（应用数学专业论文）一类时滞神经网络的稳定性分析.pdf

謦主2 9 32 8 电子科技大学应用数学系硕士论文 学科专业：应用数学 论文题目： 一类时滞神经网络的稳定性分析 硕士生：朱文莉 论文摘要： 导师：钟守铭教授 本文系统地研究了一类时滞神经网络的稳定性问题。在神经网络系统的研 究中，对于神经网络模型，根据模型的特点采取构造不同的l y a p u n o v 函数， 结台不等式分析技巧，利用常数变易法，对神经网络系统的平衡点的存在唯一 性、平衡态的渐近性、周期解等进行研究，获得了平衡点的存在性、唯一性、 稳定性的条件以及变系数神经网络系统的解的吸引域和周期解的存在性条件。 关键词：时滞：油经网络：平衡点；稳定性；周期解。 v m a jo r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s s u b j e c t ： t h e s t a b i l i t ya n a l y s i so ft i m e - - - d e l a y h o p f i e l d n e u r a ln e t w o r k s p o s t g r a d u a t es t u d e n t ：z h uw e n l i d i r e c t o r ：p r o f e s s o r z h o n gs h o u m i n g a b s t r a c t ： t h i sp a p e rs t u d i e st h es t a b i l i t yo fn e l j r a ln e t w o r k ss y s t e m sw i t hf i m e _ d e l a y a c c o r d i n g t ot h ec h a r a c t e ro fn e u r a in e l c w o r k sm o d e l ，m a k i n gu s eo ft h el y a p u n o v f u a c t i o n c o m b i n i n gw i t h t h em e t h o do f i n e q u a l i t ya n a l y s i sa n d t h em e t h o do f v a i l a t i o n so f t h ep a r a m e t e r s ，t h ep r o b l e mo f t h ee x i s t e n c ea n du m q u e o f t h en e t w o r k s e q u i l i b r i u mp o i n ta n dt h ea s y m p o t i c a ls t a b i l i t yf o rh o p f i e l d n e u r a ln e t w o r k s e a u i l i b r i u ms t a t ea n dp e r i o d i cs o l u t i o ni sd i s c u s s o d n 地n ，t b i sp a l ，e re s t a b l i s h e st h e c o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n e ea n du n i q u eo f t h en e t w o r k se q u i l i b r i u mp o i n ta n d t h e s t a b i l i t yo fs o l u t i o n a tt h et i m e t h i sp a p e r h a so b t a i n e dt h er e g i o no fa t u a c t i o no f s o l u t i o no f 石m 謦_ d e l a yh o p f i e l dn e u r a ln e t w o r k sw i t hv a i l a b l ec o e f f i c i e n ta n dt h e e x i s t e n c ec o n d i t i o no f p e r i o d i cs o l u t i o n k e yw o r d s ：t i m e - d e l a y ；n e u r a ln e t w o r k s ；e q u i l i b r i u mp o i n t ；s t a b i l i t y ；p e r i o d i c s o l u t i o n 绪论 神经网络这个名词，在神经生理学、神经解剖学的范畴内，指的是生物神经网络 ( b i o l o g i c a ln e u r a ln e t w o r k s ，简写为8 n n ) ：在信息计算机科学等领域内，指的则是向生i 台 学习而构造的人工神经网络似r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k s , 简写为a n n ) 。 