两道中考数学相似三角形精选.doc

(苏州2010中考题)(本题满分9分)刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图、图中，B=90，A=30，BC=6cm；图中，D=90，E=45，DE=4 cm图是刘卫同学所做的一个实验：他将DEF的直角边DE与ABC的斜边AC重合在一起，并将DEF沿AC方向移动在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合) (1)在DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐 (填“不变”、“变大”或“变小”) (2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题： 问题：当DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行? 问题：当DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形? 问题：在DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得FCD=15?如果存在， 求出AD的长度；如果不存在，请说明理由请你分别完成上述三个问题的解答过程解：（1）变小.（2）问题：解：连结设在中，即时，问题：解：设在中，（）当为斜边时，由得，（）当为斜边时，由得，（不符合题意，舍去）.（）当为斜边时，由得，方程无解.另解：不能为斜边.中至少有一条线段的长度大于6.不能为斜边.由（）、（）、（）得，当时，经线段的长度为三边长的三角形是直角三角形.问题：解法一：不存在这样的位置，使得理由如下：假设由得作的平分线，交于点，则不存在这样的位置，使得解法二：不存在这样的位置，使得假设由得作垂足为且为公共角，又即整理后，得到方程（不符合题意，舍去）， （不符合题意，舍去）.不存在这样的位置，使得（2010，浙江义乌）如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)用含S的代数式表示，并求出当S36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由 CBAOyx图1DM图2O1A1OyxB1C1DM【分析】第（1）问，已知O、A两点的坐标点O（0，0）、A（2，0），发现对称轴为x1；再设二次函数解析式ya（x-0）（x-2）将B（6，3）代入即可第（2）问，注意到OA与CB两平行线之间的距离可由A（2，0）、B（6，3）看出是3，在平移梯形的过程中它保持不变利用列出一个关于x1、x2的方程，再利用面积S36关系再列出一个关于x1、x2的方程，解这两个方程组成的方程组，确定x1的值便可求出点A1的坐标.第（3）问，如下图1-0本题先要找到当点P经过t秒时，进而分两种情况：当没有到达这一时刻之前，和过了这一时刻之后.CBAOyx图1-2DMEFPQGCBAOyx图1-1DMEPQFG 图10情况1.如图1-1，寻求DPQDEB，运用相似比来解答.情况2. 如图1-2，也是寻求DPQDEB，运用相似比来解答.【答案】（1）对称轴：直线解析式：或 顶点坐标：M（1，） （2）由题意得 3得： 得： 把代入并整理得：(S0) (事实上，更确切为S6)当时， 解得：(注：S0或S6不写不扣分) 把代入抛物线解析式得 点A1（6，3）（3）存在解法一：易知直线AB的解析式为，可得直线AB与对称轴的交点E的坐标为BD5，DE，DP5t，DQ t当时， 得 下面分两种情况讨论: 设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G 当时，如图1-1 FQEFAG FGAFEQDPQDEB 易得DPQDEB 得 (舍去) 当时，如图1-2FQEFAG FAGFQEDQPFQE FAGEBDDQPDBE 易得DPQ