（运筹学与控制论专业论文）对gabor框的某些问题研究.pdf

摘要 h f l b e r t 空间的框理论在信号、图像处理及数据压缩、可靠的数据 传输等方面有着十分重要的作用。g a b o r 框理论是框理论中最需要发展 和深入研究的广泛领域之一。g a b o r 框理论中一个仍未解决的基本问题 是判断对于给定的9 l 2 ( r ) 以及相应的参数o ，b 0 ，( 9 ，n ，b ) 是否是一 个g a b o r 框。本文主要讨论如下几个问题： 1 讨论当9 是具有某些特征的简单函数时，( 9 ，o ，b ) 成为一个g a b o r 框 的一些充分及必要条件。 2 讨论使得( ，n ，b ) 成为规范紧g a b o r 框以及紧g a b o r 框的充要条 件。 关键词：g a b o r 框、规范紧g a b o r 框、紧g a b o r 框 a b s t r a c t t h et h e o r yo ff r a m e sf o rah i l b e r ts p a c ep l a y saf u n d a m e n t a lr o l ei n s i g n a lp r o c e s s i n g ，i m a g ep r o c e s s i n g ，d a t ac o m p r e s s i o n ，r o b u s td a t at r a n s m i s - s i o na n dm o r e i nt h et h e o r yo ff r a m e s ，g a b o ra n a l y s i si so n eo ft h ee x t e n s i v e r e a l m sw h i c hn e e dm o s tt od e v e l o pw i t ht h o r o u g hr e s e a r c h ab a s i cq u e s t i o n i ng a b o r a n a l y s i si st od e t e r m i n ew h e t h e r ( g ，a ，b ) i saf r a m e ，w i t hr e s p e c tt o g i v e ng l 2 ( r ) a n dp a r a m e t e r sn ，b r i nt h i sp a p e r ，w ef o c u so i lt h e s e p r o b l e m s ： 1 w es t u d yt h ec o n d i t i o n su n d e rw h i c h ( 吼a ，6 ) i saf r a m ew h e n9i sa s i m p l ef u n c t i o nw i t hs p e c i a lp r o p e r t i e s 2 w ei n v e s t i g a t et h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sr e q u i r e df o r ( x e ，a ，b ) t ob ean o r m a l i z e dt i g h tg a b o rf r a m eo rt 追h tg a b o rf r a m e k e yw o r d s ：g a b o rf r a m e ，n o r m a l i z e dt i g h tg a b o rf r a m e ，t i g h tg a b o r f r a m e 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他 个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和 集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：避日期：回。 