神经网络的研究实质是a 向占 口v 学习的问题，1 9 8 2 年美国加州理工学院生物 物理学家h o p f i e l d 提出了神经网络的模型h o d n e i d 神经阿络模型有力地推动了神经 阿络理论的研究同时h o p f i e l d 还引入“计算能量函数”的概念，给出了网络稳定性判据 和电子电路实现为神经计算机的研究奠定了基础。 人工神经网络是模仿生物脑结构和功能的一种信息处理系统，虽然目前的模仿正处于 低级水平，但已显出些与生物类似的特点：大规模并行结构信息的分布式存储和并行 处理，具有良好的自适应性，自组织性和容错性，具有较强的学习、记忆、识别功能等等。 神经网络已经在信号处理、模式识别、判释决策，组织优化、知识工程等众多领域的应用 获得了引人注目的成果。因此，神经网络的研究有其重要的意义和价值。 人工神经网络的理论与应用的研究，近年来在国际上形成新的热点。自然科学和社会 科学不同顿域内学者们都致力于这方面的研究，以期为新一代智能计算机的研究奠定基础， 但他们提出的稳定性条件要求太多，并且大多是针对无时滞的系统给出了稳定性判据，并 且在理论上还有很多不足。 事实上，动力系统总是存在滞后现象的，即使质点间力的传递或者以光速传递的信息 也是如此。在自动控制的装置中从输入信息到收到反馈信号，也必然相差一段时间。既 然许多事物的变化规律不仅依赖于当时的状态，还依赖过去的状态，在这种情况下，无时 滞神经阿络系统就不能很精确地描述事物了，代之而起的便是带时间滞后神经网络系统。 本文系统地研究了一类时滞神经网络的稳定性问题，在神经网络系统的研究中，对于 神经网络模型我们自然地提出如下四个方面的问题。 1 神经网络模型的平衡点是否存在，若存在是否唯一： 2 研究神经阿络模型在平衡点存在时平衡点的稳定性，给出局部稳定性和全局稳定 性的充分条件和充要条件； 3 对于变系数神经网络模型，若平衡点不存在时，讨论其解的范围； 4 对于具有周期系数的神经网络模型是否存在周期解。 本文试图对以上四个问题进行研究，我们将采取构造不同的l y a p l 1 n o v 函数，结合不等 式分析技巧，利用常数变易法，对神经网络系统进行比较全面的分析与研究，并且在理论 上更高起点结合泛函微分方程理论来研究神经网络理论试图获得更满意的结果这样 获得的结果才有可能深刻严谨，容易形成神经网络稳定性分析完整丽系统的理论。 第一章常系数时滞神经网络的平衡态的存在唯一性 人工神经网络系统是在现代神经生物学和神经心理学研究基础上模仿人的大脑神经元 结掏特征和功能特征而建立起来的一种非线性系统，现已提出很多有应用背景的神经网络 系统其中最有代表性的是连续的h o p f i e l d 神经阿络 2 - 3 ；，它的一个重要应用是最优化的 计算。为了避免局部极小对于最优化计算的神经网络，理想的情形是有且只有一个全局 稳定的平衡点f ”因而对于神经阿络平衡点存在唯一性的研究是一件很有意义的工作，但 现有的文献中所建立的关于神经网络平衡点存在唯一的条件大多是充分条件“充要条 件给出的很少，即使有的文献给出平衡点存在唯一的充要条件但是这些文献仅对非时滞 型的神经网络给出的，至于具有时滞的神经网络的平镭点存在的充要条件却根少见到，基 于这种情况，我们将应用矩阵理论、泛函分析技巧等建立了具有时滞的连续型h o p f i e l d 神经网络的平衡点存在唯一的充要条件m 1 。本文所建立的条件简明且易验证。 随着系统理论研究领域的扩大和计算机技术的普及与深入，离散时问系统已日趋成为 系统与控制中一类主要研究对象，离教时间系统不仅代表了社会、经济、工程等领域中一 大批离散动态问题韵数学模型，而且也代表了连续时问系统的离散化模型，基于这种情况， 本章也将其结果推广到高教的神经网络呻】。 