用曲线拟合进行施肥效果分析.doc

本科学生毕业论文用曲线拟合进行施肥效果分析系部名称： 数学系 专业班级： 学生姓名： 指导教师： 曲绍平 袁海燕 职 称： 副教授 助教 黑 龙 江 工 程 学 院二九年六月The Graduation Thesis for Bachelors DegreeThe Effective Analysis Being in Progress with Curve Fitting Of Applying FertilizerCandidate：Wang Zhihui Specialty：Information and complete scienceClass：B05-75 Supervisor：Association prof. Qu Shaoping Assistant of Yuan Haiyan Heilongjiang Institute of Technology2009-06Harbin黑龙江工程学院本科生毕业论文摘 要本论文是在数学基本理论的指导下，利用从某研究所获得的某地区土豆和生菜生长所需的营养素氮（N），磷（P），钾(K)的施肥量及其相应产量的实验数据，应用数学软件MATLAB对所得的数据进行曲线拟合，并用曲线拟合的几种方法分别求得施肥量与产量之间的函数关系。最后，对所得的结果从应用方面进行评价，以及给出相应的改进方案。首先，研究每一种肥料的施肥量对产量的影响，将另外两种肥料始终固定在第七种水平上，我们用最小二乘法和插值法求得土豆和生菜的产量与氮、磷、钾的施肥量之间的函数关系；其次，用多元回归法求得在三种肥料共同影响下施肥量与产量之间的函数关系。通过讨论我们分别求出了三种肥料有一个是变量（另外两个保持在第七种水平上）和都是变量两种情况下的最优解，当然，从实际应用方面来看，后者所得的结果更有指导意义。关键词：生菜；土豆；施肥量；产量；经验公式；曲线拟合ABSTRACT The thesis is guided by fundamental theory of mathematics, making use of experiment data which is some area potatoes and lettuce gaining from some research institutes to grow required nutrient nitrogen (N) , phosphorus (P), potassium (K) fertilization amounts and their corresponding output , and applied mathematics software MATLAB to carry out the curve fitting on the gains data and use several kind methods of curve fitting to ask for the function relation between the amounts of applying fertilizer and output respectively .Finally, we carry out valuation on the result from the aspect of applying and give out a corresponding improvement scheme. Firstly, we study the impact of the amounts of applying fertilizer about every species fertilizer over output, another two kinds fertilizer fixing in the seventh kinds level upper, we are asking for the function relation of the