（应用数学专业论文）外区域上椭圆方程组neumann问题解的存在性研究.pdf

摘要 本文土要研究外区域一卜i 半线性椭网方程组n e u m a n n 问题解的存在性。 在第一章中，我们综述了有关半线性椭圆型方程与方程组研究的背景与 已有的研究结果，并简单叙述了本文的研究工作。 在第二章中，我们给出了一些基本定义与引理。 在第三章中，我们主要在外区域上研究了半线性椭圆型方程组 f - a u + a t = 鹅q ( z ) ”2 u l v l 卢i n q 。， 一，：2 为q ( 功l t l i 口m p 嘞协掰， ( 1 ) l器= 器= 0 o n 御， 【t ，口 o i n 借， 解的存在性。其中q 是r 肌扣的有界光滑区域，q c = r n q ，且q c 没有有界分 支；入，p o 是参数，a ，p 1 满足q + p = 2 ，2 。= 鹊( 3 ) 表示临界s o b o l e v 指 数；i ，是边界0 1 2 上的内法向量：q ( z ) 是h s l d e r 连续函数，q ( z ) 0 ，比q c 本文主 要研究边界的平均曲率与系数q ( z ) 的性态对解存在性的影响，利用集中紧性 原理得到问题( 1 ) 存在低能量解。本文的主要结果已经发表于e l e c t r o n i cj o u r n a lo f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s2 0 0 8 ( 2 0 0 8 ) ，n o 1 5 3 ，p p 1 - 1 3 0 关键词：椭圆方程组；n e d i n a n i i 题：临界指数：集中紧性原理；解的 存在性。 a b s t r a c t t h i st h e s i si sc o n c e r n e dw i t ht h ee x i s t e n c er e s u l t sf o rc r i t i c a ln o n l i n e a re l l i p t i cs y s t e m si n e x t e r i o rd o m a i n sw i t hn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n s i nc h a p t e ro n e ，w ew i l lg i v eas u m m a r yt os t u d ys e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o na n de l l i p t i c s y s t e m s w ea l s oi l l u s t r a t et h ea i mo ft h i st h e s i s i nc h a p t e rt w o ，w eg i v es o m eb a s i cd e f i n i t i o n sa n dl e m m a s i nc h a p t e rt h r e e ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o no ft h ef o l l o w i n gn e u m a n np r o b l e mf o r e l l i p t i cs y s t e m s a u + a u = j 铬q ( z ) i t l i 口- 2 训训卢i nq 。， 一a v + p t ，= 壬岛q ( z ) f u l 8 i t ，i p 一2 t ，i nf 2 。， 貉= 舄= 0 o n 锄， u ，口 0 i nq c ， ( 2 ) w h e r eqcr i sas m o o t hb o u n d e dd o m a i n ，q 。= r qa n dq h a sn ob o u n d e dc o m p o n e n t s ； a ，p2 0a r ep a r a m e t e r s ；q ，卢 1a n dq + 卢= 2 ，w i t h2 + d e n o t i n gt h ec r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t ， t h a ti s ，2 + = 鹩f o rn 3 ；l ，i st h eu n i ti n n e rn o r m a la tt h eb o u n d a r y0 f ；t h ec o e f f i c i e n t q ( x ) i sh s l d e rc o n t i n u o u so nq 。