1 1 常系数神经网络系统的描述与准备 考虑具有时滞的连续h o p f i e l d 型神经网络 j = - d s x t ( t ) + 毛1 ( 勺( f ) ) + 勺q ( - ( f 一0 ) ) + 岛o o ，j = l ，2 ，n ) ( 1 1 ) l - tj i l 其等价的矩阵形式为 j = - o x ( t ) + 日“j ( f ) ) + c o ( x ( t f ) ) 4 - b ( 1 - 2 ) 其中j = ( z 】，屯，z 。) 7e r “是网络的状态变量- d = d i a g ( d , ，吐，以) - d j 0 ( f = 1 , 2 。，一) ，b = ( 6 f ) 舢凡刖4 ，c = ( 勺) 帅e 月舯5 是权矩阵，b = ( ，b 2 ，丸) 7 为芦阅 值- t 。( = 1 , 2 ，h ) 是滞后，并令；= 雹学 f j 。系统所满足的初始条件为 ( 1 ) = 仍( f ) t 一0s t 0 ( i = 1 , 2 ，。，n ) t 谚( ，) 在 - r 。 o 】上是连续有界的，设 阱m 。a xs u 。p 伽) 睡 2 仃( j ) = ( o r ，( ) ，t y 2 ( 心) ，吒) ) q 为激活函数，巧通常般为s 型晒数，通常对 q ( i = 1 , 2 ，月) 要求满足。 )当并- - - 时，盯，( j ) 斗- + 1 i i ) 口，) 的上，下界分别为+ l ，一1 i i i ) c r ( x ) = 0 当且仅当x = 0 ： i v ) 一( j ) 0 和j j ( ) _ 0 ( j _ + o o ) ； v ) 当j = 0 时- 一( x ) 取得全局最大值q i 。 事实上满足如上条件的函数是很多的，例如，函数g 。( 工) = 菩i 姜， 删= 砉刊( 扣啮( 加篆，毋( x ) ；丁s 州，) 等均符台上述要求。 本文不作特殊说明，均对矾( i = 1 2 ，n ) 要求满足上面5 个条件。为研究系统( 1 - 1 ) 的平衡点，首先给出一个引理。 引理 设d j 在x 0 是上凸函数，在j 0 ，使得 ，( t ) 0 ( o 0 和一l i m 。， t 】= 一q ： 0 ，有一只= i ( 与x 一y 同号) ，于是式( 1 3 ) 又可表示 “x ) 一口( y ) = a ( x y ) = a r ： 其中r = d i a g ( ，) 。 ( 1 - 4 ) 因而，前面所取的s 型函数g l ( x ) ，9 2 ( z ) ，岛( j ) ，g 。( j ) 均满足引理的条件，因此满足目 理的条件的函数是一类非常广泛的函数。 1 2 系统( 1 一1 ) 的平衡点的存在唯一性 定理1系统( 1 - i 博在平衡点 证明：如果系统( 1 1 ) 有平衡点，则平衡点工满足：d x = ( b + c ) 盯0 ) + 6 ，于是作 t x = d q 【( b + c ) 盯似) + 占】 设4 d 。叫i + f i i j - i f f , i i ) & k ，取d = x h l ，则易知 r ：d d 为一个连续映射，由不动点定理，在d 中存在不动点z ，使其t x = 成立，即 d x = ( b + c ) 仃( j ) + 6 则j 是系统( 1 - 1 ) 的平衡点，所以系统( 1 1 ) 存在平衡点。 定理2 若i p ( 功一盯( y ) i ，卜一y 0 d - 1 ( b + c 1 0 为常数，则系统 ( 1 1 ) 的平衡点存在唯一。 证明由定理1 可知系统( 1 1 ) 的平衡点存在，下证唯一性，任取j ，y 都是系统( 1 1 ) 的平衡 点，则有 工= d 卅 ( b + c ) 盯( x ) + 6 】 y = d 卅 ( 占+ c ) 一y ) + 圳 从而 i i x - y l l = l l z ) 一1 ( 占+ c ) ( 口( ，) 一。( y ) i i d 。( b + c ) l l * l l z 一捌 明为| | d1 ( b + ( 1 雌c i 所以ti i x - 卅= 0 ， ( 否则牡一y 1 0 是上凸函数，在j 0 足上凹函数 则v b r “系统( i 一1 ) 存在唯一的平衡点的充舞条件是d 一( 占+ c ) m p ，其中 m = d i a g ( c l ，c 2 ，c 。) ，p 表示所有主予式大于等于零的矩阵类1 ”。 证明： 必要性：v a = d i a g ( a i ，d 2 ，口。) ，0 ， c ，( ，= 1 , 2 ，1 1 ) ，由引理可知 9 x , y r ( x y ) ，使得 盯( 工) 一仃( y ) = a ( x y ) 。 