nitrogen , the phosphorus, the potassium fertilization amounts and the output about the potatoes and lettuces with minimum two multiplication and interpolation; Secondly, We use multivariable return law to ask for the function relation between applying fertilizer and output under common effect of three kinds fertilizer. Finally, We have got respectively the optimum solution when three kinds fertilizer have one to be the variable (another two kinds fertilizer fixing in the seventh kinds level upper ) and when all of them are variables by discussing that we part for, of course ,the result of the latter will guide more significance judging from actual application aspect. Key words: Lettuce; Potato; The amounts of applying fertilizer; Output; Experience formula; Curve fitting目 录摘要IAbstractII第1章 绪论11.1 曲线拟合的背景和发展来源11.2 回归分析的基本概念3第2章 曲线拟合方法介绍52.1 最小二乘法52.1.1 最小二乘法曲线拟合的矩阵表示52.1.2 最小二乘法中待寻函数类的选择52.1.3 加权最小二乘法曲线拟合72.2 插值法72.2.1 函数插值的基本概念72.2.2 拉格朗日插值82.3 多元回归和曲面拟合92.4本章小结10第3章 模型的建立和求解113.1 模型分析113.1.1 已知情况113.1.2 做出散点图123.1.3 确定拟合函数形式133.2 模型的建立143.2.1 用最小二乘法建立模型143.2.2 用拉格朗日插值法求解曲线方程163.2.3 用多元回归求解拟合曲线173.3 模型的求解183.3.1 一种肥料的施肥量与产量函数关系的模型求解183.3.2土豆和生菜的产量都看成是N，P和K的三元函数的模型求解203.4 本章小结213.4.1模型的检验213.4.2 模型的改进22结论24参考文献27致谢28附录29第1章 绪 论1.1 曲线拟合的背景和发展来源在科学试验中，常常需要从一组测量数据中找出实验规律的数学表达式，例如经验公式。设有如下一组实验数据，其中某些可能是基本相近，而是重复某次测量结果：表1.1现要求构造一个能逼近列表数据的近似数学表达式，使各数据点从总体上最贴近，而不一定要求构造的函数曲线通过所给数据点。这就是数据拟合或曲线拟合也属这类问题，但插值函数曲线是通过所给全部插值节点的，这将使插值函数保留数据的全部测量误差，并如前述，当插值函数的阶数较高时，曲线摆动很大，而求得的差值函数与实验规律可能偏离甚远。显然这种插值方法的效果是不理想的。数据拟合构造的数学函数可能从整体上较好地逼近列表函数。以下我们采用多项式应用最小二乘法来构造拟合列表数据的数学函数。最小二乘法法拟合数据所得多项式可看作列表函数的近似表示式，进而也可以用它来代替的近似表示式，进而也可以用它来代替进行求导和积分计算。多项式数据拟合设用一个次多项式 (1.1.1) 来拟合一组数据，。 设节点处，的偏差为 (1.1.2)最小二乘法的基本思想是对所有数据点，拟合函数的偏差的平方和 (1.1.3)取最小值。