（固体力学专业论文）拓扑可变荷载作用下连续体拓扑优化组合准则法.pdf

摘要 摘要 与形状优化和尺寸优化相比，拓扑优化具有更大的优化效益，成为优化领域 研究的热点。对于不同的问题，拓扑优化求解方法各异。本文在综述了连续体结 构拓扑优化进展的基础上，对拓扑可变静荷载作用下的连续体结构拓扑优化问题 进行了研究。本文的主要工作包括： ( 1 ) 综述了连续体结构拓扑优化的研究现状，分析了现有各类方法的优缺点， 说明了研究拓扑可变荷载作用下的连续体拓扑优化问题必要性。 ( 2 ) 借鉴用主应力删除准则法进行压力占优结构的拓扑优化设计的思想，本 文提出进行压力占优连续体结构的拓扑优化设计的最大拉应变删除准刚；分别应 用主应力删除准则与最大拉应变删除准则对拓扑可变荷载作用下的压力占优连 续体结构进行拓扑优化，研究了单一删除准则的缺陷。 ( 3 ) 借助于“迷宫”思想，开发了一个结构拓扑优化过程中拓扑可变荷载的自 动辨析与加载程序，实现了拓扑可变荷载拓扑优化的全自动化。 ( 4 ) 针对单一删除准则在拓扑可交荷载作用下的连续体结构进行拓扑优化中 出现的问题，提出了一种组合删除准则法，给出了算法的计算过程，通过算例验 证了方法的可行性；为提高效率，提出了组合删除准则法的改进算法，并且比较 了不同删除率组合对拓扑优化计算效率及拓扑结果的影响。 ( 5 ) 借鉴灵敏度再分配抑制棋盘格的过滤方法，编制了基于一阶灵敏度再分 配的计算机程序，减弱了结构拓扑优化中的棋盘格现象，拓扑结果更加合理。 关键词：连续体结构拓扑优化；可变荷载；棋盘格格式；主应力删除准则；最大 拉应变删除准则；组合删除准则 a b s t r a c t t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n , a sah o tt o p i co f s t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o n , i sw e l lk n o w nf o r i t sg r e a tf l e x i b i l i t yo v e rs h a p eo p t i m i z a t i o na n ds i z eo p t i m i z a t i o n t h e r ea r cav a r i e t y o fm e t h o d st os o v l cd i f f e r e n tp h y s i c a lp r o b l e m s a f t e ri n t r o d u c i n gs o m et h e o r e t i c a l i s s u e s , t h et o o t h e do ft o p o l o g yo p t i m i z a t i o no fc o n t i n u u ms t r u c t m e ss u b j e c t e dt o v a r i a b l ep r e s s u r el o a d i n gi ss t u d i e di n t h i sd i s s e r t a t i o n t h em a i nc o n t e n t so ft h i s d i s s e r t a t i o nc a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： ( 1 ) t h ep r e s e n ts t a t u s o ft h es t u d yo ft o p o l o g yo p t i m i z a t i o no fc o n t i n m u n s t r u c t u r e sh a sb e e ns u m m a r i z e d t h em e r i t sa n dd e m e r i t so ft h ee x i t e do p t i m i z a t i o n m e t h o di sa n a l y s e da n dc o m p a r e d t h en e c e s s i t yo f t h es t u d yo ft o p o l o g yo p t i m i z a t i o n o f c o n t i n u u ms t r u c t u r e ss u b j e c t e dt ov a r i a b l ep r e s s u r el o a d i n gi sp o i i l t e do u t ( 2 ) i no r d e rt or e a s e r c ht h ec o m p r e s s i o nc o n t i n u u ms t r u c t u r e s ，am a x i m u m c i r c u m f e r e n t i a ls t r a i n ( m c s ) o p t i m i z a t i o nc r i t e r i o nm e t h o di sp r o p o s e db a s e do nt