精选论文Banach格上的ODunfordPettis算子.pdf

国内图书分类号：0 1 7 7 2 国际图书分类号：5 1 7 5 西南交通大学 研究生学位论文 密级：公开 年 姓 专 二零一四年五月 c ：l a s s i f i e di n d e x ：017 7 2 u d c ：5 1 7 5 s o u t h w e s tj i a o t o n gu n i v e r s i t y m a s t e rd e g r e et h e s i s t h eo d u n f o r d p e t t i so p e ra t o r so n ba n a c hl a t t i c e g r a d e ：2 0 1 1 c a n d i d a t e ：l i nh a n a c a d e m i cd e g r e ea p p l i e df o r ：m a s t e ro fs c i e n c e s p e c i a l i t y ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s s u p e r v i s o r ：p r o f z i l ic h e n m a y , 2 0 1 4 西南交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授 权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书： 2 不保密d ，使用本授权书。 ( 请在以上方框内打“1 j ”) 学位论文作者签名：j 杉寝 日期：刀华，r 指导老师躲p 日期：洳i 修j 、必 西南交通大学硕士学位论文主要工作( 贡献) 声明 本人在学位论文中所做的主要工作或贡献如下： 1 研究了b a n a c h 格上的0 d u n f o r d p e r k s 算子，得到满足什么条件一个算子为 o - d u n f o r d - p e t t i s 算子。 2 研究了0 d u n f o r d p e r i s 算子的共轭性质：( 1 ) 若一个算子为0 一d u n f o r d - p e t t i s 算 子，满足什么条件其共轭算子也为0 d u n f o r d - p e a i s 算子：( 2 ) 当算子及其共轭算子都为 0 d t m f o r d - p e t t i s 算子时，其定义域和值域空间具有什么样的性质。 3 研究了0 一d u n f o r d p e t t i s 算子与几种特殊算子的关系：( 1 ) 0 - d u n f o r d p e t t i s 算子 与d u n f o r d - p e t t i s 算子的关系：( 2 ) 0 d u n f o r d - p e t t i s 算子与弱d u n f o r d p e n i s 算子的关系； ( 3 ) 0 d u n f o r d p e r i s 算子与几乎d u n f o r d p e t t i s 算子的关系。主要探讨在什么情况下这 些特殊算子为0 d u n f o r d p e t t i s 算子以及当这些特殊算子为0 d u n f o r d p e t t i s 算子时， 空间具有什么性质。 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研究工作所得的成 果。除文中己经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰 写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明。 本人完全了解违反上述声明所引起的一切法律责任将由本人承担。 学位论文作者签名：j 移泉 日期： 弘仫岁彤 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 0 d u n f o r d p e t t i s 算子是近年来提出的一类新算子，它依靠d u n f o r d - p e t t i s 集的概念 而出现。目前对于0 d u n f o r d p e t t i s 算子的研究还不够全面，之前主要针对 0 d u n f o r d p e r k s 算子的控制性、格性质以及a m 紧性进行了探讨，而本文对 o - d u n f o r d - p e t t i s 算子进行更深入的研究，主要探讨了0 d u n f o r d p e t t i s 算子本身的性 质、共轭性质以及它与特殊算子d u n f o r d p e t t i s 算子、弱d u n f o r d - p e t t i s 算子、几乎 d u n f o r d p e t t i s 算子的关系。 首先，本文简单介绍了b a n a c h 格上的基本概念以及一些特殊算子的基本理论，为 进一步研究0 d u n f o r d p e t t i s 算子奠定基础。 