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有 权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质 版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书 馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位 论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：和壹哆 日期：囹： 一名：乃互青 嗍三竺孽塑：7 口 第一章概述 近一个世纪以来，f o u r i e r 变换已经成为分析学中的一个主要工具， 但是在信号分析中，由于f o u r i e r 变换仅能反映信号的整体特性，无法 表述信号的时频局部性质，因此我们需要一种新的能够表达时频局部 性质的分析手段。1 9 4 6 年。d g a b o r 1 】在研究信号处理时，引入了形 如e 2 m 妇g ( t 一舰) ，曲= l ，m ，n z 的函数来改进f o u r i e r 变换( 其中窗口函 数g = e - 等是高斯函数) ，他的方法很快成为时频分析中的范例。如今d g a b o r 的的思想在g a b o r 框的应用中仍然处于核心地位。 h i l b e r t 空间中框的概念最早是1 9 5 2 年，r j d u f f i n 和a g s c h a e f - f e r 【2 】在研究非调和f o u r i e r 级数时首先提出的。但是在当时，这个重要 概念在数学界并没有得到足够重视。直至u 1 9 8 0 年，r y o u n g 【4 】在他的书中 阐述了框的一些基本结果，框又被重新应用到研究非调和f o u r i e r 级数问题 中1 9 8 6 年，d a u b e c h i e s ，g r o s s m a n n 和m e y e r 【3 】发表了标志着框的理论诞 生的文章，并将框的理论与g a b o r 分析结合起来。在此之后，框的理论便 得到了广泛的研究和应用。 目前，框的理论已经被应用于信号处理、图像处理、数据压缩、抽 样理论等方面。近几年来，框更是被应用于光学、信息论、信号探测以 及b a n a c h 空间理论中的b e s o v 空间等方面的研究中。 框的理论虽然发展迅速，已拥有许多重要结论，但还有许多广泛领域 有待研究。其中g a b o r 框是最需要发展和深入研究的领域之一，它还有许 多基本的公开问题有待人们去解决。 1 1基本概念和已有结果 定义1 1 1 ：设z 是可数集， ) 口是h i l b e r t 空间“的一个向量序列， 如果存在常数a 、b ，0 0 ，g 驴( r ) ，则( g ，a ，b ) 是g a b o r 框当且仅当存 在常数a 、b ，0 a b 0 ， 口( r ) 有界且具有紧支撑，那么 e z i 1 2 = e 。口i 联一( ) 1 2 d t ( 2 ) 其中h p ( t ) = e k e z ，0 一 ) 夕0 一眦一 ) 可以看出引理1 1 4 中定义的磁9 ( t ) 是由f ，g 决定的，且珊9 ( t ) 是一 个周期为i 1 的函数。对于任何有界紧支撑函数，口( r ) ，若在上下文 中，明确，我们简记 n l g ( t ) 为娥( t ) ：若指定g = x f ( e r 可测) ，我们 简记职( t ) 为群( t ) 。 ：对于a b c 问题，g u ，h a n l 9 】已经作出了许多结论，在后文中我们将对 其中一些结论进行推广，我们把所需要的结论列举如下： 引理1 1 5 1 9 ：设o 口 c ，c = m ( t ) + d ，m n f l o d 。如 果口俩n 一d ，d ，则( x l o , c ) ，a ，b ) 是g a b o r 。 引理1 1 6 1 9 ：设o a c ，c = m ( ) + d ，m n + l b o d 。如果口= ：( ) ，其中0 p m 饥 一d ，d ，则( x l o 。) ，n ，6 ) 不是g a b o r 框。 第一章引言 4 引理1 1 7 【9 】设o a c ，c = m ( ) + d ，m n + 1 且o d 。 如果8 = ：( ) ，其中q n + 1 ，则( x 0 ，c ) ，a ，6 ) - - 1 g a b o r，当且仅 当a s m i n 一d ，d 。 引理1 1 s 9 1 ：设o a c ，c = + d ，0sd 如果口= r ( ) ，其 中r 是无理数，则( x o ，c 】，a ，b ) 是g a b o r 框。 在本文第二章中，我们将利用函数珊9 ( t ) ，对l 2 ( r ) 上一些特殊 的g 进行探讨，进而判断( g ，n ，b ) 是否足一个g a b o r 框。 