h e i d e ao ft h ep r i n c i p a ls t r e s so p t i m i z a t i o nc r i t e r i o nm e t h o d ；t h es t u d yo ft h e c o m p r e s s i o nc o n t i n u u ms t r u c t u r e si su s e dr e s p e c t i v e l yb a s i n go nt h ep r i n c i p a ls t l o 璐 o p t i m i z a t i o nc r i t e r i o na n dt h em a x i m u me i r e u m f e r a n t i a ls t r a i no p t i m i z a t i o nc r i t e r i o n t h e s h o r t a g eo f a p p l i n gt h et o p o l o g yo p t i m i z a t i o nu n i q u e l yi sa n a l y s e d ( 3 ) b a s e do nt h ei d e ao f l a b y r i n t h ，t h en u m e r i c a lp r o c 脚u r e s ，w h i c hr e c o g n i z e a n dl o a dt h ev a r i a b l ep r e s s u r ea u t o m a t i c l yi nt h ep r o c e s so f t h et o p o l o g yo p t i m i z a t i o n , i sd e v e l o p e d ( 4 ) i no r d e rt o s o l v et h e s h o r t a g e o f t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n 0 1 1t h e s i n g l e o p t i m i z a t i o nc r i t e r i o n , ac o m b i n a t i o no f t h ep r i n c i p a ls t r e s so p t i m i z a t i o nc r i t e r o na n d t h em a x i m u mc i r c u m f e r e n t i a ls n a i l lo p t i m i z a t i o nc r i t e r i o ni sp r o p o s e d t h er e s u l to f t h e t o p o l o g yo p t i m i z a t i o ni sa p p r o p r i a t e ；i no r d e rt o i n c r e a s et h ee f f i c i e n c y , a i m p r o v e dc o m b i n e do p t i m i z a t i o nc r i t e r i o nm e t h o di sp r o p o s e d t h ec o m b i n a t i o n c o e f f i c i e n tb e t w z lt h ed i f f e r e n to p t i m i z a t i o nc r i t e r i o n si sd i s c u s s e d ( 5 ) b a s e do nt h ef i l t r a t i o nt e c h n i q u eo fs e n s i t i v i t yr e d i s t r i b u t i o nt o r e s t r a i nt h e 2 c h e c k e r - b o a r dp a t t e r n , t h en u m e r l c s p r o c e d u r ei sd c v e l o p e d k e yw o r d s ：t h et o p o l o g yo p t i m i z a t i o no fc o n t i n u u l y ls l r u c t u r e s ；t h ev a r i a b l e p r e s s u r el o a d i n g ；c h e c k e r - b o 卸dp a t t e r n ；t h ep r i n c i p a ls t r e & so p t i m i z a t i o n c r i t e r i o n ；t h em a x i m u mc i r c u m f e r e n t i a ls t r a i n ( m c s ) o p t i m i z a t i o nc r i t e r i o n ； t h ec o m b i n e do p t i m i z a t i o nc r i t e r i o nm e t h o d 3 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工 作的同事对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。