由于为已知，故将视作的系数的函数。不同的拟合多项式，有不同的一组系数，因而有不同的值，即 (1.1.4)于是上述数据拟合问题便归结为求多元函数的极值问题。欲使取极小，则必须满足条件 (1.1.5)对（1.1.3）式求偏导数，可得 (1.1.6)由（1.1.6）式等于零，有 (1.1.7)令 (1.1.8)则（1.1.7）可表示为： (1.1.9)这是一个阶对称的线性方程组，称为正规（Normal）方程组,具体写出来就是 (1.1.10)此方程组的系数行列式不为零，故它有唯一解。将解得系数，代入(1.1.1)式，即可得所要求的拟合多项式。在实际应用中，或；当时所得的拟合多项式就是Lagrange或Newton插值多项式,如所指出的，这对于数据拟合效果并不好，此外，如若选择稍大的，即次数稍高的多项式作数据拟合，方程组(1.1.10)的系数矩阵式病态的。1.2 回归分析的基本概念1函数与相关关系 在生产和科学实验中，人们常遇到各种变量。从辩证唯物主义观点来看，这些变量之间是相互联系、相互依存的，它们之间存在着一定得关系。人们通过实践，发现变量之间的关系可分为两种类型：(1)函数关系（即确定性关系） 数学分析和物理学中的大多数公式属于这种类型。如以速度作匀速运动的物体，走过的距离与时间之间，有如下确定的函数关系： (1.2.1)若上式中的变量有两个已知，则另一个就可借函数关系精确地求出。(2)相关关系在实际问题中，绝大多数情况下变量之间的关系不那么简单。例如，在车床上加工零件，零件的加工误差与零件的直径之间有一定得关系，知道了零件直径可大致估计其加工误差，但又不能精确地预知加工误差。这是由于零件在加工过程中影响加工误差的因素很多，如毛坯的裕量、材料性能、背吃刀量、进给量、切削速度、零件长度等等，相互构造一个很复杂的关系，加工误差并不由零件直径这一因素所确定。像这种关系，在实践中是大量存在的，如材料的抗拉强度与其强硬之间；螺纹零件中螺纹的作用中径与螺纹中经之间；齿轮各种综合误差与有关单项误差之间；某些光学仪器、电子仪器等开机后仪器的读数变化与时间之间；材料的性能与其化学成分之间等等。这些变量之间既存在着密切的关系，又不能由一个（或几个）变量（自变量）的数值精确地求出另一个变量（因变量）的数值，而是要通过实验和调查研究，才能确定它们之间的关系，它们称这类变量之间的关系为相关关系。一般讲，多考虑一些变量会减少所考察的因变量的不确定性，但不是绝对的。应该指出，函数和相关关系虽然是两种不同类型的变量关系，但是它们之间并无严格的界限。一方面由于测量误差等原因，确定性的关系在实际中往往通过相关关系表现出来。例如尽管从理论上物体运动的速度、时间和运动距离之间存在着函数关系，但如果我们做多次反复地实测，每次测得的数值并不一定满足的关系。在实践中，为确定某种函数关系中的常数，往往也是通过实验。另一方面，当对事物内部的规律性了解得更加深刻的时候，相关关系又能转化为确定性关系。事实上，实验科学（包括物理学）中的许多确定性的定理正是通过对大量实验数据的分析和处理，经过总结和提高，从感性到理性，最后才能得到更能深刻地反映变量之间关系的客观规律。2.回归分析的主要内容回归分析（Regression Analysis）是英语生物学家兼统计学家高尔顿(Galton)在1889年出版的自然遗传一书中首先提出的，是处理变量之间相关关系的一种数理统计方法。上面已经提到，由于相关变量之间不存在确定性关系，因此，在生产实践和科学实验所记录的这些变量的数据中，存在着不同程度的差异。回归分析就是应用数学的方法，对大量的观测数据进行处理，从而得到比较符合事物内部规律的数学表达式。概括地说，回归分析主要解决以下几方面的问题：(1)从一组数据出发，确定这些变量之间的数学表达式-回归方程或经验公式。(2)对回归方程的可信程度进行统计检验。(3)进行因素分析，例如从对共同影响一个变量的许多变量(因素)中，找出哪些是重要因素，哪些是次要因素。