对于( g ，a ，6 ) 是否是一个g a b o r 框的判定问题还远没有解决，那么 对于( g ，n ，6 ) 是否是一个紧g a b o r 框的判定问题，会不会比较容易解决 昵? c a s a z z a ，c h r i s t e n s e n 和j a n s s e n 在文【2 2 】中对此问题进行了研究，并给 出了使得( 玑a ，b ) 成为规范紧g a b o r 框的充要条件： 引理1 1 9 1 2 2 ：设以b r ，g l 2 ( r ) ，则( g ，a ，6 ) 是规范紧g a b o r 框当且 仅当下面两式成立： ( 1 ) g o ( t ) = 。z i g ( t n a ) 1 2 = b ， o e t r ( 2 ) g k ( t ) = 。z g o n a ) g ( t 一加一 ) = 0 ， a , e t r ，v k z o 在本文第三章中，我们将讨论使得( x e ，口，b ) 成为规范紧g a b o r 框以及 紧g a b o r 框时，可测集e r 所需满足的充分必要条件。 1 2本文主要内容 下文定理的编号采用它们在各自章节中出现的编号，其中未交代的符 号和概念请参见对应章节。 本文中e r 部是有界可测集。在本文第二章中，我们对l 2 ( r ) 上一 些特殊的g 进行了探讨，判定此时( g ，a ，b ) 是否是一个g a b o r 框。 在2 ，2 中我们对集合【o ，c ) 进行一项特殊的平移变换得到可测集e ，进 第一章引言 5 而对( x e , o ，b ) 是否是一个g a b o r 框进行判定。这也给出了引理1 1 5 ，弓 理1 1 6 ，引理1 1 1 7 和引理1 1 8 的推广。 定理2 2 7 ：设o ；：( ) ，其中0 p q ，p 、q z 且夕c d ( p ，q ) = 1 。 若 暑l z o ) ，n l 他 ，m 2 ，0 d r a i n 一d ，d 时，( x e ，n 6 ) 不 是g a b o r 框。 定理2 2 9 ：设e = 【0 ， ) u ( 【o ，d ) + 警) ，其中n o z o ，0 d i 1 。 ( 1 ) 若n 一d ，则( x e ，口，6 ) g a b o r 眶 ( 2 ) 若o = ：( ) ，其中o p 一d ， 则( x e ，口，b ) 不是g a b o r 框。 定理2 2 8 ：设t ) 凳l z o ，n l n 2 n m ， d e = ( t g _ - 。( 【o ， ) + 孚) ) u 【0 ，d ) ，若o = ：( ) ， 则( x e ，a ，6 ) 是g a b o r 框，当且仅当口m i n 一d ，d 。 定理2 2 1 0 ：设e = 【o ， ) u ( 【o ，d ) + 警) ，其中n o z o ， 若o = r ( ) ，其中r 聋q ，贝口( x e ，n ，6 ) g a b o r 眶。 m 2 ，0 其中q n ， 0 0 ， n 是常数，则( g x e ，o ，b ) 也是g a b o r 框。 定理2 4 3 ：设9 2 ( r ) 有紧支撑，且对比 0 都存在ec 【0 ， ) ，i e i 0 ， 第一章5 t 言6 使得 i z g ( 亡+ ) i f ， n e t e ， 则( g ，a ，b ) 不是g a b o r 框。 本文第三章中，我们在3 2 中给出了使得伍e ，a ，b ) 成为规范紧g a b o r 框 的充要条件如下： 定理3 2 8 ：若n = r ，0 r l ，b n ，则下面两条陈述等价： ( 1 ) ( x e ，口，b ) 是规范紧g a b o r 框。 ( 2 ) r ，e 与【0 ，b a ) 是n - 平移等价的，且n 。z ( e 一 ) = o 。 我们在3 3 中进一步给出了使得( x e ，a ，b ) 成为a - 紧g a b o r 框的充要条 件如下： 定理3 3 3 ：；g a = r ，0 0 使得 。“z i f 2 c 2 i f 1 2 故要证( 吼a ，6 ) 是g a b o r 框，只需证是否存在c 1 0 使得对任意， 工2 ( 豫) 有 c 1 1 1 f l l 2 。z i 1 2 ( 3 ) 成立即可。又由于有界紧支撑函数，在l 2 ( r ) 中是稠密的，所以只需对 所有有界紧支撑的函数，验证( 3 ) 是否成立即可。这样对于有界紧支撑函 数9 l 2 ( r ) ，根据引理1 1 4 ，我们只需验证对所有有界紧支撑的函数， 是否存在g 0 ，使得下面的式子成立即可。 