a n dq ( z ) 0f o ra l lx q 。w es t u d yt h ec o n l l n o ne f f e c to f t h em e a z lc u r v a t u r eo ft h eb o u n d a r y 锄a n dt h es h a p eo ft h eg r a p ho ft h ec o e f f i c i e n tq 0 ) o nt h e e x i s t e n c eo ft h el e a s te n e r g ys o l u t i o n s ，a n du s et h ec o n c e n t r a t i o nc o m p a c t n e s sp r i n c i p l et of i n dt h e l e a s te n e r g ys o l u t i o n t h em a i nr e s u l to ft h i sp a p e rh a sb e e np u b l i s h e di ne l e c t r o n i cj o u r n a lo f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sv 0 1 2 0 0 8 ( 2 0 0 8 ) ，n o 1 5 3 ，p p 1 - 1 3 k e y w o r d s ：e l l i p t i cs y s t e m ；n e u m a n np r o b l e m ；c r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t ；t h ec o n c e n - t r a t i o nc o m p a c t n e s sp r i n c i p l e ；e x i s t e n c eo fs o l u t i o n s i i i 江西师范大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究 ：作及取得的研究成果。尽我 所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得江西师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 签字日期：年月日 江西师范大学学位论文使用授权声明 本人同意在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属江西师范大学。本人保证毕业离校 后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为江西师范大学。学校有权保留学位论文并向 国家主管部门或其他指定机构送交论文的电子版和纸质版：有权将学位论文用于非赢利目的的 少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数 据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 学位论文作者签名：导师签名： 签字e 1 期：年月旦签字日期：笙月 日 第一章 引言 1 1 偏微分方程研究的主要背景 二阶非线性椭圆型偏微分方程是非线性偏微分方程的重要分支之一，它 在数学、物理、科技与工程中有着广泛的应用。许多物理现象和几何问题 都可以用一个或一组非线性椭圆型偏微分方程来描述。例如，天体物理中 的l a n e - e m d e n 方程，e u l e r - p o i s s i o n 方程的平衡态，理论物理中的s c h r s d i n g e r 方程的 驻波，非线性k l e i n - g o r d e n 方程，涡旋理论中的稳定涡旋的描述，微分几何中的 数曲率方程等。正是如此，这些方程在自然科学中具有许多实际意义，它们 解的存在性、多解性以及解的性态的研究一直受到人们的关注。 近几十年来，人们对非线性椭圆型偏微分方程与方程组解的存在性研究 已经给出了许多种方法，比如：变分方法、拓扑度方法( 不动点理论) 、单调 算子方法、上下解方法等等。其中变分方法结合临界点理论是讨论解存在性 的主要方法之一。 