回归分析是数据统计中的一个重要分支，在工农业生产和科学研究中有着广泛的应用。当今在实验数据处理、经验公式的求解、因素分析、仪器的精度分析、产品质量的控制、某些新标准的制定、气象及地震预报、自动控制中的数学模型的制定及其他许多场合中，回归分析往往是一中很有用的工具。第2章 曲线拟合方法介绍数据拟合方法在数学建模问题中常常有着重要的应用。根据实验数据来求出实际问题中变量之间的经验公式，然后再根据经验公式来讨论模型的最优解，是许多建模问题中的一种重要方法。下面简单介绍一下曲线拟合的几种方法。2.1 最小二乘法2.1.1 最小二乘法曲线拟合的矩阵表示给定函数的一组观测数据，通常可设拟合曲线的形式为： （2.1.1）其中与常数是线性关系。式（2.1.1）中的可以是的任意函数形式。为一般计，设实验数据有对，式（2.1.1）中的待定常数有个，这样，用最小二乘法拟合对数据，可得到个线性方程的联立方程组。用矩阵的表示方法即可求解这个方程，得到所求的拟合曲线。2.1.2最小二乘法中待寻函数类的选择在曲线拟合中最重要的问题是选择基函数，不同的问题应有不同的选法。其重要依据是各学科的背景。随着电子计算机的发展，根据数据的特征（散点图），利用专用数据软件和人工智能方法由计算机做出模型和方法的选择，是近年来国外较为重视的一个研究课题，属于建模支持系统的范围，这里仅讨论较简单的情况。选取基函数一般应根据原问题的物理背景来考虑，通常有以下几种简单的选法。1.多项式一般常用的方法是取，即用形如 （2.1.2）的多项式。但当已知数据反映的规律具有奇（偶）函数性质是，可只用奇（偶）次幂的项，取用形如（奇函数类似） （2.1.3）的多项式。2.指数函数有的数据具有指数的性质，此时，取指数函数较为合适，一般可取 (2.1.4) 但若将其取自然对数后就变成 (2.1.5)于是，对数据点 ， (2.1.6)求拟合曲线就与我们讨论的方法完全相同，因而可用前面所述的方法。但是这种形式的近似函数不宜将值取的较大，一般取或可。在工程和科学计算中常见的指数形式的近似函数还有 (2.1.7) (2.1.8)做适当的变换均可化成我们讨论过的形式。用最小二乘法计算便近似得出系数，求得原问题的解。3.样条函数例如我们可以选取为三次样条函数，做法如下：将进行等距分划，通常，这里取比要小得多，令 (为三次样条函数)， (2.1.9)这里出现了待定延拓值，它们由边界条件确定，或者按区间通过正规方程组确定，或者将边际约束引入目标函数。2.1.3 加权最小二乘法曲线拟合在实际问题中测到的全部实验数据并不都是等精度、等地位的。所以，对于精度较高或地位重要（这应根据实际情况来判定）的那些数据给予“加权”，使它们在最终的观测结果中占的比重更大。当然这种给某些实验点的加权也必然会使所假设的曲线更接近这些点。用加权最小二乘法进行曲线拟合的要求与原则是：对于给定的一组实验数据，要寻求一个函数 (2.1.10)将数据中的，代入公式，则有 ， (2.1.11)使得 (2.1.12)其中，是一列正数，称为加权因子，它的大小反映了数据，地位的强弱，(2.1.12)代表加权最小二乘法曲线拟合误差平方和最小。当，全部相等时就是前面述及的最小二乘法。2.2 插值法2.2.1 函数插值的基本概念设函数在区间上定义，且已知在点上的值，若存在一个简单函数，使 ， （2.2.1）成立，就称为的 插值函数，点称为插值节点，包含插值节点的区间称为产值区间，求插值函数的方法称为插值法。若是次数不超过的代数多项式，即 ， （2.2.2）其中为实数，就称为插值多项式，相应地插值法称为多项式插值。若为分段的多项式，就称为分段函数。若为分段的多项式，就称为分段插值。若为三角多项式，就称为三角插值。从几何上看，插值法就是求曲线，使其通过给定的个节点，并用它近似已知曲线。2.2.2拉格朗日插值 对给定的插值点为求得插值多项式可以有各种不同的方法，对及的情况容易得到一次和二次插值多项式及，它们可分别表示为 （2.2.3） （2.2.4）下面讨论如何构造通过个节点的次插值多项式，假定它满足条件 ， （2.2.5）为了构造，我们先定义次插值基函数定义1 若次多项式在个节点上满足条件 （2.2.6）就称次多项式为节点上的次插值基函数对及时的情况前面已经讨论过。