如不实，本人负全部责任。 论文作者c 签孙弛l 一7 年占月，t 日 学位论文使用授权说明 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期 刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或电 子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允 许论文被查阅和借阅。论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权河 海大学研究生院办理。 论文作者( 签名) ； 了兰!形年 月加e 河海大学硬士学位论文 第一章绪论 1 1 问题的研究意义 由于自然界的可利用资源是非常有限的，所以人类必须尽可能有效地利用资 源。优化设计就是工程问题中找到最优解的工具。因此，优化设计在工程领域中 扮演相当重要的角色。在过去的数十年中，优化设计这个概念已经在工程界引起 了广泛的关注，并且获得了长足的发展。结构优化设计被广泛应用于航天航空业、 机械、土木等领域。 1 1 1 结构设计与结构优化设计 ( 1 ) 传统结构设计 结构设计是定义一个能满足所有需求条件，且符合设计者目标的系统工程。 通过设计，不仅要使产品具有良好的性能，同时还要满足生产的工艺性、使用的 可靠性和安全性，且达到降低费用、节省能耗和减小误差等目的，这是一切设计 活动的最终目的。传统的结构设计方法是设计人员根据经验和判断提出设计方案。 随后用力学理论对给定的方案进行分析、校核。若方案不满足约束限制，人工调 整设计方案，重新进行分析、校核，直到找到满足各种条件限制的方案一个可行 方案。但传统的方法无论是分析还是设计，都存在大量的简化和经验，准确性差， 而且这个设计过程周期长、费用高、效率低。随着科学技术的发展，工程结构复 杂性的增加及其要求的提高，传统的设计方法己不能满足需要。 为了达到上述目的，研究人员提出了结构优化设计的思想。 ( 2 ) 结构优化设计 结构优化设计就是指利用最优化方法来寻求满足所有限制条件，同时得到最 优目标值的设计过程。结构优化设计是相对于传统的结构设计而言的。 现代结构优化，主要指数值结构优化或计算机结构优化，其研究内容是把数 学规划理论与力学分析方法结合起来，以计算机为工具，建立一套科学的、系统 的、可靠而又高效的方法和软件系统，自动地改进和优化受各种条件限制的承载 结构设计。与传统的结构设计相比，最优设计按一定的数学模式将迭代过程紧密 地联系在一起，即将设计问题转化为严格的数学规划问题求解，可利用计算机连 续快速地做出方案比较，从数百个方案中，找到最优设计方案。 结构优化设计从马克斯威尔理论( m a x w e l l ，1 8 9 5 ) 和米歇尔( m i c h e l l ，1 9 0 5 ) 桁架 第一章绪论 出现算起已有百年【。1 9 6 0 年s c h m i t 首先引入数学规划理论并与有限元方法结 合求解多种载荷情况下弹性结构的最小重量设计闯题。形成了全新的结构优化的 基本思想，意味着现代结构优化技术的开始。随着计算机的发展，结构分析能力和 手段的不断完善，数学寻优技术的提高，在过去四十几年内，结构优化在理论、算 法和应用方面都取得了长足的发展，已成为计算力学中最活跃的分支之一。 1 1 2 结构优化设计的分类 结构优化设计一般分为3 个层次： ( 1 ) 尺寸优化( s i z i n go p t i m i z a t i o n ) 结构尺寸优化设计是对一个外形已定义的结构，以其各部分之尺寸为设计变 量，亦即在优化设计过程中将结构的尺寸参数( 如桁架的横截面尺寸、板的厚度 等) 作为设计变量。运用这种方法，人们可以对结构进行优化，以达到目标函数 最优的目的。然而，对经验丰富的工程师所设计的结构，仅仅通过修改结构单元 尺寸是很难对原设计进行较大的修改的，更为重要的是，尺寸优化不能改变原结 构的形状和拓扑，不能保证由这种方法得到的设计是真正意义上的最优设计，更 不用说去探讨新的结构形式。 ( 2 ) 形状优化( s h a p eo p t i m i z a t i o n ) 结构形状优化比起尺寸优化更为有效。在优化过程中它既可以改变结构单元 的尺寸，又可以改变结构的形状。亦即结构形状优化的设计变量包含了尺寸参数 和决定结构外型的形状参数，所以结构优化设计除了可作结构尺寸优化，还可以 作为结构外型最优化。因此结构形状最优化除了需要结构分析工具及最优化方 法，还包含建立几何模型，所以需要数学模式定义结构的形状，使结构形状能以 数学函数表示，进行结构形状最优化。 在结构形状优化设计的过程中，常常会遇到两类难题：一类是由于边界形状 的改变导致了结构分析有限元模型的改变，从而不能保证优化过程中有限元分析 的精度；第二类是形状优化依赖于好的有限元网格自动生成技术及好的结构灵敏 度分析技术，而这两个过程的工作量是较大的，代价较为昂贵。 