yt oc o n s t r u c th i g ha c c u r a c ys c h e m e si st oc h o o s e h i g ho r d e rf i n i t ee l e m e n t sa ss o l u t i o ns p a c e b a s e do nq u a d r a t i cl a g - r a n g ee l e m e n t sa n dc u b i c h e r m i t ee l e m e n t so v e rt r i a n g u l a t i o n s t w ok i n d so ff v es c h e m e sh a v eb e e nf i r s tp r o p o s e df o r p o i s s o ne q u a t i o n sb yt i a na n dc h e n 【1 3 ，1 4 】a n dt h eo p t i m a lh 1 - e r r o re s t i m a t e sw e r eo b t a i n e d t h e r e a n o t h e rq u a d r a t i cs c h e m eh a sa l s ob e e np r e s e n t e db yc h e n 【15 】f o rh e a tc o n d u c t i o ne q u a t i o n s w i t hc o n s t a n tc o e f f i c i e n t s ，a n dt h eo p t i m a le n e r g yn o r me r r o re s t i m a t e so fo r d e ro ( a t + h 2 ) w e r e d e r i v e d f o rl i n e a re l l i p t i cp r o b l e m s ，b a s e do nb i q u a d r a t i ce l e m e n t so v e rr e c t a n g u l a rm e s h e s ，o t h e r t w of v es c h e m e sh a v eb e e np r o p o s e db yx i a n ga n df e n gi n 【1 6 ，1 7 】t h eo p t i m a lh 1 n o r me r r o r e s t i m a t e so fo r d e ro ( h 2 ) w e r ep r o v e d b u tu n t i ln o wt h es e c o n dw a yi sa l s os t i l ll i m i t e dt oh a n d l e l i n e a rp r o b l e m s t h u s ，t h ef i r s to b j e c t i v eo ft h i st h e s i si st og e n e r a l i z et h em e t h o d sa b o u tt h ec o n s t r u c t i o no f h i g ha c c u r a c yf v es c h e m e si n 【1 3 1 5 jt om o r eg e n e r a lp r o b l e m s b a s e do nq u a d r a t i cl a g r a n g e e l e m e n t sa n dc u b i ch e r m i t ee l e m e n t so v e rt r i a n g u l a rm e s h e s w ee o u s t r u c ta n da n a l y z es o m ef s c h e m e sf o rn o n l i n e a rp a r a b o l i cs y s t e m s ，n o n l i n e a rc o n v e c t i o nd i f f u s i o np r o b l e m sa n dv a r i a n tc o e f f i c i e n te l l i p t i cp r o b l e m s w ep r o v et h eo p t i m a le r r o re s t i m a t e sa n dg i v es o m en u m e r i c a le x p e r i m e n t s t od e m o n s t r a t et h ef e a s i b i l i t yo fs u c hg e n e r a l i z a t i o n t ot h eb e s to fo u rk n o w l e d g e t h el i t e r a t u r eo nt h ec o n s t r u c t i o no fs y m m e t r i cf v es c h e m e s i sl i t t l e b yt h el u m p e dm a s sm e t h o d sa n da p p r o x i m a t i o nr e p l a c e m e n to ft h ew e a kf o r m s ，s o m e s y m m e t r i cs c h e m e sf o rl i n e a re l l i p t i ca n dp a r a b o l i cp r o b l e m sh a v eb e e nc o n s t r u c t e db yl i a n ga n d m ai n ( 1 8 ，1 9 l ，a n dt h ee r r o re s t i m a t e si nd i f f e r e n tn o r m sw e r ed e r i v e d m o d i f i e ds y m m e t r i cf m e t h o d sb o t hf o rl i n e a re l l i p t i ca n dp a r a b o l i cp r o b l e m sh a v eb e e nd e v e l o p e db yr u i 2 0 t h e o p t i m a lh 1 - n o r ma n de n e r g yn o r me r r o re s t i m a t e sw e r ep r o v e d t h es o h i t i o ns p a c ec o n s i d e r e d i nt h e s ep a p e r si sl i n e a rl a g r a n g ee l e m e n t so nt r i a n g u l a rm e s h e s s y m m e t r i cf d i s c r e t i z a t i o n s f o rp o s s i o ne q u a t i o n s ，b a s e do nb i q u a d r a t i cl a g r a n g ee l e m e n t s ，h a v eb e e nc o n s i d e r e db yf e n g i 1 7 t h ea p p l i c a t i o no ft h en u m e r i c a li n t e g r a t i o nf o r m u l a sl e a d st os y m m e t r i cs c h e m e sa n d t h eo p t i m a lh 1n o r me r r o re s t i m a t e so fo r d e ro ( h 2 ) w e r eo b t a i n e d h o w e v e r ，a l lt h em e t h o d s m e n t i o n e da b o v ea r eo n l yl i m i t e dt os i m p l el i n e a rp r o b l e m s t h e ya r en o tf e a s i b l et oh a n d l em o r e g e n e r a ln o n s t a t i o n a r yp r o b l e m s s ot h es e c o n do b j e c t i v eo ft h i st h e s i si st od e v e l o pan e ww a yt oc o n s t r u c ts y m m e t r i cf v e s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n s c b e r n e s w h i c hc a nb ea p p l i e dt 。