由条件可知系统( 1 1 ) 对任意b 存在唯一的平衡点j 使得 于是有 一d x + b c r ( x ) + c a ( x ) + 6 = 0 一d x + 日讲x ) + c t r ( x ) + b = a ， 一砂+ 丑盯( y ) + c 盯( y ) + 占= c 由于工y ，所以d y 口，否则与平衡点存在唯一矛盾。记口= q q ，于是有 即 d ( x y ) 一( b + c ) “工) 一盯( y ) 】= 6 t ，一口；= 口， 【d 一( b + c ) 】( 工一y ) = 口。 对v ：0 ，：尺”，有工一y = 彪于是有【d 一( b + c ) a r z 0 ， 故【d 一旧+ c ) , 4 r z = 0 只有零解：= 0 i 拉d e t d - ( b + c ) 一】，0 。 从而对v 一= d j a g ( a , ，, 0 2 ，吒) ，0 0 若存在口。( o ，c ，) ，一= d i a g ( a i ，西，：) 使d e t 【d 一( b + c ) 一】 o ， 则山d e t d 一( 口+ c ) 爿】是a l , a 2 ，a n 的连续函数可知j i 【o ，a s 】( 卜1 , 2 ，甩) 我们取j = d i a g ( o ，二h ，：。1 使得d e t ) 一( 片+ ( 1 1 _ 1 = o 与d e t d 一( 日+ c ) a i o 矛 晒。所以v a = d i a g ( a i ，a 2 ，。) ，0 m 】j 1 。 0 ，故j 9 一( b + c ) j p 。 o 一0 ，最m 一- 充分性：若存在j y ，工，y 均为系统( 1 1 ) 的平衡点则 一d z + ( 8 + ( 1 o 啦) + 6 = o ，一上涉+ ( b + ( ? ) 盯( y ) + 6 = 0 伊i 以有d ( x y ) 一( b + c x 盯( x ) 一o r ( y ) ) = o 0 0 - o q ( 1 5 ) ，ui-lniijll 有刚 、 o 啡 d o ，。l i l d 设 鼾工= y 。，则取0 q ( 工，y 1 ) c 。符y i ，则取 o q ( 五，h ) ：型盟型： j i y t 口沁w x 。一y 0 ( f = l 2 ，r ) g i ( x i ，y ，) = 0 “= r + t ，r + ：，h ，并取日+ c = 盏：盖： 则有 。一c b + c ，j c y ，= 号芝 二 璺：乏) ( 言： _ 。( d t - b 。b 。”爿a ，1 墨 t 这里d 。，岛， 为r 阶矩阵，易得 d e t 【d 一+ c ) 4 k y ) 】= d e t ( d l b i i a l ) d e td 2 故只须证d e t ( d l b r l a l ) 0 由于 d l 爿i 一b i 【= d i 町1 一目i + d l 肘i 一d i 吖i = ( d i m l 一b 3 。) + ( d t a 、一一d i m ，一1 ) 其中m = a _ f a g ( q ，c 2 ，c r ) ，则有 ( d r b l ，a 1 ) = 【( d l b 1 l m i ) + d 。( 爿f m 1 一，) ”j f l a i 由d - ( b + c m p 知d e t 吩一县m ) 0 。由a ( x ，y ) 0 ( f = l ，2 ，一) b = ( 岛) e r ，c = ( q k 。e r 是权矩阵，s = ( s l ，是，t ) 7 为阀值，系统所满足的初始条件为 x ，( 0 ) = x 。o ，t ( i ) = x ，l ( 1 = 1 , 2 ，一，h ) ， 仃( 工) = ( q ( ) c r , ( x 2 ) ，o i ( ) ) 7 ，q 为激活函数，q 通常取为s 函数对 q ( ，= 1 , 2 ，h ) 的要求同l 1 。 定理4 系统“_ 8 ) 存在平衡点 证明如果系统( 1 8 ) 有平衡点，则平衡点并= ( x i , x 2 ，矗) 7 满足： ( 1 + 珥) 五= ( 岛+ 勺) q ( 一) + s ( f = 1 ，2 ，打) ， 于是作变换 取= ( 1 + 哦) 。【( + 勺) q ( 弓) + s 】( f = l ，2 ，一) ， = t 设k 2 嘴“1 + 们善阱啪+ 取。= 荆丘) t 则瓤 t ：d _ d 为一个连续映射，由不动点定理，在d 中有珥= ( ，= i ，2 ，月) 成立即 a j = ( 1 + 一) 1 【( 6 f + c p p ，( 巧) 十s 小：x j ( f = l ，2 ，月) j = l 从而系统( 1 - 8 ) 存在平衡点。 