7 第二章某骘( 玑n ，b ) 的g a b o r 分折 c , i i 1 1 2 。詹l 助，( t ) i z d t 特别的对于有界可测集e r ，当g = x f 时，要证( g ，n ，b ) 是g a b o r 框， 只需证上式成立即可。 2 2有关e 的特殊平移分析 8 在本节中，若无特别指明，我们总是假定o n 0 ，则( x f ，a ，b ) 不是g a b o r 框。 证明：取 弛，= r 是慨( f ) ； 则有日：( t ) = 。z ，0 一 ) x f o 一僦一) = 0 事实上若x f o t t a 一) = 1 ，则有t 一彻一 f ，即t 一 f + m ， 再由，的定义可知此时醪( t ) = 0 。 从而，根据引理1 1 4 可知( x f ，a ，b ) 不是g a b o r 框。 口 在定理2 2 3 中，我们假定e 【o ，i 1 1 ，但当e 垡【0 ， 】时，若有l 【o ，口) ( e ) i = 0 ，则对( x e ，a ，6 ) 是否是一个g a b o r 框的判断就比较复杂，这一 点我们参看文献【9 】中的一些结论就可以知道。 g u ，h a r t 在文【9 】中对于9 = x f o ，c ) 已经得到了相当多的结论，下面我们 对集合【0 ，c ) 进行一项特殊的平移变换，看看会得到怎样的结果。 弓i 理2 2 5 f 3 0 】：若口sm i n d ， 一d ，0 d - i ，且e = ( l 月兰l ( 【o ，i 1 ) + 誓) ) u o ，d ) ，其中( 嘞培l z o ，t , 1 砌 m i n d ， 一d ) 时的情形记a = u 。z 【n 口，n a + d ) ，b = u 。z l m + d ，n a + ) ，集合a 、b 在后文g a b o r 框的判定中起着重要作 用。我们称集合e r 是以酗平移为周期的集合，如果对任意n z ，都 有e + 舰= e 成立。 引理2 2 6 【9 j ：若o 口 ，o d ，则r ( u 女。z ( a + ；) n ( u 旌z ( b + ) ) ) 有正测度，当且仅当n = ：( ) ，其中o p m i n 一d ，d 时 在文献9 】中已经对该命题作出了论证，但为了后文证明方便，我们把 证明过程简写如下。 证明：先证明充分性。假设= ：( ) ，其中0 m 协 一d ，田，则显然可得集合r ( u e z ( a + ) ) 与 集合r ( u 拓z ( b + ) ) 至少有一测度为正，从而充分性得证 第二章某学( g ，n ，b ) 的g a b o r 分析 l l 再证必要性若o = r ( ) ，其中r 聋q 则由a 、b 都是以n _ 平移为周 期的集合立即可知u 。z ( a + # ) = r ，u k e z ( b + ) = r 口 定理2 2 7 ：设o = ：( ) ，其中0 p q ，p 、q z 且夕c d ，q ) = 1 若 码) 圣l z o ，n l n , z n m ，m 2 ，0 m 时。m = 扎。+ ( f m ) 定义对v 2 n ，五( t ) 在( = o ( 【0 ， ) + 孚) ) n g 上有支撑，且 五( t ) = e i - 2 l 2 耐，t ( 【o ， ) + ! 生) n g ， 七= 1 ，2 ，l + 1 我们考虑f m 的情形，通过计算可得i i 1 1 2 = ( 1 + 1 ) p ( g n f 0 ， ) ) ， 但相应的， 。麝j 联7 ( t ) 1 2 d t = 。j ：搿i 而( t ) 1 2 d t 。j = = + ti 而( t ) 1 2 d t 这里f 2 l ( ) = 三。五0 + ) ，下面我们估计一下。j 署+ l y v ( t ) 1 2 d t 的大 小由五( t ) 的定义可知，对于使【眦，+ ) n ( u ；：o ( 【o ， ) + 争) ) = o 或 ( 也：o ( i o ， ) + 等) ) p m ，n a + ) 的那些n ，有如l ( t ) = 0 ，那么我们要计 算有多少个n 使得而( ) 0 。事实上只有当触 等 n 口+ 学 丝重苤竺f ! ! ! 盟盟堡! ! 竺坌堑 ：1 2 或譬 仳 学 彻+ 时，有f n ( t ) 0 。通过计算可得这样 的n 最多有2 ( 击+ 1 ) 个a 而当r f ( t ) 0 时，而( t ) 中至多有m 项不为o 所以f 2 l ( t ) s m ，则 。