n l o r eg e n e r a ln o n s t a t i o n a r yp r o b l e m s s u c ha sn o n l i n e a rc o n v e c t i o nr i i f t u s i o np r o b l e m s j 珥ji n t r o d u e et h ea l t e r n a t i n gd i r e c t i o nr n e l h o d si n t ot h ec o n s t n m t i o no f t h ef v es c h e m e s t h ec h o ic eo ft h i ss t r a t e g wi sc r i t i c a li nt h i sp a p e r ，w h i c hg r a a l t e e st h ee f f i c i e n c y a n ds y m m e t r yo ft h ed i s c r e i ，es c h e m e sm o r e o x e rb a s e do i lb i q u a d r a t i cl a g r a n g ee l e m e n t s ，w e i n t r o d u c ean e wd u mp a r t i t i o na n db - u s eo fs u c hd u a lp a r t i t i o nw ee a r lc o n s t r u c th i g ha c c u r a c y s y n l m e t r l cf v es d l e m e se v e nf o rc o m p l i c a t e dn o n l i n e a rp r o b l e m s ， t w o - p h a s ei n c o m p r e s s i b l ef l o wi s o n eo ft h ei n o s ti m p o r t a n tf i e l d si np e t r o l e u me n g i n e e r i n g g e n e r a l l yt h ep r o b l e mi sa s s u m e dt ob cp o s k b ，cd e f i n i t ea n dt h e nv a r i o u sf i n i t ee l e m e n to rf i n i t e d i f f e r e n c em e t h o d sc & nb ea i i o p t e dt os o l v es u c hp r o b l e m 9 ，2 1 2 4 】h o w e v e r ，i nm a n yp r a c t i c a l s i t u a t i o n st h ed i f f u s i o nc o e f f i c i e n ti so n l yp o s i t i v es e m i d e f i n i t e ，w h i c ha r i s e sm u c hd i f f i c u l t i e si n m a t h e m a t i c sa n dm e c h a n i c s 。s o m ec h a r a c t e r l s t i cf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sf 2 5 ，2 6 1o rc h a r a c t e r i s t i c f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d sf 2 7 1h a v eb nc o n s t r u c t e db yd a w s o na n dy u a nt os o l v e8 1 3 c hc & s e b u tt h e f i n i t ee l e m e n tm e i h o d sc a r t tk e e pt h el o c a lc o n s e r v a t i o np r o p e r t i e so ft h eo r i g i n a lp r o b l e m s ，w h i i e t h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d sb r i n gt h ec o n s i d e r a b l eg e o m e t r i c a le r r o rd u et ot h ea p p r o x i m a t i o n o fc u r v e dd o m a i nw i t hr e c t a n g u l a rm e s h e s o nt h eo t h e rh a n d t h ec h a r a c t e r i s t i cm e t h o dn e e d s t h es p a t i a li n t e r p o l a t i o n ，h e n c ei t i sv e r rc o m p l i c a t e di nt h ep r a c t i c a lc a l c u l a t i o n f o rp o s i t i v e d e f i n i t et w o - p h a s ei n c o m p r e s s i b l ed i s p l a c e m e n tw i t hh o m o g e n e o u sn e u m a nb o u n d a r yc o n d i t i o n ， a nu p w i n ds i n g l es t e pf vs c h e m eo nu n s t r u c t u r e dm e s h e sh a sb e e np r e s e n t e db ym i c h e l 【2 踟 a p p l y i n gc o m p a c t n e s st h e o r e m s h ep r o v e dt h a tt h es c h e m ei sc o n v e r g e n tb u td i d n to b t a i nt h e s p e c i f i cc o n v e r g e n c er a t e t h e r e f o r e ，t h et h i r do b j e c t i v eo ft h i st h e s i si st oc o n s t r u c ta n ds t u d yc e l l c e n t e r e df vm e t h o d s f o rp o s i t i v es e m i d e f i n i t et w o - p h a s ei n c o m p r e s s i b l ef l o wi np o r o u sm e d i a i f ；c o n s i d e rm o r ec o l n p l i c a t e db o u n d a r yc o n d i t i o n s ，i n c l u d i n gi n f l o wa n do u t f l o wb o u n d a r i e s ，am u l t i s t e pu p w i n df v s c h e m eo i lu n s t r u c t u r e dm e s h e sh a sb e e np r e s e n t e df o rs u c hp r o b l e m b yl i s eo fs o m en u m e r i c a l t e c h n i q u e s ，w eo b t a i nt h es p i f i co a n v e r g e n e er a t ei nd i s c r e t en o r m s ，w l f i e hi s0 ( t 2 十 ) t h i sd i s s e r t a t i o ni sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 w ec o n s i d e rs e v e r a lh i g ha c c u r a c yf v es c h e m e sf o rd i f f e r e n tp r o b l e m so v e r t r i a n g u l a rm e s h e s i ns e c t i o nl1 。