定理5 若h ( ) 一q ( m ) l i , i x - y , i ，其中 0 为常数特 主k + 勺l l + z ( ，：l ，2 ，疗) ，则系统( 1 8 ) 的平衡点存在唯一。 i l l 证明：由定理4 可知系统( 1 8 ) 的平衡点存在，下证唯一性；任取j = ( 了l ，j 2 ，j 。) 7 ， y = ( y 。，y 2 ，儿) 都是系统( 1 8 ) 的平衡点，则有 薯= ( 1 + 一) 。【( + q ) q ( x ，) + 薯】 i = 1 m = ( 1 + 吐) 。【( b o - + c 。) 盯，( ) + s 】 设k 。一h 。i - l s m t 剖x j y j l - 于是有 氏一圪。缸+ 卜玎磐+ k 一咒 由条恫知 ( - ? u 喜c 一 0 是上凸函数在x 0 是上凹函数- 则v sf ，系统( 1 8 ) 存在唯一的平衡点的充要条件是( ，+ d ) 一( 占+ c ) m e p ，其中 m = d i a g ( c t q ，0 ) ，p 表示所有主子式大于等于零的矩阵类叫 证明 必要性：v a = d i a g ( a i ，口2 ，口) ，0 q q ( ，= 1 , 2 ，一) 由引理可 知，3 x , y j r ( j y ) ，使得 a ( x ) - a ( y ) ：a ( x - y ) 。 由条件可知系统( 1 1 埘任意s 存在唯一的平衡点工， 使得 一( ，+ d ) x + 口盯( j ) + c o ( x ) + s = 0 ， 于足有一( ，+ d ) x + b a ( x ) + c 盯( 工) + s = a ， 一( ，+ d ) y + b e t ( y ) + c a ( y ) + s = a 。 由j ：j y 所以a y a x ，否独f j 与平衡点存在唯一矛盾。记d = q q ，- t = 娃4 4 朗 ( ，+ d ) ( 一，) 一( b + c ) 【盯( ) 一盯( y ) 】= 口、一日。= 口 【，+ d 一( b + ( 1 ) 爿】( j y ) = “。 对v ：0 ，= e r ”育工一y = 肛， 于是有【，+ d ( 日+ c 】，：0 故【，+ d 一( b + c ) a r z = 0 只有零解：= o ，d e t 1 + d 一( 日+ ( 1 ) 一】厂0 。 从而对v 爿= d i a g ( a i ，啦，) ，0 0 ， 若存在廿，e ( o ，c ) ，a = 硝吲口：，西，) 1 吏d e t 1 + d 一( b + c ) 】 o 则由d e t 1 + d 一( b + c ) 棚是口i ，a 2 ，q 的连续函数可知j - r f o ，彳】( 扛1 2 ，”) 则有j = 蚓：，_ 2 ，二) ，使得d e 哪+ d 一( 丑+ a _ 】：o ，与d e f t + d 一( 口+ f ) 棚0 矛盾。 所以v = d i a g ( a i ，口2 ，口。) ，o q 0 。 现考虑，+ d 一( b + c ) m 第五，z - , - - , 上行与第上，上， 列所构成的主子式 【，+ d 一( b + c ) ，k 山令巳 ( ，= 1 ，2 ，r ) ，o f f , 。一o ，( ，l 2 ，) 则+ a o = d f a g ( o ，o ，c h ，0 ， o ，c h ，0 0 ，o ，o ，o ) ，并记b + c = 慨 ，。，则有 b 1 2t b i b 2 2 b 2 女 b k 1 b o o 0 ，n0i00ji川11 ，。，l = 0 一 ) c+日 ( 设，+ d = 。i b t 2 。b ： d 1 + 1 1 0 0 d k + l t d e t + d - ( b + c ) a o 】- ，+ d 0 0 0 则 。l b l t i c r b 2 k 一1 b 一l i i i b h r o 1 + d 一c b 0 0 + 1 + d 0 = 兀( 1 + 一) d e t 【，+ d - ( b + c ) m ”。0 r n ，、h 从而d e t 【，+ d 一( 口+ c ) 明m 一，2 0 ，故，+ d 一( b + c ) 肼e 尹。 