其次，本文研究了0 d u n f o r d p e t t i s 算子本身的性质，在空间满足什么条件时一个 算子是0 d u n f o r d p e t t i s 算子。接着研究了o - d u n f o r d - p e t t i s 算子的共轭性质，得到 0 d u n f o r d p e t t i s 算子与其共轭算子的等价条件，并且当算子及其共轭算子都为 0 d u n f o r d p e t t i s 算子时，空间所具有的性质。 最后，本文主要研究了0 d u n f o r d p e t t i s 算子与d u n f o r d - p e t t i s 算子、弱 d u n f o r d - p e t t i s 算子以及几乎d u n f o r d p e r k s 算子的关系，探讨了满足什么条件时 0 d u n f o r d - p e t t i s 算子与几个特殊算子可以等价，并且若0 d u n f o r d p e t t i s 算子也是这些 特殊算子时，空间具有什么性质。 关键词：b a n a c h 格；0 d u n f o r d - p e t t i s 算子：共轭算子；几乎d u n f o r d p e t t i s 算子 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 a b s t r a c t an e wk i n do fo p e r a t o rn a m e do - - d u n f o r d - p e t t i so p e r a t o rh a sb e e np r o p o s e di nr e c e n t y e a r sw h i c hd e r i v e df i o mt h ec o n c e p to fd u n f o r d - p e t t i ss e t h o w e v e r , t h er e s e a r c ha b o u t 0 一d u n f o r d - p e t t i so p e r a t o rw h i c hj u s tf o c u s e so nt h ed o m i n a t i o np r o p e r t y , l a t t i c ep r o p e r t y a n da m - c o m p a c tp r o p e r t yi sn o tc o m p r e h e n s i v ee n o u g hf o rn o w t h i sp a p e rw i l lp r o v i d e m o r ei n - d e p t hs t u d yo fo d u n f o r d - p e t t i so p e r a t o r t h ep r o p e r t ya n dd u a l r yp r o p e r t yo f 0 - - d u n f o r d - - p e t t i s o p e r a t o ra n dt h er e l a t i o n s h i pw i t hs o m es p e c i a lo p e r a t o r sl i k e d u n f o r d - p e t t i so p e r a t o r , w e a kd u n f o r d - p e t t i so p e r a t o ra n da l m o s td u n f o r d - p e t t i so p e r a t o r w i l lb ed i s c u s s e d f i r s t t y , w ei n t r o d u c et h eb a s i cc o n c e p t so nb a n a c hl a t t i c e sa n ds o m eb a s i ct h e o r i e so f s p e c i a lo p e r a t o r st om a k et h ef o u n d a t i o nf o rf u r t h e rr e s e a r c h s e c o n d l y , w ed i s c u s st h ep r o p e r t yo fo d u n f o r d - p e t t i so p e r a t o ra n ds o m ec o n d i t i o n st o b ea no - d u n f o r d - p e a i so p e r a t o r t h e nt h ed u a l i t yp r o p e r t yo f0 - d u n f o r d - p e a l so p e r a t o ri s a l s os t u d i e di n t h i sp a p e r w ef m dt h ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n sb e t w e e no d u n f o