w ep r e s e n taf u l l yd i s c r e t ef v es c h e m ef o rac l a s so fn o n l i n e a r p a r a b o l i cs y s t e m sb a s e do nt h eq u a d r a t i cl a g r a n g ee l e m e n t sa n dd e r i v et h eo p t i m a le r r o re s t i m a t e s i ne n e r g yn o r m s e c t i o n11 2c o n t a i n ss o m en e c e s s a r yr e s u l t sf o re r r o re s t i m a t i o n t h ec o n v e r g e n c e a n a l y s i si sp r e s e n t e di ns e c t i o n1 1 3a n das i m p l en u m e r i c a le x p e r i m e n ti sg i v e ni ns e c t i o n1 1 4 i ns e c t i o n1 2 w ep r e s e n taf v es c h e m ew i t hs e c o n do r d e ra c c u r a c yf o rn o n l i n e a rc o n v e c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n s w ec h o o s ef h eq u a d r a t i cl a g r a n g ee l e m e n t sa st h es o l u t i o ns p a c ea n da d o p t m u l t i s t e pb a c k w a r dd i f f e r e n c em e t h o d st oi n c r e a s et h ea c c u r a c yo fa p p r o x i m a t es o l u t i o no nt h e t e m p o r a ld i r e c t i o n i no r d e rt or e d u c en u m e r i c a ld i f f u s i o na n dn o n p h y s i c a lo s c i l l a t i o n ，w ec o m b i n e t h ef v em e t h o d sw i t ht h em e t h o d so f c h a r a c t e r i s t i c s t h et r e a t m e n to f t h em u l t i s t e pd i s c r e t i z a t i o n p a r ti 1 1f 、r em e t h o d si sd i 蕊r e n tf r o mt h a ti nf i n i t ed e m e n to ri nf i n i t ed i f f e r e n e em e t h o d s h e n c e i nt h eb e g i n n i n go fs e c t i o n1 22w cp u tf o r w a r da ni m p o r t a j l tl e m m at os o l v et h i sd i f f i c u l t y s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n i ns e c t i o n1 2 3 ，w ec o m p a r et h en u m e r i c a lr e s u l t sp r o d u c e db yt h em u l t i s t e ps c h e m ew i t ht h o s e p r o d u c e db yt h es i n g l es t e ps c h e m e i ns e c t i o n1 3 ，w eg e n e r a l i z et h er e s u l t si n 【1 4 】f o rd i f f u s i o nr e a c t i o np r o b l e m sw i t hv a r i a n t c o e f f i c i e n t s w ed i s c r e t i z et h ee q u a t i o nb yac u b i cf v em e t h o ds e v e r a lu s e f u ll e m m a sa l eg i v e n i ns e c t i o n1 3 2 t h en u m e r i c a lr e s u l t si ns e c t i o n13 4i n d i c a t et h ee f f i c i e n c yo ft h es d l e m e i nc h a p t e r2 ，w ec o n s t r u c tt w os y m m e t r i cf v es c h e m e sa l o n gc h a r a c t e r i s t i c sf o r2 - da n d 3 一dc o n v e c t i o nd i f l u s i o np r o b l e m so nt e n s o rp r o d u c tm e s h e s t h es o l u t i o ns p a c ec o n s i d e r e di nt h i s c h a p t e ri 昌t h el i n e a rt e n s o rp r o d u c te l e m e n t s w ci n t r o d u c et h ea l t e r n a t i n gd i r e c t i o nm e t h o d si n t o t h ec o n s t r u c t i o no ft h ef v es c h e m e s ，w h i c he n s u r e st h es y m m e t r ya n de f f i c i e n c yo ft h es c h e m e s i ns e c t i o n2 1 w ep r e s e n tas c h e m ef o r3 - dc o n v e c t i o nd i f h i s i o np r o b l e m sw i t hn o n l i n e a rr e a c t i o n t e r m t h eo p t i m a l 日l n o r me r r o re s t i m a t e so fo r d e ro ( a t + h 1a r ed e r i v e di ns e c t i o n2 1 3 t h e r e s u l t so fe x t e n s i v en u m e r i c a le x p e r i m e n t sp e r f o r m e dw i t ht h ea l t e r n a t i n gd i r e c t i o nf v em e t h o d s a n ds e v e n n o d e sf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d sa r eg i v e ni ns e c t i o n2 1 4 i ns e c t i o n2 2 w e