高考数学一轮复习 第六章 数列 第二节 等差数列及其前n项和课件 文.ppt

第二节等差数列及其前n项和 总纲目录 教材研读 1 等差数列的定义 2 等差数列的通项公式 3 等差中项 4 等差数列的常用性质 5 等差数列的前n项和公式 6 等差数列的前n项和公式与函数的关系 7 等差数列的前n项和的最值 考点突破 考点二等差数列的判定与证明 考点一等差数列的基本运算 考点三等差数列性质的应用 考点四等差数列的前n项和的最值 1 等差数列的定义如果一个数列从 第二项起 每一项与前一项的差等于 同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的 公差 通常用字母 d表示 定义的表达式为an 1 an d n n 教材研读 2 等差数列的通项公式等差数列 an 的通项公式是 an a1 n 1 d 3 等差中项如果 a 那么a叫做a与b的等差中项 4 等差数列的常用性质 1 通项公式的推广 an am n m d n m n 2 若 an 是等差数列 且k l m n k l m n n 则 ak al am an 3 若 an 是等差数列 公差为d 则 a2n 也是等差数列 公差为 2d 4 若 an bn 项数相同 是等差数列 则 pan qbn p q是常数 仍是等差数列 5 若 an 是等差数列 则ak ak m ak 2m k m n 组成公差为 md的等差数列 5 等差数列的前n项和公式等差数列 an 的前n项和sn 或sn na1 6 等差数列的前n项和公式与函数的关系sn n2 n 数列 an 是等差数列 sn an2 bn a b为常数 7 等差数列的前n项和的最值在等差数列 an 中 若a1 0 d0 则sn存在最小值 与等差数列有关的结论 1 an a1 n 1 d am n m d n m n p q m n ap aq am an p q m n n 2 ap q aq p p q ap q 0 sm n sm sn mnd 3 sk s2k sk s3k s2k 构成的数列是等差数列 4 n 是关于n的一次函数或常数函数 数列也是等差数列 5 若非零等差数列 an 的项数为偶数2m 公差为d 奇数项之和为s奇 偶 数项之和为s偶 则所有项之和s2m m am am 1 s偶 s奇 md 6 若非零等差数列 an 的项数为奇数2m 1 奇数项之和为s奇 偶数项之和为s偶 则所有项之和s2m 1 2m 1 am s奇 mam s偶 m 1 am s奇 s偶 am 7 若sm n sn m m n 则sm n m n 1 等差数列11 8 5 中 49是第 a 19项b 20项c 21项d 22项 c 答案ca1 11 d 8 11 3 所以an 11 n 1 3 3n 14 由 3n 14 49 得n 21 故选c 2 等差数列 an 中 a1 a5 10 a4 7 则数列 an 的公差为 a 1b 2c 3d 4 答案b设公差为d a1 a5 2a3 10 a3 5 又 a4 7 d 2 故选b b 3 等差数列 an 的前n项和为sn 且s3 6 a1 4 则公差d等于 a 1b c 2d 3 c 答案c s3 6 a1 a3 且a3 a1 2d a1 4 d 2 故选c 4 已知p 数列 an 是等差数列 q 数列 an 的通项公式an k1n k2 k1 k2均为常数 则p是q的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 c 答案c若 an 是等差数列 不妨设公差为d 所以an a1 n 1 d dn a1 d 令k1 d k2 a1 d 则an k1n k2 若数列 an 的通项公式an k1n k2 k1 k2为常数 n n 则当n 2且n n 时 an 1 k1 n 1 k2 所以an an 1 k1 常数 n 2且n n 所以 an 为等差数列 所以p是q的充要条件 5 小于20的所有正奇数的和为 a 64b 81c 100d 121 c 答案c设小于20的正奇数构成的数列为 an 则 an 是以a1 1 公差d 2的等差数列 an 2n 1 由an 19 得n 10 即共有10个数 s10 100 故选c 6 设sn为等差数列 an 的前n项和 s2 s6 a4 1 则a5 1 答案 1 解析由题意知解得所以a5 a4 d 1 2 1 典例1 1 2017课标全国 4 5分 记sn为等差数列 an 的前n项和 若a4 a5 24 s6 48 则 an 的公差为 a 1b 2c 4d 8 2 2017安徽合肥模拟 已知 an 是公差为1的等差数列 sn为 an 的前n项和 若s8 4s4 则a10 a b c 10d 12 3 若等差数列 an 的前n项和为sn 且满足a2 s3 4 a3 s5 12 则a4 a7的值是 a 20b 36c 24d 72 考点一等差数列的基本运算 考点突破 答案 1 c 2 b 3 c 方法技巧 1 等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1 an d n sn 知其中三个就能求另外两个 体现了用方程的思想来解决问题 2 数列的通项公式和前n项和公式在解题中可起到变量代换作用 a1和d是等差数列的两个基本量 用它们表示已知和未知是常用的解题方法 1 