高中数学 第一章 不等式和绝对值不等式 1.1.3 三个正数的算术几何平均不等式课件 新人教A版选修45.ppt

3 三个正数的算术 几何平均不等式 1 三个正数的算术 几何平均不等式 1 如果a b c r 那么a3 b3 c3 3abc 当且仅当a b c时 等号成立 2 定理3 如果a b c r 那么 当且仅当a b c时 等号成立 3 三个正数的算术平均不小于它们的几何平均 名师点拨1 不等式成立的条件 2 不等式的变形及其应用 做一做1若正数a1 a2 a3满足a1a2a3 8 则有 a a1 a2 a3 2b a1 a2 a3 6 答案 b 2 n个正数的算术 几何平均不等式对于n个正数a1 a2 an 它们的算术平均不小于它们的几何平均 即 当且仅当a1 a2 an时 等号成立 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 对于任意的实数x y z 都有x3 y3 z3 3xyz 探究一 探究二 探究三 思维辨析 运用三个正数的算术 几何平均不等式求最值 例1 求解下列各题 1 若00 且xy2 4 求x 2y的最小值 分析 1 应构造和为定值的形式 2 应构造积为定值的形式 3 应构造积为定值的形式 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟应用三个正数的算术 几何平均不等式求最值的方法与技巧1 利用三个正数的算术 几何平均不等式求最值 可简记为 积定和最小 和定积最大 2 应用三个正数的算术 几何平均不等式求最值 仍然要满足三个条件 即 一正 二定 三相等 其中定值条件决定着三个正数的算术 几何平均不等式应用的可行性 获得定值需要一定的技巧 如配系数 拆项 分离常数 平方变形等 3 拼凑定值是利用三个正数的算术 几何平均不等式求最值的关键 求代数式的和或者积的最值时 题目中的定值条件往往无法满足 此时可以将三个正数的算术 几何平均不等式的取等号的条件作为出发点 拼凑定和 或积 从而求得积 或和 的最大 或小 值 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1 1 若x 0 则2x 的最小值为 2 函数y 2cos2x sin4x的最大值等于 探究一 探究二 探究三 思维辨析 运用三个正数的算术 几何平均不等式证明不等式 例2 1 已知a b c r 分析 1 欲证不等式的右边为常数3 联想到不等式a b c 3 a b c r 故将所证不等式的左边进行恰当的变形 2 因为左边有分式 也有整式的形式 所以不但要用一次三个正数的算术 几何平均不等式 而且还要用一次基本不等式 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟证明不等式的方法与技巧观察式子的结构特点 分析题目中的条件 若具备 一正 二定 三相等 的条件 则直接应用该定理 若题目中不具备该条件 要注意经过适当的恒等变形后再使用该定理证明 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2 1 已知x y z 0 求证 x y z 3 27xyz 探究一 探究二 探究三 思维辨析 运用三个正数的算术 几何平均不等式解决实际问题 例3 制造容积为立方米的无盖圆柱形桶 用来做底面的金属板的价格为每平方米30元 用来做侧面的金属板的价格为每平方米20元 若使材料成本最低 则此圆柱形桶的底面半径和高分别为多少 分析 首先用底面半径和高表示出圆柱形桶的材料成本 其次由容积得到底面半径和高的关系 然后将圆柱形桶的材料成本表示为半径的函数 最后用三个正数的算术 几何平均不等式求最值 并确定等号成立的条件 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 设此圆柱形桶的底面半径为r米 高为h米 则底面积为 r2平方米 侧面积为2 rh平方米 设材料成本为y元 则y 30 r2 40 rh 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟利用三个正数的算术 几何平均不等式解决实际问题的一般步骤1 理解题意 设变量 设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为函数 2 建立相应的函数关系式 把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题 3 在定义域内 利用三个正数的算术 几何平均不等式求出函数的最值 4 验证不等式中等号成立的条件 得出结论 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3在表面积等于18的长方体中 求其体积的最大值 解 设长方体相交于同一点的三条棱长分别为a b c 则长方体的体积为v abc 其表面积为s 2ab 2bc 2ca 18 由三个正数的算术 几何平均不等式得 探究一 探究二 探究三 思维辨析 误用三个正数的算术 几何平均不等式而致错 纠错心得错解中虽然对代数式进行了变形与分解 也构造了定值 但等号成立的条件无法满足 因此所求最值是错误的 在利用三个正数的算术 几何平均不等式求最值时 三个条件缺一不可 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练若x 0 求y x 1 x2 的最大值 12345 1 下列结论正确的是 解析 当a b c r时 a2 b2 c2 0 由三个正数的算术 几何平均不等a2 b2 c2时 等号成立 故选项c正确 答案 c 12345 答案 b 12345 3 若a 0 b 0 且a 2b 1 则ab2的最大值等于 答案 a 12345 4 若长方体的体积为8 则其表面积的最小值等于 解析 设长方体相交于同一点的三条棱长分别为a b c 则依题意有abc