偏微分方程中的变分法是把方程中的边值问题转化为变分问题，以证明 解的存在性、多解性及求某些方程近似解的方法，即将研究方程 一a u = f ( x ，t ) ，t 月0 ( q )( 1 1 ) 的解转化为研究方程对所应的能量泛函( e u l e r - l a g r a n g e 泛函) i ( u ) = 言i w l 2d x 一f ( x ，t i ) d x 的临界点，其d p f c x ，t ) = 片f ( x ，) d t 。问题( 1 1 ) 在础( q ) 上的弱解就是泛函j 在础( q ) 上 的临界点，即对任意的妒硪( q ) ， 上( v u v 妒一他，牡) 妒) 如= 。 成立，再由正则性理论可知在大多数情况下弱解就是古典解。于是寻找泛函 的临界点就成为解决问题的关键所在。经过许多数学家的长期努力，就形成 了解决非线性问题的一个重要分支一变分法。 古典变分法的基本内容是确定泛函的极值和极值点，因此要求其对应 的e u l e r - l a g r a n g e 泛函是下方有界或上方有界的。极值点是最简单的临界点，但 是有一些我们所要研究的泛函是不定或者强不定的，另外，即使是一些下方 有界的泛函也可能存在一些鞍点，而且这些鞍点有可能是方程的不稳定的解， 所以要有新的方法来寻找更一般的临界点，特别是鞍点。 江两帅范入学侦f j 学位论义 近几。f + 年来，近代变分法得到了重大的发展，并且在解决非线性椭圆边 值问题中得到了许多具有重要意义的结果。近代变分法主要包括极大极小理 论和m o r s e 理论，这两种理论都是根据拓扑方法，研究般的临界点。1 9 7 3 年a a m b r o s e t t i 丰d p h r a b i n o w i t z 4 提出了著名的山路引理( t h em o u n t a i np a s sl a m i n a ) 可 以说是临界点理论发展的里程碑。山路引理可以表述为： 引理1 1 ( t h em o u n t a i np a s sl e m m a ) 4 】设e 为一实b a n a c h 空间，c 1 ( e ，兄) 满足( p s ) 条 件，如果，( o ) = 0 ，且满足 ( i ) 存在常数p ，口 0 ，使得，i a 玩o r ； ( i i ) 存在e e 毋，使得，( e ) s0 。那么，存在一个临界值c a 。其中c 可以由 下列极小极大值来刻画 c2 翼 , e m o ( 爵l o 1 ) m ) ， g r ，1 1 ) 。 其中 r = 夕c ( 【o ，1 1 ，e ) ：g ( o ) = o ，g ( 1 ) = e ) 随后1 9 7 8 年p h r a b i n o w i t z 提出的鞍点定理( t h es a d d l e p o i n t t h e o r e m ) 【4 6 】和1 9 7 9 年v b e n c i 和p h r a b i n o w i t z 提出的环绕定理( t h e l i n k i n g t h e o r e m ) 【7 】是对山路引理的进 一步推广。这两个定理可以表述为： 引理1 2 ( t h es a d d l ep o i n tt h e o r e m ) 4 6 设e = v o x ，其中e 是- - b a n a c h 空间，v o 且 是有限维的。j c i ( e ，r ) 满足( p s ) 条件。如果它还满足 ( i ) 存在常数n 和在y 中含0 的有界邻域d ，使得i i a dsq ； ( i i ) 存在常数p o l ，使得，i x p 。那么，存在一个临界值c 之p ，此外，c 还可 以刻画为 c = h i i l f 黑j ( ( t 1 ) ) ，e f d1 其中 r = h c ( d ，e ) ：h o d = 记 引理1 3 ( t h el i n k i n gt h e o r e m ) 7 1 设e 是一实希尔伯特空间，e = e 1o 场， c 1 ( e ，r ) 满足( p s ) 条件，且满足 m ) j ( u ) = ( l u ，u ) + 6 ( 札) ，其中眈= l 1 p l u + l 2 p 2 u ，厶：邑一厩是有界自共轭线 性算子，i = l ，2 ； m ) 6 是紧算子； m ) 存在子空间雪ce 和集合s ce ，qc 亩和常数o t u 满足 ( i ) sce 1 ，1 i s q ， 2 外lx 域 ：懈j 嘲力。袢组n e u m a n n 闯题解的存在性研究 e 一铲。兰 2 ， 其中qcr 是有界光滑区域，2 = 鹊( 3 ) 。