赢在高考高考数学二轮复习 专题七 解析几何 7.3 圆锥曲线的综合应用素能演练提升 文.doc

第三讲圆锥曲线的综合应用掌握核心,赢在课堂1.某圆锥曲线有两个焦点f1,f2,其上存在一点p满足|pf1|f1f2|pf2|=432,则此圆锥曲线的离心率等于()a.或b.或2c.或2d.或解析:依题意,设|pf1|=4m,|f1f2|=3m,|pf2|=2m.若此圆锥曲线是椭圆,则相应的离心率为=;若此圆锥曲线是双曲线,则相应的离心率为=.故选a.答案:a2.在abc中,ac=6,bc=7,cos a=,o是abc的内心,若=x+y,其中0x1,0y1,则动点p的轨迹所覆盖的面积为()a.b.c.d.解析:=x+y,其中0x1,0y1,动点p的轨迹所覆盖的区域是以oa,ob为邻边的平行四边形及其内部,则动点p的轨迹所覆盖的面积s=abr,r为abc的内切圆的半径.在abc中,由余弦定理可知cos a=,整理得5ab2-12ab-65=0,解得ab=5,因此sabc=65sin a=6.又o为abc的内心,故o到abc各边的距离均为r,此时abc的面积可以分割为三个小三角形的面积的和,sabc=(6+5+7)r,即(6+5+7)r=6,解得r=,即所求的面积s=abr=5.答案:a3.(2014云南昆明第一次摸底调研,12)过椭圆+y2=1的左焦点作互相垂直的两条直线,分别交椭圆于a,c,b,d四点,则四边形abcd面积的最大值与最小值之差为()a.b.c.d.解析:当直线ac的斜率存在且不为0时,设直线ac:y=k(x+),则bd:y=-(x+),由消去y得(4k2+1)x2+8k2x+12k2-4=0,设a(x1,y1),c(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,|ac|=4,将k换成-,得|bd|=4,四边形abcd的面积s=|ac|bd|=,设k2+1=t(t1),则s=,令=m(0m3),则s=,0m3,s0)为抛物线y2=4x内一个定点,过e作斜率分别为k1,k2的两条直线交抛物线于点a,b,c,d,且m,n分别是ab,cd的中点.(1)若m=1,k1k2=-1,求emn面积的最小值;(2)若k1+k2=1,求证:直线mn过定点.解:(1)当m=1时,e为抛物线y2=4x的焦点,k1k2=-1,abcd.设ab的方程为y=k1(x-1),a(x1,y1),b(x2,y2),由得k1y2-4y-4k1=0,y1+y2=,y1y2=-4.m,m.同理,点n(2+1,-2k1),semn=|em|en|=22=4,当且仅当,即k1=1时,emn的面积取最小值4.(2)证明:设ab的方程为y=k1(x-m),a(x1,y1),b(x2,y2),由得k1y2-4y-4k1m=0,y1+y2=,y1y2=-4m.m,m.同理,点n.kmn=k1k2.mn的方程为y-=k1k2,即y=k1k2(x-m)+2.直线mn恒过定点(m,2).5.已知椭圆c1、抛物线c2的焦点均在x轴上,c1的中心和c2的顶点均为原点o,从每条曲线上各取两个点,将其坐标记录于下表中:x3-24y-20-4(1)求c1,c2的标准方程.(2)是否存在直线l满足条件:过c2的焦点f;与c1交于不同的两点m,n,且满足?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.解:(1)设抛物线c2:y2=2px(p0),则有=2p(x0),据此验证四个点知(3,-2),(4,-4)在抛物线上,易求c2:y2=4x.设c1:=1(ab0),把点(-2,0),代入得解得所以c1的标准方程为+y2=1.(2)容易验证当直线l的斜率不存在时,不满足题意.当直线l的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1),与c1的交点为m(x1,y1),n(x2,y2).由消去y并整理得(1+4k2)x2-8k2x+4(k2-1)=0,于是x1+x2=,x1x2=.y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2x1x2-(x1+x2)+1,即y1y2=k2=-.由,即=0,得x1x2+y1y2=0.(*)将代入(*)式,得-=0,解得k=2,所以存在直线l满足条件,且l的方程为2x-y-2=0或2x+y-2=0.6.平面直角坐标系xoy中,过椭圆m:+=1(ab0)右焦点的直线x+y-=0交m于a,b两点,p为ab的中点,且op的斜率为.(1)求m的方程;(2)c,d为m上两点,若四边形acbd的对角线cdab,求四边形acbd面积的最大值.解:(1)设a(x1,y1),b(x2,y2),p(x0,y0),则+=1,+=1,=-1,由此可得=-=1.因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,=,所以a2=2b2.又由题意知,m的右焦点为(,0),故a2-b2=3.因此a2=6,b2=3.所以m的方程为+=1.(2)由解得或因此|ab|=.由题意可设直线cd的方程为y=x+n,设c(x3,y3),d(x4,y4).由得3x2+4nx+2n2-6=0.于是x3,4=.因为直线cd的斜率为1,所以|cd|=|x4-x3|=.由已知,四边形acbd的面积s=|cd|ab|=.当n=0时,s取得最大值,最大值为.所以四边形acbd面积的最大值为.7.(2014江西高考,文20)如图,已知抛物线c:x2=4y,过点m(0,2)任作一直线与c相交于a,b两点,过点b作y轴的平行线与直线ao相交于点d(o为坐标原点).(1)证明:动点d在定直线上;(2)作c的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点n1,与(1)中的定直线相交于点n2,证明:|mn2|2-|mn1|2为定值,并求此定值.(1)证明:依题意可设ab方程为y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则有x1x2=-8,直线ao的方程为y=x;bd的方程为x=x2.解得交点d的坐标为注意到x1x2=-8及=4y1,则有y=-2.因此d点在定直线y=-2上(x0).(2)解:依题设,切线l的斜率存在且不等于0,设切线l的方程为y=ax+b(a0),代入x2=4y得x2=4(ax+b),即x2-4ax-4b=0,由=0得(4a)2+16b=0,化简整理得b=-a2.故切线l的方程可写为y=ax-a2.分别令y=2,y=-2得n1,n2的坐标为n1,n2.则|mn2|2-|mn1|2=+42-=8,即|mn2|2-|mn1|2为定值8.8.(2014河南郑州第二次质检,20)已知平面上的动点r(x,y)及两定点a(-2,0),b(2,0),直线ra,rb的斜率分别为k1,k2,且k1k2=-,设动点r的轨迹为曲线c.(1)求曲线c的方程.(2)四边形mnpq的四个顶点均在曲线c上,且mqnp,mqx轴,若直线mn和直线qp交于点s(4,0).问:四边形mnpq两条对角线的交点是否为定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.解:(1)由题知x2,且k1=,k2=,则=-,整理得,曲线c的方程为=1(y0).(2)设mp与x轴交于d(t,0),则直线mp的方程为x=my+t(m0),记m(x1,y1),p(x2,y2),由对称性知q(x1,-y1),n(x2,-y2),由消去x得(3m2+4)y2+6mty+3t2-12=0,所以=48(3m2+4-t2)0,y1+y2=-,y1y2=.由m,