r d - p e t t i s o p e r a t o ra n di t sd u a lo p e r a t o ra n dw h a tt h ep r o p e r t i e so fs p a c es h o u dh a v ei fa no p e r a t o ra n d i t sd u a lo p e r a t o ra r ea l lo d u n f o r d p e t t i so p e r a t o r s f i n a l l y , t h i sp a p e rf o c u s e so nt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e no - d u n f o r d - p e t t i so p e r a t o ra n d d u n f o r d - p e t t i so p e r a t o r , w e a kd u n f o r d - p e r i so p e r a t o r , a l m o s td u n f o r d p e t t i so p e r a t o r w e d i s c u s st h a ti nw h a tc o n d i t i o nd o e so d u n f o r d - p e t t i so p e r a t o rc o i n c i d ew i t ht h e s es p e c i a l o p e r a t o r sa n dw h a tp r o p e r t yd o e st h es p a c es h o u dh a v ei ft h eo - d u n f o r d - p e t t i so p e r a t o ri s a l s ot h e s es p e c i a lo p e r a t o r s k e yw o r d s ：b a n a c hl a t t i c e s ；o - - d u n f o r d - p e t t i so p e r a t o r ；d u a lo p e r a t o r ；a l m o s td u n f o r d - p e t t i s 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i i 页 目录 第1 章绪论1 1 1 选题背景1 1 2o d u n f o r d p e t t i s 算子的研究现状2 1 3 本文主要内容。2 第2 章基本理论概述4 2 1 基本概念介绍一4 2 2d u n f o r d p e t t i s 算子6 2 3 弱d u n f o r d - p e t t i s 算子7 2 4 几乎d u n f o r d - p e t t i s 算子8 第3 章b a n a c h 格上的o d u n f o r d p e t t i s 算子1 0 3 1o d u n f o r d p e t t i s 算子的概念1 0 3 2o d u n f o r d p e r k s 算子的共轭性质1 3 第4 章o d u n f o r d - p e t t i s 算子与其他算子的关系1 6 4 1o d u n f o r d p e t t i s 算子与d u n f o r d p e t t i s 算子的关系1 6 4 2o d u n f o r d p e t t i s 算子与弱d u n f o r d p e t t i s 算子的关系1 8 4 3o d u n f o r d p e t t i s 算子与几乎d u n f o r d p e t t i s 算子的关系1 9 总结2 4 致谢2 8 参考文献2 9 攻读硕士学位期间发表的论文3 3 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第1 章绪论 b a n a c h 格将代数、拓朴、序三种结构溶于一身，空问及其上( 特殊) 算子是b a n a c h 格与算子理论的主要研究对象。空间和算子的性质研究一般集中在空问和算子的一些 特殊性质方面，诸如空间性质有s c h u r 性质、k b 性质、d u n f o r d p e t t i s 性质( d p 性质) 、 a l 和a m 性质、序连续性质等，算子性质有紧性、弱紧性、共轭性、控制性、算子 分解性等，这些都是近代空间和算子理论研究的重点。而近年来对一些新算子的研究 使得b a n a c h 格、正算子理论及泛函分析学科更进一步发展。 1 1 选题背景 b a n a c h 格上的算子理论在国内外已有许多学者进行研究。在文献 1 】中作者介绍了 紧算子、弱紧算子、d u n f o r d p e t t i s 算子( d p 算子) 及弱d u n f o r d p e t t i s 算子( 弱d p 算子) 的空间性质、控制性质、共轭性质以及格性质。文献 2 】作者对a m - 紧算子以及 序弱紧算子也有相应的介绍。 