1设sn为等差数列 an 的前n项和 若a1 1 公差d 2 sn 2 sn 36 则n a 5b 6c 7d 8 d 答案d由题意知sn na1 d n n n 1 n2 则sn 2 n 2 2 因为sn 2 sn 36 所以 n 2 2 n2 4n 4 36 所以n 8 1 2设等差数列 an 的前n项和为sn 若sm 1 2 sm 0 sm 1 3 则m a 3b 4c 5d 6 c 答案c 数列 an 为等差数列 且前n项和为sn 数列也为等差数列 即 0 解得m 5 经检验 m 5为原方程的解 故选c 典例2 2017贵州贵阳模拟 已知数列 an 满足a1 1 且nan 1 n 1 an 2n2 2n 1 求a2 a3 2 证明数列是等差数列 并求 an 的通项公式 考点二等差数列的判定与证明 规律总结等差数列的四种判定方法 1 定义法 证明对任意正整数n都有an 1 an等于同一个常数 2 等差中项法 证明对任意正整数n都有2an 1 an an 2后 可递推得出an 2 an 1 an 1 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 根据定义得出数列 an 为等差数列 3 通项公式法 得出an pn q后 得an 1 an p对任意正整数n恒成立 根据定义判定数列 an 为等差数列 4 前n项和公式法 得出sn an2 bn后 根据sn an的关系 得出an 再使用定义法证明数列 an 为等差数列 2 1若数列 an 的前n项和为sn 且满足an 2snsn 1 0 n 2 a1 1 求证 是等差数列 2 求数列 an 的通项公式 解析 1 证明 当n 2时 由an 2snsn 1 0 得sn sn 1 2snsn 1 又易知sn 0 所以 2 又 2 故是首项为2 公差为2的等差数列 2 由 1 可得 2n sn 当n 2时 an sn sn 1 当n 1时 a1 不适合上式 故an 典例3 1 2017湖南五市十校联考 已知sn是数列 an 的前n项和 且sn 1 sn an 3 a4 a5 23 则s8 a 72b 88c 92d 98 2 已知 an bn 都是等差数列 若a1 b10 9 a3 b8 15 则a5 b6 考点三等差数列性质的应用命题方向一等差数列项的性质的应用 答案 1 c 2 21 解析 1 由sn 1 sn an 3 得an 1 an 3 数列 an 是公差为3的等差数列 因为a4 a5 23 2a1 7d 2a1 21 所以a1 1 s8 8a1 d 92 2 因为 an bn 都是等差数列 所以2a3 a1 a5 2b8 b10 b6 所以2 a3 b8 a1 b10 a5 b6 即2 15 9 a5 b6 解得a5 b6 21 典例4 1 在等差数列 an 中 a1 2018 其前n项和为sn 若 2 则s2018的值等于 a 2018b 2016c 2019d 2017 2 设等差数列 an 的前n项和为sn 且s3 12 s9 45 则s12 命题方向二等差数列前n项和的性质的应用 答案 1 a 2 114 方法技巧等差数列的性质 1 项的性质 在等差数列 an 中 am an m n d d m n 其几何意义是点 n an m am 所在直线的斜率等于等差数列的公差 2 和的性质 在等差数列 an 中 sn为其前n项和 则 s2n n a1 a2n n an an 1 s2n 1 2n 1 an 3 1设数列 an bn 都是等差数列 且a1 25 b1 75 a2 b2 100 则a37 b37等于 a 0b 37c 100d 37 c 答案c设 an bn 的公差分别为d1 d2 则 an 1 bn 1 an bn an 1 an bn 1 bn d1 d2 所以 an bn 为等差数列 又a1 b1 a2 b2 100 所以 an bn 为常数列 所以a37 b37 100 3 2 2018安徽合肥质检 等差数列 an bn 的前n项和分别为sn tn 若 则 答案 解析由等差数列前n项和的性质 得 典例5 1 在等差数列 an 中 a1 29 s10 s20 则数列 an 的前n项和中最大的为 a s15b s16c s15和s16d s17 2 设数列 an 的通项公式为an 2n 10 n n 则 a1 a2 a15 考点四等差数列的前n项和的最值 答案 1 a 2 130 解析 1 s10 s20 10a1 d 20a1 d 又a1 29 d 2 sn 29n 2 n2 30n n 15 2 225 当n 15时 sn取得最大值 2 由an 2n 10 n n 知 an 是以 8为首项 2为公差的等差数列 又由an 2n 10 0得n 5 n 5时 an 0 当n 5时 an 0 a1 a2 a15 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a15 20 110 130 方法技巧求等差数列前n项和sn最值的两种方法 1 函数法 利用等差数列前n项和的函数表达式sn an2 bn 通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解 2 邻项变号法 当a1 0 d0时 满足的项数m使得sn取得最小值sm 4 1设等差数列 an 的前n项和为sn 且 则当sn取最