充分性：若存在j y j ，y 均为系统( 1 一1 ) 的平衡点则 0 +0 _ 一c j ，b k 一0 l k + d i - u + d 】上+ ( b + c ) “j ) + s = 0 ，一( ，+ d 抄+ ( b + c ) 仃( y ) + s = 0 所以( ，+ d x x y ) 一( 占+ c ) ( 疗( x ) 一盯( y ) ) = 0( 1 1 0 ) 若j ，= 只，则取o 口i ( x i ，y 。) q ，若玉y , - ，则取 。蔓q ( m ) _ 巫盐堡蚴：! 堕些 0 ( f = l ，2 ，r ) ，口( 王，y 。) = 0 c ，= r + t ，r + ：，九，并取b + c = f 兰：未 ，则有 圳“圳= ( + d l ，：p b 2 , 以= 0 j 1 a ”0 b 这里d 1 ，b 1 ， 为r 阶矩阵，易得 d e t 1 + d 一( 日+ c ) a ( x ，) 】= d e t ( 1 【+ d 1 一岛l ) 一d e t ( 1 2 + d 2 ) 故只须证d e t ( i l + d 1 一b 1 i a l ) 0 由于( ，i + d 1 ) a i l 一b i l = ( ，l + d 1 ) a j l 一b 】i + ( ，l + d 1 ) m 一一( ，i + d i ) 彳 其中m i = d w g ( c i ，c 2 ，c ，) ，则有 ( i + d t b i 。4 ) = 【( + d 1 一日t 肘。) + ( j i + d 3 ( 4k m ，一t ) i m ；1 由，+ d 一( 占+ c ) m 尹，知d e t ( 1 i + d l 一日m 。) 0 。由a ( x ，y ) ( m - 可知 ( ，。+ d 1 ) ( i m t 一，) 是正对角矩阵，从而有 d 砥，i + d 1 一b t l a t ) 0 a 则由( 1 7 ) 可知有x = y ，与假设矛盾，所以平衡点唯一。 第二章常系数时滞的神经网络的平凡解的稳定性分析 在用数学模型去描述一个实际系统( 例如力学、电学以及其它物理系统、化学系统、，f 态系统、经济系统等等) 的运动时，由于数学模型往往只能以定的精确度去近似地反映系 统所描述的实际现象，再加上在初值参数等的测量中不可避免地存在误差，以及在实际 的变化过程中系统通常还要受到外界干扰这些扰动因索( 即使它们是微小的) 都会影响系 统的运动。但是对于不同的运动来说，这种影响各不相同，在实际应用中人们特别关心这 些扰动因素对系统的运动的“长时间”影响问题。对某些运动这种影响并不显著，即经 过长时间之后，受干扰的运动与未受干扰的运动始终相差很小这类运动可以称作是“稳 定的”。相反，对某些运动这种影响随着时问的增大却会变得很显著也就是说，即使扰 动因素十分小但是经过足够长的时间，受扰的运动与未受扰的运动可以帽差很大，这类 运动可以称作是。不稳定的。由于实际系统中总是存在各种扰动因素，因此“不稳定”的 运动在受扰之后将越来越偏离预定的状态，但“稳定”的运动在受扰之后仍能回复或接近 预定的状态。由此可见，运动稳定性可雌保证系统的预定运动状态的实现，从而它在实际 虚用中具有重要的意义。同样地，运动的稳定性研究也促进了数学理论和方法的重大旋展。 因而具有重大的理论价值。 本章的目的在于对具有时滞的系统【1 1 ) ，通过构造不同的l y a p u n o v 泛函给出平衡 点的稳定性与参数吐，b 。，b t ( j ，j = 1 , 2 ，) 有关的一些判别准则。 神经网络的稳定性分析所关心的问题类型依赖于其具体应用。h o p f i d d 型神经网络是 一- _。 目前使用最广、研究最多的神经网络之一，它主要应用于联想记忆和优化计算”j 。 根据其不同的应用，需要作不同类型的稳定性分析，对于联想记忆神经网络，它应具 有多个分别对应于要存储的记忆模式的平衡毒，定性分析的目的是在何种条件下，这些平衡 点是全局燕菡稳定的。对于晟优化计算神经网络，理想情形是有且只有一个全局渐近稳定 7 i f 的平衡点”1 ”，此时，定性分析的目的是在何种条件下网络具有全局渐近稳定性。 晟近几年以来用h o p f i d d 型神经网络求解优化问题已引起广泛的注意，但一直存在 一些问题极大的限制了它的应用。晟主要的问题之一是由于网络存在多个平衡点而导致次 优化的伪响应。由于最优化计算的h o p f i e l d 型神经网络应具备以下特点；( 1 ) 具有全局渐 近稳定的唯一平衡点，它对应于优化问题的全局最优化解，因此阿络的全局渐近稳定是避 免出现次优化的伪响应，保证全局收敛到一个最优解的必要特性。( 2 ) 是绝对稳定的。