应用类似的推到方法，可得到次插值基函数为 （2.2.7）显然他满足条件（2.2.6）。于是，满足条件（2.2.5）的插值多项式可表示为 （2.2.8）由得定义，知 （2.2.9）形如（2.2.8）的插值多项式称为拉格朗日（Lagrange）多项式，而（2.2.3）与（2.2.5）是和的特殊情形。2.3 多元回归和曲面拟合 设对及作次观测后，得到一组观测值 ， (2.3.1)希望能从中找到与诸的关系式，即 (2.3.2) 如果已经找到适当的曲线模型 (2.3.3)则问题转化为利用观测数据对模型参数进行估计，要求选取使 (2.3.4) 对这一非线性规划问题，可采用逐次线性化合变尺度等方法求解。 特别地，当选取的曲线模型为线性函数时，即 (2.3.5)若分别为的估计值，用最小二乘法求，即 (2.3.6)对多元问题，模型函数的选取具有决定性意义。对于二元函数，在选取基函数时，有几条原则可供参考。1.数据分布对分布在矩形网络点上的数据，应用乘积型方法去逼近。若数据分布式散乱，常用的方法有样条函数的最小二乘法。2.数据的准确度在大量实际问题中，实测数据仅有三至四位准确，一般来讲，在这种情况下，局部逼近优于全局逼近。所谓局部逼近即“分步法”，也就是将大范围的拟合问题分割为许多互不相交的小片上的拟合，方法的优点是简单，容易保持几何特性，缺点是在连续处甚至可能不连续。3.全局逼近、局部逼近和二步法逼近全局逼近和局部逼近是分别在大范围和小范围内选取基函数。而在二步法逼近中，首先将非规则数据规则化，即将矩形的格子点的函数值补齐，然后利用乘积型方法将曲面构造出来，二次逼近法常用于非规则数据。2.4本章小结通过前三章我们简单的介绍了曲线拟合的三种方法，分别是最小二乘法、插值法和多元回归。由前两种方法，我们可以求得给定实验数据的变量之间的函数关系，当然此时的自变量是一个；由多元回归，我们可以求得多个变量之间的函数关系。在曲线逼近中，常用插值法和最小二乘法，两者有不同的概念，但又有联系。给定函数的一组观测数据，选取为逼近函数，假定m维欧式空间的向量组， ， ， (2.4.1)是线性无关的。记 (2.4.2) 其中是权系数，则所谓最小二乘逼近，就是选取，使 (2.4.3)由线性无关，可证明问题的解是存在且唯一的。现在，假定，选取满足下列插值问题 ， (2.4.4)由于是线性无关的，因而插值问题的解存在且唯一，即能找到一组，使 (2.4.5)此即最小二乘形式，由最小二乘逼近解的存在唯一性，即为最小二乘的解。这说明在线性无关的假设下，最小二乘法与插值法是一致的。第3章 模型的建立和求解3.1 模型分析 3.1.1 已知情况某地区作物生长所需的营养素主要是氮（N），磷(P)，钾(K)，某作物研究所在该地区对土豆与生菜做了一定数量的实验，实验数据如表3.1，表3.2所示，其中ha表示公顷，t表示吨，kg表示公斤。当一个营养素的施肥量变化时，总将另两个营养素的施肥量保持在第七个水平上1，如对土豆的产量关于N的施肥量做实验时，P和K的施肥量分别取为196kg/ha，372kg/ha.表3.1 土豆产量与施肥量之间的关系施肥量（N）(kg/ha)产量(t/ha）施肥量（P）(kg/ha)产量(t/ha)施肥量(K)(kg/ha）产量(t/ha）015.18033.46018.983421.362432.474727.356725.724936.069334.8610132.297337.9614038.5213534.039841.0418638.4420239.45147400927937.7325943.1519641.2637238.4333643.4624542.1746543.8740440.8329440.3655842.7747130.7534242.7365146.22表3.2 