近些年学者们对这些算子又有了更深的研究，并提出一些新的算子。 2 0 0 6 年，b a q z z o u z 等人在文献【3 】中研究了b a n a e h 格上正的d p 算子的紧性及弱 紧性，给出了正的d p 算子在什么条件下是( 弱) 紧算子，并给出当空间是序仃完备 且每个正的d p 算子是紧算子时，e 7 有序连续范数或f 是自反的。 2 0 0 7 年，b a q z z o u z ，l z r a o i l a 等人在文献【4 】中探讨了正的d p 算子的a m - 紧性， 得到正的d p 算子是a m 紧算子所需条件，并得到在一定的条件下正的d p 算子是a m 紧算子时，空间所具有的性质。 2 0 0 8 年，b a q z z o u z ，r n o u i r a 等人研究了正的d p 算子的共轭问题，在文献【5 】 中提出正的d p 算子不满足共轭性，并给出满足共轭性的充分条件。 2 0 0 9 年，b a q z z o u z 及k b o u r a s 等人在文献【6 】中给出了正的d p 算子满足共轭性 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 所需要的新条件。 2 0 11 年，m m o u s s a ，k b o u r a s 在文献 9 中研究了正的弱d p 算子在什么条件下是 ( 几乎) d p 算子，给出了空间是d e d e k i n d t r 完备的且正的弱d p 算子是( 几乎) d p 算子时，空间所具有的性质；同年，b a q z z o u z 及k b o u r a s 等人在文献 1 0 1 研究了 正的弱d p 算子的共轭性；同年，b a q z z o u z ，a e l b o u r 等人在文献【1 l 】【1 2 】【1 3 1 探讨 了正的几乎d p 算子的共轭性，并对几乎d p 算子本身进行研究，还探讨了几乎d p 算 子的d p 性和弱d p 性。 2 0 1 2 年，k b o u r a s ，m m o u s s a 在文献 1 6 1 q b 提出了新的算子一几乎弱d p 算子， 研究了几乎弱d p 算子的控制性、共轭性和几乎d p 性；同年b a q z z o u z ，k b o u r a s 在文献 2 5 1 提出了新算子- - o - d u n f o r d - p e r i s 算子( o d p 算子) ，给出了o d p 算子的 刻画。 2 0 1 3 年，j h m i c h a n e ，a e lk a d d o u r i 等人在文献 3 0 1 提出了弱+ d p 算子，并对 弱+ d p 算子进行刻画；同年a e lk a d d o u r i ，j h m i c h a n e 等人在文献 3 l 】中对弱d p 算 子进行研究，得到它与极限完备连续算子之间的关系。 1 2o - d u n f o r d p e t t i s 算子的研究现状 2 0 1 2 年由b a q z z o u z 和k b o u r a s 在文献 2 5 】中提出了o d p 算子的概念，但并未对 o d p 算子进行深入的研究。2 0 1 3 年丛银凤在文献 3 2 1 对o d p 算子的控制性质、格性 质以及o d p 性质进行了深入的研究，并探讨了o d p 算子与a m 紧算子及序弱紧算子 之间的关系。之后同年，k h a l i db o u r a s 、l a r a c h e 等人在文献 3 3 1 q h 研究了o d p 算子自 身的性质，并得到每个o d p 算子和弱d p 算子的共轭算子是d p 算子的充要条件。 1 3 本文主要内容 a m 紧算子把序有界集映为相对紧集，序弱紧算子把序区间映为相对弱紧集，d p 算子是把相对弱紧集映为相对紧集，弱d p 算子是把弱紧集映为d p 集，而本文所要研 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 究的o d p 算子把序区间映为d p 集。基于o d p 算子近两年的研究现状，本文主要对 o d p 算子本身的性质、共轭性质及它与d p 算子、弱d p 算子以及几乎d p 算子的关系 进行了研究，研究的主要内容有： 第二章，对基本理论进行概述，介绍b a n a c h 格上基本概念以及文中所涉及的一些 特殊算子的相关概念及其性质。 第三章，介绍了b a n a c h 格上的o d p 算子，研究了一个正的线性算子是o d p 算子 的充分条件，并探讨o d p 算子的共轭性，即若一个算子是o d p 算子，在什么条件下， 其共轭算子也是o d p 算子，并且当算子及其共轭算子都是o d p 算子时，其空间具有 什么样的性质。 第四章，分别研究了o d p 算子与d p 算子、弱d p 算子以及几乎d p 算子的关系。 得到满足什么条件每个o d p 算子是( 弱、几乎) d p 算子，以及当一个o d p 算子是( 弱、 几乎) d p 算子时，空间具有什么性质。 