如果入= 0 ，q 是星形区域时，根 良2 衄i n f 1 , 2 m ，揣u 1 2 ， u d ( n ) t o rr id z 、o 2 ，= 赫厂v 2 一t + t = i t l l p 一2 t i 1 1q ， ( 1 4 ) 江两帅兆人：学坝i ：学位论义 当q 是有界i ) 域时，在文献【5 2 】中进行了详细的讨论，得到解的存在性。但是 当q 是无界区域时，由于失去紧性，使得问题的研究变的困难。 1 9 8 1 年b g i d a s ，w m n i $ 口l n i r e n b e r g 2 8 与1 9 8 9 年m k k w o n g 3 4 $ 1 正明y ( 1 4 ) 在全 空间r n 上存在唯一的径向对称解u ，且u 及其径向导数在无穷远处是指数衰减 的，即 u ( r ) , , e - l r l 学一l i m 。鬻= 1 ；r 州i x 而在研究无界区域上椭圆方程解的存在性时，需要克服失去紧性的困难。 当区域是球对称的时候，我们可以在球对称空间础，( r ) 中研究方程。1 9 7 2 年c v c o f f m a n 2 2 和1 9 7 7 年w a s t r a s s 【4 8 】证明了础，( r ) q 驴( r ) ，2 0 , 3 r h ； ( i i ) ( 消失的) 对所有的r 0 ，存在l 和p ：，虞l j ( r ) ， 当局k o 时，有 fi i 肌。一( p ：+ p 2 ) i i l t e ，l j np ：如一q i 5 ，l j r np 2d x 一( a q ) is id i s t ( s u p p 以，s u p pp 2 ) _ + o o ，嬲七一o o 外i x 域上椭阅方程组n e u l n a n n ( 1 t j 题斛的存在怙研究 在给出第二集中紧性原理前，我们先给出测度弱收敛的定义。设q 是r v 中的 开子集，令 i c ( n ) ：= u c ( n ) is u p pu 是q 的紧了集) ， e c ( n ) ：= u c ( n ) ii u i 。= s u pl u ( z ) l 。o 工i 2 记m ( q ) 为q 上的有限测度的集合，p 。，p 朋( q ) ，如果 ( p 。，“) ，( p ，t ) ， vu c o ( q ) ， 则称测度脚弱收敛于肛，记为：一p 。其中c o ( q ) 是c ( n ) 关于一致范数在贸( q ) 中 的闭包。 引理1 5 ( 第二集中紧性原理) 3 9 】设后n ，p 1 ，k p n ，石1 = ；1 一每， 札n ) 是 p ( r ) 中 的有界序列，假设 t 。一t 在w k , p ( r ) 中，( 1 5 ) 以及 p n ：= i v 七t 。i 如一p ， ：= i t 。i 口出一“( 1 6 ) 其中p ，为r 上的有界非负测度，那么 ( t ) 存在最多可数的指标集j ，点的集合 巧 j jcr 及 吩k ，c ( o ，o o ) ，使得 ( i i ) 存在脚之品哆7 9 使得 y = 如+ 吩屯， j ， ( 1 7 ) p 2i v 训pd x + 心，( 1 8 ) j ， 特别地，碍加 ，其中s k s o b o l e v 嵌入，p ( r ) q l q ( r ) 的最佳常数，即 s n = 邺i n f 掣，铲 m 9 ， 如表示集中在点z 的d i r a c 函数。 上述回顾的是d i r i c h l e t 边值问题研究的相关历史，而与之相对的椭圆方 程n 明脚粕n 边值问题具有重要的理论价值和物理背景。如n e u m a n n 边值问题 f 一t t ：t i nq t 雾州洲坤牡- 0 0 n 赢， o j 5 江西帅池人学硕 j ：学化论文 就源丁_ 固体中的黑色体向周围媒介辐射热能的研究。近几十年来，椭圆方 程n e u n - n 边值问题一直是人们所关；丰的问题。 1 9 9 1 年a d i m u r t h i 和s l y a d a v a 3 研究了下列椭圆问题 一 篡川 【器+ 学触= u 确n o na q ， 其中p 表示a q 关于单位外法向量的平均曲率。从r 而方程解的存在性问题对应于 边界上自4 j y a m a b e i h - j 题，这样就需要找一个q 上的共形度量与欧氏度量共形，因 为欧氏度量的边界平均曲率为常数。而由于s o b o l e v 迹嵌入日( q ) ql 枷( a q ) 没 有紧性，使得问题的研究变的很困难。在【3 】中作者通过讨论了p 与边界上某点 的平均曲率之间的关系，找一个检验函数来验证对应的能量泛函满足局部紧 性条件，从而得到了问题( 1 1 1 ) 存在一个非平凡解。 