j ：+ ol 足f ( t ) 1 2 d t 2 ( 击+ 1 ) m p ( g n 【o ， ) ) 故( x 层，a ，6 ) 不是g a b o r 框。 口 上面的引理2 2 5 和定理2 2 7 分别, - f p a 看作是引理1 1 5f 9 】和引理1 1 6 【9 】的 一种推广。在定理2 2 7 中令p = l ，很容易推出以下结论。 定理2 2 8 ：设 心 饕l z o ，n l n 2 n m ，m 2 ，0 d ，令e = ( u 暑。( 【o ， ) + 警) ) u o ，d ) ，若n = ：( ) ，其中q n ， 则( x e ，a ，b ) 是g a b o r 框，当且仅当a m 讥 一d ，d 。 在上面几个命题中，我们考虑的都是m 2 时的情形，同样当 我们考虑m ；1 这种特殊情况时，就类似的可以得到引理1 1 5 【9 】和引 理1 1 6f 9 】在m = 1 时的另一种推广 定理2 2 9 ：设e = 【0 ，i 1 ) u ( 【o ，d ) + 警) t 其中n o z o ) ，0 d ( 1 ) 若os 一d 则( 妇，口，b ) g a b o r 框 ( 2 ) 若口= ：( ) 其中0 一d 可知集合g = r ( u 。z ( b + ) ) 有正测度 当t m ，m + ) 时， 群( t ) _ 巾) 圳h 警) ，徙岫，咐蛾 【，( t ) ，t m + d ，m + ) 所以 。f oi h 善( t ) l z d t = 。殿+ 4i f c t ) + ，( + 警) 1 2 m + 。e 盘i ( t ) 1 2 d t 类似定理2 2 7 中的证明，要证( x e ，o ，b ) 不是g a b o r 框，我i f a f 构造函数 列 五，l 。ncz 2 ( a ) ，且当f o o ，i i ；i i - - c o ，但相应的。麝i h 善( t ) l ：d t 仍然有界。故( x f ，口，b ) 不是g a b o r 框 口 在引理1 1 8 【9 】中我们考虑当a = r ( ) ，其中r 是无理数的情况，那么 相应的我们想要知道，如果e 如定理2 2 9 中的定义，是否仍有类似结论。 定理2 2 1 0 ：设e = 【0 ， ) u ( 【o ，d ) + 警) ，其中n o z o ) ，0 d 。 若口= r ( ) ，其中r 隹q ，则( x e ，a ，b ) 是g a b o r 框。 这个结论的证明比较复杂，为此我们先要证明下面三个引理。 引理2 2 1 1 ：设e = 【0 ，i 1 ) u ( 【o ，d ) + 警) ，其中n o z o ) ，0 n ， 0 o 是常数。 证明：记j = 。f oi 碟( t ) 1 2 d t ，v d a 使得d + n 6 0 f ，我们有 k 。f 。i f ( 卅m 十钶出+ 莓加驯2 出 2o z f i ( t ) 1 2 d t y ；- 章某螳( 玑n ，b ) 的g a b o r 分析 则 f ( 0 1 2 m = h i ( t ) + + 百n o ) 一邢+ 警) 1 2 m 2 正i ，( t ) + ，( t + 警汗d t + 2 j 厂f d ，o + 警妒mj d ” 2 l i f ( t ) + ，o + ? ) 1 2 d r + 2 f f l l ( t ) 1 2 d t 2 ，+ 三，：2 0 l f t l l n fo l f 1 4 令q d = 2 ( a ! f l + 1 ) ，则原命题成立a 口 引理2 2 1 2 ：设e = 【0 ， ) u ( 【o ，回+ 警) ，其中n o z o ) ，0 a ，0 d 0 ，使得 。麝l 上呼( t ) 1 2 d t o l f 矗i f ( t ) 1 2 d t 我们已经知道当f = b 时，。麝i h e ( 0 1 2 d t n f 矗i f ( 0 1 2 出成立。 其他情况根据引理2 2 1 1 1 p 可得证。 引理2 2 1 3 ：设e = 【0 ，i 1 ) u ( 【o ，d ) + 警) ，其中n o z o ，0 n ， 0 j ( 。1 9 2 ( 圳：m 因而可知( 2 x e x f ，n ，b ) 是g a b o r 框。 口 推论2 3 2 ：若( k ，o ，6 ) 是g a b o r ，其中a = 击，m n ，集合e 与f 满 足e + 警= f ，m o z 。