生菜产量与施肥量之间的关系施肥量（N）(kg/ha）产量(t/ha）施肥量（P）(kg/ha)产量(t/ha）施肥量（K）(kg/ha)产量(t/ha）011.0206.39015.75281270499.484716.765614.569812.469316.898416.2714714.3314016.2411217.7519617.1018617.5616822.5929421.9427919.2022421.6339122.6437217.9728019.3448921.3446515.8433616.1258722.0755820.1139214.1168524.5365119.403.1.2 做出散点图我们来分析施肥量与产量之间的关系，并对所得的结果从应用价值与如何改进等方面进行评价。为了更直观的看出给定的数据点即各种肥料的施肥量与产量之间符合的函数形式，通过应用MATLAB软件2做出各个施肥量与产量的散点图：Y:土豆的产量Y:土豆的产量X: P的施肥量 X: N的施肥量 图3.1：土豆NW数据图 图3.2： 土豆PW数据图Y:生菜的产量X: N的施肥量Y:土豆的产量 X: K的施肥量 图3.3：土豆KW数据图 图3.4：生菜NW数据图Y:生菜的产量Y:生菜的产量 X: K的施肥量X: P的施肥量肥量图3.5：生菜PW数据图 图3.6：生菜KW数据图要利用实验数据来拟合这些函数3，显然，如果实验数据越多，数据分布越合理，拟合的效果越好。这样拟合出的函数，其所反映的规律就越符合实际情况，例如，应该给出充分多的数据，且这些数据又是在N，P，K三种肥料不同用量的产量数据。又比如，应当有这样的数据，当N，P，K三种肥料的某两种肥料限制在不同的固定值时，相应地，第三种肥料取不同值时的产量数据，这样才有可能反映出N，P，K三种肥料在对农作物产量的共同影响时的相互影响的规律，但事实上，这里所给出的数据非常有限，而且很不均匀，所以用现有的数据来拟合N，P，K的施肥量与产量之间的函数关系，并根据这些函数的性质所推断出的施肥量与产量之间的关系，其可信性是有限的。另外，拟合每一种肥料的施肥量与产量之间的函数时，其余两种肥料的用量都是限制在一个的数值上的，其结果通常也只能看到，当相应的另两种肥料在限制的数值上的情况。虽然我们得到的结果可能有一定的局限性，但这里所用到的方法却是处理这类问题的常用方法，从建立模型的角度来看，还是值得讨论的。如果要想得到更精确的结果，只需要有更多的关于施肥量与产量的实验数据，再用本文中给出的模型讨论即可。3.1.3 确定拟合函数形式用最小二乘法和插值法求拟合曲线时，首先要确定待寻函数的形式，这不单纯是数学问题，还与所研究问题的运动规律及所观测数据有关。从散点图中我们可以得到：N肥的施用量对有些农作物产量的影响是：当N肥的施用量较少时，随着N肥的用量的增加，农作物的产量会增加，到一定用量后产量达到最大值，然后，当N肥的用量继续增加时，农作物的产量反而会降低。而在一定的范围内，P肥和K肥的用量对农作物产量的影响将随着其用量的增加而一直增加，只是当P肥和K肥用量较少时，随着其用量的增加，农作物产量的增加较快，而当P肥和K肥的用量较多时，随着其用量的增加，农作物的产量增加不大。具有这种特点的函数关系在数学上用二次多项式就能较好的反映出来。当然，也可以考虑用分段函数来描述，为简单起见，下面在拟合这些函数时用二次多项式。在实验数据中，K肥料的施肥量与生菜产量的实验数据波动较大，这种产量与肥料的施用量的关系在农作物中是很少出现的现象，如果从数据图形的整体来看，其实K肥的施用量与生菜产量的实验数据的特点还是如上面说的一样，其波动性可以看做是实验误差。