在有界区域上，下歹l j n e u m a n n 椭圆方程 p 一妒篡 坳 i i 舞= 0 o na q ， 的研究已经有了许多好的结果。 次临界情形( 1 知时，民可达，且存在正常数a ，使得 甄 0 ，百 0 当入 知时，方程( 1 1 2 ) 存在解口a ，且满足 嘉 已确肌( 嘉+ 掣2 ) 2 1 9 9 5 年x b p a n 4 3 研究了下列半线性椭圆型临界n e u l i l a n n 题 一- a u + a u = u 2 篡 【器+ t h ( x ) u = 0o n 锄， 其中日( z ) 表示边界上的数量曲率，作者讨论了方程低能量解的存在性。 2 0 0 2 年j c h a b r o w s k i 和m w i l l e m 研究了下列半线性椭圆型临界n e u m a n n l 6 题 f a u + a u = q ( z ) “2 i nq ， 。 蚴，( 1 1 4 ) i 器= 0 o n 御， 其中q ( z ) 是非负水 h s l d e r 连续函数，此时通过变分方法研究方程解的存在性时， 不仅由于临界使得对应泛函不满足紧性条件，而q ( z ) 的性态对解的存在性也 有影响。记 2 倒然嘉器 = 。( 蚍厶i n f 2 如- 1 上( | 吼1 2 + a u 2 ) u e hq ( x ) l u l 妞 1 ( n ) ，厶 r 如= 1 ，o ” 定义q m ：= 嘴q ( z ) q m ：= 警q ( z ) ，利用集中紧致原理可得当文，。 氏：= 皿眦。，v m 2 2 * ，s ( 2 2 q 髦2 ) 时，风，o - 7 达，从而方程( 1 1 4 ) 存在解。 上面我们回顾的是有界区域上的n e u m a n n 边值问题，近年来，许多人对外 区域上的n e u m a n n 边值问题也做了大量的研究。 1 9 9 3 年d m c a o 1 2 1 在外区域上研究了下列椭圆型n e u m a n n 边值问题 f - a u + a u = q ( z ) i u p - 2 牡i nq 。， t 器：o o n 勰， o j 印 7 江两帅池人学颂 ，位论文 其中q 是r 中的有界光滑i x 域，q 。= r q ，2 0 。这个问题虽然是次临界非线性方 程，但是由于在外区域上研究的，由于无界域q c 上础( q c ) q 妒( q c ) 一般不是紧 的，使得方程所对应的能量泛函失去了紧性。另外，由于非线性项的系数是 函数q ( x ) ，贝l j q ( x ) 的性态也影响方程解的存在性。作者利用集中紧性原理得到 t ( 1 1 5 ) 一个低能量解和一个变号解。 2 0 0 3 年j c h a b r o w s k i 和b r u m 究了( 1 1 0 ) 当p = 2 + = 鹊( 3 ) 时的情形，即 i 一t + a u = q ( z ) l u l 2 - - 2 u i nq 。， ( 1 1 6 ) 【窑= 0 o i la q ， 这时不仅在外区域上和临界的情形由于失去紧性，q ( z ) 的性态也对方程解的 存在性有影响。记 sca，q，q。，=。日。n。，矗。inqf。，i。i。：。ij；：j黼 = q ( x ) l u l j n 如， 1 ( 舻) ，厶。 r 如= lc 作者利用集中紧性原理得到了低能量解的存在性。令 q m ：2 糟q ( z ) ，q m2 裟q ( 。) ，q 一2i 慧q ( z ) 如果 跗舭， 一曲 l 。作者通过比较口+ p 与2 的 关系，得到了方程组解的存在性与不存在性结论。记a ：f ? 厶1 为r 上2 2 阶 d c 的矩阵，其特征值记为p 。和p 2 ，且满足p 。 p 1 。文献 s l i 正明了以下结果。 引理1 6 ( i ) ( 存在性) 设q 为有界光滑区域，a + p = 2 ，b 0 ，则 ( i ) 如果n 4 ，并且0 p l 舰 a l ，那么方程组有一个解； ( i i ) 如果n = 3 ，并且q 是一个球，当a l 4 p 1 p 2 a x 时方程组有一个解， 当0 p 1 1 2 0锄，一 【器= 器= 0 o i lo f z ， 其中系数q ( z ) 是q 上正的h s l d e r 连续函数，a + p = 2 。作者在文章中考虑了下述 9 江两帅范人学颂 j ：位论文 限制变分问题 吼2 叩洲i n f ，驾黠蔫器磐 他们得到了上述极小值是可达的。定义s ( q ，p ) 为 scq，p，=。，。if毛，、。，2：辨， 记 q m = r 臻字q ) ， q 肘。