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 第2 章基本理论概述 本章主要介绍b a n a c h 格上的一些基本概念以及一些特殊算子中的相关概念及其性 质，文中所涉及的未解释的概念、符号和术语见文献【1 】、【2 】。 2 1 基本概念介绍 定义2 1 1 2 1 若非空集合爿有关系“”， x ，y ，z a ，当满足下面的条件； ( 1 ) x x ； ( 2 ) x y 且y x ，有x = y ； ( 3 ) x y 且y z ，有工z ； 则称4 ( 或( 彳，) ) 是一个序集。 如果任意两个元素x ，y a ，都有最小上界及最大下界( x vy = s u p ( x ，j ，) 及 x y = i n f ( 置力) ，则称序集( 爿，) 是一个格。 定义2 1 2 1 2 i 如果实向量空间e 中的序结构和向量空间结构是相容的，即满足： ( 1 ) x ，y e 使得工y ，对所有z e ，有x + z y + z ； ( 2 ) x ，yee 使得工y ，对所有实数口0 ，有缎a y ； 则称e 是一个序向量空间。 如果( e ，) 还是一个格，则称e 是一个r i e s z 空间( 或向量格) 。 定义2 1 3 如果r i e s z 空间中的范数| i | ，满足j x yj 有删圳，则称删是一个 格范数。具有格范数的r i e s z 空间称为赋范r i e s z 空间。 若一个赋范r i e s z 空间也是范数完备的，则称这个空间是一个b a n a c h 格。 定义2 1 4 1 1 1 如果e 是一个r i e s z 空间，向量工，y e r x sj ，贝, q f x ，y 】亡e 是一个 序区间，定义为：【x ，y 】仁e ：x z y 。 如果r i e s z 空问中的一个子集4 包含在一个序区间内，那么称它是序有界的。 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 定义2 1 5 设e 是一个b a n a c h 格，如果对每个序列 。) ce ，j ，o 有l l x 。9j 0 ， 则称e 有序连续范数。 例如，b a n a c h 格c 0 有序连续范数。 定义2 1 6 1 1 设e 是一个b a n a c h 空间，如果e 中每个弱收敛的序列是范数收敛的， 则称e 有s c h u r 性质：如果e + 中每个弱收敛的序列是范数收敛的，则称e 有正s c h u r 性质。 例如，b a n a c h 格有s c h u r 性质，b a n a c h 格三1 o , l l 有正s c h u r 性质。 b a n a c h 空间e 有s c h u r 性质当且仅当e 中每个弱紧集是范数紧的。 定义2 1 7 u 1e 是一个b a n a c h 格，x ，y e ， i n f ( x , y ) = oa 旨l l x + m i = m a x 恻，) ， 则称e 是一个么m 空间。如果共轭e7 是一个彳m 空间，则称e 是一个么上空间。 定义2 1 8 1 1 i 设e 是一个b a n a c h 格，如果e + 中每个递增的范数有界序列是范数收 敛的，则称e 是一个k b 空间。 自反的b a n a c h 格和么三空问都是k b 空间。每个k b 空间都具有序连续范数。 定理2 1 9 【1 1b a n a c h 格e 的共轭f 是一个k b 空间当且仅当e 有序连续范数。 定义2 1 1 0 1 1 设e 是一个r i e s z 空问，爿是e 中的一个子集，如果ix i e 也是正的，其中丁定义为：对每 个x e ，及f f 有t ( 厂) ( x ) = ( r ( _ x ) ) 。 可知，每个正算子都是连续的。 定义2 1 1 4 【1 i 设e ，是r i e s z 空间，对算子t ：e - - - f ，如果丁把e 中的序有界子 集映为f 中的序有界子集，则称丁是序有界的。 每个正算子是序有界的，每个正则算子也是序有界的。 定义2 1 1 5 1 1 i 设e 是一个向量空间，对算子t ：eje ，如果丁2 = 丁，则丁称为是 一个投影。如果投影r 定义在r i e s z 空间上，并且也是一个正算子，则丁称为是一个正 投影。 2 2d u n f o r d p e t t i s 算子 d p 算子的概念由a g r o t h e n d i e c k 于1 9 5 3 年提出，d p 算子本身的性质及算子与其 他算子的关系被许多学者研究，也为后来提出的新算子( 如几乎弱d p 算子、弱+ d p 算 子等) 的研究奠定了理论基础。 定义2 2 1 1 1 设e ，f 是b a n a c h 空间，( x 。) ce ，若x 。_ o ，有l l r ( x 。) f f - - - 0 ，则 称算子t ：e 哼f 是d p 算子( 或t 有d p 性) 。 例如：d z 1j 1 1 是d p 算子。 每个d p 算子是连续的。 定理2 2 2 t l i 对b a n a c h 空间中的连续算子t ：e _ f ，下列条件等价： ( 1 ) r 是个d p 算子； ( 2 ) r 把e 中的相对弱紧子集映为f 中的范数全有界子集： 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 ( 3 ) 对任意b a n a c h 空间z 及每个相对弱紧算子s ：zje ，算子瑙是紧算子； ( 4 ) 对每个弱紧算子s ：重1 专e ，算子硒是紧算子。 