与尺寸优化一样，形状优化也存在着不能变更结构拓扑的缺陷。在形状优化 设计中，结构的初始拓扑由设计者给定，并且在优化过程中保持不变。例如，假 设初始设计域是一个单连域，由形状优化产生的最优解与初始设计保持相同的拓 2 河海大学硕士学位论文 扑，仍为单连域，藤真正韵最优解可能在域内有孔洞。在这样的背景下，有人开 始研究在优化过程中变更拓扑的优化方法即结构拓扑优化。 ( 3 ) 拓扑优化( t o p o l o g y o p t i m i z a t i o n ) 结构拓扑优化设计是继尺寸优化设计和形状优化设计以后，在结构优化领域 出现的种富有挑战性的研究方向，其主要思想是将寻求结构的最优拓扑问题转 化为在给定的设计区域内寻求最优材料的分布问题。优化设计的目的是在其给定 的设计区域内找到满足限制条件而目标函数为最小值的结构形状。形状优化过程 中，设计域的形状可以发生变化，但初始拓扑形式一般固定不变。形状优化时， 在设计的初始阶段需大致确定出结构的最优拓扑形式，这在结构的最优拓扑未知 的情况下具有一定的盲目性。拓扑优化在结构的扔始形式未知的情况下，寻求结 构最优的拓扑关系，因此事先无须给定结构形状，由最优化方法求得其最佳材料 分布。可避免尺寸优化设计与形状优化设计中人为因素所产生之错误。这点在整 个产品的初始阶段具有重要的意义。 结构优化设计的三个分类b e n d s o e 和s i g m u n d l 2 l m 图1 1 所示的结构进行了 形象的表示。 8 ) 桁架的尺寸优化，b ) 形状优化，c ) 拓扑优化 图l l 结构优化设计的三种分类示意图 1 1 3 论文研究的意义 在结构优化问题中，结构拓扑优化涵盖了所有尺寸优化和形状优化的特征。 在优化设计过程中，就像改变形状一样去改变结构的布局使问题变得很复杂。这 种改变布局的结构拓扑优化问题被认为是拓扑技术领域中最具有挑战性的问题 之一。 3 第一章绪论 目前，连续体结构的拓扑优化设计是结构优化领域的主要发展方向之一。连 续体结构拓扑优化研究主要集中在荷载作用位置及作用方向不变情况下的结构 拓扑优化问题，而对于荷载作用位置变动情况下的连续体结构拓扑优化研究，很 少有相关文献报道。 实际上很多结构设计所依据的荷载的位置、方向、大小常常会随结构尺寸、 拓扑形状变化而变化。例如市政工程的风荷载和雪荷载问题；气压计和水压计所 遭受的内、外荷载作用：水工结构的水下部分；流水管道以及涡轮机中的内、外 动荷载作用，这些问题都是这样的例子。 本文研究径向均布可变荷载( 荷载位置随拓扑变化而变化) 作用下的连续体结 构拓扑优化问题。 1 2 结构优化设计研究现状 1 2 1 结构优化的求解方法 一个完整的包含了拓扑优化方法、结构分析方法和计算机技术三个部分。其 中结构分析方法相对较为成熟，主要是采用解析公式或有限元方法计算。 结构优化方法虽然有许多，但大致可以分成解析方法和数值方法两类【3 1 。 ( 1 ) 解析方法 结构优化的解析方法可追溯到2 0 世纪初的相关桁架问题研究。1 9 0 4 年 m i c h e l l 用解析分析方法研究了一个荷载作用下的应力约束结构，得到最优桁架 所满足的条件，后称为m i c h e l l 准则，并将符合m i c h e l l 准则的桁架称为m i c h e l l 桁架，也称最小重量桁架。m i c h e l l 理论作为解析方法具有重要意义，主要应用 于验证其它方法得到的解答的正确性。但这一理论只能用于单工况并依赖于选择 适当的应变场，数学求解困难，不能应用予工程实际【4 】。 ( 2 ) 数值分析方法 解析方法的结果虽然准确但求解困难，不便于应用。目前人们大多致力于研 究数值求解方法。数值方法分别针对杆系和连续体两种结构。虽然针对不同结构 的数值方法有所不同，但数值方法最终要归结为数学问题求解，而数学优化方法 是一般结构所共有的。数学优化方法主要有准则法、数学规划法以及人工智能三 类算法。 4 河海大学焉士学位论文 准则法( o p t i m u mc r i t e r i a , 简称o c ) 优化准则法是由p 哦黟及其同伴于2 0 世纪6 0 年代分析创建的( p r a g c ra n d s h i d d1 9 6 8 ；p m 窖e r a n dt a y l o r1 9 6 8 ) 。随后准则法就发展成为数值法并成为一种 广泛使用的结构优化方法【l 】。 准则法的基本出发点是，预先规定一些优化设计必须满足的准则，然后根据 这些准则建立达到优化设计的迭代公式。这些优化准则一般是根据已有的实践经 验，通过一定的理论分析、研究和判断而成的，而这些实践经验往往欠缺充分的 理论依据。准则法收敛速度快、容易实现，它得到的设计通常只是接近最优，不 能保证收敛到最优解。目前，准则法有向数学规划法发展的趋判5 】。 数学规划法( m a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n g ，简称m p ) 数学规划法是在上世纪5 0 年代( h e y m a n ，1 9 5 1 ) 建立的一种应用非常普 遍的优化技术。在早期，数学规划只能适用于线弹性闯题，即目标函数、限制条 件均和设计变量是线性关系。