鼍f q ( 茁) 文献 1 9 1 的结果表述如下 引理1 7 ( i ) q m 2 2 1 ( n - 2 ) q m ，如果殴p 而物，则极小值竣p 可达。 ( i i ) q 肘2 2 ( n - 2 ) q m ，如果震p 1 满足q + p = 2 ，2 + = 鹩( 3 ) 表示临界s o b o l e v 指 数；是边界锄上的内法向量；q ( x ) 是q c 上非负的h s l d e r 连续函数。 可以看出，我们所研究的是在外区域上的i e l l i n a i l n i 佶- j 题临界椭圆方程组，其 中非线性项是由带临界指数的耦合项组成。首先因为所考虑的是临界情形， 并且所研究的方程是在无界区域一外区域上，由于失去紧性的原因，使得问 题的研究变的很困难，为了克服这个困难，在求解过程中我们主要利用集中 紧性原理对极小化序列进行刻画，由e k e l a n d 变分原理知对极小化序列的刻画 也可以转化为对泛函( p s ) 序列的刻画；另外在外区域上讨论，区域的边界性质 对解的存在性也有一定的影响，特别是边界上的平均曲率影响解的存在性； 最后，非线性项的系数是正的非常数函数q ( z ) ，它的性态也直接影响解的存 在性，所以我们需要对q ( z ) 的性态进行分析。 记 q m2 糟q ( z ) ，q m 2 n 觚q ( 。) ，q * 2i 慧q ( 卫) ， 外阮域上椭圆办 罕绀n e l l l ，l a n l l 问题解的存在性研究 = 。吲，然器 由文献 5 】得到 s 。，卢= ( 芳) 口7 口+ 口+ ( 鲁) 。7 。+ p s ：= a 。，卢s ， 其中s 为最佳s o b o l e v 嵌入常数。记 s，pcq。，q，=。，。hi，n。nf。八。，2坠jii；i；：l：斧， o - - - - m i l l 茄，赫，南) 本文考虑方程组( 1 2 0 ) 的解的存在性。首先我们利用第二集中紧性原理证 明 定理1 如果a ，p2o 有最，p ( q c ，q ) ，那z , s ，p ( q c ，q ) 口- - j 达。 接下来，我们验证条件 乳，p ( q 。，q ) s o o 成立。于是我们假设 旧1 ) 设存在y o f l 使得q 。= q ( 可) ，日( ：，) 0 ，当z 靠近y 时， i q ( z ) 一q ) i = o ( 1 z 一! ，1 ) ， 其中h ( ) 表示边界上y 点关于内法向方向的平均曲率。 ( q 2 ) 设存在点y q c 使得q f = q ( g ，) ，当z 靠近y 时 i q ( v ) 一q ( z ) i = d ( i z 一训一2 ) 注：如果存在z q c 使得q ( z ) q o 。，则 一 0 ，使得当r o o 时，对任何雪衄( o ) n 玩( 牙) ，满足 o t n 2 江两师池人学f 吹f 学位论文 在条件( q 。) 一( q 。) 下，我们有 定理2 & ，p ( q 。，q ) 2 b q 。和( q 2 ) 成立； ( i i i ) q o 。 2 2 ( n - 2 q 。，对任何z 孵，q ( z ) q o 。，f i ( q 3 ) 成立。 这个结论已经在e l e c t r o n i cj o u r n a lo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 第2 0 0 8 卷( 2 0 0 8 ) ，n o 1 5 3 _ l 发表。 1 2 第二章预备知识 在这1 章我们给出，一些基本的定义与定理。 定义2 1s o b o l e v 空间日七( q ) = u 伊( q ) id 。u l 2 ( q ) ，f q | k ，其中l 2 ( f 1 ) 表示q 中的 所有平方可积函数的全体。 定义2 2 设p 1 ，( q ) 是b a n a c h 空间，它南q 上所有p 次幂可积函数的全体所组 成，其中范数定义为 lj t , l l p = l _ j u i p ) ， p = o 。时，用l * ( q ) 表示q 上本性有界可测函数的全体。 定义2 3 ( p a l a i s - s m a l e 条件) 设e 是b a n a c h 空间，称泛函，c 1 ( e ，r ) 满足( p s ) 条件 是指对任何序列 u 。) ce ，由，( z 。) 有界，协。) 一0 ，可推得 乱。 有收敛子列。 设啶定义在b a n a c h 空间上e 的c 1 泛函，7 ( u ) 表示f 在u e 处的梯度算子。 