定义2 2 3 川设互是b a n a c h 空间，( 工。) ce ，( x ：) ce ，如果x 。_ o 且 工：与o ，有l i m 0 。) = 0 ，则称b a n a c h 空间e 有d p 性。 定理2 2 4 1 1 1 对b a n a c h 空间e ，下列条件等价： ( 1 ) e 有d p 性； ( 2 ) e 到任意b a n a c h 空间的弱紧算子把弱紧集映作范数紧集； ( 3 ) e 到任意b a n a c h 空间的弱紧算子是一个d p 算子； ( 4 ) e 至j j c 。的弱紧算子是一d p 算子。 定理2 2 5 1 2 1 如果e 有d p 性，则e 也有d p 性。 定理2 2 6 1 1 i 每个彳三空间和么m 空间都有d p 性。 2 3 弱d u n f o r d p e t t i s 算子 另一个与d p 算子相关的算子是弱d p 算子。c d a l i p r a n t i s 及o b u r k i n s h a w 在文 献【7 】中对弱d p 算子作了相关介绍。 定义2 3 1 。1 1 设e ，f 是b a n a c h 空间，( 工。) ce ，) cf ，如果x 。山。且 工与。有l i l t l ( r ( 工。) ) = 0 ，则称算子t ：e j f 为弱d p 算子。 例如，：c 。寸c 。是弱d p 算子。 由定义可知d p 算子是弱d p 算子，但反之不成立。例如，j r d o o 是弱d p 算子，但 它不是d p 算子，因为没有s c h u r 性质。 如果f 是自反的，则弱d p 算子与d p 算子可以等价，而若e 有d p 性，则每个从 e 到f 的连续算子是弱d p 算子。 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 由下面定理可知在什么条件下，正的弱d p 算子是d p 算子。 定理2 3 2 1 9 1 设e ，f 是b a n a c h 格，如果下列条件之一成立，则每个正的弱d p 算 子t ：e - - - f 是d p 算子。 ( 1 ) f 是共轭的k b 空间且e 有弱序列连续格运算； ( 2 ) f 是离散的k b 空间： ( 3 ) f 的拓扑二次共轭f 有序连续范数且e 有弱序列连续格运算； ( 4 ) e 有s c h u r 性质； ( 5 ) f 是自反的。 定理2 。3 。3 设，f 是b a n a c h 空间，对连续算子t ：e 寸f ，下列条件等价： ( 1 ) 丁是一个弱d p 算子： ( 2 ) 丁把e 中的弱紧集映为f 中的d p 集； ( 3 ) 如果s 是从f 到任意b a n a c h 空间的弱紧算子，则s 丁是一个d p 算子。 定理2 3 4 【1 0 1 设e ，f 是b a n a c h 空问，如果算子t ：ej f 的共轭算子t ：f 专e 是弱d p 算子，那么丁也是弱d p 算子。 定义2 3 5 1 3 8 1 设e 是b a n a c h 空间， 。) ce 是不交列，( 五) ce ，如果工。j o 且 与。有l i ! 1 1z ( x 。) = 0 ，则称b a n a c h 空间e 有弱d p 性。 定理2 3 6 1 3 7 i 设e 是b a n a c h 空间，如果e 有弱d p 性，则e 也有弱d p 性。 2 4 几乎d u n f o r d p e t t i s 算子 几乎d p 算子是继弱d p 算子之后于1 9 9 4 年w w n u k 在文献【3 5 】中提出来的，其定 义如下： 定义2 4 1 d s l 设e ，f 是b a n a c h 格，对e 中每个两两不相交的弱零序列 。) ，有 i p 。) | f 寸0 ，则称算子丁：e j f 是几乎d p 算子。 例如，尉l i 【o 1 1 ：三j 【o ，l 】j 三1 【o ，l 】是几乎d p 算- t ：a 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 每个从b a n a c h 格e 到f 的d p 算子是几乎d p 算子，但反之不成立。例如，i d l o i 】 是几乎d p 算子，但它不是d p 算子，因为f 【o ，1 1 没有s c h u r 性质。 而弱d p 算子不一定是几乎d p 算子，几乎d p 算子也不一定是弱d p 算子。例如， 坂：c 0j c 0 是弱d ps g - t ，但它不是几乎d p 算子。l o r e n t z 空间 ，1 ) 有正s c h u r 质，但没有d p 性质，因此单位算子掰巾，1 ) ： ，1 ) 专 ( 国，1 ) 是几乎d p 算子，但它不 是弱d p 算子。 以下三个定理给出几乎d p 算子与d p 算子及几乎d p 算子与弱d p 算子的关系。 