这 用于保证网络对所有满足条件的活动函数及所有的外部输入矢量都是全局渐近稳定的。因 而本章仅讨论唯一平衡点的稳定性。 耳前有很多文献【1 0 哺一2 0 1 已讨论了连续h o p f i d d 型神经网络的稳定性问题，概括起来主 要有以下几方面：( 1 ) 、连接权矩阵是对称的且为半负定的：( 2 ) 、连接权矩阵为f 三珀矩 阵；( 3 ) 、连接权矩阵为行对角占优或列对角占优矩阵等。 奉章的研究目的就要利用矩阵理论，常数变驺法井结合不等式分析技巧，对系统 主，= - d j ( m - 6 u 盯小j + 盯，( ，( 卜r + 6 ，i ，= 1 ，2 , - - , n ) ( 1 一i j ，= ij a i 建t 。螳稳定性削别准则，其结果要求简洁、凄j f j 。 2 1 系统( 1 - 1 ) 的稳定性分析 设工= j = ( - x - ，z ) 7 是系统( 1 - 1 ) 的平衡位置利用变换 yl 2x i x l 拽令 _ ，j ( y ，( ，) ) = q ( o ( ，) ) 一口，( j j ) = 町( ( ，) + ) 一q ( ：) 则系统( i - 1 ) 变形为 ( 2 1 ) = 一一只o ) + 屯一( 只( 啪+ c 一( 只( 卜一j ) ) ，( ，= 1 ，2 ，h ) ( 2 2 ) = 】j i 系统( 2 2 ) 的矩阵形式为 掣：一o y ( f ) + n f y ( r ) 】+ c f l y ( ，一r ) 】 d t ( 2 3 ) 其中d = d i a g ( d 【，d 2 ，d 。) ，d t 0 0 = 1 , 2 ，订) ，b = ( ) ，c = ( c d ) t 且 “f ) = d l ( f ) ，虬( ，) ，( r ) r y ( f f ) = p l ( f f 1 ) ，y 2 u r 2 ) ，j o ( f 一毛) r 厂 “f ) 】= ( m ( f ) ) ，五( 儿( ，) ) ，正( n ( r ) ) 】r ，【“f f ) 】= 【z ( “( f f 1 ) ) ，l ( y d t r 2 ) ) ，( 虬( ，一o ) ) 】7 报据仃，所满足的条件，有 i f , y ，( o l l = b 【m ( f ) + 卜q o ，) i c 。i v , ( o l 记1 2 豫c j t 有 l ，d 们l ： - t l y ( t ) i ：，i f y ( t r ) l ：s ，l y t r ) i ： 易知，系统( 2 2 ) 的零解的稳定性对应系统( 1 - 1 ) 的平衡位置j = j + 的稳定性。 假设系统( 2 3 ) 满足的初始条件为m ( ，) = 识i t ) 一， 并记 1 p x i = m 。a ；。x 。s u 。p ：。 帆o ) 一z j 1 定邢1 设系统( 2 - 2 ) 满足r ，( h l + h i ) 0 ，使得 o ( h l + i 勺k 1 ) 一或+ f o ( f = l ，2 ，一) 。( 2 - 4 ) j z l 设s ，( ) = p 。( f 。( i = l 工， ) ，对s ( f ) 求导，有 宴( r ) s _ 1 ，有 s 。( ，) 0 及某个，使得 ( 2 - 6 ) ( 2 7 1 0 s ，( 啪= d 忙- - x * s ，制摩i 从而有毫( ) 0 。另方面，由式( 2 5 ) ，有 一r ， t l ，= ， 一r ，f ，j i 宴( ) s 一( d j s ) s ( f ) + o4 l 瓯( ) + l q l e “7 ( 一r ，) j j - i s 一 ( d a - g ) 一弘( 呲q ) f j 卜 矛盾，因此，式( 2 - 7 ) 成立，在式( 2 7 ) 中，令d _ 1 可知式( 2 5 ) 成立于是有 p ，( 叫p j ( ，) = s ( f ) p “眵一j 扩4 ( f - 1 , 2 ，h ) 。 所以系- 统( 2 - 2 ) 的零解是全局指数稳定的，从而系统( 2 1 ) 的平衡点，= x 是全局指数稳定的。 值得注意的是，带时延的微分方程组实际上是一种特殊形式的泛函微分方程，按照泛 函微分方程的写法，系统( 1 - 2 ) 可以写为 兰掣= f ( ) = 一n _ ( o ) + b 盯( ( o ) ) + c 盯( ( 一f ) ) + 方 口f 其中，z ，c ( 【一r ，o 】，r ”) ( i a - r ，0 】到r ”的全体连续映射所构成的空间) 满足定义 ( 一) = x ( t + p ) v 口卜r , 0 】：，是从空间c ( 【一f o ，r “) 到r “的连续算子。 