引理2 4 ( r a d o n - n i k o d y m ) 设a 与p 都是r 上的非负有限测度，如果a 关于p 是绝对 连续的，则存在非负函数，l i ( r n ，p ) ，使得 ， a ( a ) = ，( z ) 咖，va 可测 j a 引理2 5 ( f a t o u 【理) 设a c r ，a 是可测集， 是a 上p 可测函数序列，则 fr 1 硒i n f ( z ) 咖sl 和i n f ( 。) 如 - ， 七一o o七一- ，j 4 引理2 6 ( l e b e s g u e 控制收敛定理) 设 是a 上p 可测函数序列，它在a 上逐点收敛 到一个极限函数，如果存在a 上的p 可积函数g ，使得 i ，k ( z ) i 9 ( z ) v x a ，七= 1 ，2 ， 那么 熙上 。) d p = 上( 熙 ( z ) ) 咖 引理2 7 【5 3 】设1s p g o m 捕, 4 a ) = u ( anf ) = 厶n f ，咖 0 ，即 当( a ) = o 时必有a ( a ) = 0 ，这说明，a 关于z ，也是绝对连续的，再由引理2 4 可知， 存在非负函数g l x ( r ，y ) ，使得 水) = 上如) 砒 ( 2 - 7 ) 对任意的妒三o 。( r ) ，在( 2 1 ) 中取妒= 妒加得 ( 上。m q x fd u ) c ( 上f 吾， 因此由( 2 5 ) 与( 2 6 ) 得出 ( 上。i 妒i ad ) 。c ( 上，i 妒i p 奶) 吾，r e el 一( r ) ( 2 8 ) 记 x o s 知) = x 王r 1 9 ( 嚣) 七) ， 地( a ) = j 厂a 夕南驯妣 对任意的妒二”( r ) ，取妒= 9 击k ) 妒l c c ( r n ) 代) k ( 2 8 ) ，由( 2 1 0 ) 得到 ( 上。川魄) 。冬c ( 上氐魁一) 刍， ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 外l x 域 ：椭圆：方群组i ( * u l l l a i l l l 问题解的存在性研究 e h ( 2 7 ) 有d a = g d u ，从而9 南d a = 9 南咖，于是可得 ( 上。饥) ；c ( 上。m 庐m 川d ) 。= c ( 上。魄) 吾，v 。( r n ， 对任意可测集a ，以妒：x a 代入h 式得 收( a ) c v k ( a ) 由此可得 地( a ) = 0 或v k ( a ) c 袢：= 6 0 ( 2 1 1 ) 固定k ( k = 1 ，2 ，) ，对任意z r n ，由( 2 1 1 ) 知道：有下列两种可能情形之一： ( 1 ) 存在e = e ( z ) 0 ，使得收( 展( z ) ) = 0 。 ( 2 ) 对任意 o 有h ( 毽( z ) ) 芝6 ，从而有 夕女( z ) 21 觋魄( b e ( z ) ) 6 ( 2 1 2 因为是有界测度，f i 3 ( 2 1 0 ) 得 f | 魄( a ) = 9 芗与x ( 9 s k ) d v 七百品y ( a ) ( 2 商) j 7 即也是有界测度，因而满足( 2 1 2 ) 的点z 最多只有有限个。设0 m ( 七) o 使得( 展( 。) ( z ) ) = 0 。对任意紧集eck ，在c 的 开覆盖 展( 。) ( z ) ) ；c 中可选出c 的有限覆盖，设有z 1 ，x 2 ，z ，c ，5 ( 瓤) = 岛“= l ，2 ，r ) 使得ccl 二jb e 。( 祝) 。从而 i - - - - 1 对正整数z ，集合 r ( c ) s ( 展。( 鼢) ) = 0 ，即 ( c ) = 0 i = 1 q = x e r n ，卜砖l 芝7 1 ，j - 1 2 ，州南) ) 是k 中的紧集，故有( q ) = 0 ，再由 ac 仍c ， 1 5 q u m = 且 江两帅范人学倾 ：学位论义 得出 再令 魄( k ) 2 ( u a ) 2 ，l ：i r a 。v k ( c 1 ) = o j = 1 。 y = n 圪( 2 1 6 ) 缸= l 则由yc 垓，k = 1 ，2 ， 地( y ) = 0 ，屉= 1 ，2 ， 由此式及( 2 1 0 ) ，根据引理2 6 有 二夕南咖= 石恕g 南x ( a _ k ) d v 0 ，j j ，在( 2 1 ) 中取妒= 7 ( 挚) 得出 ( 巧 ) ( 上m 生产胪d 0 。