但是，自从上世纪6 0 年代以来，大量非线性规划 方法出现了。例如：n o n l i n e a rp r o g r a m m i n g ( n l p ) ( s c h m i t , 1 9 6 0 ) ，f e a s i b l e d i r e c t i o n ( z o u t e n d i j k1 9 6 0 ) ，g r a d i 朗tp r o j e c t i o n ( r o s e n1 9 6 1 ) a n dp e n a l t yf u n c t i o n m c t h o d ( f i a c c oa n dm c c o r m i c k1 9 6 8 ) 。同时，也有人开始尝试用标准的线性方法 去求解非线性问题，例如s e q u e n t i a ll i n e a r p r o g r a m m i n g ( a r o r a1 9 9 3 ) a 在数学规划方法中，结构设计成为被应力、位移和频率等行为函数约束的多 维设计空间中的目标函数的极值问题，可采用线性和非线性规划得到极值解。数 学规划理论和有限元方法的结合发展，使人们有可能分析复杂结构。求解多种载 荷情况下弹性结构的最小重量设计问题，形成全新的结构优化的基本思想。 数学规划法为结构优化奠定了良好的数学基础。以前由于计算机技术的限 制，严格数学规划方法能处理的变量和约束并不多，主要是不能解决变量多、约 束多这样的工程设计问题。目前，这些问题已经得到了很好的解决。如何把数学 规划的理论应用于结构优化设计，根据结构设计的特点提出通用性、效率及可靠 性等均良好的方法正是三十几年来人们追求的目标。 遗传算法( g e n e t i c a l g o r i t h m s ，简称g a ) 遗传算法起源于2 0 世纪7 0 年代( h o l l a n d ，1 9 7 5 ) 。遗传算法模拟了生物进 化过程的重建、交叉和变异过程。这种基于生物学的算法更适合寻求全局最优解， 5 第一章绪论 但是计算效率往往很低，需要进一步提高。 1 2 2 结构拓扑优化方法 回溯结构优化设计领域的发展历史，除去早期的一些具有划时代意义的成果 ( m a x w e l l1 8 9 5 ；m i c h e l l1 9 0 4 ) ，结构优化设计似乎沿着一条对立的路线发展到工 程实际应用【6 】。在发展初期，结构优化设计的数值研究是从单元刚度设计开始的， 通过尺寸优化和形状优化来达到拓扑优化设计的目的。当时人们虽然非常清楚， 无论基于刚度与体积之比还是应力与体积之比，结构材料的使用效率都主要由结 构的形状和布局来决定的。但是，由于技术条件的落后，这种拓扑优化还仅仅停 留在概念阶段。 随着计算机技术的高速发展，拓扑设计数值优化方法得到了迅猛发展 ( h a i t k a 和g r a n d h i ( 1 9 8 6 ) ，k i r s c h ( 1 9 8 9 ) 和r o z v a n y 等( 1 9 9 5 ) ) 。结构拓 扑优化问题一般研究两类结构问题：类被称为离散结构，早期的研究成果可以 见d o n ( 1 9 6 4 ) 等人以及d o b b s 和f e l t o n ( 1 9 6 9 ) 的论文：近期的研究成果是 z h o u 和r o z v a n y ( 1 9 9 1 ) 将其应用于大规模结构的优化设计。另一类是连续体 结构，连续体结构的拓扑优化的典型做法就是将结构适当得分成有限个单元，而 且每个单元有结构的固有性质。 研究离散结构的一种基本数值方法就是1 9 6 4 年d o m 等入提出的基结构法 ( g r o u n ds t r u c t u r ea p p r o a c h ) 。基结构法率先将数值方法引入拓扑领域。此后拓 扑优化的研究重新活跃起来，陆续有一些解析和数值方面的理论被提出来。 所谓基结构就是一个由众多构件连结而成的，包括所有的荷载作用点，支承 点在内的结构。该方法的基本思路是：从基结构的模型出发，应用优化算法( 数学 规划法或准则法) ，按照某种规则或约束，将一些不必要的杆件从基结构中删除， 例如截面积达到零或下限的杆件将被删掉，并认为最终剩下的杆件决定了结构的 最优拓扑。因此应用基结构，可以将桁架拓扑优化当作杆件截面优化来处理。 连续体结构是结构拓扑优化目前的主要研究对象。连续体结构优化的主要研 究思想是由设计者指定一个结构区域，定义其边界条件、限制条件与结构荷载， 按照一定的算法，进行离散，构成有限元模型进行分析。对那些低应力区域的单 元人为地指定为“很软”的单元。在优化过程结束后，那些很软”的单元被认为是 孔洞，将这部分材料从设计区域中“移去”保留剩余部分，形成带孔的连续体，最 6 河海大学硕士学位论文 终得到连续体的最优拓扑。 连续体结构拓扑优化目前的方法都是在基结构基础上的描述方法，包括几何 ( 尺寸) 描述方式和材料( 物理) 描述方式，而基结构定义了拓扑优化的设计区域，至 于拓扑优化的本质描述方法，还未见有人提出【7 h 钔。连续体结构拓扑优化方法主 要有均匀化法、两相法、内力法、变厚度法、变密度法、泡泡法、人工材料、渐 进结构优化法及线性规划法等。 ( 1 ) 均匀化方法( h o m o g e n i z a t i o nm e t h o d ) 均匀化方法是由b e n d s o ea n dk i k u c h i 在1 9 8 8 年提出来的，使结构优化设计 发展到拓扑优化设计 g h l o l 。均匀化方法基于起源于2 0 世纪7 0 年代的均匀化数 学理论( b a b u s k a 。1 9 7 6 ，c i o r a n e s c ua n dp a u l i n1 9 7 9 ) ，是数学规划法。均匀化 方法面世后，许多学者利用微结构来求解优化问题。 均匀化方法是连续体结构拓扑优化中应用最广的方法，此法假定连续体结构 可以用均质的宏观材料和非均质的具有周期性分布的细观结构描述，细观结构是 由微结构在细观尺度上周期性重复面形成的，这种周期性的重复导致了材料的高 度异质性。在具体过程中，则是在拓扑结构的材料中引入微结构( 单胞) ，微结构 的形式和尺寸参数，决定了宏观材料在此点处的弹性性质和密度。优化过程中以 微结构的单胞尺寸为拓扑设计变量，以单胞尺寸的消长实现微结构的增删，并产 生由中间尺寸单胞构成的复合材料，以拓展设计空间，实现结构拓扑优化模型与 尺寸优化模型的统一和连续化。 b e n s o u s - s a n 等人已经发展了一套基于摄动理论的关于周期性结构分析方法， 来建立材料微结构尺寸与材料宏观弹性性质之间的关系，具有较严格的数学基 础，成为连续体结构拓扑优化研究中的主要方法。目前这一方法已用于处理多工 况的二维、三维连续体结构拓扑优化，热弹性结构拓扑优化，考虑结构振动的拓 扑优化，并被用于复合材料的设计中。均匀化方法便是用这种摄动技术将原问题 的力学量转化为互不耦合的细观问题和宏观问题，它以细观和宏观两种尺度之比 作为一种小参数，它不详尽表示域中各点的材料属性而以一种近似的方法求解材 料的弹性模量。但目前均匀化方法可求解的问题类型有限，设计变量多，灵敏度 计算复杂，优化后的结构常常含有多孔质材料。 ( 2 ) 变密度方法( o p t i m a lm e t c r i a ld i s t r i b u t i o n ) 7 第一章绪论 变密度法是结构优化设计中另一种较为有效的物理描述方法。它是在均匀化 方法的基础上发展而成的，是数学规划法。变密度法是由m l e j n e k 和s c h i r r m a c h e r ( 1 9 9 3 ) 所提出。其目的是为改善均匀法设计变数繁多，面对复杂结构设计时， 计算过于复杂且费时的缺点。 变密度方法的基本思想是引入一种假想的密度可变的材料并假定相对密度 和材料弹性模量之间的某种对应关系。优化时以材料密度为拓扑设计变量，这样 结构拓扑优化问题被转换为材料的最优分布闯题。整个结构进行优化后，各个单 元各有不同的密度值，最后根据每个单元密度值的大小。来决定该单元的存在与 否。交密度方法基于各向同性材料，不需引入微结构和附加的均匀化过程，它以 每个单元的相对密度作为设计变量，程序实现简单，计算效率赢。变密度法中常 见的插值模型：固体各向同性惩罚微结构模型( s o l i di s o t r o p i em i e r o s t r u e t u r e sw i t h p e n a l i z a t i o n , s i m p ) 、材料属性的合理近似模型( r a t i o n a la p p r o x i m a t i o no f m a t e r i a l p r o p e r t i e s , r a m p ) 。s i m p 或r a m p 通过引入惩罚因子对中间密度值进行惩罚， 使中间密度值向0 1 两端聚集，使连续变量的拓扑优化模型。 变密度法对中间密度材料无法解释，另外受均匀化方法的影响，目前变密度 法模型中普遍采用结构柔顺度作为目标函数影响了实际工程的应用。 ( 3 ) 渐进结构优化法( e v o l u t i o n a r ys t r u c t u r eo p t i m i z a t i o n ，简称e s o ) 渐进结构优化最早是由澳大利亚华裔学者谢忆民于1 9 9 3 年提出来的h 1 2 1 。 随后该方法得到了荣见华等人的发展，成功应用于包含应力、位移( 刚度) 、临 界应力和动力学约束的众多结构拓扑优化领域。与均匀化方法、变密度法不同的 是，e s o 方法属于准则法而后者属于数学规划法。e s o 方法的基本概念简单， 即通过将无效或低效的材料一步步去掉，结构也将逐步趋于优化。在优化迭代中， 该方法采用固定的有限元网络，对存在的材料单元，其材料编号为非零的数，而 对不存在的材料单元，其材料编号为零，当计算结构刚度矩阵等特性时。不计材 料数编号为零的单元特性( 通过数据映射转换，建立固定有限元网格数据信息和 计算结构刚度矩阵等特性所需的有限元网格数据信息关系) 。通过这种零和非零 模式实现结构拓扑优化。特别是，该方法可以采用通用有限元软件，通过迭代过 程在计算机上实现，不仅可解决尺寸优化，还可同时实现形状与拓扑优化( 主要 包括应力、位移、刚度或l 临界应力约束问题的优化) 。尽管该方法收敛性的证明 河海大学硕士学位论文 方面有所欠缺，但许多算俪已经证明该方法在解决实际闯题时是非常成功的。 