下面类似于常微分方程，用l y a p t m o v 泛函法来研究泛函微分方程的稳定性。 先考虑在系统( 1 1 ) 中所有“= 0 的简单情形，在这种情形下神经元在任意时刻 的状态只受其它神经元在这一时刻之前某一时刻输出的影响即神经元之间的影响有一定 的时延。这相当于生物神经系统中生物电信号的传输时间引起的时延。 推论1 对系统( 1 - 1 ) ，若6 f = 0 ，( j ，j = 1 , 2 ，h ) 则当所有c a p f i d j ( j = 1 , 2 ，月) 时- 平衡点是无条件渐近稳定的。 证明：在变换( 2 1 ) 下系统( i - i ) 还可化为 ! 学叫y 出) + 缸( 叫_ 州埘吲x ；) ) ”如，一) ( 2 8 ) 从而有掣叫肿) + 鼽卜| ， ”啦，”， ， v y ( t ) = ( y 。o ) ，y 2 0 ) ，y 。( r ) ) 7 e c ( - r ，0 1 ，r ”) 作l y a p t m o v 泛函为 p u 儿n ) = 宝( ) + 1 c ， ，m ( s ) b ) 求v 沿式( 2 - 8 ) 的解的右上导数并注意到式( 2 - 9 ) 有 d p ，( r ) 主卜d ，l y ( 刊+ 窆b b i y ，o r ，) l + 宝川c 州y 如1 一i y ，( 1 - - f 1 ) i ) 】 = ( 一d , l y 驯+ 主阱，l y j ( ，1 ) = 一d ，i y ，( 刮+ 主主h p ，l y ) i = 哆蚓一) 阶f ) i c o j l l 根据定理条件对任意时延，式( 2 - 2 ) 的零解渐近稳定的。因而系统( 1 - 1 ) 的唯一 平衡点是无条件渐近稳定的。 下面考虑一般情形： 定理2 如果( i b i l 2q c l l ：) ， l ，那么系统( 2 2 ) 有难一平衡点，且平衡点是无条件 渐近稳定的。( 这里2 表示矩阵的谱范数，即忙k = ( p ( 丑7 b ) ) i ) 证明：平衡点的存在唯一性的证明类似于第一章的定理1 及定理2 的证明。 今证平衡点的渐近稳定性： 取l y a p u n o v 泛函为 矿( y ：，儿x f ) ：y r o ) 坝，) + 川d l ：i c l l ：p ( f + s m ：出 其中p ( ，+ 叫= 毒。2 ( s 灿 于是l y a p u n o v 泛函对f 求右上导数，有 矿( 儿，y 。x f ) = 5 , t ( t ) d y ( 0 + y ( o z 圳o + z l l d l t ：i t c l ：【1 巾) i - l y ( - r 柏 ：2 y r ( ，) d d y ( t ) + y 7 ( t ) d b f y ( t ) + 2 y 7 ( t ) d c f y ( t f ) 】+ ，i d l i ：i i c l l 2 【1 “f l ：一l y ( ，一f 1 ：1 一2 8 djj ： y t t ) l ：+ 2 1 1 0 l l ：1 1 t ：t l y o i ：+ ：l i d i i ：i i c h ：l y ( t ) | ：咿( 卜r h + 州酬：v i i ： l y ( o l ：一l y q r ) l ：j s - 2 1 1 d i i ：i ，( 叫；t 2 i f 驯：4 占f f ：i j y t t ) ：+ 州d p 扎( 陟( ，) e + “f r m ；) + 玎d p f f ：( f y ( f ) e f ，( f r ) e ) = 一2 ：堆+ 2 归b 9 ：+ 1 | c | i ：l ，( ，) 一2 1 1 d l l ：【l _ ( 例：+ ：) z l y ( t ) l i 7 则当0 叫i ：+ l l o l l ：1 0 时，矿( ，) 0 ，故式( 2 - 2 ) 的零解对一切r ， o ，o o ) 都是渐近稳定 的。 定理，对系统c ，若“c 。，争j t 幽2 4 ，( r = - ，：，一) 且矩阵 负定，其中 = ，0 0f 1 00 o 纽 生0 0 b 2 i 2 _ 吒 2 b 【1 0 虹 坠 - 0 一 o 0 绰辱o o o k 22 肌 扣主掣叫”l 2 ，一 则系统( 1 1 ) 的平衡位置x = x 是全局渐近稳定的。 对系统( 2 - 2 ) 作l y 印w 泛函 m ，= 圭断i = l