c ( 上nm 竺孑胪如) 5 sc p ( 反( ) ) 昙， j b z ，ji = 、，七m z 七l z u 胤 = 恢 r u 随 = 圪 n 随 r = 矿 r 外i x 域上椭圆方挫组n e u m a n n l i j 题解的存- 备忭研究 在此式中令e o 得出 由此得出 l ，( z j ) ；冬c p ( z j ) ) ； 由此不等式得出( 2 2 ) 中的不等式。对任意的j ，由于o 。u z ，z ) ，根 七= l 据( 2 1 3 ) 及( 2 1 4 ) 有 0 一 r 肛 第三章外区域上椭圆方程组的临界n e u m a n n 问题 3 1引言 在这一章，我们考虑在外区域上椭圆方程组的临界n e u m a n n i h - 题 f 以时她2 邳2 0 r q ( 动铲。1 俨i n 饼， - a v + # v = 为q ( 咖肛栅。 ( 3 1 ) l 乱，u 0i n 2 。， 【器= 雾= 0 o na q ， 解的存在性。其中q 是r 中的有界光滑区域，q c = r q ，且q c 没有有界分 支；a 与p 大于。的参数；a ，p 1 满足q + 卢= 2 + ，2 = 鹩( 3 ) 表示临界s o b o l e v 指 数；y 是边界a q 上的内法向量；q ( z ) 是h s l d e r 连续函数，q ( z ) 0 ，坛q c 。 由于在外区域上、以及非线性项有耦合的临界s o b o l e v 指数，使得对应能量 泛函失去紧性，加上非线性项的系数q ( z ) 的性态也影响解的存在性。因此为 了得到解的存在性，主要想法是考虑区域边界的平均曲率与系数q ( z ) 的性态 对解存在的影响，利用集中紧性原理得到问题解的存在性。 记 q m = ，磺f q ( z ) ， q m 2 等笋q ( z ) ， q * 2 1 0 粤匕q ( z ) ， 及 s a , # = 即倒i 弋n f ，巷黼 由文献 5 1 得到 s & ，卢= ( 茜) 卢7 。+ 卢+ ( 鲁) 。7 。+ 卢 其中s 为最佳s o b o l e v 嵌入常数。记 s - x ，p c q 。，q ，= 。，。片i 。n 。n f 。，、。，坠 i i ；：i i ；：i ：i ： 。：i l ：i 。i ；i 兰； j ! 三， 一 南，扣，南) 当u = t ，时，方程组( 3 1 ) 变为单个方程 一竺让+ a t = q ) | 叫2 一2 t 缸q 。， ( 3 2 ) 【舞= 0 o n 勰， 、 江两帅地人学帧 j t 论文 文献 1 8 】讨论y ( 3 2 ) 解的存在性，作者通过讨论 叩。，q ，护i n f 豫( i v u | 2 + 膨) d x , u e h l ( q c ) ，上。) 俨d x = 1 ) ， 的可达，得到方程的低能量解。 本文考虑方程组( 3 1 ) 的解的存在性。首先我们利用第二集中紧性原理证明 定理1 如果a ，p o 有s a ，p ( q 。，q ) 氏，那么s a ，“( q c ，q ) 可达。 接下来，我们验证条件 风，p ( q 。，q ) s o 。( 3 3 ) 成立。于是我们假设 ( q 1 ) 设存在y 舰使得= q ( ) ，日( ) 0 ，当x 靠近y 时 i q ( z ) 一q c y ) i = o ( 1 z y 1 ) ， ( 3 4 ) 其中日( y ) 表示边界上y 点关于内法向方向的平均曲率。 ( q 2 ) 设存在点y q c 使得q m = q ( 可) ，当z 靠近掣时， i q ( y ) 一q ( z ) i = o ( 1 z y l 一2 ) ( 3 5 ) 注：如果存在z q c 使得q ( z ) q o 。，则 8 c 。= m i n 0 ，使得当r _ 0 0 时对任何雪o b l ( o ) n 岛( 三) ，满足 0 t n 2 ( 3 6 ) 在条件( q 。) ( q s ) 下，我们有 定理2 & ，p ( q c ，q ) 2 南q 。和( q 2 ) 成立； ( i i i ) q 。 2 2 ( n - 2 ) q 。，对任何z 瞪，q ( z ) 0 ，存在只与有关的6 0 ，如果i v h l 6 ，则 加砰叩印) d x ( 霈( 舢卟l 口) 纠2 口 下面我们给出一个关于椭圆方程组应满足的第二集中紧性引理。 引理3 3 设u 。一，一t ，u 。，日1 ( q c ) 。假设在测度意义下 ( i ) l v u 。1 2 + i v 。1 2 一p ； ( i i ) l u 。h 尸一l ，。 令 l i m 甄， ( 1 v t 。1 2 + l v v , ，1 2 ) d x = ，r - - - , “。j