e s o 法的另一个突破是双方向进化方法( b i d i r e c t i o n a le v o l u t i o n a r y s l a a c t m a o p t i m i z a t i o n ) 。传统的e s o 法允许删除单元，在某些迭代步，由于错 误地删除一些单元，而后又不能恢复，相对来说影响了方法的可靠性，其进化方 式限制了它的应用。对于基于应力的双方向法，q u e r i n 开展了详细研究，其原理 是：在高应力单元周围增加单元和删除低应力单元。该方法采用类似于单元删除 率和单元进化率类似的单元增加率( 较大的值) 和相应的单元进化率( 负值) 以 及震荡数，以进化方式增加单元。在该算法中。主要存在多次震荡和过多的迭代 步和计算时间等问题，甚至在某些迭代步，存在刚度矩阵条件差的构形，导致求 解的困难。且该方法较适合于获得具有一定材料的最佳拓扑。 渐进结构优化法与传统均匀化方法相比，最大的优点就是不存在传统结构优 化法中常会遇到的算法困难问题；另外有效豹利用有限元分析软件，并通过迭代 来实现优化目的。各类结构的尺寸优化，形状和拓扑优化也可同时实现。其缺点 是初始的设计区域中必须足够大，且计算非常耗时。 总体而言，渐进优化方法尚属一种正在发展中的方法，在解决结构优化问题 上虽然具有其他方法不具备的优势，但还存在计算效率低下等诸多缺点。 ( 4 ) 拓扑描述函数优化法( t o p o l o g yd e s c r i p t i o nf u n c t i o n ，简称) f ) 拓扑描述函数也可以称之为水平集函数，是由s e t h i a n 和w i c g m a n n 于2 0 0 0 年首先引入结构优化领域的【1 。是指定义在初始设计区域中的一个函数，结构中 实体以及孔洞区域分别用此函数值大于和小于零的部分来表示，结构的边界则用 其零水平集表示。要改变结构拓扑，只需改交拓扑描述函数即可。在数值实现上， 采用有限元法来离散拓扑描述函数，并利用数学规划法求解作为设计变量的t d f 节点值。这样，避免了求解复杂的h a m i l t o n - j a c o b i 双曲守恒方程，彻底摆脱了 限制计算效率的c f l 条件，并进一步提高了该算法的计算效率【1 4 1 。 传统变密度法是对材料密度进行单元分片常数插值，而连续体结构拓扑优化 法是对拓扑描述函数进行节点插值，在有限元计算中，单元刚度值利用平均化技 术获得。所以，此拓扑优化算法蕴含了一种非局部效应，从而避免了棋盘格式等 数值不稳定现象的出现。另外，传统算法处理此类优化问题时易引发的边界扩散 效应问题，也得到了有效控制。因此，对于大规模拓扑优化问题的求解更适用于 9 第一章绪论 该方法【悯。 ( 5 ) 全应力设计方法( f u l l ys t r e s s e dd e s i g n ，简称f s d ) h i n t o n 和s i e n z 等学者于1 9 9 5 年提出全应力设计方法。此法是根据结构各 元素所承受的应力，即可决定该元素的存在与否，使得在改变结构的过程中，分 析不同设计结构的执行次数减少许多，减少了拓扑结构的复杂性，而对于网格较 细、元素较多的结构，效果则相当显著。而该方法的缺点就是并没有考虑到应力 灵敏度。 ( 6 ) 泡泡法( b u b b t em e t h o d ) 泡泡法是1 9 9 4 年由e s c h e n a u a r 等人提出来的，这种方法实际上是连续体形 状优化中边界变分法的推广，同时考虑了拓扑形式，是在连续体内和边界上形成 孔洞( 泡泡) ，通过一些特征函数来实现孑l 洞及其他边界的形状优化，决定孔洞 在结构的最优位置，从而达到连续体的拓扑优化的目的。优化过程包括新孔的引 入、定位，孔及其它边界的形状优化。最初这些方法一般是针对应力约束问题提 出的，但目前都可以处理位移约束或刚度约束，也可以处理多工况及三维问题。 ( 7 ) 软杀法( s o f tk i l lo p t i o n ，简称s k o ) 和硬杀法( h a r dk i l l ，简称h k ) 硬杀法的基本概念一般是将设计区域划分为若干规则的矩形或三角形区域 作为有限元，通过结构分析，计算出单元中心处的应力，据此改变单元材料的厚 度、密度或弹性模量等参数，再重新进行结构分析，如此反复迭代。在改变材料 参数时，为避免过小值可能导致的丹q 度奇异，可以删除这些单元。这种方法在设 计过程中由于同一单元采用同一厚度，被删掉单元附近的厚度及边界剧烈变化， 很容易产生应力集中。其被删除单元相邻的单元应力会明显升高，而不宜再被删 掉，从而导致单元相问删除，使拓扑结果难以应用于工程实际。 软杀法( s k o ) 是于1 9 9 2 年由b a u m g a r t n e r 等人基于仿生学提出来的一种 拓扑优化方法 1 6 1 。由卡尔斯鲁尔核研究中心开发的计算机辅助优化方法 ( c o m p u t e r a i d e do p t i m i z a t i o n ，c a o ) 模拟一种凭借经验确定的生物学增长规律， 即生物体在生长过程中为会避免应力集中，生物增长载体始终借助于形状的变 异来降低应力峰值，或使应力分布均匀化( f s d ) 。这正是设计师力图实现的结 果。