（浙江专版）2018-2019高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.1 空间向量及其加减运算学案 新人教A版选修2-1.doc

3.1.1空间向量及其加减运算学习目标1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.3.了解向量加法的交换律和结合律知识点一空间向量的概念(1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a的起点是a，终点是b，则向量a也可记作，其模记为|a|或|.(2)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量知识点二空间向量的加减运算及运算律思考下面给出了两个空间向量a，b，作出ba，ba.答案如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面内，以任意点o为起点作a，b，则ab，ba.梳理(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算ab，ab.(2)空间向量加法交换律abba，空间向量加法结合律(ab)ca(bc)(1)零向量没有方向()(2)有向线段都可以表示向量，向量都可以用有向线段表示()(3)平面内所有的单位向量是相等的()(4)空间中，将单位向量起点放在一起，其终点组成的图形是球()(5)任何两个向量均不可以比较大小()类型一向量概念的应用例1(1)下列关于空间向量的说法中正确的是()a若向量a，b平行，则a，b所在直线平行b若|a|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反c若向量，满足|，则d相等向量其方向必相同考点空间向量的相关概念及其表示方法题点空间向量的定义与模答案d解析a中，向量a，b平行，则a，b所在的直线平行或重合；b中，|a|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；c中，向量作为矢量不能比较大小，故选d.(2)给出下列命题：若空间向量a，b满足|a|b|，则ab；在正方体abcda1b1c1d1中，必有；若空间向量m，n，p满足mn，np，则mp；空间中任意两个单位向量必相等其中假命题的个数是()a1b2c3d4考点空间向量的相关概念及其表示方法题点相等、相反向量答案b解析为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而中向量a与b的方向不一定相同；为真命题，与的方向相同，模也相等，故；为真命题，向量相等满足传递性；为假命题，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故选b.反思与感悟在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反跟踪训练1(1)在平行六面体abcda1b1c1d1中，下列四对向量：与；与；与；与.其中互为相反向量的有n对，则n等于()a1b2c3d4考点空间向量的相关概念及其表示方法题点相等、相反向量答案b解析对于与，与，长度相等，方向相反，互为相反向量；对于与，长度相等，方向不相反；对于与，长度相等，方向相同故互为相反向量的有2对(2)如图，在长方体abcdabcd中，ab3，ad2，aa1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：单位向量共有多少个？试写出模为的所有向量试写出与向量相等的所有向量试写出向量的所有相反向量考点空间向量的相关概念及其表示方法题点空间向量的定义与模解由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个由于长方体的左右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，.与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及.向量的相反向量有，.类型二空间向量的加减运算例2如图，已知长方体abcdabcd，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量(1)；(2).考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算解(1).(2)().向量，如图所示引申探究利用本例题图，化简.解结合加法运算，0.故0.反思与感悟(1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即.(2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，0.跟踪训练2在如图所示的平行六面体中，求证：2.考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算的应用证明平行六面体的六个面均为平行四边形，()()()2()又，.2.1.如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，下列各式中运算的结果为的共有()()；()；()；().a1个b2个c3个d4个考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算答案d解析()；()；()；()，故选d.2下列命题中，假命题是()a同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小b两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同c只有零向量的模等于0d空间向量不满足加法结合律考点空间向量的相关概念及其表示方法题点空间向量的定义与模答案d3在平行六面体abcda1b1c1d1中，与向量相等的向量共有()a1个b2个c3个d4个考点空间向量的相关概念及其表示方法题点相等、相反向量答案c解析与相等的向量有，共3个4向量a，b互为相反向量，已知|b|3，则下列结论正确的是()aabbab为实数0ca与b方向相同d|a|3考点空间向量的相关概念及其表示方法题点相等、相反向量答案d解析向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反，故选d.5在正方体abcd-a1b1c1d1中，已知下列各式：()；()；()；().其中运算的结果为的有_个考点题点答案4解析根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：()；()；()；().所以4个式子的运算结果都是.1一些特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量2空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果一、选择题1化简所得的结果是()a.b.c.0d.考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算答案c解析0，故选c.2下列命题中为真命题的是()a向量与的长度相等b将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆c空间向量就是空间中的一条有向线段d不相等的两个空间向量的模必不相等考点空间向量的相关概念及其表示方法题点相等、相反向量答案a解析对于选项b，其终点构成一个球面；对于选项c，零向量不能用有向线段表示；对于选项d，向量a与向量b不相等，未必它们的模不相等，故选a.3空间任意四个点a，b，c，d，则等于()a.b.c.d.考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算答案d4(2017嘉兴一中期末)如图，在三棱锥oabc中，点d是棱ac的中点，若a，b，c，则等于()aabcb.abccabcdabc答案b5设有四边形abcd，o为空间任意一点，且，则四边形abcd是()a平行四边形b空间四边形c等腰梯形d矩形考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算的应用答案a解析由，得，故四边形abcd为平行四边形，故选a.6如果向量，满足|，则()a.b.c.与同向d.与同向考点空间向量的相关概念及其表示方法题点相等、相反向量答案d7判断下列各命题的真假：向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；零向量是没有方向的；有向线段就是向量，向量就是有向线段其中假命题的个数为()a2b3c4d5考点题点答案b解析假命题，当a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；真命题；假命题，零向量也是向量，故也有方向，只是方向不确定；假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段二、填空题8在正方体abcda1b1c1d1中，化简的结果是_考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算答案2解析2.9已知向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|3，|b|2，|c|1，则|abc|_.考点空间向量的相关概念及其表示方法题点空间向量的定义与模答案210若g为abc内一点，且满足0，则g为abc的_(选填“外心”“内心”“垂心”或“重心”)考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算的应用答案重心解析因为，所以ag所在直线的延长线为边bc上的中线，同理，得bg所在直线的延长线为ac边上的中线，故g为其重心11给出下列命题：若|a|0，则a0；若a0，则|a|0；|a|a|；若a0，则a0.其中正确命题的序号为_考点空间向量的相关概念及及其表示方法题点空间向量的定义与模答案三、解答题12如图所示，已知空间四边形abcd，连接ac，bd，e，f，g分别是bc，cd，db的中点，请化简：，并标出化简结果的向量考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算的应用解.因为e，f，g分别为bc，cd，db的中点，所以，.所以.故所求向量为，如图所示13如图所示，在平行六面体abcdabcd中，化简下