定理2 4 2 1 1 5 i 设e ，f 是b a n a c h 格， ( 1 ) 如果e 有弱序列连续格运算，则每个几乎d p 算子t ：ejf 是d p 算子。 ( 2 ) 如果f 是离散的且有序连续范数，则每个正的几乎d p 算子t ：e 斗f 是d p 算子。 定理2 4 3 i 1 5 1 设e ，f 是b a n a c h 格，如果f 有a m 紧性，则每个正的几乎d p 算子 t ：e 哼f 是弱d p 算子。 定理2 4 4 1 1 s 1 设e f 是b a n a c h 格，t ：e 斗f 是正的弱d p 算子，若满足下列条 件之一，则丁几乎d p 算子。 ( 1 ) f 。有序连续范数； ( 2 ) f 是共轭的k b 空间： ( 3 ) f 是离散的k b 空间； ( 4 ) f 有正s c h u r 性质； ( 5 ) e 有正s e h u r 性质。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 第3 章b a n a c h 格上的o d u n f o r d p e t t i s 算子 本章从o d p 算子的定义出发，主要对o d p 算予本身进行更深入的研究，并探讨 o d p 算子的共轭性质。 3 1o d u n f o r d p e t t i s 算子的概念 定义3 1 1 【1 i 设x 是一个b a n a c h 空间，acx ，若对共轭空间x 中的每个序列 ( x ：) ，与。有( x ：) 在么上一致收敛于0 ，即s u px ：( x ) i 哼0 ，则称4 是 ，e a d u n f o r d p e t t i s 集( d p 集1 。 文献 2 5 1 、【2 6 、【2 7 对d p 集己进行了深入的研究，并且b a q z z o u z 于2 0 1 2 年提 出了o d p 算子的概念： 定义3 1 2 1 2 5 l 设e ，f 为b a n a c h 格，若连续算子t ：e 斗f 将e 中的序区问映为f 中的d p 集，则称丁为o d p 算子。 例如，是o d p 算子a 由文献 2 5 】，o d p 算子另一等价定义为： 定义3 1 3 i 硝1b a n a c h 格上算子t ：e - - - - k f 是一个o d p 算子当且仅当对序列 眠) cf ，z o ，有ft ( z ) i ! 0 0 。 对于o d p 算子有下面性质： 性质3 1 4 1 3 3 i 设e ，f 是b a n a c h 格，x 是b a n a c h 空间，则有下面结论成立： ( 1 ) 所有e 到x 的o d p 算子空间是所有e 到x 算子空间的范数闭的向量子空间； ( 2 ) 如果丁：e f 为o d p 算子，则对每个算子s ：f j x ，算子s 。t 是o d p 算子； ( 3 ) 如果t ：e 斗f 为序有界算子，则对每个o d p 算子s ：f 哼x ，算子s 。t 是 o d p 算子。 由【1 】，e 是一个b a n a c h 格，对o ：) ce ，若与o ，有i 工：i 与o ，则称e 西南交通大学硕士研究生学位论文第11 页 有弱序列连续格运算：若x ：兰与0 ，有l x ：i 芝寸0 ，则称e 有弱序列连续格运算。 定理3 1 5 设e ，f 是b a n a c h 格，r ：e 寸f 是正的线性算子，如果满足下面条件 之一，则丁是o d p 算子。 ( 1 ) e 有弱序列连续格运算； ( 2 ) f r 有弱序列连续格运算； ( 3 ) e 有弱序列连续格运算： ( 4 ) 尸有弱序列连续格运算： ( 5 ) f 有s c h u r 性质。 证明( 1 ) 眠) cf ，正与o ，则丁( ) 与o 。又因为f 的格运算是弱序列连 续的，则i 丁( 六) l _ o ，所以i 丁( 六) i 鸟0 。由定义3 1 3 t 2 卯，r 是o d p 算子。 ( 2 ) ) cf ，z 与o ，而f 的格运算是弱序列连续的，则l 五f 与o ，所以 f 以i 专o ，丁r ( i 工 ) 立专o 。又因为i 丁( 工) 峰丁( izi ) ，所以i 丁7 ( z ) l 立哼o 。 因此丁是o d p 算子。 ( 3 ) z j o ，丁( ) 与o ，则丁( ) 斗o 。因f 的格运算是弱序列连续， 所以i 丁( 工) i 兰与0 。因此r 是o d p 算子。 ( 4 ) j 0 ，则 专o ，因f 的格运算是弱+ 序列连续的，所以l 无i 兰j o ， 所以丁( i 1 ) 三o o 。又因为i 丁( 五) i f 也是o d p 的，则e 有序连续范数或f 有序连续范数。 证明假设e 和f 不具有序连续范数，因e 、f 是d e d e k i n d t r 完备的，则由文献 1 】定理4 5 l ，e ( 或f ) 包含一个与2 。同构的子格，且存在正投影：丑：e jz 。( 或 只：f - - 9 它。) 。令i ：孽4 _ f 是它。到f 的典范映射。 考虑算子r = f 。置：e j 孽”一f 。 因( z ”) 有a m 一紧性，可知埘( r ) ：( 粤。) 斗( 笆。) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 5 页