3.2 模型的建立3.2.1 用最小二乘法建立模型建立拟合曲线方程讨论一种肥料的用量与产量的关系时，其他两种肥料的用量都固定在第七种水平，三种肥料的用量分别是： 土豆:，； (3.2.1) 生菜:，=； (3.2.2)先考虑土豆与每一种肥料用量的函数关系 设土豆的产量与（施肥的量）的函数为：；利用最小二乘法我们求下列成立的函数 (3.2.3)轴表示N(P或K)的施肥量；轴表示相应地产量Y：土豆相应的产量X: N(P或K)的施肥量图3.7：土豆的原始数据和拟合曲线利用MATLAB软件，我们得到产量与的函数为 (3.2.4)利用最小二乘法，我们得到与（磷肥的量）函数为 (3.2.5)利用最小二乘法，我们得到与（钾肥的量）的函数为 (3.2.6)同理，可以得到生菜的产量与施肥量的函数：与（氮肥的量）的函数为： (3.2.7)与（磷肥的量）的函数为： (3.2.8)与(钾肥的量) 的函数为： (3.2.9)Y：生菜相应的产量X: N(P或K)的施肥量图3.8：生菜的原始数据和拟合曲线3.2.2 用拉格朗日插值法求解曲线方程由实验数据易得我们讨论的是即10个节点的9次插值多项式，则它满足条件 (3.2.10)由9次插值基函数为 (3.2.11)显然它满足条件 (3.2.12)则可表示为： (3.2.13)设土豆产量与三种肥料N，P，K的用量，之间的函数关系分别是： ，根据插值法：(3.2.14) (3.2.15) (3.2.16)同理得到生菜的产量与三种肥料N，P，K的用量，之间的函数关系分别是：， (3.2.17) (3.2.18)3.2.3 用多元回归求解拟合曲线将土豆和生菜的产量都看成是N，P和K的三元函数设和分别是土豆和生菜的产量与三种肥料的施肥量之间的函数，这里用2次多项式来拟合这两个函数。下面是用MATLAB软件求得的结果，利用实验数据来求得拟合函数和时，发现只出现及其乘幂项，而没有交叉相乘的项。 (3.2.19) (3.2.20) 3.3 模型的求解3.3.1 一种肥料的施肥量与产量函数关系的模型求解如果用上面拟合出的函数来表示相应地施肥量与产量之间的关系4，从拟合曲线的图形来看，只有N肥的产量与用量函数有唯一极大值点。其他函数都不具有这一性质，其规律是：P，K的施用量越多，产量都会增加。如果只从增加产量的角度，就应尽量多施这两种肥料。但多施肥的同时也会增加购买肥的费用，从经济的角度来看，不一定划算。应综合考虑产量与施肥的成本因素，以单位面积上的收益（即农作物的销售收入与施肥的费用只差）作为目标函数，以单位面积的最大收益为最优准则，来确定最优解。1.产量模型求解考虑当时的产量模型，如果只是追求高产，则只要求出上面拟合出来的函数和的最大值即可。产量模型的求解可以用微分法求解，也可以用MATLAB软件很容易求解，且只要求出N对产量的最大值，因为P和K的用量取到最大值时，相应地土豆和生菜的产量最大，利用微分法求得的结果是：当P，K固定在第七种水平，即，时用微分法解得：当时，求得的值为使达到最大值的解，解得(kg/ha)，即N的施用量是657(kg/ha)时，大豆的产量最大，最大值是273.7314(t/ha)；同理，当P，K 固定在第七种水平，即，N得用量为(kg/ha)，即N得施用量是719(kg/ha)时，生菜的产量最大，最大值是136.3082(t/ha)。2.效益模型求解当施用肥料所带来的收入比购买肥料所花的费用多时，就应该施肥，否则就不应该施肥，设土豆和生菜的售价分别是和（元/t），N，P，K的售价分别是，(元/kg)。首先讨论N肥施用量的效益模型。当N肥的施用量是(kg/ha)，土豆和生菜的产量分别是和，土豆施用肥料的费用是(元/ha)，生菜施用肥料的费用是(元/ha)。单位面积上土豆和生菜因施N肥所增加的收益分别是 (3.3.1) (3.3.2) 于是效益模型就归结为要确定N肥的施用量使得收益，达到最大利用微分法不难求得最优解是：当时，土豆的最大收益是(元/ha) (3.3.3)当时，生菜的最大收益是(元/ha)。 (3.3.4)同样，对于单位面积上的土豆和生菜因施P肥和K肥所增加的收益也可以类似地进行讨论。此处就只对单位面积上的土豆和生菜因施P肥所增加的收益进行讨论。收益的函数分别是： (3.3.5) (3.3.6) 利用微分法不难求得最优解是：当时，土豆的最大的收益是： (3.3.7) 当时，生菜的最大收益是： (3.3.8)。 3.3.2土豆和生菜的产量都看成是N，P和K的三元函数的模型求解1.