对于f ，j n ，当2 1 巧时，有( i x e j x f ，口，6 ) 是g a b o r 框。 证明：对任意给定2 ( r ) 上紧支撑有界函数，g = z x e j x f ，我们首先 给出周期函数月：( t ) 的表达式： 这里 h i ( 归莩m 一沁s ( t , - - n a - - i k h x f ( t 一加一铷 = t g g ( t ) 一j 日：( t ) 日善( ) ：。，( t 一 ) x e ( t 一舰一 ) ， 日：( ) = ，( t 一 ) x f 一n a 一) = 略。m o ( t ) 第一二章某磐( g ，n ，b ) 的g a b o r 分析 1 7 由定理2 3 1 知 。野i 丑善( t ) 1 2 d t = 。后i 联( 亡) 1 2 d t 则有 莩z 。l 群阳= 莓z 。i f 砖一j 碟( f ) 陋 = 莓z 。m 一力碟( + 饵乒一j 孵1 2 m 邓一扩莓z 。l 瑶( 圳2 d 抖j 2 n 厂0 。i 瑶( 一群阳 + 句( j 一力莓z 。f 碟1 2 d t - 2 j ( f j ) 莓z 。m 蟛莉 = j 2 莓z 。i 孵( d 一群阻+ ( ( f 一扩一力莓z 。i 钟( f ) 一霹f 2 d t 俐刊廿) 莓z 2 呦阳 - ( f 一扩莓z 。i 孵( 力一碟陋+ ( 巧( f j ) - 门；z 。l 群( t ) | 2 以 当2 l 劫时，有( 2 j ( 1 一j ) 一j 2 ) 0 ，从而有 。詹i h z ( t ) l 。d t ( 2 j q j ) 一j 2 ) 。詹i h 掌( t ) 1 2 d t 故( 1 x e j x f ，a ，b ) 是g a b o r 框。 口 类似推论2 3 2 中的证明，立即可以得到下面的结论。 定理2 3 3 ：设( x f ，a ，6 )g a b o r ，其中a = 去，m n ，集合e 与乃满 足e + 孚= 乃，坞z ，j = 1 ，2 ，n 。对于z n ，当2 1 3 n 日c f ， 有( i x e 一甚l x f ，o ，6 ) g a b o r 框。 2 4一般函数g 2 ( r ) 的g a b o r 分析 对于( x e ，口，b ) 我们已经有了一些了解，但我们希望能够解决更 基本的问题，也就是判定对于给定函数g l 2 ( r ) ，以及相应的参 数a 和b ，( g ，a ，b ) 是否是一个g a b o r 框。本节里，我们将对这个问题进 第二章某些( 9 ，8 ，b 1 的g n b a r 分析 行讨论。 1 8 定理2 4 1 ：设( x f ，口，6 ) 是g 8 b o r 框，g 三2 ( r ) 有界，g f l i n f , 。e g ( ) 口 0 ， o 是常数，则( g x f ，a ，b ) 也是g a b o r 框。 证明：若9 l 2 ( r ) 有界，r i n f , 。g ( t ) 芝口 0 ，则对于有界可测集e ， g x e 是有界紧支撑的，因而由引理1 1 4 可知，要证( g x f ，o ，b ) g a b o r 框， 只需证存在常数c 1 0 ，使得对任意肓界紧支撑函数f l 2 ( r ) 都有 。z 詹i 研，( t ) 1 2 d t c , i i 1 1 2 成立即可，这里碰一( t ) = 妊。，( 亡一 ) 孬i f i 码。 若( x e ，口，b ) g a b o r ，则对任意有界紧支撑函数，l 2 ( r ) ， 磁1e ：门驴吲k 碲| 2 d t = 了o z 2 莓臼靶叫k 嚣1 忑巧k 2 a 2 r o 。；肛知t 一彻书出 a 2 f l l l f l l 2 0 这里p 是g a b o r 框( h ，a ，b ) 的下界，故( g x e ，口，b ) 也是g a b o r 框。 r - t c a s a z z a 在文章 2 0 l m ，对紧支撑函数g l 2 ( r ) 限制条件，得到关 于( g ，1 ，1 ) 是否是一个g a b o r 框的判定。 引理2 4 2 2 0 1 ：若g l 2 ( r ) 有紧支撑，且对v c o 都存在e 【o ，1 】i e i 0 ，使得 l z 夕0 + 后) i 0 都存在e c o ， ) ，i e l 0 ， 使得 i z 9 0 + ) f n ，存在ec 【0 ， ) 且 f e 0 ，使得i k e z g + ) i 去， d et e 设，= 啬1 x e + ，则i f l l 2 = m l e