该规律可表述为：向高荷载区域贮存材料，并从低荷载区域去除材料。基于 c a o 方法的软杀法就是模拟一种凭借经验确定的生物学增长规律。这种方法的 0 河海大学硖士学位论文 缺点在于，它只能应用于菜个特定问题，这里针对的是应力问题。然而，这种方法 也因此而具有它的优越性，即设计空问不受限制，而且用户也不必担心会由于在 对形状交异的描述上作了一个不恰当的选择而得到远离优化解的结果。软杀法可 作为均匀化方法的替代方法【1 7 1 。 1 3 主要研究工作 本文针对拓扑可变荷载作用下的连续体拓扑优化问题，研究传统e s o 方法 进行优化问题时可能出现的缺陷，提出基于主应力与等效应变的组合准则法，实 现拓扑可变荷载作用下的连续体拓扑优化。 全文将分为五章，其组织结构为： ( 1 ) 第一章综述连续体结构拓扑优化的研究现状，分析比较了现有各类方法 的优缺点，指出了研究拓扑可变荷载作用下的连续体拓扑优化问题必要性。 ( 2 ) 第二章借鉴基于主应力删除准则法进行压力占优结构的拓扑优化设计思 想，提出基于最大拉应变的删除准则进行压力占优连续体结构的拓扑优化设计； 使用渐进结构优化法，分别应用主应力删除准则与最大拉应变删除准则对拓 扑可变荷载作用下的压力占优连续体结构进行拓扑优化，研究单一删除准则存在 的缺陷； 借助于“迷宫”思想，在a n s y s 软件平台上成功开发了一个结构拓扑优化过程 中拓扑可变荷载的自动辨析、加载程序，实现拓扑可变荷载拓扑优化的全自动化。 ( 3 ) 第三章针对使用单删除准则在拓扑可变荷载作用下的连续体结构进行 拓扑优化中出现的问题，提出一种交替组合删除准则法，给出算法的计算步骤。 通过算例验证方法的可行性； 针对交替组合删除准则法中的计算效率低的问题，提出一种改进的组合删除 准则法，这种算法将不同删除准则糅合在一起共同使用，论文将讨论不同删除准 则之间的组合值问题。算例表明，改进的组合删除法可进一步减少迭代次数，提 高计算效率，增加拓扑结果的合理性和有效性。 ( 4 ) 第四章借鉴灵敏度再分配抑制棋盘格的过滤方法，给出基于一阶灵敏度 再分配的算法流程及程序框图，编制相应的计算机程序，减弱结构拓扑优化中的 棋盘格现象，算例表明结果更加合理。 ( 5 ) 第五章对全文内容作总结并对今后工作做展望。 第二章基于f s o 法的拓扑可变荷载连续体优化 第二章基于e s o 法的拓扑可变荷载连续体优化 结构拓扑优化是当前结构优化领域内最具有挑战性的课题之一，也是当前结 构优化设计领域的研究热点。由于其难度大，连续体结构拓扑优化理论的研究直 到近十多年才取得飞速发展。代表性的工作是均匀化方法，变密度法和渐进优化 结构法等。均匀化方法和变密度法代表了一类基于数学规划法的拓扑优化方法， 但当设计变量规模较大时，该类方法的突出矛盾就是数学规划问题的求解问题非 常困难。渐进结构优化法( e g o ) 【1 8 h 2 1 1 的思想来源自力学准则法，代表了一类 基于力学准则法的拓扑优化方法，发展十分迅速。该方法所用有限元分析软件， 通过迭代过程在计算机上实现通用性好。e $ o 法不仅可解决各类结构的尺寸优 化，还可实现形状和拓扑优化。无论应力优化、刚度优化或频率优化，都可遵循 e s o 法的统一原则和简单步骤进行。 目前，连续体结构拓扑优化研究主要集中在荷载作用位簧及作用方向不变情 况下的结构拓扑优化问题，面对于荷载作用位置变动情况下的连续体结构拓扑优 化研究，很少有关文献报道f 2 2 h 2 3 1 。 本章应用e s o 算法研究拓扑可变荷载( 以径向均布可变荷载为例) 的连续 体优化问题，分别应用主应力删除准则与最大拉应变删除准则对压力占优的拓扑 可变荷载问题进行拓扑优化的对比分析，研究单一删除准则存在的缺陷，为进一 步改进该算法提供了基础。 2 1 基于等效应力删除准则e s o 方法 2 1 1 基于等效应力删除准则e s o 方法基本原理 该方法的基本思想是通过将无效或低效的材料逐步去掉，结构将逐步趋于优 化。在优化迭代中，该方法采用固定的有限元网络，对存在的材料单元，其材料 编号为非零的数，而对不存在的材料单元，其材料编号为零。材料的效能以单元 的等效应力来衡量。 对平面应力状态下的各向同性材料，、r o nm i s e s 等效应力盯”定义为【2 4 】 o r ”= 口；+ 印一盯，盯y + 3 f 乙 ( 2 - 1 ) 式中：仃，为x 方向正应力；盯，为y 方向正应力；f 。为剪应力。 1 2 河海大学硬士学位论文 该方法的具体实旄步骤如下： 1 ) 在给定的荷载和边界条件下，定义初始设计区域，用有限元网格离散该区 域； 2 ) 对离散结构进行有限元静力分析； 3 ) 采用v o nm i s 鹳应力准则，求出存在单元的等效应力矿和结构中单元的 最大等效应力盯：，进行删除判别。如果单元等效应力仃，满足式( 2 2 ) d ? 盯：_ m i c q i ( 2 7 ) 式中：膨为一较大的正实数，反映主应力的绝对值大小差异。 设计拉力占优结构时，删除同时满足条件( 2 7 ) 、( 2 - 8 ) 的单元。 k | m l a ；i ( 2 - 9 ) 式中：m 为一较大的正实数，反映主应力的绝对值大小差异。 压力占优结构时，删除同时满足条件( 2 9 ) 、( 2 1 0 ) 的单元。 l 盯；isr r i j