产量模型求解易知，产量模型可归结为求函数，的最大值5，用微分法可以取得结果是：， (3.3.9) ， (3.3.10) (3.3.11)由(3.3.9)，(3.3.10)，(3.3.11)三式共同解得，所以，经求解得：当N，P和K取值分别是，土豆的产量最大，最大值是45.1938（t/ha）；同理，可解得：当N，P和K取值分别是，生菜的产量最大，最大值是23.1291（t/ha）。2.效益模型求解当施用肥料所带来的收入比购买肥料所花的费用多时，就应该施肥，否则就不应该施肥，设土豆和生菜的售价分别是和（元/t），N，P，K的售价分别是，(元/kg)。当N，P和K的用量分别是， (kg/ha)时，土豆和生菜的产量分别是和，而购买肥料的费用是 (元/ha)，于是单位面积上的土豆和生菜因施肥所增加的收益分别是： （3.3.12） （3.3.13） 模型归结为：确定，的值，使上面两个函数分别达到最大值。用微分法可求得最优解分别是：当N、P和K的取值分别是： （3.3.14） （3.3.15）时， （3.3.16）土豆的效益最大，最大值是 (t/ha)；当N、P和K的取值分别是：， （3.3.17）， （3.3.18）时， (3.3.19)生菜的效益最大，最大值是 。3.4 本章小结3.4.1模型的检验为了检验效益模型的求解结果，需要知道土豆和生菜的销售价，还要知道肥料N、P、K的销售价。不同的N肥价格相差较大，例如，按照当前的市场价格6，碳酸氢铵平均价格为540(元/吨)，尿素价格为1760(元/吨)，钾肥的价格也有1700(元/吨)至2420(元/吨)不等的情况，而P肥的价格大致为400(元/吨)。在以下讨论中，我们假设N肥价格为1.76(元/kg)；P肥的价格为0.4(元/kg)；K肥的价格为2.42(元/kg)。又设土豆和生菜的批发价分别为800(元/吨)和400(元/吨)。对于第一个模型的效益模型，利用上面的数据，可求得单位面积上的土豆和生菜施N肥的最优解结果分别是:0.6164，2.2892104(元)和0.5426，4.3081103(元)。同样，可求得单位面积上的土豆和生菜施P肥的最优解结果分别是:=0.7621，7.4869103(元)和0.8107，6.7296103(元)。从求解的结果上可以看到7，对于施N肥的效益模型求解的结果与产量模型的求解结果差别不大，这是因为，在现有的实验数据范围内，肥料的成本相对于总收益来说很小。例如每公顷面积施用N肥的成本最多为4711.761000元，相对于总收益来说可忽略不计。因此，可以认为效益模型的结果与产量模型的结果相同。这个求解的结果与农民对农作物施肥时的作法是相符合的。事实上，农民在对农作物施肥时，都是从考虑如何使农作物的产量达到最大来确定施肥量的。3.4.2 模型的改进在第一个模型中，讨论一种肥料的用量与产量的关系时，其它两种肥料的用量都固定在第7种水平，模型求解的结果较合理，但这只是当固定其中某两种肥料的用量时，考虑施用第三种肥料的施用量的最优解。而产量与肥料的施用量的全局最优解应当是第二个模型的解8。通常，对于用拟合方法得到的函数，只有当自变量在包含实验数据点(这里指自变量部分)的某个范围(例如，以实验数据点为顶点的所有多面体的并集)内变化时，拟合函数才可能是较合理的，而对于自变量在这个实验数据点的范围外变化时的函数值则不一定合理。例如，第二个模型拟合所得到的函数 (3.4.1) (3.4.2)中，常数项的值为负，这是不合理的，因为和表示不施肥时的产量，这些值都应当是非负才合理。但因为原点并不在实验数据的范围内，因此拟合函数的这种情况是可以出现的。这时第二个模型中的效益模型就需要改进一下。这可用两种方法来处理9。第一种方法，就是直接将函数和在原点的某个小的邻域内的值改为0即可。也就是分别用 (3.4.3) (3.4.4)代替原来的函数和。这样处理之后，第二个模型的最优解和最大收益的值不变。第二种方法，因为N、P、K三种肥料是农作物生长的基本肥料要素，如果这三种肥料都不施用，农作物的产量通常会很低，可近似地认为